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中档题满分练(2)
[分值：22 分]
1.(10 分)(2025·山东烟台市、德州市、东营市一模)如图所示为一半径为R 的半球形玻璃砖的截面图，O 为
球心，下表面水平。玻璃砖的上方水平放置一个足够大的光屏，虚线OO1为光轴(过球心O 与半球下表面
垂直的直线)，O1为光轴与光屏的交点。现有一平行光束垂直于玻璃砖的下表面射入玻璃砖，光束恰好照
满下表面。一条从玻璃砖下表面A 点射入的光线，经过玻璃砖后从上表面的B 点射出，出射光线与光轴
OO1相交于D 点，光线BD 与OO1的夹角α=15°，不考虑光在玻璃砖内表面的反射光，OA=1
2R，OO1=3√2
R，求：
(1)(4 分)玻璃砖的折射率；
(2)(6 分)光屏上被光线照亮区域的面积。
答案 (1)√2 (2)8πR2
解析 (1)从A 点射入的光线在玻璃砖内沿直线传播，在玻璃砖上表面的B 点折射，设入射角∠OBA 为i，
折射角为γ，光路如图甲。
由几何关系可知sin i=OA
R =1
2
γ=i+α=45°
折射率为n=sin γ
sini =√2
(2)设射入玻璃砖内的光线在上表面E 点恰好发生全反射，临界角为C，E 点在光屏上的投影点为E'，对应
折射光线与光屏的右侧交点为F 点，光路如图乙。
因为sin C=1
n=√2
2
解得C=45°
由几何知识可得∠E'EF=45°，EE'=E'F=5√2
2 R
光屏上被光线照亮区域半径
r=5√2
2 R-√2
2 R=2√2R
照亮区域面积为S=πr2=8πR2。
2.(12 分)(2025·陕晋宁青卷·14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可
测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，足够长圆柱形
筒半径为R。在圆筒中央O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加
大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小
调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求(R、v0、B0均为已知量)：
(1)(3 分)电子的比荷e
m；
(2)(9 分)当磁感应强度大小调至1
2B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。
答案 (1) 2v0
B0 R (2)2√3π2R2
解析 (1)当磁场的磁感应强度为B0时，恰好没有电子落到筒壁上。
则以速度v0垂直轴线方向射出的电子，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径R0= R
2
根据洛伦兹力提供向心力可得eB0v0=mv0
2
R0
联立解得e
m=
2v0
B0 R
(2)磁感应强度调整为B0
2 后，当电子速度与磁场不垂直时，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分
解，分别设vx、vy，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击
中筒壁距离电子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为R0= R
2
根据洛伦兹力提供向心力可得eB0
2 vx=mv x
2
R0
联立解得vx=v0
2
由射出到相切，经过半个周期，用时t=T
2 =1
2×2π R0
v x
=1
2×
2π m
e B0
2
=2π m
e B0
=π R
v0
根据速度的合成与分解可知
vy=√v0
2- v x
2=√3
2 v0
平行轴线方向运动距离
y=vyt=√3 π
2
R
结合对称性，被电子击中的面积
S=2×2πRy=2√3π2R2。
