专题过关检测五 解析几何
(分值:150 分)
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 四川眉山三模)已知点A(4,2❑√3),B(1,❑√3),若向量⃗AB是直线l 的方向向量,则直线l
的倾斜角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
2.(2025 湖南湘潭三模)已知椭圆C: x
2
m
2+y2=1(m>0)的离心率为❑√3m,则C 的短轴长为(
)
A.1
2
B.1
C.2
D.3
3.(2025 浙江温州三模)已知圆x2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=r2(r>0)有公共点,则r 的取值范围为
( )
A.[2,+∞)
B.[2,4]
C.[3,4]
D.[1,4]
4.(2025 陕西咸阳三模)如图,已知曲线C 由一段以坐标原点O 为圆心的圆弧和双曲线(该
双曲线的中心为坐标原点O,F1,F2为其左、右焦点)右支的一部分组成,圆弧和双曲线弧
的公共点为A,B,若A,B,F2三点共线,|AF1|=25,|AB|=14,则圆弧的方程为( )
A.x2+y2=144(x≥10)
B.x2+y2=193(x≥12)
C.x2+y2=144(x≤10)
D.x2+y2=193(x≤12)
5.(2025 北京石景山一模)已知抛物线C:y2=8x 的焦点为F,点M(x0,y0)在C 上,若|MF|>4,则
( )
A.x0∈(0,2)
B.y0∈(0,2)
C.x0∈(2,+∞)
D.y0∈(2,+∞)
6.(2025 江西景德镇三模)动圆M 经过直线l:y=x 与☉C:(x-6)2+y2=20 的交点A,B,过原点
O 向动圆M 作切线,切点为P,若⃗PA ·⃗PB>λ 恒成立,则实数λ 的最大值是( )
A.8❑√2-12
B.20-12❑√2
C.20❑√2-30
D.32-24❑√2
7.(2025 江苏南京二模)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点
为F,点M,N 在C 的右支上,且⃗MF=3⃗FN,点N 关于原点O 的对称点为P.若PF⊥MN,则C
的离心率为( )
A.
❑√5
2
B.
❑√6
2
C.3
2
D.
❑√10
2
8.(2025 山东模拟预测)已知F1,F2为椭圆与双曲线的公共左、右焦点,P 为它们的一个公
共点,且|PO|=|F2O|,O 为坐标原点,e1,e2分别为椭圆和双曲线的离心率,则2
e1
+ 1
e2
的最大值
为( )
A.2❑√2
B.❑√10
C.2❑√3
D.
❑√10
2
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 河北邢台模拟)已知a≠0,a∈R,圆C:x2+y2-2ax-4y+a2=0 与直线x=ty 交于A,B 两点,
O 为坐标原点,则( )
A.a=1,t=0 时,|AB|=2
B.过点O 向圆C 所引的切线长为|a|
C.a=2 时,AB 中点的轨迹长度为❑√2π
D.|OA|·|OB|=a2
10.(2025 河北秦皇岛三模)已知曲线E: 1
x
2 + λ
y
2=1,则下列说法正确的是( )
A.当λ=-1 时,曲线E 关于直线y=-x 对称
B.当λ=0 时,E 是两条直线
C.当λ=1 时,若点P(x,y)是曲线E 上的任意一点,则|x|>1
D.当λ=2 时,曲线E 上的点P(x,y)到原点距离的最小值为❑√2+1
11.(2025 山东滨州二模)已知F1,F2是双曲线C: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,抛物线
E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C 的右焦点重合,且M 是双曲线C 与抛物线E 的一个公
共点.若△MF1F2是等腰三角形,则双曲线C 的离心率为( )
A.❑√2+1
B.❑√2+2
C.❑√3+2
D.❑√3+1
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2025 河北秦皇岛三模)已知双曲线C: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F,直线l 经过点
F 与C 的左、右两支各有一个交点,若l 与C 的其中一条渐近线垂直,则C 的离心率的取
值范围为 .
13.(2025 上海杨浦二模)如图,阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的
空槽、两个可动滑块A,B 组成的一种绘图工具,横杆的一端C 上装有铅笔,假设两条互相
垂直的空槽和带孔的横杆都足够长,将滑块A,B 固定在带孔的横杆上,令滑块A 在其中一
条空槽上滑动,滑块B 在另一条空槽上滑动,铅笔C 随之运动就能画出椭圆.当A,B 之间
的距离为14 厘米时,若需要画出一个离心率为4
5
的椭圆,则B,C 之间的距离为
厘米.
14.(2025 福建厦门三模)已知直线l:y-2=0 与圆O:x2+y2=4 相切于点T,A 是圆O 上一动点,
点P 满足PO⊥OA,且以P 为圆心,PA 为半径的圆恰与l 相切,则sin∠PTO 的最大值为
.
四、解答题:本大题共5 小题,共计77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)(2025 湖北宜昌二模)已知双曲线C: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,点A(2,
❑√3
3
)在C 上,且AF2⊥F1F2.
(1)求C 的标准方程;
(2)过F2的直线交双曲线C 于M,N 两点(M,N 两点均位于x 轴下方,M 在左,N 在右),线段
AM 与线段F1N 交于点R,若△F1RM 的面积等于△ARN 的面积,求|MN|.
16.(15 分)(2025 山东烟台二模)已知双曲线Γ: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦距为4,点(❑√6,1)在
Γ 上.
(1)求Γ 的方程;
(2)设过Γ 的左焦点F1的直线交Γ 的左支于点A,B,过Γ 的右焦点F2的直线交Γ 的右支于
点C,D,若以A,B,C,D 为顶点的四边形是面积为4❑√6的平行四边形,求直线AB 的方程.
17.(15 分)(2025 广东深圳二模)已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0),F 为E 的右焦点,P 为E 上
的动点,当直线PF 与x 轴垂直时,|PF|=1
2
,R 是直线y=2 上一动点,|PR|的最小值为1.
(1)求E 的方程:
(2)过点R 作E 的两条切线分别交x 轴于M,N 两点,求△RMN 面积的取值范围.
18.(17 分)(2025 江苏南京二模)在平面直角坐标系xOy 中,点A(-1,0),B(1,0),Q(-4,0),动点P
满足|PA|+|PB|=4,记点P 的轨迹为C.
(1)求C 的方程.
(2)过点Q 且斜率不为0 的直线l 与C 相交于两点E,F(E 在F 的左侧).设直线AE,AF 的斜
率分别为k1,k2.
①求证:k1
k2
为定值;
②设直线AF,BE 相交于点M,求证:|MA|-|MB|为定值.
19.(17 分)(2025 广东中山模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中,若在曲线E1的方程
F(x,y)=0 中,以(λx,λy)(λ 为非零的正实数)代替(x,y)得到曲线E2的方程F(λx,λy)=0,则称曲
线E1,E2关于原点“伸缩”,变换(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”,λ 称为伸缩比.
(1)已知曲线E1的方程为x
2
4
-y2=1,伸缩比λ=1
2
,求E1关于原点“伸缩变换”后所得曲线E2
的方程;
(2)射线l 的方程y=❑√2x(x≥0),如果椭圆E1: x
2
4
+y2=1 经“伸缩变换”后得到椭圆E2,若射
线l 与椭圆E1,E2分别交于两点A,B,且|AB|=
❑√3
3
,求椭圆E2的方程;
(3)对抛物线E1:x2=2p1y,作变换(x,y)→(λ1x,λ1y),得抛物线E2:x2=2p2y;对E2作变换
(x,y)→(λ2x,λ2y),得抛物线E3:x2=2p3y;如此进行下去,对抛物线En:x2=2pny 作变换
(x,y)→(λnx,λny),得抛物线En+1:x2=2pn+1y,….若p1=1,λn=2n,求数列{pn}的通项公式pn.
答案：
1.A 解析 直线l 的斜率k=2❑√3- ❑√3
4 -1
=
❑√3
3
,所以直线l 的倾斜角为30°.故选A.
2.B 解析 依题意,0<❑√3m<1,即0<m< 1
❑√3
,则C 的焦点在y 轴上,因此❑√3m=
❑√1-m
2
1
,所以
m=1
2
,故C 的短轴长为2m=1.故选B.
3.B 解析 由题可得|r-1|≤3≤r+1,解得2≤r≤4.故选B.
4.D 解析 由题可知圆弧和双曲线弧的公共点为A,B,若A,B,F2三点共线,故AB⊥F1F2,所
以|AF2|=|BF2|=1
2
|AB|=7,所以|F1F2|=❑√| A F1|
2-| A F2|
2=
❑√25
2-7
2=24=2c,则|OF2|
=c=12,
故|OA|=❑√|O F2|
2+| A F2|
2=
❑√12
2+7
2= ❑√193,即圆弧的半径为❑√193,则圆弧的方程为
x2+y2=193(x≤12).故选D.
5.C 解析 抛物线C:y2=8x 的准线方程为x=-2,又点M(x0,y0)在C 上,且|MF|>4,则|MF|
=x0+2>4,所以x0>2,即x0∈(2,+∞),故A 错误,C 正确;又y0
2=8x0,所以y0
2∈(16,+∞),所以
y0∈(4,+∞)∪(-∞,-4),故B,D 错误.故选C.
6.D 解析 将直线l 与☉C 的方程联立,得A(2,2),B(4,4),设动圆M 的方程为(x-6)2+y2-
20+λ(x-y)=0,∴切线长|OP|=❑√(0-6)
2+0
2-20+ λ(0-0)=4,即点P 的轨迹是以O 为圆心,
r=4 为半径的圆,设线段AB 的中点为D(3,3).
∵⃗PA ·⃗PB=PD2-AD2=PD2-2,而|PD|>|OD|-r=3❑√2-4(O,P,D 不能三点共线),∴λ 的最大值是
32-24❑√2.故选D.
7.D 解析 设双曲线的左焦点为F1,连接PF,PF1,NF1,MF1,如图所示.
根据双曲线的对称性可知四边形PF1NF 为平行四边形,又因为PF⊥MN,所以四边形
PF1NF 为矩形,设|NF|=t(t>0),因为⃗MF=3⃗FN,则|MF|=3t,
由双曲线的定义可得|NF1|=2a+t,|MF1|=2a+3t,又因为△MNF1为直角三角形,
所以|MN|2+|NF1|2=|MF1|2,
即(4t)2+(2a+t)2=(2a+3t)2,解得t=a,
所以|NF1|=3a,|NF|=a,
又因为△NFF1为直角三角形,|FF1|=2c,
所以|NF|2+|NF1|2=|FF1|2,即a2+9a2=4c2,
所以c
2
a
2 = 10
4 ,即e=c
a =
❑√10
2 .故选D.
8.B 解析 由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0), x
2
a'
2 −y
2
b'
2
=1(a'>0,b'>0),
因为二者共焦点,所以c2=a2-b2=a'2+b'2,如图.
设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆和双曲线的定义可知m+n=2a,m-n=2a',
由此解得m=a+a',n=a-a',
由题意知|PO|=|F2O|=|F1O|=c,
所以∠F1PF2=∠F1PO+∠OPF2=1
2
(∠F1PO+∠PF1O)+1
2
(∠F2PO+∠PF2O)=90°,
故在Rt△PF1F2中,由勾股定理可知m2+n2=4c2,代入m,n 的表达式可得a2+a'2=2c2,
由离心率的定义可得1
e1
2 + 1
e2
2=2,设x= 1
e1
,y= 1
e2
,则x2+y2=2,问题转化为求2x+y 的最大值,设
p=(x,y),q=(2,1),由p·q≤|p|·|q|可得2x+y≤❑√2
2+1
2·
❑√x
2+ y
2= ❑√10,
当且仅当两向量同向共线时即x=2y=2❑√10
5
等号成立,所以2
e1
+ 1
e2
的最大值为❑√10.
故选B.
9.BCD 解析 圆C:(x-a)2+(y-2)2=4 的圆心C(a,2),半径r=2.
当a=1,t=0 时,点C(1,2)到直线x=0 的距离d=1,
则|AB|=2❑√r
2-d
2=2❑√3,A 错误;
切线长为❑√|OC |
2-r
2=|a|,B 正确;
当a=2 时,点C(2,2),令弦AB 中点为M,则CM⊥AB,点M 的轨迹是以OC 为直径的半圆
(不含端点),轨迹长度为1
2
|OC|π=❑√2π,C 正确;
由{
x =ty ,
x
2+ y
2-2ax - 4 y +a
2=0,
消去x 得(t2+1)y2-(2at+4)y+a2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2= a
2
t
2+1
,|OA||OB|=|⃗OA ·⃗OB|=|x1x2+y1y2|=|(t2+1)y1y2|=a2,D 正确.故
选BCD.
10.BCD 解析 当λ=-1 时,曲线E: 1
x
2 −1
y
2=1,设点(x,y)在曲线上,则点(x,y)关于y=-x 对称
的点为(-y,-x),所以
1
(- y )
2 −
1
(- x )
2 =1,即1
x
2 −1
y
2=-1,故点(-y,-x)不在曲线E 上,所以曲线E
不关于直线y=-x 对称,故A 错误;
因为λ=0,所以1
x
2=1,则x2=1,所以x=±1,即E 是两条直线,故B 正确;
当λ=1 时,曲线E: 1
x
2 + 1
y
2=1,则1
y
2=1- 1
x
2>0,所以x
2-1
x
2
=( x -1)( x +1)
x
2
>0,解得x>1 或
x<-1,所以|x|>1,故C 正确;
当λ=2 时,曲线E: 1
x
2 + 2
y
2=1,则x2+y2=(x2+y2)
1
x
2 + 2
y
2 =3+ y
2
x
2 + 2 x
2
y
2 ≥3+2❑√
y
2
x
2 · 2 x
2
y
2
=3+2❑√2,当且仅当y
2
x
2 = 2 x
2
y
2 ,即x2=1+❑√2,y2=2+❑√2时等号成立,所以
❑√x
2+ y
2≥❑√3+2❑√2=
❑√(❑√2+1)
2= ❑√2+1,所以曲线E 上的点P(x,y)到原点距离的最小值为
❑√2+1,故D 正确.故选BCD.
11.AC 解析 由题设F2
p
2 ,0 ,且p>0,a2+b2=c2= p
2
4 ,
当|MF2|=|F1F2|=2c 时,由抛物线的性质可知|MF2|=xM+c,所以xM=c,
故y M
2 =2pxM=4c2,
所以c
2
a
2 −4 c
2
b
2 =1,即c
2
a
2 −4 c
2
c
2-a
2=1,
化简得c4-6c2a2+a4=0,
所以e4-6e2+1=0,求得e2=3+2❑√2或e2=3-2❑√2,
又e>1,得到e2=3+2❑√2,解得e=❑√2+1(负值舍去);
当|MF1|=|F1F2|=2c 时,则|MF2|=2c-2a,
由抛物线的性质可知|MF2|=xM+c,则xM=c-2a,
所以y M
2 =2pxM=4c(c-2a),所以(c -2a)
2
a
2
−4 c(c -2a)
b
2
=1,
即(c -2a)
2
a
2
−4 c(c -2a)
c
2-a
2
=1,
化简得c4-4ac3-2c2a2+12ca3-3a4=0,
所以e4-4e3-2e2+12e-3=0,
所以(e2-4e+1)(e2-3)=0,
所以e2-4e+1=0 或e2-3=0,解得e=2+❑√3或e=❑√3,
又c-2a>0,所以e>2,解得e=2+❑√3.
综上,e=❑√2+1 或e=2+❑√3.
故选AC.
12.(❑√2,+∞) 解析 由题意可得双曲线C: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的两渐近线方程为y=±b
ax,
由对称性不妨设直线l 与渐近线y=-b
a
x 垂直,由题意可得直线l 的斜率为a
b
,
又直线l 与双曲线C 的左、右两支各有一个交点,则a
b < b
a
,
所以a2<b2,所以a2<c2-a2,所以2a2<c2,所以2<c
2
a
2,即2<e2,解得e>❑√2,
所以C 的离心率的取值范围为(❑√2,+∞).
13.21 解析 依题意,当滑块B 在两条空槽的交点处时,BC 长为椭圆的短半轴长b,
当滑块A 在两条空槽的交点处时,AC 长为椭圆的长半轴长a,则a=14+b,
由椭圆的离心率为4
5 ,得
❑√a
2-b
2
a
= ❑√1-( b
a )
2= 4
5
,解得b
a = 3
5,即
b
14 +b = 3
5,解得b=21,所以
B,C 之间的距离为21 厘米.
14.
❑√3
3
解析 设P(x,y),则x≠0,
因为直线l:y-2=0 与圆O:x2+y2=4 相切于点T,
则T(0,2),
又以P 为圆心,PA 为半径的圆恰与l 相切,
则可得|y-2|=|PA|=❑√O A
2+O P
2=
❑√x
2+ y
2+ 4,化简可得x2=-4y,且x≠0,
从而可设P x0,-x0
2
4
,且x0≠0,
则sin∠PTO=
| x0|
|TP| =| x0|
❑√x0
2+(- x0
2
4 -2)
2
=
1
❑√
x0
2
16 + 4
x0
2 +2
,
由于x0
2
16 + 4
x0
2
+2≥2❑√
x0
2
16 · 4
x0
2
+2=3,当且仅当x0
2
16 = 4
x0
2
,即x0=±2❑√2时,等号成立,
所以sin∠PTO=
1
❑√
x0
2
16 + 4
x0
2 +2
≤1
❑√3 =
❑√3
3 ,
故sin∠PTO 的最大值为
❑√3
3
.
15.解 (1)因为AF2⊥F1F2,且A 2,
❑√3
3
,
所以焦点F2(2,0),即c=2,
又4
a
2 −1
3b
2=1,由{
4
a
2 - 1
3b
2 =1,
a
2+b
2= 4,
解得{
a
2=3,
b
2=1,
所以双曲线C: x
2
3
-y2=1.
(2)由题知直线斜率不为0,设过F2(2,0)的直线为x=my+2(m>0),
联立{
x =my +2,
x
2
3 - y
2=1,消x 得到(m2-3)y2+4my+1=0,
则Δ=(4m)2-4×(m2-3)=12(m2+1)>0,且m≠❑√3.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=- 4 m
m
2-3
,y1y2=
1
m
2-3
.
因为S△F1RM=S△ARN,所以S△F1 NM=S△ANM,
即点F1(-2,0)和点A 2,
❑√3
3
到直线x=my+2 的距离相等,
则有|- 4|
❑√1+m
2 =|-
❑√3
3 m|
❑√1+m
2
,解得m2=48,所以|MN|=❑√1+m
2|y1-y2|=
❑√1+m
2❑√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2= 2❑√3(m
2+1)
|m
2-3|
= 98 ❑√3
45 .
16.解 (1)由双曲线Γ: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦距为4,点(❑√6,1)在Γ 上,
可得2c=4,所以c=2,且6
a
2 −1
b
2=1,
又因为c2=a2+b2,即a2+b2=4,
联立{
a
2+b
2= 4,
6
a
2 - 1
b
2 =1,解得a2=3,b2=1,
所以Γ 的方程为x
2
3
-y2=1.
(2)由题意知,四边形ABCD 为平行四边形,可得直线AB 与CD 平行,
当直线AB 斜率不存在时,令x=-2,代入双曲线方程x
2
3
-y2=1,可得y=±
❑√3
3
,
此时四边形ABCD 为矩形,面积为4×2❑√3
3
= 8 ❑√3
3
,不合题意;
所以直线AB 斜率存在,设直线AB 的方程为y=k(x+2),则直线CD 的方程为y=k(x-2),
直线AB 和CD 的距离d=|4 k |
❑√1+k
2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立{
x
2
3 - y
2=1,
y =k ( x +2),
整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2-3=0,
则1-3k2≠0,Δ=12(k2+1)>0,且x1+x2= 12k
2
1-3k
2,x1x2=-12k
2-3
1-3k
2 ,
又由双曲线的渐近线的方程为y=±
❑√3
3
x,
要使得过Γ 的左焦点F1的直线交Γ 的左支于点A,B,可得k2>1
3
,则|AB|=❑√1+ k
2|x1-x2|=
❑√1+ k
2·
❑√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2=
❑√1+ k
2❑√
( 12k
2
1-3k
2 )
2+ 48k
2+12
1-3k
2 = 2❑√3(1+k
2)
3k
2-1
,
所以S 四边形ABCD=|AB|×d=2❑√3(1+k
2)
3k
2-1
×|4 k |
❑√1+k
2 = 8 ❑√3|k |
❑√1+ k
2
3k
2-1
=4❑√6,
化简可得7k4-8k2+1=0,解得k2=1
7
,或k2=1.
因为k2>1
3
,所以k2=1,解得k=±1,
故直线AB 的方程为y=±(x+2),
即x-y+2=0 或x+y+2=0.
17.解 (1)设点F(c,0)(c>0),
当直线PF 与x 轴垂直时,不妨设点P c,1
2 ,
则c
2
a
2 +
( 1
2 )
2
b
2
=1.
因为|PR|的最小值为2-b=1,所以b=1,又由a2=b2+c2,
解得a=2,c=❑√3,故E 的方程为x
2
4
+y2=1.
(2)如图,
设点M(m,0),N(n,0),R(t,2),显然直线RM,RN 斜率不为0,
设lRM:x=t -m
2
y+m,lRN:x=t -n
2
y+n,
联立{
x
2
4 + y
2=1,
x = t -m
2
y +m,
得[16+(t-m)2]y2+4(t-m)my+4(m2-4)=0.
因为直线RM 与E 相切,所以Δ=[4(t-m)m]2-4[16+(t-m)2]·4(m2-4)=0,
于是16(t-m)2m2-16[16+(t-m)2](m2-4)=0,
化简得3m2+2tm-t2-16=0,
又直线RN 与E 相切,同理有3n2+2tn-t2-16=0,
故m,n 是关于x 的一元二次方程3x2+2tx-t2-16=0 的两根,
则m+n=-2t
3
,mn=-t
2+16
3
,
所以|MN|=|m-n|=❑√(m+n)
2- 4 mn=
❑√(- 2t
3 )
2- 4×(- t
2+16
3
)= 4
❑√t
2+12
3
,
又t2≥0,所以S△RMN=1
2|MN|·2=4
❑√t
2+12
3
≥4 ❑√0+12
3
= 8 ❑√3
3
,
所以△RMN 面积的取值范围为8 ❑√3
3
,+∞.
18.(1)解 由|AB|=2,|PA|+|PB|=4>|AB|,
所以点P 在以A,B 为焦点,4 为长轴长的椭圆上.
设椭圆方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0),焦距为2c,
则c=1,a=2,所以b2=a2-c2=3,
所以C 的方程为x
2
4 + y
2
3
=1.
(2)①证明 由Q(-4,0),直线l 的斜率存在且不为0.
设直线l 的方程为x=my-4,E(x1,y1),F(x2,y2),x1<0,
联立{
x
2
4 + y
2
3 =1,
x =my - 4,
得(3m2+4)y2-24my+36=0,
则3m2+4≠0,Δ=144(m2-4)>0,y1+y2= 24 m
3m
2+ 4
,y1y2=
36
3m
2+ 4
,
所以my1y2=3
2
(y1+y2).
又A(-1,0),所以k1=
y1
x1+1,k2=
y2
x2+1,
所以k1
k2
= y1( x2+1)
y2( x1+1) = y1(m y2-3)
y2(m y1-3) = m y1 y2-3 y1
m y1 y2-3 y2
=
3
2 ( y1+ y2)-3 y1
3
2 ( y1+ y2)-3 y2
=
- 3
2 y1+ 3
2 y2
3
2 y1- 3
2 y2
=-1.
②解 由①知k1
k2
=-1,所以k1+k2=0.作点E 关于x 轴的对称点E'(x1,-y1),则F,A,E'三点共线.
又A(-1,0),B(1,0),设M(x0,y0),则直线AF 方程即为直线AE'方程x=- x1-1
y1
y-1.又直线BE 方
程为x= x1-1
y1
y+1,两式作差,得y0=- y1
x1
,
所以x0=- x1-1
y1
· - y1
x1
-1= 1
x1
,
所以x1= 1
x0
,y1=- y0
x0
,由x1<0,得x0<0.
又因为x1
2
4 + y1
2
3
=1,所以( 1
x0
)
2
4
+
(- y0
x0
)
2
3
=1,
即x0
2−y0
2
3 = 1
4
,即
x0
2
1
4
−y0
2
3
4
=1(x0<0),
所以点M 在以A,B 为焦点,1 为实轴长的双曲线的左支(椭圆内部)上运动,
所以|MA|-|MB|=-1.
19.解 (1)由条件得( 1
2 x)
2
4
- 1
2
y
2=1,整理得x
2
16 −y
2
4
=1,
所以E2的方程为x
2
16 −y
2
4
=1.
(2)因为椭圆E1经“伸缩变换”后得到椭圆E2,
对E1作变换(x,y)→(λx,λy)(λ>0),得E2: λ
2 x
2
4
+λ2y2=1.
联立{
y = ❑√2 x( x ≥0),
x
2
4 + y
2=1,
解得点A 的坐标为2
3 , 2❑√2
3
.
联立{
y = ❑√2 x( x ≥0),
λ
2 x
2
4
+ λ
2 y
2=1, 解得点B 的坐标为
2
3 λ , 2❑√2
3 λ
.
所以|AB|=❑√1+2 2
3 −2
3 λ =
❑√3
3 ,
所以2
3 −2
3 λ = 1
3 或2
3 λ −2
3 = 1
3
.
解得λ=2 或λ=2
3
.
因此椭圆E2的方程为x2+4y2=1 或x
2
9 + 4 y
2
9
=1.
(3)对En:x2=2pny 作变换(x,y)→(λnx,λny),
得抛物线En+1:(λnx)2=2pnλny,即x2=2 pn
λn
y.
又因为x2=2pn+1y,所以pn+1= pn
λn
,即pn+1
pn
= 1
2
n.
当n≥2 时, pn
pn-1
· pn-1
pn-2
· pn-2
pn-3
·…· p4
p3
· p3
p2
· p2
p1
= 1
2
1+2+3+…+(n-1),
得pn= 1
2
1
2 n(n-1),p1=1 适用上式.
所以数列{pn}的通项公式pn= 1
2
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