专题突破练16 直线与圆
必备知识夯实练
1.(2025 山东济南一模)若直线l1:(m-2)x+3y+3=0 与直线l2:2x+(m-1)y+2=0 平行,则m=(
)
A.4
B.-4
C.1 或-4
D.-1 或4
2.(2024 北京,3)圆x2+y2-2x+6y=0 的圆心到x-y+2=0 的距离为( )
A.2❑√3
B.2
C.3❑√2
D.❑√6
3.(2025 江苏泰州模拟)已知直线y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于A,B 两点,若AB≥2
❑√3,则实数k 的取值范围为( )
A.(-∞,-❑√3]∪[❑√3,+∞)
B.(-∞,-
❑√3
3
]∪[
❑√3
3
,+∞)
C.[-
❑√3
3 ,
❑√3
3
]
D.[-❑√3,❑√3]
4.(2025 山东济宁二模)若圆x2+y2-2ax-2y-1=0 关于直线x+by-2=0 对称,其中a>0,b>0,则
1
a + 4 a+1
b
的最小值为( )
A.2
B.5
2
C.4
D.2+2❑√5
5.(2025 山东泰安二模)已知直线l 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 和圆(x+1)2+(y+1)2=36 均相切,则
直线l 的方程为( )
A.x+2y-23=0
B.x+2y+23=0
C.3x+4y-23=0
D.3x+4y+23=0
6.(多选题)(2025 江西上饶一模)已知直线l:ax+(a+1)y+2=0,圆O:x2+y2=9,则下列说法正
确的是( )
A.存在实数a,使圆O 关于直线l 对称
B.直线l 过定点(2,-2)
C.对任意实数a,直线l 与圆O 有两个不同的公共点
D.当a=-1
2
时,直线l 被圆O 所截弦长为2
7.(多选题)(2025 广东深圳模拟)已知点A(3,0),B(0,4),点P 在圆C:(x-3)2+(y-4)2=4 上运动,
则下列说法正确的是( )
A.直线AB 与圆C 相离
B.△PAB 的面积的最小值为2
C.|PA|的最大值为6
D.当∠PBA 最小时,|PB|=❑√5
8.(2025 陕西汉中二模)设O 为坐标原点,P 为圆C:(x-3)2+(y+❑√3)2=3 上的动点,则|PO|的
最大值为 .
9.(2025 安徽安庆二模)已知圆C1:x2+y2+4x-4y-1=0 与圆C2:x2+y2-2x+2y-7=0 相交于两点
A,B,则四边形AC1BC2的面积等于 .
10.(2025 湖北十堰三模)定义:min(P,C)表示点P 到曲线C 上任意一点的距离的最小值.已
知P 是圆(x-1)2+y2=9 上的动点,圆C:x2+y2=1,则min(P,C)的取值范围为 .
关键能力提升练
11.(2023 新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0 相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(
)
A.1
B.
❑√15
4
C.
❑√10
4
D.
❑√6
4
12.(多选题)(2025 福建厦门三模)过点T(-3,0)的直线交圆C1:(x-1)2+y2=1 于点P,Q,交圆
C2:(x-5)2+y2=4 于点M,N,其中T,P,Q,M,N 顺次排列.若|TP|=3|PQ|,则下列说法正确的是(
)
A.C1P∥C2M
B.|MN|=2|PQ|
C.⃗TP·⃗TQ=14
D.|QM|=❑√5
13.(2025 山东日照二模)已知☉O:x2+y2=16 与x 轴相交于C,D 两点,点A(-2❑√3,0),以AB 为
直径的圆与☉O 内切,则△BCD 面积的最大值为 .
核心素养创新练
14.(多选题)(2025 广东广州二模)瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出:三角形的外心、重
心、垂心位于同一直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若△ABC 的三个顶
点坐标分别为A(3,4),B(-1,2),C(1,0),其“欧拉线”为l,圆M:(x-a)2+y2=1,则下列说法正确
的是( )
A.过点A 作圆M 的切线,切点为P,则|AP|的最小值为4
B.若直线l 被圆M 截得的弦长为2,则a=-1
C.若圆M 上有且只有两个点到l 的距离都为1,则-1-2❑√2<a<-1+2❑√2
D.存在a,使圆M 上有三个点到l 的距离都为1
答案：
1.D 解析 若直线l1:(m-2)x+3y+3=0 与直线l2:2x+(m-1)y+2=0 平行,
则(m-2)(m-1)=3×2=6,整理可得m2-3m-4=0,解得m=4 或m=-1.
经检验m=4,m=-1 符合题意.故选D.
2.C 解析 圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=10,圆心坐标为(1,-3),
∴圆心到直线x-y+2=0 的距离为d=|1+3+2|
❑√1
2+(-1)
2=3❑√2.故选C.
3.C 解析 圆(x-2)2+(y-3)2=4 的圆心坐标为(2,3),半径r=2,
当弦长AB=2❑√3时,弦心距d=❑√r
2-( AB
2 )
2= ❑√4 -3=1,若|AB|≥2❑√3,则d≤1,
即|2k -3+3|
❑√k
2+1
≤1,解得k∈[-
❑√3
3 ,
❑√3
3 ].故选C.
4.C 解析 由x2+y2-2ax-2y-1=0 得(x-a)2+(y-1)2=a2+2,所以圆心为(a,1),
又圆关于直线x+by-2=0 对称,则直线x+by-2=0 过圆心,即a+b=2,
所以1
a + 4 a+1
b
= 1
a + 4(2-b)+1
b
= 1
a + 9
b
-4,
又1
a + 9
b=(1
a + 9
b)·(a+b)
2
= 1
2(10+b
a + 9a
b )≥1
2(10+2❑√
b
a · 9a
b
)=8,
当且仅当{
b
a = 9a
b ,
a+b=2
⇒{
a= 1
2 ,
b= 3
2
时,等号成立,所以1
a + 4 a+1
b
= 1
a + 9
b
-4≥8-4=4,故选C.
5.C 解析 圆(x-2)2+(y-3)2=1 的圆心为M(2,3),半径为R1=1,圆(x+1)2+(y+1)2=36 的圆心
为N(-1,-1),半径为R2=6.
因为|MN|=❑√(2+1)
2+(3+1)
2=5=R2-R1,所以两个圆内切,因此直线l:(x+1)2+(y+1)2-
[(x-2)2+(y-3)]2=36-1,整理得l:3x+4y-23=0,故选C.
6.BCD 解析 因为圆O 的圆心为(0,0),因为a×0+(a+1)×0+2=2≠0,所以不存在满足条件
的实数a,使得直线l 经过圆心,即不存在实数a,使圆O 关于直线l 对称,故A 错误;
由直线l:a(x+y)+y+2=0,令x+y=0,y+2=0,得x=2,y=-2,所以直线l 过定点(2,-2),故B 正确;
因为22+(-2)2=8<9,所以点(2,-2)在圆O:x2+y2=9 内部,又直线l 过定点(2,-2),所以直线l 与
圆O 必有两个不同的公共点,故C 正确;
当a=-1
2
时,直线l:-1
2
x+(-1
2
+1)y+2=0,即x-y-4=0.
圆心O 到直线l 的距离d= 4
❑√2
=2❑√2,半径R=3,所以直线l 被圆O 所截弦长为2❑√R
2-d
2=2
❑√9-8=2,故D 正确.故选BCD.
7.ACD 解析 已知点A(3,0),B(0,4),点P 在圆C:(x-3)2+(y-4)2=4 上运动,则圆心为C(3,4),
半径为2,直线AB 的方程为x
3 + y
4
=1 即4x+3y-12=0,则圆心C 到直线AB 的距离d=12
5
>2,
所以直线AB 与圆C 相离,故A 正确;
因为|AB|=5,点P 到直线AB 的距离的最小值为12
5
-2=2
5
,则△PAB 面积的最小值为1
2 ×5
× 2
5
=1,故B 错误;
|PA|max=|AC|+2=6,故C 正确;
当∠PBA 最小时,直线PB 与圆C 相切,此时|PB|=❑√|BC |
2- 4 = ❑√5,故D 正确.
故选ACD.
8.3❑√3 解析 圆C 的圆心为C(3,-❑√3),半径为❑√3.
因为|OC|=❑√9+3=2❑√3,所以|PO|的最大值为|OC|+❑√3=3❑√3.
9.9 解析 由已知,圆C1:(x+2)2+(y-2)2=9,圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9,圆心C1:(-2,2),半径r1=3,
圆心C2:(1,-1),半径r2=3.
将两圆方程相减,可得公共弦AB 所在直线的方程为x-y+1=0,点C1到直线AB 的距离为
d=|-2-2+1|
❑√1+1
= 3 ❑√2
2
,所以| AB|
2
= 3 ❑√2
2
,即|AB|=3❑√2,又|C1C2|=❑√(-2-1)
2+[2-(-1)]
2
=3❑√2,所以四边形AC1BC2的面积S=1
2
|AB|·|C1C2|=9.
10.[1,3] 解析 记O 为坐标原点,圆C 的圆心为原点,圆C 的半径为1,圆(x-1)2+y2=9 的圆
心为A(1,0),半径为3.
由圆的几何性质可知,min(P,C)=|OP|-1,且|AP|-|OA|≤|OP|≤|AP|+|OA|,即3-1≤|OP|
≤3+1,即2≤|OP|≤4,当且仅当点P 坐标为(-2,0)时,|OP|取最小值,当且仅当点P 坐标为
(4,0)时,|OP|取最大值,故min(P,C)=|OP|-1∈[1,3].
11.B 解析 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,
故圆心C(2,0),半径R=❑√5.
过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,
则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=π
2
,∠ADC=∠BDC=α
2
,
由几何知识得,|BC|=|AC|=❑√5,|CD|=❑√(0-2)
2+(-2-0)
2=2❑√2.
由勾股定理得,|AD|=|BD|=❑√|CD|
2- R
2= ❑√3.
cosα
2 =|BD|
|CD| =
❑√3
2❑√2 =
❑√6
4
,sinα
2 =|BC |
|CD| =
❑√5
2❑√2 =
❑√10
4
,
sin α=2sinα
2
cosα
2
=2×
❑√10
4
×
❑√6
4 =
❑√15
4
.故选B.
12.ABD 解析 如图,由对称性,不妨设P,Q,M,N 在x 轴上方.
因为|T C1|
|T C2| =|C1 P|
|C2 M | = 1
2,∠TPC1,∠TMC2均为钝角,
易知△TPC1∽△TMC2,则∠TPC1=∠TMC2,故C1P∥C2M,故A 正确;
同理可得C1Q∥C2N,
所以∠PC1Q=∠MC2N.
因为|C1 P|
|C2 M | =|C1Q|
|C2 N | = 1
2,所以△PC1Q∽△MC2N,| PQ|
| MN | = 1
2,故B 正确;
取PQ 中点S,连接C1S,则⃗TP·⃗TQ=(⃗TS +⃗SP)·(⃗TS +⃗SQ)=⃗TS
2−⃗SP
2=(⃗TC1
2−⃗C1S
2)-(⃗
PC1
2−⃗C1S
2)=16-1=15,故C 错误;
因为⃗TP=3⃗PQ ,⃗TP·⃗TQ=3⃗PQ·4⃗PQ=12⃗PQ
2=15,所以|PQ|=
❑√5
2 .
因为|MN|=2|PQ|,且|TQ|=4|PQ|,
所以|QM|=|QN|-|MN|=|TQ|-2|PQ|=2|PQ|=❑√5,D 选项正确.故选ABD.
13.8 解析 不妨设点D 在第一象限.如图,设以AB 为直径的圆的圆心为E,F(2❑√3,0).
因为两圆内切,
所以|OE|=4-1
2
|BA|,
又OE 为△ABF 的中位线,
所以|OE|=1
2
|BF|,
所以1
2
|BF|=4-1
2
|BA|⇒|BA|+|BF|=8>4❑√3,
所以点B 的轨迹为以A,F 为焦点的椭圆(左、右端点除外),
设其方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0,y≠0),
则2a=8⇒a=4,c=2❑√3,b=❑√a
2-c
2= ❑√16-12=2,
显然当B 为椭圆短轴端点即(0,±2)时,S△BCD的面积最大,最大值为1
2
|BO|·|CD|=1
2 ×2×8=8.
14.BC 解析 由题意,△ABC 的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(-1,2),C(1,0),在圆M:(x-
a)2+y2=1 中,M(a,0),过点A 作圆M 的切线,切点为P,如图所示,半径R=PM=1,|AM|=
❑√(3-a)
2+(4 -0)
2=
❑√(3-a)
2+16.
易知AP⊥PM,在Rt△APM 中,
由勾股定理得,|AP|=❑√| AM |
2-| PM |
2=
❑√(
❑√(3-a)
2+16)
2-1
2=
❑√(a-3)
2+15,
∴当a=3 时,|AP|取最小值,|AP|min=❑√15,故A 错误;
△ABC 的重心坐标G(3-1+1
3
, 4+2+0
3
),即G(1,2),边AB 所在直线l1:y-4=
4 -2
3-(-1)
(x-3),即
y=1
2
x+5
2
,线段AB 的中点D(1,3),∴AB 的垂直平分线为y=-2x+5,
同理可得,AC 的垂直平分线为y=-1
2
x+3,{
y =-2 x +5,
y =- 1
2 x +3,
解得{
x = 4
3 ,
y = 7
3 ,
∴外心E(4
3 , 7
3
),
∴l 过G(1,2)和E(4
3 , 7
3
),l:y-2=
7
3 -2
4
3 -1
(x-1),即y=x+1,
由直线l 被圆M 截得的弦长为2,恰好为圆M 的直径,∴直线l 过圆心,
∴M(-1,0),即a=-1,B 正确;
∵圆M 上有且只有两个点到l 的距离都为1,
∴圆心M(a,0)到直线l:y=x+1 的距离小于直径.
∴|a-0+1|
❑√1
2+(-1)
2<2,解得-2❑√2-1<a<2❑√2-1,故C 正确;
由几何知识得,圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1,故D 错误.
故选
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