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专题10 几何问题
例1．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为
的共有
A．24 对
B．30 对
C．48 对
D．60 对
【解析】正方体的面对角线共有12 条，两条为一对，共有
对，
同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6 对不满足题意的直线
对数，不满足题意的共有：
．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为
的共有：
．故选：
．
例2．四面体的一个顶点为
，从其它顶点与各棱的中点中取3 个点，使它们和点
在同一平面上，不同
的取法有
A．30 种
B．33 种
C．36 种
D．39 种
【解析】根据题意，如图，分析可得，①所取的3 点在3 个侧面上时，每个侧面有
种取法，共
种情况；②所取的3 点不在侧面上时，含顶点
的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共
有3 种取法；综合可得，共
种，故选：
．
例3．从四面体的顶点及各棱的中点这十个点中，任取3 个点确定一个平面，则不同平面个数为
A．17
B．23
C．25
D．29
【解析】考虑点的选择：（1）三个点都是顶点：一共有4 种，就是四面体的四个表面；（2）两个顶点，
一个棱中点：为了不和上面的四个面重合，当两个顶点确定时，只有一个选择（此时的面就是一条棱和它
的对棱的中点确定的面），所以这种情况一共有6 种；（3）一个顶点，两个棱中点：为了不和上面重合，
确定一个顶点后，则只能选取它的对面的三个中点了，有3 种情况，共有
种；（4）三个都是棱中
点：可以在正四面体中想，这样的面要么和外表面平行要么和一对对棱平行，所以有
种，综上，
共有
种．故选：
．
例4．四面体的顶点和各棱中点共10 个点，在其中取4 个不共面的点，则不同的取法共有
A．150 种
B．147 种
C．144 种
D．141 种
【解析】从10 个点中任取4 个点有
种取法，其中4 点共面的情况有三类．第一类，取出的4 个点位于
四面体的同一个面上，有
种；第二类，取任一条棱上的3 个点及该棱对棱的中点，这4 点共面，有6
种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4 顶点共
面，有3 种．以上三类情况不合要求应减掉，
不同的取法共有
种．故选：
．
例5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，
由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是
A．60
B．48
C．36
D．24
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，一个长方体的面可以和它相对的面上的4 条棱和两条对角线
组成6 个，一共有6 个面，共有
种结果，长方体的对角面组成两组，共有6 个对角面，共有12 种
结果，根据分类计数原理知共有
种结果，故选：
．
例6．正八边形
的8 个顶点，以其中3 个点为顶点的不同位置的直角三角形共有 个．
【解析】正八边形
的8 个顶点在同一个圆上，8 个等分点可得4 条直径，可构成直角三角形有
个，故答案为：
24
例7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个．
【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有
（个；
第二类，有两条公共边的三角形共有8（个．由分类加法计数原理知，共有
（个．
例8.不共面的四点确定四面体(记得易除共面的情况）
(I)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体?
（II）以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥?
【解析】（I）正方体的8 个顶点可构成
个四点组,其中共面的四点组有正方体的6 个表面及正方体6 组
相对棱分别所在的6 个平面的四个顶点,故可以确定四面体的个数为
(II)由(I)知，正方体共面的
四点组有12 个,以这每一个四点组构成的四边形为底面,以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个
四棱锥,故可以确定四棱锥的个数为
例9.考虑
的正方形方格表中的25 个格点,则通过至少3 个格点有不同直线的数目为
【解析】水平和竖直的直线共有10 条,两条对角线和与两条对角线平行的直线共有10 条,在
的正方形
中有6 个
的长方形,每个
的长方形有2 条对角线，即
条,因此共有32 条.
例10.如图，给定由10 个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个
点为顶点构成的正三角形的个数是
【解析】如图：
边长为1 的正三角形共有1+3+5=9 个；边长为2 的正三角形共有3 个；边长为3 的正三角形共有1 个；边
长为
的正三角形有2 个.综上可知:共有9+3+1+2=15 个.
