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专题8：空间中的平行于垂直综合
题型一：空间中的平行及证明...................................................... 2
题型一：空间中的垂直及证明.................................................... 23
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专题8：空间中的平行于垂直综合
题型一：空间中的平行及证明
1．若m ，n 是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（
）
A．若
/ /m
，
/ /m
，那么
/ /
B．若
/ /
m
，n ，那么
//
m
n
C．若
//
m
n，
/ /
n
，那么
/ /
m
D．若
/ /
，m
，那么
/ /
m
【答案】D
【分析】根据面面平行的性质，线面平行的性质和判定定理逐一判断即可.
【详解】当
/ /m
，
/ /m
时，,
可以相交，故选项A 不正确；
当
/ /
m
，n 时，m ，n 可以是异面直线，因此选项B 不正确；
当
//
m
n，
/ /
n
时，存在m
这一情况，所以选项C 不正确；
根据面面平行的性质可知选项D 正确，
故选：D
2．（多选）下列说法中正确的是（
）
A．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C．一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D．一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
【答案】CD
【分析】举出相交平面的实例说明判断AB；利用两个平面平行的定义和判定定理判断CD 作答.
【详解】一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线是平行的，则这两个平面可能相
交，
因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，A 错误；
一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，如果这无数条直线是平行的，则这两个平面可能相交，
因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，B 错误；
一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的定义知，C 正确；
一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的判定定理知，
D 正确.
故选：CD
3．（多选）如图，空间四边形ABCD中，
,
E F 分别是边AB ，BC 的中点，
,
G H 分别在线段
,
DC DA 上，且
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满足DG
DC
，DH
DA
，
,
0,1
，则下列说法正确的是（
）
A．当
1
2
λ
μ
时，四边形EFGH 是矩形
B．当
2
3
时，四边形EFGH 是梯形
C．当
时，四边形EFGH 是空间四边形
D．当
时，直线
,
,
EH FG BD 相交于一点
【答案】BC
【分析】利用三角形的中位线和相似比结合平行四边形和梯形的判定判断AB，利用异面直线的概念判断
C，假设直线
,
,
EH FG BD 相交于一点，利用线面平行的性质定理判断D.
【详解】选项A：在ABC
中，因为
,
E F 分别是边AB ，BC 的中点，所以EF
AC
∥
且
1
2
EF
AC
，
当
1
2
λ
μ
时，
,
H G 分别为
,
DA DC 中点，所以在
DAC
△
中可得HG
AC
∥
且
1
2
HG
AC
，
所以EF
HG
∥
且EF
HG
，
所以四边形EFGH 是平行四边形，
又
,
E H 分别为
,
AB AD 中点，所以
/ /
EH
BD ，又
//
EF
AC ，
当BD
AC
时有EH
EF
，平行四边形EFGH 为矩形，
所以四边形EFGH 不一定是矩形，A 错误；
选项B：当
2
3
时，
2
3
DG
DH
DC
DA
，所以
2
3
HG
AC
，且HG
AC
∥
，
则由A 可知EF
HG
∥
且EF
HG
，所以四边形EFGH 是梯形，B 正确；
选项C：当
时，EF 不平行于HG ，又因为HG 平面ADC ，EF 平面ADC ，
所以
,
HG EF 是异面直线，四边形EFGH 是空间四边形，C 正确；
选项D：不妨设直线
,
,
EH FG BD 相交于一点O，
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因为EF
AC
∥
，AC 平面ADC ，EF 平面ADC ，所以EF 平面ADC ，
又因为直线
,
EH FG 相交于点O，所以EF 平面EHGF ，
因为平面EHGF 平面ADC
HG
，所以EF
HG
AC
∥
∥
，
所以可得
，矛盾，D 错误；
故选：BC
4．已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为3，点M 满足
1
3
CC
CM
．若在正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
内有一动点P 满
足
/ /
BP
平面
1
AMD ，则动点P 的轨迹长为（
）
A．3
B．10
C．13
D．3 2
【答案】C
【分析】在棱
1
1
1
,
A D AA 上分别取点
,
E F ，使得
1
1
1
1
3
A E
A D
，
1
1
1
3
A F
A A
，连接
1
1
1
,
,
,
,
,
EF BC BF C E D F BM ，
证明平面
1
/ /
BFD M
平面
1
AMD 即可得点P 的轨迹为线段
1
C E ，再计算长度即可.
【详解】解：如图，在棱
1
1
1
,
A D AA 上分别取点
,
E F ，使得
1
1
1
1
3
A E
A D
，
1
1
1
3
A F
A A
，连接
1
1
1
,
,
,
,
,
EF BC BF C E D F BM ，
因为
1
1
1
1
3
A E
A D
，
1
1
1
3
A F
A A
，
所以，
1
//
EF
AD ，
因为EF 平面
1
AMD ，
1
AD 平面
1
AMD ，
所以
/ /
EF
平面
1
AMD ，
因为
1
1
1
3
A F
A A
，
1
3
CC
CM
，
所以，
1
2
AF
C M
，
1
1
CM
A F
，
因为
1
1
1
1
,
AB
C D
BAF
MC D
，
1
1
1
1
,
A D
BC
BCM
FA D
，
所以，
ABF
△
≌
1
1
C D M
!
，BCM
≌
1
1
D A F
，
所以
1
1
,
BF
D M D F
BM
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所以，四边形
1
BFD M 是平行四边形，
所以
1
/ /
BF
D M ，
因为BF 平面
1
AMD ，
1
D M 平面
1
AMD ，
所以，
//
BF
平面
1
AMD ，
因为
BF
EF
F ，
,
BF EF 平面
1
BFD M ，
所以平面
1
/ /
BFD M
平面
1
AMD ，
因为平面
1
BFD M 平面
1
1
1
1
1
A B C D
C E
,
所以，在正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
内有一动点P 满足
/ /
BP
平面
1
AMD 时，点P 的轨迹为线段
1
C E ，
因为
2
2
1
2
3
13
C E
所以，动点P 的轨迹长为13
故选：C
5．如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点E 是棱
1
CC 上的一个动点，若平面
1
BED 与棱
1
AA 交于点F ，
给出下列命题：
①四棱锥
1
1
B
BED F
的体积恒为定值；
②四边形
1
BED F 是平行四边形；
③当截面四边形
1
BED F 的周长取得最小值时，满足条件的点E 至少有两个；
④直线
1
D E 与直线DC 交于点P ，直线
1
D F 与直线DA 交于点Q ，则P 、B 、Q 三点共线.
其中真命题是（
）
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A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【分析】利用割补法判断四棱锥
1
1
B
BED F
的体积是否为定值；利用面面平行性质定理证明四边形
1
BED F
是平行四边形；利用侧面展开图求得截面四边形
1
BED F 的周长取得最小值时，满足条件的点E 个数；利
用两平面有且仅有1 条通过其公共点的直线证明P 、B 、Q 三点共线.
【详解】①四棱锥
1
1
B
BED F
的体积等于三棱锥
1
1
E
BB D
的体积
与三棱锥
1
1
F
BB D
的体积之和,
又长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
//
//
CC
AA
平面
1
1
BB D ，
则点
,
E F 到平面
1
1
BB D 的距离为定值，
则四棱锥
1
1
B
BED F
的体积恒为定值.判断正确；
②由平面
1
BED 与棱
1
AA 交于点F ，
可得平面
1
BED F 平面
1
1
AA B B
BF
，平面
1
BED F 平面
1
1
1
CC D D
D E
，
又平面
1
1 //
AA B B
平面
1
1
CC D D ，则
1
//
BF D E ；
又平面
1
BED F 平面
1
1
BCC B
BE
，平面
1
BED F 平面
1
1
1
ADD A
D F
，
又平面
1
1//
BCC B
平面
1
1
ADD A ，则
1
//
BE D F ，
又
1
//
BF D E ，四边形
1
BED F 是平行四边形.判断正确；
③由②可得，截面四边形
1
BED F 是平行四边形.
当
1
BE
ED
的值最小时，四边形
1
BED F 的周长取得最小值.
将侧面
1
1
BB C C 与侧面
1
1
CC D D 展开在同一平面，
当且仅当E 为直线
1
BD 与
1
CC 交点时
1
BE
ED
的值最小，
则当截面四边形
1
BED F 的周长取得最小值时，满足条件的点E 仅有1 个.判断错误；
④直线
1
D E 与直线DC 交于点P ，直线
1
D F 与直线DA 交于点Q ，
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则P 、B 、Q 三点均为平面
1
BED F 与平面ABCD的公共点，
由平面
1
BED F 与平面ABCD有且仅有一条交线可得P 、B 、Q 三点共线. 判断正确.
故选：C
6．（多选）如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点P 在线段
1
BC 上运动，则下列判断中正确的
是（
）
A．
1
/ /
A P
平面
1
ACD
B．三棱锥
1
C
APD
的体积不变
C．以D 为球心，5 为半径的球面与侧面
1
1
BB C C 的交线长为π
D．异面直线
1A P 与
1
AD 所成的角的范围是π π
,
3 2
【答案】ABD
【分析】通过证明平面
1
1//
A BC
平面
1
ACD ，即可得出A 项；
根据
1
/ /
A P
平面
1
ACD ，可推出
1
1
1
P ACD
A
ACD
V
V
，求出
1
1
4
3
C AA D
V
即可得出B 项；
由已知可得交线即以C 为顶点，1 为半径的圆与侧面
1
1
BB C C 的交线，取BC 、
1
CC 中点为E 、F ，求出扇
形的弧长即可得出结果，判断C 项；
由
1
1
//
BC
AD ，可知异面直线
1A P 与
1
AD 所成的角即等于直线
1A P 与
1
BC 所成的角
1A PB
或其补角
1
1
A PC
.
根据图象，即可得出点P 为
1
BC 中点以及线段
1
BC 端点时，角最大或最小，即可求出结果.
【详解】
对于A 项，如图，连结
1
1
1
,
A B AC .根据正方体的性质可知，
1
1
//
AA CC 且
1
1
AA
CC
，所以四边形
1
1
AC CA 是平
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行四边形，所以
1
1
//
AC AC ，又
1
1
AC 平面
1
ACD ，AC 平面
1
ACD ，所以
1
1//
AC
平面
1
ACD .同理可得
1
1
//
BC
AD ，
1//
BC
平面
1
ACD .因为
1
1
AC 平面
1
1
A BC ，
1
BC 平面
1
1
A BC ，
1
1
1
1
AC
BC
C
Ç
=
，所以平面
1
1//
A BC
平面
1
ACD .
又
1A P 平面
1
1
A BC ，所以
1
/ /
A P
平面
1
ACD ，故A 项正确；
对于B 项，由A 知
1
/ /
A P
平面
1
ACD ，所以点
1A 到平面
1
ACD 的距离即等于点P 到平面
1
ACD 的距离，所以
1
1
1
P ACD
A
ACD
V
V
.由正方体的性质可得，CD 平面
1
1
AA D ，所以
1
1
1
1
1
1
1
4
3
2
3
C
AA D
V
A A
A D
CD
，又
1
1
1
1
4
3
A
ACD
C AA D
V
V
，所以
1
4
3
P ACD
V
是个定值，故B 项正确；
对于C 项，由已知可得，点D 到侧面
1
1
BB C C 的距离等于
2
CD
.设球被侧面
1
1
BB C C 截得圆的半径为r ，球
的半径
5
R
，则
2
2
1
r
R
CD
.所以以D 为顶点，5 为半径的球面与侧面
1
1
BB C C 的交线即以C 为
顶点，1 为半径的圆与侧面
1
1
BB C C 的交线，分别取BC 、
1
CC 中点为E 、F ，则有
1
CE
CF
r
，所以
交线即
ECF
所对的圆弧l 的长，
π
2
ECF
，所以
π
π
2
2
l
r
，故C 项不正确；
对于D 项，如图，由已知可得
1
1
1
1
2 2
A B
BC
AC
，所以
1
π
3
A BP
.又
1
1
//
BC
AD ，所以异面直线
1A P 与
1
AD 所成的角即等于直线
1A P 与
1
BC 所成的角
1A PB
或其补角
1
1
A PC
.显然当点P 为
1
BC 中点时，
1
1
1
π
2
A PB
A PC
，此时最大；当点P 在B 点时，
1
1
π
3
A PC
，当点P 在
1
C 点时，
1
π
3
A PB
，此时
最小.所以异面直线
1A P 与
1
AD 所成的角的范围是π π
,
3 2
，故D 项正确.
故选：ABD.
7.点P 是
ABCD
Y
所在平面外一点，M 是PC 中点，在DM 上任取点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于
GH ．证明：AP
GH
∥
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结AC ，交BD 于点O，连结OM .
因为四边形ABCD为平行四边形，所以O是AC 的中点.
又M 是PC 中点，所以
//
OM AP.
因为OM 平面BDM ，AP 平面BDM ，
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所以
//
AP
平面BDM .
又平面GAP I 平面BDM
GH
，AP 平面GAP ，
所以AP
GH
∥
．
8.如图，在四棱锥P-ABCD 中，M 是PA 上的点，
ABD
△
为正三角形，CB
CD
，PA
BD
．若
120
BCD
，
/ /
DM
平面BPC，求证：点M 为线段PA 的中点．
【答案】证明见解析
【解析】取AB 的中点N，连结MN 和DN，
因为
120
BCD
，且BC
DC
，所以
30
CBD
，
又
ABD
△
为正三角形，所以
90
ABC
，
即AB
BC
，
∵
ABD
△
为正三角形，N 是AB 的中点，
∴DN
AB
，
又DN，BC，AB 共面，∴
/ /
DN
CB ．
∵DN 平面BPC，CB 平面BPC，
∴
/ /
DN
平面BPC．
∵
/ /
DM
平面BPC，DN，DM 平面DMN，
∴平面
/ /
DMN
平面BPC．
∵MN 平面DMN，∴
/ /
MN
平面BPC．
∵MN 平面PAB，平面PAB 平面BPC=PB，
∴
/ /
MN
PB ．
∵N 是AB 的中点，∴M 为线段PA 的中点．
9.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M 为AB 的中点，求证：BC1 // 平面MA1C．
【答案】证明见解析
【解析】连接AC1交A1C 于点O，连接MO，
∵O 为AC1中点，M 为AB 中点，
∴MO 为△AC1B 的中位线，∴MO // BC1，
又∵MO平面MCA1，BC1平面MA1C，
∴BC1 // 平面MA1C．
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10.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，BC∥AD，E 为侧棱PD 的中点，且BC=2，AD=4，求证:CE
∥平面PAB．
【答案】见解析
【解析】证明：取AD 的中点O，连接OC，OE，如图.
因为E 为侧棱PD 的中点，
所以OE∥PA，OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以OE∥平面PAB.
因为BC=2，AD=4，AO=
1
2 AD=2，即AO=BC，且BC∥AD，
所以四边形ABCO 为平行四边形，所以OC∥AB.
又OC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以OC∥平面PAB.
因为OC∩OE=O，OC⊂平面OCE，OE⊂平面OCE，
所以平面OCE∥平面PAB，
因为CE⊂平面OCE，
所以CE∥平面PAB.
11.正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面正三角形的边长为2 ，D 为BC 的中点，
1
3
AA
.证明：1
/ /
A B
平面
1
ADC .
【答案】证明见解析
【解析】连接
1AC ，设
1
1
AC
AC
E
，连接
.
DE
∵
1
1
ACC A 是正三棱柱的侧面，
∴
1
1
ACC A 为矩形，
∴E 是
1AC 的中点，
∴DE 是
1
CA B
的中位线，
∴
1
/ /
DE
A B ，
又
1
A B
平面
1
ADC ，DE 平面
1
ADC ，
∴
1
/ /
A B
平面
1
ADC .
12.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
1
4
AA
，E
F
、
分别为AB ，1AC
的中点. 证明:
//
EF
平面
1
1
AA D D；
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【答案】证明见解析
【解析】设
1
1
A D
AD
G
，连接GF ，
由于
,
G F 分别是
1
1
,
A D AC 的中点，所以
1
//
,
2
GF AB GF
AB
，
由于
1
2
AE
AB
，
所以
//
,
GF AE GF
AE
，所以四边形AEFG 是平行四边形，
所以
//
EF AG ，
由于EF 平面
1
1
AA D D，AG 平面
1
1
AA D D，
所以
//
EF
平面
1
1
AA D D.
13.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
,
D D 分别为棱
1
1
,
AC AC 的中点.求证：平面
1
1
AB D / / 平面
1
BC D.
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接
1B C 交
1
BC 于点E ，连接DE .
由三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的性质可知
四边形
1
1
1
1
BCC B ACC A
,
均为平行四边形，
E
为
1B C 的中点.
D
为AC 的中点，
DE
为
1
AB C
V
的中位线，
1
/ /
DE
AB
.
又
DE
平面
1
1
,
BC D AB 平面
1 ,
BC D
1
AB
/ / 平面
1
BC D.
在平行四边形
1
1
ACC A 中，
1
,
D D 分别为棱
1
1
,
AC AC 的中点，
则四边形
1
1
ADC D 为平行四边形，
1
1
//
AD
DC
.
又
1
DC
平面
1
1
,
BC D AD 平面
1 ,
BC D
1
AD / / 平面
1
BC D.
1
1
AB
AD
A
，
1
1
,
AB AD 平面
1
1
AB D ，
平面
1
1
AB D / / 平面
1
BC D.
14.如图：已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为BC 边上一点，
1
D 为
1
1
B C 中点，且
1A B ∥平面
1
ADC ．证明：平
面
1
1//
A BD
平面
1
ADC ．
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【答案】证明见解析
【解析】连接
1AC 与
1
AC 交于点O，连接OD ，
∵
1 //
A B
平面
1
ADC ，
1A B 平面
1A BC ，平面
1A BC 平面
1
ADC
OD
，
∴
1 //
A B OD ，又O为
1
AC 中点，∴D 为BC 中点，
∵
1
1
//
BD C D ，且
1
1
BD
C D
，
∴四边形
1
1
C D BD 为平行四边形，∴
1
1
//
C D BD ．
又
1
BD 平面
1
ADC ，
1
C D 平面
1
ADC ，∴
1//
BD
平面
1
ADC ．
又
1 //
A B
平面
1
ADC ,
1
1
A B
BD
B
，
1
1
,
A B BD 平面
1
1,
A BD
所以平面
1
1//
A BD
平面
1
ADC ．
15.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 为
1
BB 中点，
1
1
B C 与平面
1
AD E 交于点F ．
（1）求证：
1 / /
BC
面
1
AD E ；
（2）求证：F 为
1
1
B C 的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为AB 与
1
1
C D 平行且相等，所以
1
1
ABC D 是平行四边形，所以
1
1
/ /
AD
BC ，
又
1
AD 平面
1
AD E ，
1
BC 平面
1
AD E ，
所以
1 / /
BC
平面
1
AD E ；
（2）由（1）
1 / /
BC
平面
1
AD E ，
1
BC 平面
1
1
BCC B ，平面
1
AD E 平面
1
1
BCC B
EF
，
所以
1 / /
BC
EF ，又E 是
1
BB 中点，
所以F 是
1
1
B C 中点．
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16.如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，N，M，Q 分别为PB，PD，PC 的中点．
（1）求证：QN∥平面PAD；
（2）记平面CMN 与底面ABCD 的交线为l，试判断直线l 与平面PBD 的位置关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）l∥平面PBD，证明见解析
【解析】（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，N，M，Q 分别为PB，PD，PC 的中点．
∴QN∥BC，BC∥AD，∴QN∥AD，
∵QN平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴QN∥平面PAD；
（2）直线l 与平面PBD 平行，证明如下：
∵M，N 分别为PD，PB 的中点，
∴MN∥BD，
∵BD⊂平面ABCD，MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD，
∵平面CMN 与底面ABCD 的交线为l，
∴由线面平行的性质得MN∥l，
∵MN∥BD，∴BD∥l，
∵
,
C
l C
PBD
面
，且BD⊂平面PBD，l 平面PBD，
∴l∥平面PBD．
17.如图，某组合体是由正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
与正四棱锥
1
1
1
1
P
A B C D
组成，且
1
3
2
PA
AB
．
（1）若该组合体的表面积为
36 5
2
，求其体积；
（2）证明：
1A B∥平面
1
D AC
【答案】（1）252 ；（2）证明见解析
【解析】（1）连接
1
1
AC 、
1
1
B D 交于点O，连接PO，由正棱锥的性质可知PO 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，
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设
2
AB
a
，则
1
3
PA
a
，
1
1
1
1
2
2
AO
AC
a
，
2
2
1
1
PO
PA
AO
a
，
取
1
1
B C 的中点E ，连接PE ，则
1
1
PE
B C
，且
2
2
1
1
2
PE
PB
B E
a
，
所以，几何体的表面积为
2
2
1
5 4
4
2
2
20
4 2
36 5
2
2
a
a
a
a
，
可得
3
a
，
所以，该几何体的体积为
3
2
3
1
4
2
4
8 27
3
252
3
3
a
a
a
.
（2）证明：因为
1
1
/ /
BC
A D ，且
1
1
BC
A D
，
所以四边形
1
1
A BCD 是平行四边形，
则
1
1
/ /
A B
D C ，
1A B 平面
1
D AC ，
1
D C 平面
1
D AC ，
所以
1
/ /
A B
平面
1
D AC
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，N，M，Q 分别为PB，PD，PC 的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN 与底面ABCD 的交线为l，试判断直线l 与平面PBD 的位置关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)l∥平面PBD，证明见解析
【分析】（1）推导出QN∥AD，由此能证明QN∥平面PAD；
（2）连接BD，则MN∥BD，从而MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥l，从而BD∥l，由此
能证明l∥平面PBD．
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【详解】（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，N，M，Q 分别为PB，PD，PC 的中点．
∴QN∥BC，BC∥AD，∴QN∥AD，
∵QN 平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴QN∥平面PAD；
（2）直线l 与平面PBD 平行，证明如下：
连接BD，∵M，N 分别为PB，PD 的中点，
∴MN∥BD，
∵BD⊂平面ABCD，MN 平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD，
∵平面CMN 与底面ABCD 的交线为l，
∴由线面平行的性质得MN∥l，
∵MN∥BD，∴BD∥l，
∵
,
C
l C
BD
，且BD⊂平面PBD，l 平面PBD，
∴l∥平面PBD．
19．如图所求，四棱锥P
ABCD
，底面ABCD为平行四边形，F 为PA 的中点，E 为PB 中点.
(1)求证：PC 平面BFD ；
(2)已知M 点在PD 上满足EC 平面BFM ，求PM
MD 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
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【分析】（1）连结AC 交BD 于O，连结OF ，通过证明PC OF，可证PC 平面BFD ；
（2）如图连结FM 交AD 延长线于G ，连结BG 交CD 于N ，连结EF ，FN ，PG ，EN.
由EC 平面BFM ，可得N 为CD 中点，后通过证明EN FD BG，可得FMD
GMP
，继而可得答案.
【详解】（1）证明：连结AC 交BD 于O，连结OF ，
因在
PAC
△
中，F 为PA 中点，O为AC 中点，则PC FO .
又PC 平面BFD ，FO 平面BFD ，故PC 平面BFD ；
（2）如图连结FM 交AD 延长线于G ，连结BG 交CD 于N ，
连结EF ，FN ，PG ，EN.
因EF
CN
∥
，则
,
,
,
E F N C 四点共面.
又EC 平面BFM ，平面BFM 平面EFNC
FN
，
则
∥
EC
FN ，四边形EFNC 为平行四边形，可得
1
2
EF
CN
CD
N
为CD 中点.
则
,
BCN
GDN N
为BG 中点.
即EN 为
PBG
△
中位线，则EN PG，
1
2
EN
PG
.
又
,
EF
DN EF
DN，则四边形EFDN 为平行四边形，EN FD.
从而FD PG，
2
PM
PG
PG
FMD
GMP
MD
FD
EN
.
20.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为平行四边形，E 为棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点
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F．
（1）求证：
/ /
PA
平面BDE ；
（2）求证：F 为PD 的中点；
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】（1）证明：如图所示：
连接AC 交BD 于点G，连接GE，
因为ABCD 为平行四边形，
所以G 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，
所以
/ /
GE
PA，又PA 平面BDE，GE Ì平面BDE，
所以
/ /
PA
平面BDE ；
（2）因为底面ABCD为平行四边形，
所以
/ /
AB
CD ，
又AB 平面ABEF，CD 平面ABEF，
所以
/ /
CD
平面ABEF，又平面ABEF 平面PDC
EF
，
所以
/ /
CD
EF ，
又因为E 为PC 的中点，
所以F 为PD 的中点.
21.如图：在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中
2
AB
，M 为
1
DD 的中点.
（1）求三棱锥M
ABC
的体积；
（2）求证：
1 / /
BD
平面AMC ；
（3）若N 为
1
CC 的中点，求证：平面
/ /
AMC
平面
1
BND .
【答案】（1）2
3 ；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）显然MD 平面ABC ，于是
1
1
1
2
1
2 2
3
3
2
3
M
ABC
ABC
V
MD
S
.
（2）设AC
BD
O
，连接OM ，
在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，四边形ABCD是正方形，
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O
是BD中点，
M
是
1
DD 的中点，
1
OM
BD
∥
，
1
BD
平面
,
AMC OM 平面
,
AMC
1
BD
平面AMC ；
（3）
N
Q
为
1
CC 的中点，M 为
1
DD 的中点，
1
1
,
CN
D M
CN
D M
∥
，
四边形
1
CND M 为平行四边形，
1
D N
CM
∥
，
又
MC
平面
1
,
AMC
D N
平面
1
,
AMC
D N
平面AMC ，
由（2）知
1
BD 平面
1
1
1
1
,
,
AMC
BD
D N
D BD
平面
1
1
,
BND D N 平面
1
BND ，
平面AMC 平面
1
BND .
22.如图，在棱长为a 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q 分别是被DD1，AB 的中点．
（1）若平面PQC 与直线
1
AA 交于R 点，求
1
AR
A R 的值；
（2）若M 为棱
1
CC 上一点且
1
CM
CC
＝
，若
//
BM
平面PQC ，求的值．
【答案】（1）1
3 ；（2）1
4
【解析】（1）如图所示：
因为平面
1
1//
ABB A
平面
1
1
CDD C ，且平面
1
1
ABB A 平面
=
PQC RQ ，
平面
1
1
CDD C 平面
=
PQC PC ，
所以
//
RQ PC ，根据空间等角定理可知，
ARQ
DPC
V
:V
，
则AR
AQ
DP
DC
，
又DC
a
，
1
2
DP
a
，
1
2
AQ
a
，
则
1
2
1
2
a
AR
a
a
，即
1
4
AR
a
，
1
3
4
A R
a
，所以
1
1
3
AR
A R
.
（2）取AA1的中点E，则R 为AE 的中点，连接BE，则
//
BE RQ ，
又RQ 平面PCQ ，BE 平面PCQ ，则
//
BE
平面PCQ ．
又
//
BM
平面PCQ ，
,
BM BE 平面BME 且BM
BE
B
，所以平面
//
BME
平面PCQ ，
设
1
DD 平面BME
F
，连接
,
EF FM ，
由平面
//
BME
平面PCQ ，平面BME 平面
1
1
CDD C
FM
＝
，平面PCQ 平面
1
1
CDDC
PC
＝
，
所以
//
FM
PC ，又
//
CM PF ，则四边形CPFM 为平行四边形，
同理四边形PREF 也是平四边形，
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所以
1
4 a
CM
PF
ER
，所以
1
1
1
4
4
a
CM
CC
a
．
23.已知点P 为正方形ABCD所在平面外一点，
13
PA
PB
PC
PD
AB
，M 、N 分别为PA 、BD 上
的点，且
5
8
PM
BN
MA
ND
.
（1）求证：
//
MN
平面PBC ；
（2）求线段MN 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
7
MN
【解析】（1）证明：过M 作AB 的平行线交PB于E ，过N 作CD 的平行线交BC 于F ，连接EF ，
因为
:
:
5:8
PM MA
BN ND
，所以，
:
:
5:13
ME AB
NF CD
，
因为四边形ABCD是正方形，则AB
CD
，所以，ME
NF
，
因为
//
ME AB ，
//
NF CD ，
//
AB CD ，所以，
//
ME NF ，
所以，四边形MEFN 是平行四边形，则
//
MN EF ，
因为MN 平面PBC ，EF 平面PBC ，所以，
//
MN
平面PBC .
（2）过E 作PC 的平行线交BC 于G ，
因为
:
:
5:8
PM MA
BN ND
，
13
PB
BC
，且
//
ME AB ，
//
NF CD ，
所以，
5
13
PE
PM
PB
PA
，则
5
PE
，同理可得
5
BF
，
因为
//
EG PC ，所以，
5
13
CG
PE
BC
PB
，则
5
CG ，
所以，
13
5
8
BG
BC
CG
，则
3
FG
BG
BF
，
由
8
13
EG
BG
PC
BC
且
13
PC
可得
8
EG
，
因为
13
PB
PC
BC
，则PBC
为等边三角形，则
60
EGF
PCB
，
由余弦定理得
2
2
2
2
2
1
2
cos
8
3
2 8 3
49
2
EF
EG
FG
EG FG
EGF
，
所以，
7
EF
，故
7
MN
EF
.
24.在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，FB 平面ABCD.
（1）求证：AE ∥平面BFC ；
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（2）若
1
AD
DE
，
2
AB
，
3
DB
，求三棱锥F
AEC
的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
3
3
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD
BC
∥
，
∵四边形BDEF 是矩形，∴DE
BF
∥
，
BC Ö平面BCF ，AD 平面BCF ，∴
/ /
BC
平面BCF ，同理
/ /
DE
平面BCF ，
∵AD Ü 平面ADE ，DE Ü平面ADE ，AD
DE
D
，
∴平面ADE∥平面BCF ，
∵AE Ü平面ADE ，∴AE ∥平面BCF
（2）设AC
BD
O
，则O为AC 中点，连结OE ，OF ，
则
2
2
F
AEC
C AEF
O AEF
A OEF
V
V
V
V
，
在
ABD
△
中，
1
AD ，
2
AB
，
3
BD
，易知
2
2
2
AB
AD
BD
，∴AD
BD
，
∵FB 平面ABCD，FB
ED
，∴ED 平面ABCD，
又AD Ü 平面ABCD，∴ED
AD
，又BD
DE
D
，
,
BD DE Ü平面BDEF ，
∴AD 平面BDEF ，
故AD 为A 到平面BDEF 的距离，
1
2
OEF
BDEF
S
S
△
1
1
3
1
3
2
2
3
BD
DE
，
∴
1
1
3
3
1
3
3
2
6
A OEF
OEF
V
S
AD
△
，
∴三棱锥F
AEC
的体积
3
3
2
2
6
3
F
AEC
A OEF
V
V
.
25.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，S是
1
1
B D 的中点，
,
,
E F G 分别是
,
,
BC DC SC 的中点，求证：
（1）
/ /
EG
平面
1
1
BDD B ；
（2）平面
/ /
EFG
平面
1
1
BDD B .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）如图，连接SB ，∵
,
E G 分别是
,
BC SC 的中点，
∴
/ /
EG
SB .
又∵SB 平面
1
1
BDD B ，EG 平面
1
1
BDD B ，
∴直线
/ /
EG
平面
1
1
BDD B .
（2）连接SD，∵
,
F G 分别是
,
DC SC 的中点，
∴
/ /
FG
SD .又∵SD 平面
1
1
BDD B ，FG 平面
1
1
BDD B ，
∴
/ /
FG
平面
1
1
BDD B ，由（1）知，
/ /
EG
平面
1
1
BDD B ，
且EG 平面EFG ，FG 平面EFG ，EG
FG
G
，
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∴平面EFG ∥平面
1
1
BDD B .
26.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M 是线段B1D1上的一个动点，E，F 分别是BC，CM 的中点．
（1）求证：EF∥平面BDD1B1；
（2）设G 为棱CD 上的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，
因E，F 分别是BC，CM 的中点，
则有EF∥BM，
又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1．
（2）证明：取CD 的中点G，连接EG，FG，如图，
而E 是BC 的中点，
于是得EG∥BD，
而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，
从而得EG∥平面BDD1B1，
由（1）知EF∥平面BDD1B1，
EFEG＝E，且EF、EG平面GEF，
因此，平面GEF∥平面BDD1B1，
所以当G 是DC 的中点时，平面GEF∥平面BDD1B1．
27.如图，已知在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是平行四边形，M 为PC 的中点，在DM 上任取一点G ，
过G 和AP 作平面PAHG 交平面DMB 于GH .
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（1）求证：
//
BC
平面PAD ；
（2）求证：
//
AP 平面BDM ；
（3）求证：
//
AP GH .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）证明：因为四边形ABCD为平行四边形，则
//
BC AD ，
BC
平面PAD ，AD 平面PAD ，因此，
//
BC
平面PAD .
（2）证明：连接AC 交BD于点N ，连接MN ，
因为四边形ABCD为平行四边形，AC
BD
N
，
则N 为AC 的中点，
又因为M 为PC 的中点，则
//
PA MN ，
AP
平面BDM ，MN 平面BDM ，
//
AP
平面BDM .
（3）证明：
//
AP
平面BDM ，AP 平面APGH ，平面APGH 平
面BDM
GH
，
//
AP GH
.
28.如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'，E，F 分别为AD，AB 的中点，点G 在上底面A'B'C'D'（含边界）
上运动．请补充一个恰当条件，当点G 满足__条件时，有BC′∥平面EFG．
【答案】G 在B'C'中点与C'D'中点连线上．
【解析】取BB'，B'C'，C'D'，DD'的中点分别为Q，M，N，P，
连接BD，B'D'，FQ，QM，MN，NP，PE，PQ
因为E，F 分别为AD，AB 的中点，所以EF∥BD．
同理可得MN∥B'D'，
因为BB'∥DD'，BB'＝DD'，所以四边形BB'D'D 是平行四边形，可得B'D'∥BD．
所以EF∥MN，所以
,
,
,
E F M N 共面，同理可证明PE∥QM，即P，E，Q，M 共面.
因为BB'，DD'的中点分别为Q，P，所以B'D'∥PQ，所以EF∥PQ
所以E，F，Q，P 共面，所以E，F，Q，M，N，P 共面，
因为BC'∥QM，BC'⊄平面EFQMNP，QM⊂面EFQMNP，
所以BC'∥平面EFQMNP，
若BC'∥平面EFG，则点G 在平面EFQMNP 内，
又因为点G 在上底面A'B'C'D'（含边界），
所以点G 在面EFQMNP 与面A'B'C'D'的交线上，
所以点G 在线段MN 上，即点G 在B'C'中点与C'D'中点连线上
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题型二：空间中的垂直及证明
1．如图所示，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
1
2,
1
AA
A B
AD
，O 是
1
1
B D 的中点，直线
1AC 交平面
1
1
AB D
于点M，则下列结论错误的是（
）
A．A，M，O 三点共线
B．
1A M 的长度为1
C．直线AO 与平面
1
1
BCC B 所成角的正切值为
5
4
D．
1A MO
△
的面积为
5
6
【答案】C
【分析】利用公理3 证明三点共线即可判断A，利用长方体的性质以及中位线定理，可判断B，利用线面
角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可判断C，利用三角形面积转化求解，可判断
D.
【详解】
对于A，连结
1
1,
AC AC ，则
1
1
AC
AC
，
1
1
,
,
,
A C A C
四点共面，
1AC
平面
1
1
ACC A ，
1
M
AC
，
M
平面
1
1
ACC A ，
又M 平面
1
1
AB D ，
M
在平面
1
1
ACC A 与平面
1
1
AB D 的交线上，
同理
,
A O 也在平面
1
1
ACC A 与平面
1
1
AB D 的交线上.
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,
,
A M O
三点共线，故A 正确：
对于B，设直线
1AC 与平面
1
BC D的交点为N ，
1
1
AD
BC
Q
∥
，
1
BC 平面
1
C BD ，
1
AD 平面
1
C BD ，
1
AD 平面
1
C BD ，
1
1
B D
BD
，BD 平面
1
C BD ，
1
1
B D 平面
1
C BD ，
1
1
B D 平面
1
C BD ，
又
1
1
1
1
AD
B D
D
，
1
AD 平面
1
1
AB D ，
1
1
B D 平面
1
1
AB D ，
平面
1
1
AB D 平面
1
C BD ，
又平面
1
1
AB D 平面
1
1
ACC A
OM
，平面
1
C BD平面
1
1
ACC A
1
C N
=
，
1
OM
C N
∥
，
O为
1
1
AC 中点，M 为
1A N 中点，同理可得N 为CM 的中点，
1
1
1
1
3
A M
AC
，故B 正确；
对于C，取
1
1
A D 中点E ，连接
,
AE OE ，
1
1
OE C D
，
OE
平面
1
1
ADD A ，
则
OAE
即为直线AO 与平面
1
1
ADD A 所成角，又平面
1
1
ADD A 平面
1
1
BCC B ，
故
OAE
即为直线AO 与平面
1
1
BCC B 所成角，
又
2
2
1
1
1
17
1,
2
2
OE
AB
AE
A E
AA
，
2 17
tan
17
OE
OAE
AE
，故C 错误；
对于D，
1
1
1
1
1
1
1
,
2
3
AO
AC A M
AC
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin
1
1
1
2
1
3
2
6
sin
2
A OM
A CC
A M
AO
MAO
S
S
AC
AC
CAC
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
5
2
6
6
2
6
2
6
A OM
A CC
S
S
AC
CC
，故D 正确.
故选：C
2.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，E，F 分别为AB，BC 的中点，则（
）
A．
1
1
AC
B D
B．
1
1
A F
AB
C．
1
BD 平面
1B EF
D．
1
/ /
D F
平面
1A DE
【答案】AB
【分析】根据正方体的性质，利用线线平行判断A，由线面垂直判断B，根据垂线性质判断C，由线线平
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行及线面相交判断D.
【详解】正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，如图，
由图知，
1
1//
B D
BD，而AC
BD
，所以
1
1
AC
B D
，故A 正确；
因为FB 平面
1
1
A ABB ，
1
AB 平面
1
1
A ABB ，则FB
1
AB ，
又
1
1
A B
AB
，
1A B
BF
B
I
，
1 ,
A B BF 平面
1A BF ，所以
1
AB 平面
1A BF ，
又
1A F 平面
1A BF ，所以
1
1
A F
AB
，故B 正确；
因为
1
1
D A 面
1
1
A ABB ，
1
AB 面
1
1
A ABB ，可得
1
1
1
D A
AB
，
又
1
1
BA
AB
，
1
1
1
1
D A
A B
A
，
1
1
1
,
D A A B 面
1
1
D A B ，
所以
1
AB 面
1
1
D A B，又
1
BD 面
1
1
D A B，则
1
1
AB
BD ，
若
1
BD 平面
1B EF ，由
1B E 平面
1B EF ，可得
1
1
BD
B E
，
由
1
1
1
=
AB
B E B
，
1
1
,
AB B E 面
1
1
A ABB ，可得
1
BD 面
1
1
A ABB ，
又
1
1
D A 面
1
1
A ABB ，所以
1 / /
BD
1
1
D A ，显然有矛盾，
所以
1
BD 平面
1B EF 不正确，故C 错误；
延长CB ，使FK
CB
，连接
1
KA ，
因为
1
1
1
1
//
,
=
A D
BC A D
BC，所以
1
1
1
1
//
,
=
A D
FK A D
FK ，
所以四边形
1
1
A D FK 为平行四边形，故
1
1
//
D F A K ，
而
1A K 平面
1
1
A DE
A
，故
1
D F 与平面
1A DE 不平行，故D 错误.
故选：AB
3.如图，在三棱锥A
BCD
中，
90
BCD
，AB
AC
AD
．
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（1）证明：平面ABD 平面BCD；
（2）设
2
BC
CD
，E 为AC 的中点，
90
BED
，求点B 到平面ACD 的距离．
【答案】（1）见解析；（2）2 42
7
【解析】（1）如图,取BD 的中点F ,连接
,
,
AF CF EF ，
90 ,
,
BCD
BF
DF
BF
CF
.
又
,
AB
AC AF
为公共边，
ABF
ACF
，
AFB
AFC
.
同理可得
AFC
AFD
，
AFB
AFD
，
180
AFB
AFD
，
90
AFB
AFC
AFD
，
,
AF
BD AF
CF
，
又
BD
CF
F
，
,
BD CF 平面BCD，
AF
平面BCD,
AF
平面
,
ABD 平面ABD 平面BCD.
（2）在
BDE
△
中,
90 ,
BED
F
为BD 的中点，
1
2
EF
BD
，
2,
90 ,
2 2,
2.
BC
CD
BCD
BD
EF
在
ACF
△
中,
90 ,
AFC
E
为AC 的中点，
2
2 2.
AC
EF
在Rt
ACF
△
中,
2 2,
2
AC
CF
,则
6
AF
,
AF
平面BCD，
AF
为三棱锥A
BCD
的高，
三棱锥A
BCD
的体积
1
1
2 6
2
6
3
3
3
A BCD
BCD
V
S
AF
.
由
2 2,
2
AC
AD
CD
,
可得ACD
的面积
7
ACD
S
.
设点B 到平面ACD的距离为d ,
由
B ACD
A BCD
V
V
,得1
2 6
3
3
ACD
S
d
,解得
2 42
7
d
,
故点B 到平面ACD的距离为2 42
7
.
4.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是直角梯形，
90
ABC
，
//
AB
CD ，PA 平面ABCD，
2
AB
，
1
PA
AD
DC
.证明：BC 平面PAC；
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【答案】证明见解析
【解析】底面ABCD为直角梯形，
90
ABC
，
//
AB
CD ，
故可得
90
BAD
CDA
，
又
2,
1
AB
AD
DC
，则
2
2
2
AC
AD
DC
，易知
2
BC
，
故
2
2
2
AC
BC
AB
，则BC
AC
；
又PA 平面
,
ABCD BC 平面ABCD，故BC
PA
；
又
,
AC PA面
,
PAC AC
PA
A
，
故BC 面PAC .
5.（多选）如图：在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面为正三角形，且
1
1
45 ,
1
A AB
A AC
AB
，则下列
说法正确的是（
）
A．直线
1A A与底面
1
1
1
A B C 所成角的余弦值为
6
3
B．设BC 中点为P ，则线段
1
PA 的长度的最小值为1
2
C．平面
1
1
A B BA与平面
1
1
BCC B 夹角的余弦值为
2
2
D．直线
1A A与平面
1
1
C AB 所成角的余弦值的最大值为
3
2
【答案】ABC
【分析】设
1AO 平面ABC ，过O作
,
OE
AC OF
AB
,利用线面垂直的判定定理及线面角的定义可得
1A AO
为所求，结合条件可判断A，由题可得
1
1
PA
AA
时
1
PA 最短进而判断B，过点B 作
1
BK
AA
，进
而可得
KBC
为所求的夹角结合条件即求可判断C，找出直线
1A A与平面
1
1
C AB 所成角结合条件即得.
【详解】对于A，设
1AO 平面ABC 于O，过O作
,
OE
AC OF
AB
分别交
,
AC AB 于
,
E F ，连接
1
1
,
A E A F ，
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因为AC 平面ABC ，
所以
1AO AC ，又
1
1
1
1
1
,
,
A E
AO
A A E AO
平面
1A EO ，
故AC 平面
1A EO ，又
1A E 平面
1A EO ，
所以AC
1A E ，同理AB
1A F ，又
1
1
45
A AE
A AF
，
所以
1
1
Rt
Rt
A AE
A AF
≌
，故
1
1
,
AE
AF A E
A F
，可得
1
1
Rt
Rt
AOE
AOF
≌
，
所以OE
OF
，Rt
Rt
AOE
AOF
≌
，
30
EAO
FAO
，
由
1AO 平面ABC 可知
1A AO
为直线
1A A与底面
1
1
1
A B C 所成角，
设
1A A
a
，则
1
2
cos 45
2
AE
AF
A A
a
，
6
cos30
3
AE
AO
a
，所以
1
1
6
cos
3
AO
A AO
A A
，故A 正
确；
对于B，点P 到直线
1
AA 的最短距离为P 到直线
1
AA 的垂线，故当
1
1
PA
AA
时，有
1
PA 最短，连接AP ，因
为P 是BC 中点，由A 选项可知，
1
6
cos
3
A AP
，所以
1
3
sin
3
A AP
，
在正三角形ABC 中，由
1
AB ，可得
2
2
3
2
AP
AB
PB
，所以
1
1
3
3
1
sin
2
3
2
A P
AP
A AP
，
故B 正确；
对于C，过点B 作
1
BK
AA
，垂足为K ，连接
,
KP KC ( P 为BC 中点)，由
1AO 平面ABC 可知，
1AO
BC
，
而BC
AP
，
1
1
,
,
AO
AP
O AO AP
平面
1A AP ，所以BC 平面
1A AP ，
1
AA 平面
1A AP ，
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所以
1
AA
BC
，又
,
,
KB
BC
B KB BC
平面KBC ，
所以
1
AA 平面
1
,
BCK
BB
平面BCK ，
KBC
为所求平面
1
1
A B BA 与平面
1
1
BCC B 夹角，
因为
1
1
45 ,
1
A AB
A AC
AB
，所以Rt AKB
和Rt AKC
中，得到
2
2
KB
KC
，又因为KP
BC
，
所以
2
cos
2
A
BP
KBP
B
，C 正确；
对于D，设
1
1
C B 的中点为Q ，连
1
,
,
AQ AQ PQ，由上可知BC 平面
1A AP ，故
1
1
B C 平面
1A APQ ，
所以
1A AQ
为直线
1A A与平面
1
1
C AB 所成角，由题可知
1
3
2
QA
，
当
1A A越来越大时
1A AQ
越来越小趋近于0，故余弦值趋近于1 无最大值，故D 错误.
故选：ABC.
6.三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧棱与底面垂直，
90
ABC
，
1
2
AB
BC
BB
，M，N 分别是AB ，
1AC 的
中点．求证：MN 平面
1
1
A B C ；
【答案】证明见解析
【解析】证明：作
1
B C 的中点O，连接
,
OB ON ，
因为三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧棱与底面垂直，
所以
1
B B 平面
1
1
1
A B C ，
又因为
1
1
A B 平面
1
1
1
A B C ，
1
1
B C 平面
1
1
1
A B C ，
所以
1
1
1
B B
A B
，
1
1
1
B B
B C
，且
1
2
AB
BC
BB
，
所以四边形
1
1
B C CB 是正方形，所以
1
BO
B C
，
又因为
90
ABC
，所以
1
1
1
1
A B
B C
，
因为
1
1
1
1
B B
B C
B
且
1
1
1
,
B B B C 平面
1
1
B C CB ，
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所以
1
1
A B 平面
1
1
B C CB ，
由BO 平面
1
1
B C CB，所以
1
1
A B
BO
，
又由
1
1
1
1
A B
B C
B
，且
1
1
1
,
A B B C 平面
1
1
A B C ，
所以BO 平面
1
1
A B C ，
又因为
,
O N 分别是
1
1
,
B C AC 的中点，
所以
1
1
/ /
ON
A B ，且
1
1
1
2
ON
A B
=
，
由
1
1
/ /
BM
A B ，且
1
1
1
2
BM
A B
，
所以四边形ONMB 是平行四边形，所以
/ /
BO
MN ，
所以MN 平面
1
1
A B C .
7.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P
ABCD
中，
/ /
,
90 ,
AD
BC
ABC
PA
平面ABCD，
2
,
6
4,
,
2 3
AD
A
B
PA
B
C
．求证：BD 平面PAC .
【答案】证明见解析
【解析】因为PA 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD
PA
，
又因为
90
ABC
，且
/ /
AD
BC ，所以
,
AB
BC AB
AD
，
在直角
ABD
△
中，可得
3
tan
3
AD
ABD
AB
，
在直角中ABC
，可得tan
3
BC
BAC
AB
，
所以
30 ,
60
ABD
BAC
，
在ABE
中，可得
180
90
A
A
AEB
BD
B C
，
即BD
AC
，
又因为PA
AC
A
，且
,
PA AC 平面PAC ，
所以BD 平面PAC .
8.在平行四边形ABCD中，
6
AB
，
4
BC
，
60
BAD
，过点A 作CD 的垂线交CD 的延长线于点E ，
连接EB 交AD 于点F ，如图①；将
ADE
V
沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图②．证明：直线AD
平面BFP ；
【答案】证明见解析
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【解析】图①中，根据已知条件可得，
2
DE
，AE
2 3
，
4 3
BE
．
因为
,
DAB
ADE
DFE
AFB
，
所以
ABF
DEF
∽
△
△
，所以
1
3
DF
EF
DE
AF
BF
AB
．
所以
3
AF
，
3 3
BF
，
因为
2
2
2
AF
BF
AB
，所以AF
BF
，即BE
AD
．
在图②中，因为PF
AD
，BF
AD
，
PF
BF
F
，PF 平面BFP ，BF 平面BFP ，
所以AD 平面BFP ．
9．如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
4
PA
AB
，G 为PD 中
点，E 点在AB 上，平面PEC 平面PDC ．
(1)求证：AG 平面PCD；
(2)求证：AG∥平面PEC ；
(3)求直线AC 与平面PCD所成角．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)30
【分析】（1）欲证AG 平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AG 与平面PCD内两相交
直线垂直，根据
,
CD
AD CD
PA
，可证得CD 平面PAD ，从而CD
AG
，又PD
AG
满足线面垂直
的判定定理条件；
（2）欲证AG∥平面PEC ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AG 与平面PEC 内一直线平行即
可；
（3）连接CG ，构造直角三角形ACG ，可知
ACG
即为直线AC 与平面PCD所成角，解直角三角形，即
可求出
ACG
的大小；
【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，故CD⊥AD，
PA 平面ABCD，CD 平面ABCD,所以PA
CD
，
,
,
PA
AD
A PA AD
平面PAD ，故CD 平面PAD ，
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AG 平面PAD ，故CD⊥AG，
由
4
PA
AB
知PA
AD
，G 为PD 中点，故PD
AG
，
,
,
PD
CD
D PD CD
平面PCD，所以AG 平面PCD.
（2）证明：作EF
PC
于F，因为平面PEC 平面PCD, EF 平面PEC ，
平面PEC 平面PCD
PC
,故EF 平面PCD，
又由（1）知AG 平面PCD，
所以EF
AG
∥
，又AG 平面
,
PEC EF 平面PEC ，
∴AG∥平面PEC .
（3）连接CG ，由于AG 平面PCD，则
ACG
为所求的角．
在Rt ACG
中，
=90
AGC
，
由
4
PA
AB
，四边形ABCD为正方形, G 为PD 中点，
可得
2 2
AC
,
1
1
2
2
2
AG
PD
AC
，故
30
ACG
，
即直线AC 与平面PCD所成角为30.
10.如图，已知三棱锥S－ABC 中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.
【答案】证明见解析
【解析】作SH⊥AC 交AC 于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC.
在Rt
ABC
△
C 中，H 是AC 的中点，
1
,
2
BH
AC
AH
，
又SH＝SH，SA＝SB，
∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，
又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，
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∴SH⊥平面ABC，
又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.
11．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 是棱
1
DD 的中点．
(1)试判断直线
1
BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由；
(2)求证：直线
1
BD 平面
1
AB C
(3)若正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，求点B 到平面
1
AB C 的距离
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) 2 3
3
.
【分析】（1）连接BD 交AC 于点O，由三角形中位线性质可得
1
/ /
OE
BD ，由线面平行的判定可证得结论.
（2）由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得AC 平面
1
BDD ，再由线面垂直性质和判定推理作答.
（3）利用三棱锥
1
B
AB C
的体积求解作答.
【详解】（1）直线
1 / /
BD
平面AEC ，
在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，连接BD 交AC 于点O，连接OE ，如图1，
因为四边形ABCD为正方形，则O为BD 中点，又E 为
1
DD 中点，
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因此
1
/ /
OE
BD ，又OE 平面AEC ，
1
BD 平面AEC ，
所以
1 / /
BD
平面AEC .
（2）在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，连接
1
,
BD BC ，如图2 ，
因为四边形ABCD为正方形，则AC
BD
，而
1
DD 平面ABCD，AC 平面ABCD，
即有
1
DD
AC
，又
1
BD
DD
D
，
1
,
BD DD 平面
1
BDD ，则AC 平面
1
BDD ，
而
1
BD 平面
1
BDD ，因此
1
BD
AC
，同理
1
B C 平面
1
1
BC D ，又
1
BD 平面
1
1
BC D ，
即有
1
1
BD
B C
，因为
1
AC
B C
C
，
1
,
AC B C 平面
1
AB C ，
所以
1
BD 平面
1
AB C .
（3）在三棱锥
1
B
AB C
中，
1
1
2 2
AC
AB
CB
，
则
1
AB C
V
的面积
1
1
1
3
sin60
2 2
2 2
2 3
2
2
2
AB C
S
AC AB
，ABC
的面积
1
2
2
ABC
S
AB BC
△
，
设点B 到平面
1
AB C 的距离为h ，由
1
1
B AB C
B
ABC
V
V
得：
1
1
1
1
3
3
AB C
ABC
S
h
S
BB
，
于是
1
1
2 2
2 3
3
2 3
ABC
AB C
S
BB
h
S
，
所以点B 到平面
1
AB C 的距离为2 3
3
.
12.如图，四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为矩形，PA 底面ABCD，PA
AB
，点E 是PB 的中点.求证：
（1）BC 平面PAB；
（2）平面AEC 平面PBC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
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【解析】（1）∵底面ABCD 为矩形，∴BC
AB
.
∵PA 底面ABCD，BC 底面ABCD ∴PA
BC
.
又∵AB
PA
A
，
,
AB PA平面PAB，
∴BC 平面PAB.
（2）∵AE 平面PAB，BC 平面PAB，
∴BC
AE
.
∵PA
AB
，E 是PB 的中点，∴AE
PB
.
又∵PB
BC
B
，
,
PB BC 平面PBC，
∴
AE
平面PBC.
又∵AE 平面AEC，
∴平面AEC 平面PBC.
13.如图在四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD为平行四边形，AB
AC
，O为BC 的中点，且
2
AO
AC
AP
，PA 底面ABCD，M 为PC 的中点.
（1）证明：平面OAM 平面PCD；
（2）求四棱锥P
ABCD
的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）8 3
3
【解析】（1）证明：因为PA 底面ABCD，AB 底面ABCD，所以PA
AB
，
又AB
AC
，PA
AC
A
，PA 、AC 平面PAC ，∴AB 平面PAC ，
AM
平面PAC ，
AB
AM
；
又在平行四边形ABCD，AB
CD
，则AM
CD
，
∵在
PAC
△
中，AC
AP
，M 为PC 中点，∴AM
PC
，
∵CD
PC
C
，CD 、PC 平面PCD，
∴AM 平面PCD，
∵AM 平面OAM ，平面OAM 平面PCD.
（2）由题知，AB
AC
，
则在Rt
ABC
△
中，
2
AO
AC
，O是BC 中点，所以
2
4
BC
AO
，
即
2
2
2
2
4
2
2 3
AB
BC
AC
，
故平行四边形ABCD的面积
2 2 3
4 3
S
AB AC
；
又因为PA 平面ABCD，
2
AP
，
所以四棱锥P
ABCD
的体积
1
1
8 3
2
4 3
3
3
3
V
AP
S
.
14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，
又知BA1⊥AC1
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(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求二面角A﹣A1B﹣C 的余弦值的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
7
7
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判定定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及线面垂直的性质定理和判断定理，利用二面角的平面角的定义及余弦定理即可求
解.
【详解】（1）∠BCA＝90°得BC⊥AC，
因为A1D⊥底面ABC，BC 平面A1AC，
所以A1D⊥BC，
因为A1D∩AC＝D，A1D，AC平面A1AC，
所以BC⊥平面A1AC，
又
1
AC 平面A1AC，所以BC⊥AC1
因为BA1⊥AC1，BA1∩BC＝B，BA1,BC平面A1BC，
所以AC1⊥平面A1BC.
（2）设AC1∩A1C＝O，作OE⊥A1B 于E，连AE，如图所示
由（1）AC1⊥平面A1BC，
1A B 平面A1BC,所以AC1⊥A1B，
又OE⊥A1B，AC1∩OE＝O，AC1,OE平面AEO，所以A1B⊥平面AEO，
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又因为AE 平面AEO，所以A1B⊥AE，
所以∠AEO 为二面角A﹣A1B﹣C 的平面角，
因为AC1⊥平面A1BC，
1AC 平面A1BC，所以
1
1
AC
AC
，
又四边形
1
1
ACC A 是平行四边形，所以四边形
1
1
ACC A 是菱形，则
1
AA
AC
，
因为A1 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D，所以
1
1
AA
AC
，
所以
1A AC
△
是等边三角形，则
1
1
1
1
2
AO
AC
，
3
AO
，
在RtA1BC 中，
1
2
AC
BC
，则
1
45
BAC
，
1
2 2
A B
，
2
2
OE
,
在
1
ABA
△
中，
1
2
AA
，
2 2
AB
，则
1
2
2
1
1
2
2 2
1
2 2
2
2
ABA
S
AE
，故
14
2
AE
，
在AEO 中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
14
2
3
2
2
7
cos
2
7
14
2
2
2
2
AE
OE
AO
AEO
AE OE
,
所以二面角A﹣A1B﹣C 的余弦值为
7
7
.
15.如图，正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E，F 分别是棱
1
AA ，
1
CC 上的点，CM // 平面BEF ，且M 是AB 的中
点．
（1）证明：平面BEF 平面
1
1
ABB A ；
（2）若
2
AC
AE
，求四面体C
BEF
的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
3
3
.
【解析】（1）过M 作
1
AA 的平行线交
1
1
,
BE A B 分别于点
,
H N ，连接FH ，如下所示：
因为
1
1
1
ABC
A B C
-
是正三棱柱，
故可得
1
AA 面
,
ABC MC 面ABC ，故
1
CM
AA
；
又三角形ABC 为等边三角形，M 为AB 中点，故CM
AB
；
又
1
,
AB AA 面
1
1
ABB A ，
1
AB
AA
A
，
故CM 面
1
1
ABB A ；
因为
//
HM
1//
AA
CF ，
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则
,
,
,
C M F H 确定一个平面，即CM 面MCFH ，
又
//
CM
面BEF ，面MCFH 面BEF
FH
，故可得
//
FH
CM ，
则FH 面
1
1
ABB A ，又FH 面BEF ，故面BEF 面
1
1
ABB A .
（2）根据（1）中所证，可得
//
FH
,
//
CM MH
CF ，
故四边形MCFH 为平行四边形，
在△ABE 中，因为
//
MH
AE ，且点M 为AB 中点，
故可得
1
2
MH
AE
，
又CF
MH
，则
1
=1
2
CF
AE
，
所以
1
1
1 2
1
2
2
BCF
S
CF BC
△
，
又正三棱柱中A 到平面
1
1
BCC B 的距离为
3
2= 3
2
，
即E 到平面
1
1
BCC B 的距离h
3 ，
所以
1
1
3
1
3
3
3
3
C BEF
E BCF
BCF
V
V
S
h
△
.
16.如图，四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，PA
AB
，点E 是PB 的中点.
求证：
（1）BC 平面PAB ；
（2）AE
PC
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）∵底面ABCD为矩形，∴BC
AB
，
∵PA 底面ABCD，BC 底面ABCD，∴PA
BC
，
又∵AB
PA
A
，
,
AB PA平面PAB ，
∴BC 平面PAB .
（2）∵AE 平面PAB ，BC 平面PAB ，∴BC
AE
，
∵PA
AB
，E 是PB 的中点，∴AE
PB
，
又∵PB
BC
B
，
,
PB BC 平面PBC ，∴
AE
平面PBC ，
∵PC 平面PBC ，∴AE
PC
.
17.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD为菱形，
60 ,
ABC
FA
平面
,
ABCD FA
ED
∥
，且
2
2
AB
FA
ED
.
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（1）求证：BD
FC
；
（2）求点A 到平面FBD 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）2 5
5
【解析】（1）证明：
FA
平面ABCD，BD 平面ABCD，
FA
BD
，
四边形ABCD为菱形，
AC
BD
，
又
FA
AC
A
，FA 平面
,
FAC AC 平面FAC ，
BD
平面FAC ，
BD
FC
（2）
1
1 1
2 3
2 2 sin120
2
3
3 2
3
ABD
F
ABD
V
S
FA
三棱锥
FA
平面ABCD，
,
FA
AB FA
AD
2 2
FB
FD
，
由四边形ABCD为菱形，
60
ABC
，
可得
2 3
BD
，
15
FBD
S
，
设点A 到平面FBD 的距离为h ，
则
1
1 15
3
3
FBD
A FBD
V
S
h
h
三棱锥
，
由
A FBD
F
ABD
V
V
三棱维
三棱倠
可得1
2 3
15
3
3
h
，解得
2 5
5
h
.
点A 到平面FBD 的距离为2 5
5
.
18.如图，矩形ABCD中，
,
E F 分别在线段BC 和AD 上，EF
AB
∥
，将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩
形为MNEF ，且平面MNEF 平面ECDF .
（1）求证：CD
MD
；
（2）若EF
EC
，求证：平面NFC 平面NED .
【答案】（1）证明见解析.；（2）证明见解析.
【解析】（1）证明:由题意知EF
AB
∥
，AB
AF
,故AF
EF
,则MF
EF
,
又平面MNEF 平面ECDF ，平面MNEF 平面ECDF
EF
,
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且MF 平面MNEF ，所以MF 平面ECDF ，
又CD 平面ECDF ，所以MF
CD
,
由
,
CD
AD
CD
FD
,
,
,
MF
FD
F MF FD
平面MFD ,
所以CD 平面MFD , MD 平面MFD ,所以CD
MD
；
（2）证明:由题意知BE
AF
∥
,即NE
MF
∥
,
由（1）知MF 平面ECDF ，
故NE 平面ECDF ，CF 平面ECDF ，所以NE
CF
,
因为EF
EC
，故矩形ECDF 为正方形，则CF
ED
,
,
,
ED
NE
E ED NE
平面NED ,所以CF 平面NED ,
又CF 平面NFC ,所以平面NFC 平面NED .
19.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
,
AB
BC AA
AB
，G 是棱
1
1
AC 的中点．
（1）证明：
1
BC
AB
；
（2）证明：平面
1
AB G 平面
1A BC ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）∵
1
AA 平面ABC ，且BC 平面ABC ，
∴
1
AA
BC
．
又因为
1
,
BC
AB AA
AB
A
，
1,
AA AB 平面
1
1
ABB A ，
所以BC 平面
1
1
ABB A ．
∵
1
AB 平面
1
1
ABB A ，
∴
1
BC
AB
．
（2）∵
1
AA
AB
，易知矩形
1
1
ABB A 为正方形，
∴
1
1
BA
AB
．
由（1）知
1
BC
AB
，又由于
1
1
,
,
A B
BC
B A B BC
平面
1A BC ，
∴
1
AB 平面
1A BC ．
又∵
1
AB 平面
1
AB G ，
∴平面
1
AB G 平面
1A BC ．
20.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
3
AB
AD
，
1
4
AA
，
1
AM
A B
交
1
BB 于M ．
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（1）求证：
1
BD 平面MAC ；
（2）设
1
BD 与平面MAC 的交点为O，求证：O为
MAC
△
的垂心．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：∵
1
1
D A 平面
1
1
ABB A ，
∴
1
D B 在平面
1
1
ABB A 上的射影为
1A B ．
∵
1A B
AM
，由三垂线定理得
1
BD
MA
．
同理可得
1
BD
AC
．
又AC
MA
A
，
,
AC MA 平面MAC ，∴
1
BD 平面MAC ．
（2）∵AB 平面MBC ，∴AB
MC
^
．
∵
1
BD 平面MAC ，∴AB 在平面MAC 上的射影为AO ．
由三垂线定理的逆定理得AO
MC
．
同理可得，CO
MA
．∴O为
MAC
△
的垂心．
21.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD，AB
AD
，AC
CD
，
60
ABC
，PA＝AB＝BC，E
是PC 的中点．求证：
（1）CD
AE
；
（2）PD 平面ABE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）在四棱锥P
ABCD
中，
∵PA 底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA
CD
，
∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD 平面PAC．
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．
（2）由AB＝BC，
60
ABC
，得AC
AB
，
又PA＝AB＝BC，所以AC＝PA．
∵E 是PC 的中点，∴AE⊥PC．
由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
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∴AE⊥平面PCD．
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．
22.如图，四棱锥P
ABCD
的底面ABCD 是平行四边形，平面PAD 平面ABCD，
60
BAD
，
2
AD
AB，
PA
PD
.O，E 分别是AD，BC 中点.
（1）证明：BD 平面POE；
（2）
2
AB
，
2 2
PA
，求点E 到平面PCD 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）2 21
7
【解析】（1）∵PA
PD
，O 是AD 的中点，∴PO
AD
.
∵平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCD
AD
，PO 平面PAD，
∴PO 平面ABCD.
∵BD 平面ABCD，∴PO
BD
.
设AB
a
=
，则
2
AD
a
，
60
BAD
，
在
ABD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
cos
3
BD
AB
AD
AB AD
BAD
a
，
∴
2
2
2
AB
BD
AD
，∴AB
BD
.
∵E 是BC 中点，四边形ABCD 是平行四边形，
∴OE
AB
∥
，∴BD
OE
.
∵PO，OE 是平面POE 内的两条相交直线，∴BD 平面POE.
（2）连接OC.
∵O，E 分别是AD，BC 中点，底面ABCD 是平行四边形，∴OE
DC
∥
.
∵OE 平面PDC，DC 平面PDC，∴OE ∥平面PDC.
∴点E 到平面PCD 的距离等于点O 到平面PCD 的距离.
∵
2 2
PA
PD
，
2
4
AD
AB
，∴
2
PO
OD
DC
，
∴
2
2
2
2
cos120
12
OC
OD
DC
OD DC
，
∴
2
2
4
PC
PO
OC
.
在PCD
中，由余弦定理得
2
2
2
3
cos
2
4
PC
CD
PD
PCD
PC CD
，
∴
7
sin
4
PCD
，∴PCD
的面积
1
sin
7
2
PCD
S
PC CD
PCD
△
.
设O 到平面PCD 的距离为d，
因三棱锥O—PCD 与三棱锥C—POD 是同一三棱锥，
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所以
O PCD
C POD
V
V
，即1
1
sin 60
3
3
PCD
POD
S
d
S
AB
，
∴
1
3
7
2 2 2
2
2
d
，解得
2 21
7
d
.
所以点E 到平面PCD 的距离为2 21
7
.
23.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
1
1
AC
B C
，
1
1
1
1
AC
B C
，
1
1
1
1
2
A A
A B
，M 为棱
1
1
A B 的中点.
（1）求证：AM 平面
1
BC M ；
（2）若
1
1
2
AC
，求三棱锥
1
A
BC M
的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）2 2
3
【解析】（1）因为
1
1
1
ABC
A B C
-
为直三棱柱，所以
1A A 平面
1
1
1
A B C .
又
1
C M 平面
1
1
1
A B C ，所以
1
1
A A
C M
.
因为M 为棱
1
1
A B 的中点，
1
1
1
1
AC
B C
，所以
1
1
1
C M
A B
.
因为
1A A 平面
1
1
A ABB ，
1
1
A B 平面
1
1
A ABB ，
1
1
1
1
A A
A B
A
，
所以
1
C M 平面
1
1
A ABB .
又AM 平面
1
1
A ABB ，所以
1
C M
AM
.
因为M 为棱
1
1
A B 的中点，所以
1
1
1
1
1
2
A A
A B
A M
.
又
1
1
A A
A M
，所以
1
45
A MA
，同理
1
45
B MB
，所以AM
BM
.
因为
1
C M 平面
1
BC M ，BM 平面
1
BC M ，
1
C M
BM
M
，
所以AM 平面
1
BC M .
（2）因为
1
1
1
1
2
AC
B C
，
1
1
1
1
AC
B C
，
1
1
1
1
2
A A
A B
，
所以
1
1
2 2
A B
，
1
1
1
1
1
1
2
2
A A
A B
A M
C M
，
所以
2
2
1
1
2
AM
BM
A A
A M
.
由（1）知
1
C M 平面
1
1
A ABB ，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
2 2
2 2
2
3
3
2
6
3
A BC M
C
ABM
ABM
V
V
S
C M
AM
BM
C M
△
，
即三棱锥
1
A
BC M
的体积为2 2
3
.
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24.如图，四棱锥P
ABCD
中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，
1
2
2
AB
BC
AD
，
90
BAD
ABC
，O是AD 的中点.
（1）求证：平面PAC 平面POB ；
（2）点M 在棱PC 上，满足
0
1
PM
PC
且三棱锥P
ABM
的体积为
3
3
，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1
4 .
【解析】（1）由题意底面ABCD，
1
2
2
AB
BC
AD
,
90
BAD
ABC
，
则底面ABCD为直角梯形，
连接OC ，则
1,
AO
BC
AO
BC
∥
,故四边形AOCB为矩形，
则
,
1
OC
AB OC
AB
∥
，所以四边形AOCB为正方形，所以AC
OB
，
因为侧面PAD 为等边三角形，O 是AD 的中点，
所以PO
AD
，PO平面PAD ，
因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平ABCD
AD
，
所以PO 平面ABCD，因为AC 平面ABCD，
所以PO
AC
，因为
,
,
PO
OB
O PO OB
平面POB ，
所以AC 平面POB ，
因为AC 平面PAC ，所以平面PAC 平面POB .
（2）因为底面ABCD中，
1
2
2
AB
BC
AD
,
90
BAD
ABC
，侧面PAD 为等边三角形，O 是AD 的
中点，
所以
2
AO
OD
AB
BC
OC
,
4
PA
AD
PD
,
2 3
PO
,
2 2
OB
AC
，
因为PO 平面ABCD，
,
OB OC 平面ABCD，
所以
,
PO
OB PO
OC
，
所以
2
2
2
12
8
20
PB
PO
OB
，
因为
2
2
4
16
20
AB
PA
，
所以
2
2
2
PB
AB
PA
,所以
π
2
PAB
,
设点
,
C M 到平面PAB 的距离分别为
1
2
,
d d ，
因为
C
P
A
ABC
P B
V
V
，所以
1
1
1
3
3
ABC
PAB
S
PO
S
d
,
即
1
1
1
1
1
2
2
2 3
2
4
3
2
3
2
d
，故
1
3
d
，
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因为三棱锥P
ABM
的体积为
3
3
，
所以
2
1
3
3
3
PAB
S
d
所以
2
1
1
3
2 4
3
2
3
d
，解得
2
3
4
d
，
所以
2
1
3
1
4
4
3
d
PM
PC
d
，即
1
4
PM
PC
因为
0
1
PM
PC
，所以
1
4
.
25.如图，在三棱锥
P
ABC 中，H 为ABC
的内心，直线AH 与BC 交于M，PAB
PAC
，PCA
PCB
.
（1）证明：平面PAM 平面ABC；
（2）若AB
BC
，
3
PA
AB
，
4
BC
，求三棱锥M
PAC
的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
5
2
P AMC
V
【解析】（1）如图，设PN ^平面ABC 于点N，过N 作NE
AB
于E，NF
AC
于F，
连接PE，PF．
∵PN ^平面ABC，AB 平面ABC，∴PN
AB
又∵NE
AB
∴AB 平面PNE
∴AB
PE
，
同理AC
PF
在Rt PAE
，Rt PAF
中，
PAE
PAF
，PA
PA
∴
PAE
PAF
△
≌△
∴AF
AE
在Rt
ANE
△
，Rt
ANF
△
中，AF
AE
，AN
AN
∴
ANE
ANF
≌
△
△
，∴NE
NF
，
即N 到AB，AC 的距离相等
同理N 到BC，AC 的距离相等，
故N 为ABC
的内心，N 与H 重合
∴PH 平面ABC
又∵PH 平面APM
∴平面PAM 平面ABC
（2）由已知可得
5
AC
，设ABC
的内切圆半径为r，
则
1
1
4 3
3
4
5
2
2
ABC
S
r
△
，故
1
r ，
因为H 为ABC
的内心，所以AH 平分
BAC
，所以
3
5
BM
AB
CM
AC
，
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4
BM
CM
，所以
5
2
CM
，
3
2
BM
，
故AMC
的面积为1
15
2
4
CM AB
，
因为HE
AB
，AB
BC
所以HE
BC
∥
，所以AE
AB
HE
BM
，得
2
AE
，
所以
2
2
5
AH
r
AE
，
2
2
2
PH
AP
AH
，
故三棱锥M
PAC
的体积为
1
1
15
5
2
3
3
4
2
P AMC
AMC
V
S
PH
△
．
26.如图，在四棱锥S－ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC＝60°，△SAD 为正三角形．侧面
SAD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱AD，SB 的中点．
（1）求证：AF∥平面SEC；
（2）求证：平面ASB⊥平面CSB；
（3）在棱SB 上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BM
BS 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，
2
3
BM
BS
【解析】（1）证明：如图，取SC 的中点G，连接FG，EG，
∵F，G 分别是SB，SC 的中点，
∴FG∥BC，
1
2
FG
BC
，
∵四边形ABCD 是菱形，E 是AD 的中点，
∴AE∥BC，
1
2
AE
BC
，
∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE 是平行四边形，
∴AF∥EG，又AF 平面SEC，EG 平面SEC，
∴AF∥平面SEC；
（2）证明：∵△SAD 是等边三角形，E 是AD 的中点，
∴SE⊥AD，
∵四边形ABCD 是菱形，
60
ABC
，
∴△ACD 是等边三角形，又E 是AD 的中点，
∴AD⊥CE，
又
,
,
SE
CE
E SE CE
平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又EG 平面SEC，
∴AD⊥EG，
又四边形AFGE 是平行四边形，
∴四边形AFGE 是矩形，∴AF⊥FG，
又SA＝AB，F 是SB 的中点，∴AF⊥SB，
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又
,
,
FG
SB
F FG SG
平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，
又AF 平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB；
（3）假设在棱SB 上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，
∵OM 平面MAC，∴BD⊥OM，
∵四边形ABCD 是边长为2 的菱形，
60
ABC
，△SAD 为正三角形，
∴
7,
3,
2
2 3
2,
BE
SE
BD
OB
SD
SE
AD
，
，
∵侧面SAD⊥底面ABCD，
又侧面SAD 底面ABCD＝AD，SE 平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，
又BE 平面ABCD，∴SE⊥BE，
∴
2
2
10
SB
SE
BE
，
∴
2
2
2
3 30
cos
2
20
SB
BD
SD
SBD
SB BD
，
∴
3 30
20
OB
BM
，∴
2 10
3
BM
，
∴
2
3
BM
BS
，
∴在棱SB 上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC，
2
3
BM
BS
