文档内容
第1讲 直线与圆（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................9
【考点一】直线的方程...................................................................................................................9
【考点二】圆的方程.....................................................................................................................13
【考点三】直线、圆的位置关系....................................................................................................18
【专题精练】...............................................................................................................................23
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低
难度.
2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于 两
点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆
交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对
称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·全国·高考真题）已知直线 与 交于A，B两点，写出满足“
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学科网（北京）股份有限公司面积为 ”的m的一个值 ．
6．（2022·全国·高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
7．（2022·全国·高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
8．（2022·全国·高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C D B A
1．C
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 成等差数列，所以 ， ，代入直线方程 得
，即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时，|AB|最小，
，此时 .
故选：C
2．D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的渐近线为 ，
当渐近线为 时，圆心 到该渐近线的距离 ，不合题意；
当渐近线为 时，则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
故选：D
3．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 ，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，则 ，解得 .
故选：B.
4．A
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将
用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
5． （ 中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长 ，以及点 到直线 的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
6．
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
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学科网（北京）股份有限公司依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
7．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
8． 或 或 或 ．
【分析】方法一：设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
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学科网（北京）股份有限公司设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆
的方程为 ；
（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，
联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立
得 ，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
考点突破
【考点一】直线的方程
核心梳理：
1．已知直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，则 l∥l⇔AB －AB ＝0，且 AC －
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
AC ≠0(或BC －BC ≠0)，l⊥l⇔AA＋BB＝0.
2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2．点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
0 0
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学科网（北京）股份有限公司3．两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
1 1 2 2
一、单选题
1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（20-21高二·全国·单元测试）如图，函数 的图象在点 处的切线是 ，则
（ ）
A． B． C．2 D．1
二、多选题
3．（2024·浙江温州·二模）已知圆 与圆 相交于 两点．若
，则实数 的值可以是（ ）
A．10 B．2 C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知点 在定圆 内，经过点 的动直线 与
交于 两点，若 的最小值为4，则（ ）
A．
B．若 ，则直线 的倾斜角为
C．存在直线 使得
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学科网（北京）股份有限公司D． 的最大值为12
三、填空题
5．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆 相切且方向向量为 的一条直线的方程 ．
6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知 ，若平面内满足到直线 的距
离为1的点 有且只有3个，则实数 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C D BD BC
1．C
【分析】当 时可得 ，即 ；当 时可得 ，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】当 时， ，
即 ，则 ，即 ；
当 时， ，解得 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
2．D
【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得 ，由切线方程得 ，从而可得结论．
【详解】由题可得函数 的图象在点 处的切线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，则切线
，即 .
所以， ， ， .
故选：D．
3．BD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，由条件可得弦 所在的直线方程，然后将 转化为圆心到直线 的距
离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得弦 所在的直线方程为 ，
因为圆 ，圆心 ，
圆 ，圆心 ，
设圆心 与圆心 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，即 ，
所以 ，又 ，
即 ，化简可得 ，
即 ，解得 或 .
故选：BD
4．BC
【分析】A选项，根据点 在圆 的内部得到不等式，求出 ，利用垂径定理得到 ，
而 ，从而得到方程，求出 ；B选项，在A选项基础上得到 ，结合 求出直线 的
斜率和倾斜角；C选项，假设存在，结合 满足要求，故C正确；D选项，由三角形面
积公式和相交弦定理得到D错误.
【详解】A．因为点 在圆 的内部，所以 ，解得 ．
设点 到直线 的距离为 ，则 ，其中 为定值，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 最大，|AB|最小．
又圆心 ，所以 ，
所以 ，解得 ，A错误．
B．由 选项可知，当|AB|=4时，直线 ，而 ，所以 ，
所以直线 的倾斜角为 ，B正确．
C．假设存在直线 使得 ，则此时点 到直线 的距离为 ，满足要求，
所以假设成立，C正确．
D．由三角形面积公式得
，
因为弦 一定经过点 ，设直线 与圆相交于点 ，
因为 ，所以 ∽ ，
故 ，故 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
当 ，即 时等号成立，故D错误．
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学科网（北京）股份有限公司故选：BC．
5． 或 （写出一个即可）
【分析】由条件可设直线方程为 ，结合条件列方程求 即可得结论.
【详解】因为切线的方向向量为 ，
所以切线的斜率为 ，
故可设切线方程为 ，
因为直线 与圆 相切，
又圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以与圆 相切且方向向量为 的直线为 或 ，
故答案为： 或 （写出一个即可）.
6． 或
【分析】设出动点 的坐标，由 求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线
的距离等于1即可.
【详解】设点 ，由 可得： ，
两边平方整理得： ，即点 的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2.
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学科网（北京）股份有限公司若该圆上有且只有3个点到直线 的距离为1，
则圆心到直线的距离 ，解得 ．
故答案为： 或 .
规律方法：
解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用AB－AB＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
1 2 2 1
(2)要注意直线方程每种形式的局限性．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
【考点二】圆的方程
核心梳理：
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
一、单选题
1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，则动
圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东·一模）过 ， ， 三点的圆与 轴交于 ， 两点，则 （ ）
A．3 B．4 C．8 D．6
二、多选题
3．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知 是圆心为 ，半径为2的圆上一动点， 是圆 所在平面上一定
点，设 （ ）．若线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，记动点 的轨迹为 ，则（ ）
A．当 时， 为椭圆 B．当 时， 为双曲线
C．当 时， 为双曲线一支 D．当 且 越大时， 的离心率越大
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学科网（北京）股份有限公司4．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数 满足： (其中 为虚数单位)，则下列说法正
确的有( )
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为
三、填空题
5．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，则 的外接圆的
标准方程为 ．
6．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知圆 与直线 交于A，B两点，则经过点A，B，
的圆的方程为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C D ABD BC
1．C
【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，
结合椭圆的定义即可得到结果.
【详解】圆 可化为 ，圆心 ，半径为 .
圆 可化为 ，圆心 ，半径为 .
设动圆圆心为点 ，半径为 ，圆 与圆 外切于点 ，圆 与圆 内切于点 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司由题意得， 三点共线， 三点共线， ， ，
∴ ，
∴点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且 ， ，
∴ ，
∴点 的轨迹方程为 .
故选：C.
2．D
【分析】设圆的方程为 ，代入坐标得 的值，即可得圆的方程，再令 ，
即可求得与 轴相交弦长.
【详解】设圆的方程为 ，代入点 ， ， ，
则 ，解得 ，
可得 ，整理得 符合题意，
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学科网（北京）股份有限公司所以圆的方程为 ，
令 ，可得 ，解得 ，所以 ．
故选：D.
3．ABD
【分析】根据题意，由线段垂直平分线的性质可得 ，结合选项，判断点B与圆的位置关系，结
合椭圆、双曲线的定义以及其几何性质，依次判断选项即可.
【详解】A：由题意知，点A、B为定点， ，当 时，点B在圆内，
由线段垂直平分线的性质知， ，
所以 ，
由椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆，故A正确；
B：当 时，点B在圆外，不妨设点B在点A的右边，
由线段垂直平分线的性质知， ，
所以 ；
同理，若点B在点A的左边，有 ，
所以 ，由双曲线的定义知，点M的轨迹为双曲线，故B正确；
C：由选项B的分析，可知C错误；
D：由选项A知，当 时，点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且 ，焦距为t，
若t增大，则半焦距c增大，所以离心率 随之增大；
由选项B知，当 时，点M的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，且 ，焦距为t，
若t增大，则半焦距c增大，所以离心率 随之增大；
所以当 且越大时，E的离心率越大，故D正确.
故选：ABD.
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学科网（北京）股份有限公司4．BC
【分析】设 ， ，根据已知条件求出两个复数对应点的轨迹，从而依
次计算可得正确答案．
【详解】设 ，则 ，即 ，
它表示以原点为圆心，半径为1的圆；
设 ，则由 ，得 ，
即 ，它表示一条直线；
对于选项A： ，故选项A错误；
对于选项B： ，故选项B正确；
对于选项C和D： 表示圆 上点与直线 上点的连线段的长度，
该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为 ；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无
穷远）；
故选：BC．
5． ；
【分析】利用待定系数法，结合配方法即可得解.
【详解】依题意，设 的外接圆的一般方程为 ，
则 ，解得 ，
所以所求圆的一般方程为 ，
则其标准方程为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
6．
【分析】设A(x ,y ),B(x ,y )，直线方程与圆的方程联立求出 点坐标，设经过点A，B， 的圆的
1 1 2 2
方程为 ，代入三点坐标解方程组可得答案.
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由 解得 ，
可得 ，
设经过点A，B， 的圆的方程为
，
所以 ，解得 ，
即 ，可得 .
故答案为： .
规律方法：
解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【考点三】直线、圆的位置关系
核心梳理：
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：
(1)点线距离法．
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学科网（北京）股份有限公司(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，
直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
一、单选题
1．（2024·山东济南·一模）与抛物线 和圆 都相切的直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线 上一点 作圆 的两
条切线，切点分别为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·安徽合肥·二模）已知圆 ，圆 ，则（ ）
A．两圆的圆心距 的最小值为1
B．若圆 与圆 相切，则
C．若圆 与圆 恰有两条公切线，则
D．若圆 与圆 相交，则公共弦长的最大值为2
4．（2024·安徽·二模）已知双曲线 ： （ ， ）左右焦点分别为 ， ， .
经过 的直线 与 的左右两支分别交于 ， ，且 为等边三角形，则（ ）
A．双曲线 的方程为
B． 的面积为
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学科网（北京）股份有限公司C．以 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
三、填空题
5．（2024·福建漳州·一模）过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为A， ，若直线
与圆 ： 相切，则 ．
6．（2023·河南·模拟预测）圆 与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足
，直线 与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D A AD BD
1．D
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.
【详解】设直线与抛物线 相切的切点坐标为 ，由 ，求导得 ，
因此抛物线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
依题意，此切线与圆 相切，于是 ，解得 或 ，所以所求切线条数为
3.
故选：D
2．A
【分析】由题意圆 的标准方程为 ，如图 ，
又 ，所以 ，又由圆心到直线的距离可求出 的最小值，
进而求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】如下图所示：
由题意圆 的标准方程为 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
又圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，所以不妨设 ，
则 ，
又因为 在 单调递增，所以当且仅当 即 ，即当且仅当直线 垂直已知直线
时，
有最大值 .
故选：A.
3．AD
【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距 ，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的
性质，列式算出 的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆 的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有
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学科网（北京）股份有限公司最大值，从而判断出D项的正误．
【详解】根据题意，可得圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ．
对于A，因为两圆的圆心距 ，所以A项正确；
对于B，两圆内切时，圆心距 ，即 ，解得 ．
两圆外切时，圆心距 ，即 ，解得 ．
综上所述，若两圆相切，则 或 ，故B项不正确；
对于C，若圆 与圆 恰有两条公切线，则两圆相交， ，
即 ，可得 ，解得 且 ，故C项不正确；
对于D，若圆 与圆 相交，则当圆 的圆心 在公共弦上时，公共弦长等于 ，达到最大
值，
因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确．
故选：AD．
4．BD
【分析】根据双曲线定义结合 为等边三角形得 ， ，由余弦定理得 ，进而
求出方程为 判断选项A；求出 判断选项B；利用两圆相切的几何意义可判断选项C、D.
【详解】由已知得 ，由双曲线定义知： ，
因为 ，所以 ，故 ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，所以 ，方程为 ，A错误.
的面积为 ，B正确.
取 的中点 ， ，两圆内切，故C错误.
取 的中点 ，则 ，两圆外切，故D正确.
故选：BD
5．81
【分析】由题意可知点 在以 为直径的圆上，结合两圆相交可得直线 的方程为 ，
再根据直线与圆相切列式求解.
【详解】圆 ： 的圆心为O(0,0)，半径 ；
圆 ： 的圆心为 ，半径 ；
由题意可知： ，可知点 在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆为 ，
整理得 ，结合圆 ： ，
两圆方程作差，可得直线 的方程为 ，即 ，
若直线 与圆 ： 相切，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，整理得 .
故答案为：81.
6．
【分析】求出A、B坐标，设N(x,y)，求出N的轨迹圆E的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即
可求其斜率．
【详解】对于圆 ，令 ，得 ，解得 或 ，
则 ， ．
设 ，∵ ，∴ ，
则 ，整理得 ，
则点N的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．
又圆M的方程为 ，则圆M的圆心为 ，半径为 ．
∵ ，∴两圆相交，
设直线l与圆M和点N轨迹圆E切点分别为C，D，
连接CM，DE，过M作DE的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM为矩形，
∵ ， ，∴ ，
则 ，
则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为 ．
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司规律方法：
直线与圆相切问题的解题策略
当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的
等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的
距离，再结合半径利用勾股定理计算．
专题精练
一、单选题
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）“ ”是“直线 与直线 平
行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系 中，点 在直线 上.若向量 ，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若双曲线 的实轴长为2，离心率为 ，
则双曲线的左焦点 到一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·辽宁大连·一模）过点 和 ，且圆心在x轴上的圆的方程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
5．（2024·江西·模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·北京房山·一模）已知直线 与圆 相交于M，N两点.则 的最
小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
7．（2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为 ， ， ，O为坐标原
点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽合肥·一模）已知直线 与 交于 两点，设弦
的中点为 为坐标原点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（22-23高二上·湖北武汉·期末）设圆 ，直线 为 上的动点，
过点 作圆 的两条切线 ，切点为 为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A． 的取值范围为
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学科网（北京）股份有限公司B．四边形 面积的最大值为
C．满足 的点 有两个
D． 的面积最大值为
10．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线 和圆 ，则（ ）
A．直线 过定点
B．直线 与圆 有两个交点
C．存在直线 与直线 垂直
D．直线 被圆 截得的最短弦长为
11．（2024·广东汕头·一模）如图， 是连接河岸 与 的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现
规划建一座新桥 ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥 与河岸 垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与 相切，且圆心 在线段 上；
③古桥两端 和 到该圆上任意一点的距离均不少于 .
经测量，点 分别位于点 正北方向 ､正东方向 处， .根据图中所给的平面直角
坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A．新桥 的长为
B．圆心 可以在点 处
C．圆心 到点 的距离至多为
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学科网（北京）股份有限公司D．当 长为 时，圆形保护区的面积最大
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知圆 与圆 有3条公切线，
则 的值为 ．
13．（2024·四川·模拟预测）圆 与圆 的公共弦长为 .
14．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为
曲线 的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．
．
四、解答题
15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O：
(1)过圆外一点 引圆的切线，求切线方程；
(2)设点P是直线 上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求 的面积最小值以及此时
点P的坐标．
16．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C： 和直线l： 相切．
(1)求圆C半径 ；
(2)若动点M在直线 上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．
①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；
②证明直线AB恒过定点．
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点 ， ，点P在以AB为直径的圆C上运动，
轴，垂足为D，点M满足 ，点M的轨迹为W，过点 的直线l交W于点E、F.
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学科网（北京）股份有限公司(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为 ，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)设直线AE，BF的斜率分别为 ， ，证明 为定值，并求出该定值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D A C B D AC ABC
题号 11
答案 AC
1．D
【分析】求出直线平行的充要条件为 ，结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】若 ，则有 ，所以 或 ，
当 时， ，故 ， 重合；
当 时， ，满足条件，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
2．C
【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出 为直线 的法向量，结合投
影向量的含义即可求得答案.
【详解】由题意设直线 的方向向量为 ，则 ，
而 ，则 ，即 为直线 的法向量，
又O到直线 的距离为 ，
故 在 上的投影向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
3．A
【分析】根据条件列方程组求出 ，然后利用点到直线的距离求解即可.
【详解】由已知得 ，解得 ，
则双曲线的左焦点 ，一条渐近线 ，
故双曲线的左焦点 到一条渐近线的距离为 .
故选：A.
4．D
【分析】借助待定系数法计算即可得.
【详解】令该圆圆心为 ，半径为 ，则该圆方程为 ，
则有 ，解得 ，
故该圆方程为 .
故选：D.
5．A
【分析】根据 表示圆得 ，又利用点在圆外得 ，从而可得结果.
【详解】因为 可化为 ，则 ，所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司又点 在圆 的外部，所以 ，故 ，
综上， ．
故选：A.
6．C
【分析】先求出圆心 和半径，以及直线的定点 ，利用圆的几何特征可得到当 时，
最小
【详解】由圆的方程 ，可知圆心 ，半径 ，
直线 过定点 ，
因为 ，则定点 在圆内，
则点 和圆心 连线的长度为 ，
当圆心到直线 距离最大时，弦长 最小，此时 ，
由圆的弦长公式可得 ，
故选：C
7．B
【分析】利用万能公式将直线方程化为 ，求出过原点与直线 垂直的直线方程，进而
得出点 的轨迹为圆心为 半径为3的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解.
【详解】由 可得 ，
令 ，由万能公式可得 ，
，所以直线 的方程为 ①，
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学科网（北京）股份有限公司由题意可知过原点与直线 垂直的直线方程为 ②，
可得 ，即表示点 的轨迹为圆心为 半径为3的圆，
于是线段 长度的取值范围为 ，因为 ，
所以线段PQ长度的取值范围为 ，
故选：B.
8．D
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设A(x ,y )，B(x ,y )， ，联立
1 1 2 2
直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到 ，从而求出动点 的轨迹方程，
再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出 的取值范围.
【详解】 即 ，则圆心为 ，半径 ，
直线 ，令 ，解得 ，即直线恒过定点(1,0)，
又 ，所以点(1,0)在圆内，
设A(x ,y )，B(x ,y )， ，由 ，
1 1 2 2
消去 整理得 ，显然 ，则 ，
则 ，
所以 ， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
又直线 的斜率不为 ，所以 不过点(1,0)，
所以动点 的轨迹方程为 （除点(1,0)外），
圆 的圆心为 ，半径 ，
又 ，所以 ，
即 ，即 的取值范围为 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点 的轨迹，再求出圆心到原点的距离 ，最后根据圆的几何
性质计算可得.
9．AC
【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C，根据三角形的面积公式可求解D.
【详解】圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，因为圆的半径为 ，
根据切线长公式可得 ，
当 时取得等号，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围为 ，A正确；
因为 ，
所以四边形 的面积等于 ，
四边形 面积的最小值为 ，故B错误；
因为 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，所以 ，
设 ，因为 ，
整理得 ，
则有 ，所以满足条件的点 有两个，C正确；
因为
所以当 ，即 ，面积有最大值为 ，
此时四边形 为正方形，则 ，满足要求，
故D错误，
故选:AC.
10．ABC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直
关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由 可得， ，
令 ，即 ，此时 ，所以直线l恒过定点 ，A正确；
对B，因为定点 到圆心的距离为 ，
所以定点 在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对C，因为直线 的斜率为 ，所以直线l的斜率为 ，即 ，
此时直线l与直线 垂直，满足题意，C正确；
对D，因为直线l恒过定点 ，圆心到直线l的最大距离为 ，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为 ，D错误；
故选：ABC.
11．AC
【分析】根据给定条件，求出直线 的方程，联立求出点 的坐标判断A；设 ，由题意列出不
等式组 ，再结合 代换求得 的范围，判断BCD.
【详解】如图，以 为 轴建立直角坐标系，则 ， ，
依题意，直线 的斜率 ，直线 方程为： ，
直线 的斜率 ，则直线 方程为 ，
由 ，解得 ，即 ， ，A正确；
设 ，即 ，直线 的一般方程为 ，
圆 的半径为 ，显然 ，由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，即 长的范围是 ，B错误，C正确；
当 ，即 长为 时，圆 的半径 最大，圆形保护区的面积最大，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：某些实际应用问题，由题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键.
12．
【分析】根据两圆外切求解可得.
【详解】由题可得，圆 ，圆心为 ，半径为2；
圆 ，圆心为 ，半径为1．
因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，
故圆心距 ，解得 ．
故答案为：
13．
【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出 到直线的 的距离，则
公共弦长为 ，即可得出答案.
【详解】将两个圆的方程作差得： ，即公共弦所在的直线为 ，
又知 ， ，则 到直线的 的距离为：
，所以公共弦长为 ，
故答案为： .
14．①②④
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学科网（北京）股份有限公司【分析】①在 和 处的切线都是 ，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最
高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为 ，求出
，设切点分别为 ， ，通过 ，解
方程即可判定；④画出图形即可判断.
【详解】① ，在 和 处的切线都是 ，故①有“自公切线”；
② ，其中 ， ，
此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；
③ ，即 ，则 ，
假设有“自公切线”，设切点分别为 ， ，且 ，
所以切线的斜率 ，解得： ，
则 ，故 ，
化简得： ，无解，所以③没有“自公切线”.
④ ，
当 ，则 ，当 ，则 ，
表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：①②④
15．(1) 和x=2
(2)点P 的坐标为 ，面积最小值为
【分析】（1）设过点 的切线方程为 ，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，
求出切线方程，注意直线斜率不存在的情况．
（2）由圆的几何性质可知，当 的面积最小时， ，求出OP的方程后即可得到点P的坐标，
进一步可求 的最小面积．
【详解】（1）
当切线斜率存在时，设切线的方程为 ，即 ，
圆心 到切线的距离是2，
，解得 ，
切线方程为 ，即
当切线斜率不存在时，易知x=2与圆也相切，
故所求切线方程为 和
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学科网（北京）股份有限公司（2）由圆的几何性质可知，当 时， 的面积最小值．
又因为 ，
所以直线OP的方程为
由 解得
即点P 的坐标为
此时 的面积最小值为
16．(1) ；
(2)① ；②证明见解析.
【分析】（1）求出圆 的圆心到直线 的距离即得.
（2）①设 ，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、
C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解.
【详解】（1）圆心 到直线 的距离 ，
所以圆C半径 .
（2）①由（1）知，圆C的方程为： ，圆心 ， ，
由MA、MB是 的两条切线，得 ， ，设 ，
则 ，
因此 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
②由①知，点 ， ， ，则 四点共圆且以MC为直径，
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学科网（北京）股份有限公司此圆的方程为 ，整理得 ，
而圆C的方程为， ，两圆方程相减得 ，
因此直线 的方程为 ，对任意实数 ，当 时， ，
所以直线 过定点 .
17．(1)
(2)
(3)证明见解析，2
【分析】（1）由已知可得圆的方程，设M(x,y)，P(x ,y )， ，根据 ，可得 ，
0 0
，代入圆的方程即可求解；
（2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意可知直线 斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，联立直线和椭
圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）
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学科网（北京）股份有限公司由题意，点 在圆 上运动，设M(x,y)，P(x ,y )， ，
0 0
由 得 ， ，
又 ，所以 ，所以 的方程为 ；
（2）直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 被圆C截得的弦长为 ；
（3）
由题意，直线 斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
故 ，
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
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