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2025-2026 学年度第一学期期中考试试卷
高二数学试题
考试范围：空间向量与立体几何，直线和圆的方程；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 已知空间中三个不同的点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的加法法则化简可得结果．
【详解】因为
故选：B．
2. 若直线l与直线 垂直，则l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直线 的斜率，结合直线l与直线 垂直得斜率，从而得
到l的倾斜角．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】直线 的斜率是 ，
因为直线l与直线 垂直，所以直线l的斜率为 ，
由 ，所以l的倾斜角 为 ．
.
故选：B
3. 已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. 2 C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求得 的值.
【详解】因为向量 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
解得 .
故选：A.
4. 两条平行直线 与 之间的距离为（ ）
.
A 6 B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得 ，再利用两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】因为直线 与 平行，所以 ，
直线 即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以两条平行直线之间的距离为 .
故选：C.
5. 圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 外切 B. 外离 C. 相交 D. 内切
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件求出两圆的圆心坐标及它们的半径，再计算两圆圆心距即可判断作答.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，
半径 ，
于是得 ，即 ，
所以圆 与圆 外切.
故选：A
6. 若非零向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】设 与 的夹角为θ，则由 ， ，可得 ，从而可求得 与 的夹
角
【详解】设 与 的夹角为θ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为非零向量 ， 满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故选：B
7. 定义：设 是空间中的一个基底，若向量 ，则称有序实数组 为向量
在基底 下的斜坐标，已知 是空间的一个基底， 是空间的另一个
基底，若向量 在基底 下的斜坐标为 ，则向量 在基底 下的斜坐标
为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜坐标的定义直接计算可得.
【详解】因为向量 在基底 下的斜坐标为 ，
所以 ，
所以向量 在基底 下的斜坐标为 .
故选：D.
8. 设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，
则 面积的最大值为（ ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线方程求得定点 与定点 ，进而可
得 ，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】由题意直线 过定点 ，
直线 可变为 ，
令 ，得 ，所以该直线过定点 ，
所以 ．
又 ，
所以直线 与直线 互相垂直，且交点为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号，
所以， ，即 面积的最大值是 ．
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在三棱柱 中，P为空间中一点，且满足 ，则下列说
法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 当 时，点 在棱 上 B. 当 时，点 在线段 上
C. 当 时，点 在棱 上 D. 当 时，点 在线段 上
【答案】ACD
【解析】
【分析】判断点是否在线段上，利用共线向量定理及推论逐项判断即可．
【详解】对于A，当 时， ， ，所以 ，则点 在棱 上，故A正
确；
对于B，当 时， ， ，连接 ，即 ，
即 ，所以点 在线段 上，故B错误；
对于C，当 时， ， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以点 在棱 上，故C正确；
对于D，当 时， ， ，
由三点共线结论知 , 三点共线，所以点 在线段 上，故D正确．
故选：ACD.
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知实数 ， 满足圆的方程 ，则（ ）
A. 圆心为 ，半径为 B. 的最大值为2
C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据 的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应
用二次函数值域计算判断D.
【详解】对于A，由圆的方程 ，得圆心为 ，半径为 ，故A正确；
对于B，由 ，有 ，
所以 的最大值为 ，故B错误；
对于C， 表示圆上点 到定点 的距离，
圆心 到定点 的距离为 ，
所以圆上点 到定点 的距离的最大值为 ，故C正确；
对于D，由 得 ，
所以 ， ，
令 ，由 在 上单调递增，所以 ，
所以 的最大值为 ，故D错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AC.
11. 三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且 ，下列命题中正确的是（ ）
A.
B.
C. 三棱锥 的体积为
D. 和 的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律以及完全平方公式，计算可得A正确，B正确，再由锥体的体积公式可
验证C错误，利用向量夹角公式代入计算可得D正确.
【详解】对于A，易知 ，
因为 两两垂直，所以 ，而 ，所以
，即A正确；
对于B，知 ，
因为 两两垂直，所以 ，所以 ，即B正确；
对于C，易知 ，
显然 ，所以 ，
因此 ，
又 ， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 两两垂直，且 ，
所以三棱锥 的体积为 ，即C错误；
对于D，因为 ，
又 ，所以 ，
，
同理 ，
设 和 的夹角为 ，可得 ，可得 ，
即D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若直线过 ，则此直线的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用两点间的斜率公式求解即可.
【详解】若直线经过 ，则此直线的斜率为 ；
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知 ， ，且 ，则 点 坐的标为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算建立方程，求解坐标即可.
【详解】因为 ， ，设 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ，得到 .
故答案为：
14. 已知圆C的圆心在直线 上，且圆C经过点 ， ，则圆C的标准方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】设圆的方程为 ，由条件列方程求 可解.
【详解】因圆心在直线 上，设圆心 坐标为 ，
圆 标准方程为： ，
则 ，解得： ，
所以圆C的标准方程为 ．
故答案为：
四、解答题：本题共5个题目，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知 的三个顶点分别是 ， ， .
（1）求 边上的高所在的直线方程；
（2）若直线 过点 ，且与直线 平行，求直线 的方程；
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）设出直线 的方程，利用待定系数法求出直线方程.
【小问1详解】
直线 的斜率 ，则 边上的高所在的直线斜率为3，
所以 边上的高所在的直线方程为 ，即 .
【小问2详解】
依题意，设直线 的方程为 ，
而直线 过点 ，则 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
16. 如图，已知在三棱锥 中， ， ，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空
间直角坐标系，解决下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司（1）若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系；
（2）若点D满足 ， ，试确定点D的坐标．
【答案】（1）垂直 （2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从
而可解；
（2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可．
【小问1详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
由于OA，OC的中点分别为E，F．
因此 ， ，得 ．
又 ，所以 ，即 ，
故EF与OB垂直．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ， ，
， ，
由 ， ， ，
因此存在实数 ， ，使得 ， ，
即 ．
即点D的坐标为 ．
17. 已知圆 ．
（1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径．
（2）求直线 被圆C所截得的弦长．
【答案】（1）圆的标准方程为 ，其圆心为 ，半径为 ，
（2）
【解析】
的
【分析】（1）将圆 一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径.
（2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案.
【小问1详解】
由 可得该圆的标准方程为
其圆心为 ，半径为 .
【小问2详解】
圆心到直线 的距离为
所以直线 ： 被圆 所截得的弦长为
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知圆 ，直线 ．
（1）若圆O的弦AB恰好被点 平分，求弦AB所在直线的方程；
（2）点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点.
【答案】（1）
（2）直线CD经过定点
【解析】
【分析】（1） 弦AB恰好被点 平分，则 ，即可求得 斜率，根据点斜式即可得弦AB
所在直线的方程；
（2）设出点 坐标,根据题意可知O，C，Q，D四点共圆，且CD为直径，求出新圆圆心和半径，进而求
得新圆的方程，进而求得直线CD的方程，即可得过的定点.
【小问1详解】
由圆 ，得圆心 ，半径 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即：弦AB所在直线的方程为 .
【小问2详解】
直线l与圆O相离，令 ，线段OQ中点 ，
因为O，C，Q，D四点位于圆 上，又圆 ，
所以CD是圆O与圆K的相交弦，故 ．
即 ，由 且 ，得直线CD经过定点 ．
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学科网（北京）股份有限公司19. 如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面
为直角梯形，其中 ．用空间向量法求解下列问题．
（1）求证： ．
（2）求线段 的中点 到平面 的距离．
（3）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，建立空间直角坐标系，再计算出 ， 后相乘即可
得；
（2）求出平面 的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（3）令 ， ，由面面夹角的向量公式求得 ，即可求解 ．
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ， ，由 为等边三角形，得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，由 ， ，得四边形 是平行四边形，
于是 ，而 ，则 ，直线 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 , ， ， ， ，
则 ， ，
有 ，故 ；
【小问2详解】
由 ， ，则 ，又 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，
所以 到平面 距离 ．
的
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
令 ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，
化简得 ，又 ，解得 ，即 ，
所以线段 上存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
此时 ．
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