微专题31 圆锥曲线的基本问题
高考定位 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题的一问的形式
命题,难度相对较小.
【真题体验】
1.(2025·新高考Ⅰ卷)若双曲线C 的虚轴长是实轴长的√7倍,则C 的离心率为( )
A.√2
B.2
C.√7
D.2√2
答案 D
解析 依题意得b＝√7a,又c2＝a2＋b2,
所以c2＝a2＋(√7a)2＝8a2,即c＝2√2a,
故e＝2√2.故选D.
2.(2025·新高考Ⅱ卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,点A 在C 上,过A 作C 的准线的垂线,垂
足为B.若直线BF 的方程为y＝－2x＋2,则|AF|＝( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案 C
解析 根据直线y＝－2x＋2 得F(1,0),
所以C 的准线方程为x＝－1,
C 的方程为y2＝4x,
所以B(－1,4),所以A(4,4),
所以|AF|＝|AB|＝5.
3.(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C: x
2
5 ＋y2＝1 的两个焦点,点P 在C 上,若⃗P F1·⃗P F2＝0,则|PF1|·|
PF2|＝( )
A.1
B.2
C.4
D.5
答案 B
解析 法一 因为⃗P F1·⃗P F2＝0,
所以PF1⊥PF2,
则S△P F1 F2＝1
2|PF1|·|PF2|＝b2tan∠F1 P F2
2
,
得1
2|PF1|·|PF2|＝1×tan90°
2 ,
所以|PF1|·|PF2|＝2,故选B.
法二 因为⃗P F1·⃗P F2＝0,
所以PF1⊥PF2,
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2√5,
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20,
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20,
所以|PF1|·|PF2|＝2,故选B.
4.(多选)(2025·新高考Ⅱ卷)双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点
分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C 的一条渐近线交于M,N 两点,且∠NA1M＝5 π
6 ,则( )
A.∠A1MA2＝π
6
B.|MA1|＝2|MA2|
C.C 的离心率为√13
D.当a＝√2时,四边形NA1MA2的面积为8√3
答案 ACD
解析 根据双曲线和圆的对称性,知四边形A1MA2N 为平行四边形,
因为∠NA1M＝5 π
6 ,所以∠A1MA2＝π
6 ,A 正确;
不妨设M(x0,y0)(x0>0,y0>0),渐近线方程为y＝b
ax,则x0
2＋y0
2＝c2,
又y0＝b
ax0,a2＋b2＝c2,联立可得x0＝a,y0＝b,所以M(a,b),所以MA2⊥x 轴,
在Rt△A1A2M 中,因为∠A1MA2＝π
6 ,
所以
|M A2|
|M A1|＝cos π
6 ＝√3
2 ,B 错误;
根据tan∠A1MA2＝2a
b ＝tan π
6 ,得b
a＝2√3,
所以e＝c
a ＝√1＋(
b
a)
2
＝√13,C 正确;
当a＝√2时,|MA1|＝4√2,|MA2|＝2√6,
所以四边形NA1MA2的面积为S＝2S△A1 M A2＝
|MA1||MA2|sin π
6 ＝4√2×2√6× 1
2＝8√3,D 正确.
5.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋x
2
m ＝1 的渐近线方程为y＝±√3
3 x,则m＝ .
答案 －3
解析 法一 依题意得m<0,双曲线的方程化为标准方程为y2－x
2
−m＝1,此时双曲线的渐近线的斜
率为±
1
√−m＝±√3
3 ,解得m＝－3.
法二 依题意得m<0,令y2－x
2
−m＝0,
得y＝±
1
√−mx,则±
1
√−m＝±√3
3 ,
解得m＝－3.
【热点突破】
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线:||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线:|PF|＝|PM|,l 为抛物线的准线,点F 不在定直线l 上,PM⊥l 于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”
所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出
方程中的a2,b2,p 的值.
例1 (1)(2025·天津河西区模拟)已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M
为双曲线的渐近线上的点,满足⃗F1 M·⃗F2 M＝0,且|MF1|＝2|MF2|,△MF1F2的面积为20
9 ,则双曲线C
的方程为 .
(2)(2025·岳阳二模)设椭圆C: x
2
4 ＋y
2
3 ＝1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P 在椭圆上,cos∠F1PF2＝3
5
,∠F1PF2的平分线与x 轴交于点A,则|PA|＝ .
答案 (1)x2－9 y
2
16 ＝1 (2)3√5
4
解析 (1)由⃗F1 M·⃗F2 M＝0,得F1M⊥F2M,如图,
因为|MF1|＝2|MF2|,
△MF1F2的面积为20
9 ,
则S△M F1F2＝|MF2|2＝20
9 ,
所以|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＝5|MF2|2＝100
9 ,
令双曲线C 的半焦距为c,
则c2＝1
4|F1F2|2＝25
9 ,
即a2＋b2＝25
9 ,
直线OM 方程为y＝b
ax,
tan∠MF1F2＝
|M F2|
|M F1| ＝1
2,
而|MO|＝|F1O|,
则b
a＝tan∠MOF2＝tan 2∠MF1F2
＝
2× 1
2
1−(
1
2)
2 ＝4
3 ,
联立解得a2＝1,b2＝16
9 ,
所以双曲线C 的方程为x2－9 y
2
16 ＝1.
(2)椭圆C: x
2
4 ＋y
2
3 ＝1 的焦点F1(－1,0),F2(1,0),|PF1|＋|PF2|＝4,
不妨令点P 在第一象限,在△F1PF2中,4＝|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝16－16
5 |
PF1|·|PF2|,
则|PF1|·|PF2|＝15
4 ,解得|PF1|＝5
2,|PF2|＝3
2,|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2,
则PF2⊥F1F2,
由PA 平分∠F1PF2,得
|A F2|
|A F1| ＝|P F2|
|P F1| ＝3
5,而|AF2|＋|AF1|＝2,则|AF2|＝3
4,
所以|PA|＝√(
3
4)
2
＋(
3
2)
2
＝3√5
4 .
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误:双曲线的定义中忽略“绝对值”致错;椭圆与双
曲线中参数的关系式弄混,椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2,双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2;圆锥曲线
方程确定时还要注意焦点位置.
训练1 (1)已知抛物线y2＝4x 的焦点为F,点M 在抛物线上.若点Q 在圆(x－3)2＋y2＝1 上,则|MF|＋|
MQ|的最小值为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
(2)(2025·南通名校联考)已知F1,F2是双曲线E: x
2
9 －y
2
16＝1 的两个焦点,点M 在E 上,如果⃗M F1⊥⃗
M F2,则△MF1F2的面积为 .
答案 (1)C (2)16
解析 (1)如图所示.
由题意抛物线y2＝4x 的准线为x＝－1,它与x 轴的交点为D(－1,0),焦点为F(1,0),
过点M 向抛物线的准线引垂线,垂足为点N,
设圆(x－3)2＋y2＝1 的圆心为P(3,0),已知圆与x 轴的交点为点E,
|MF|＋|MQ|＝|MN|＋|MQ|≥|NQ|≥|NP|－|PQ|＝|NP|－r＝|NP|－1≥|DP|－1＝4－1＝3,
且|MF|＋|MQ|＝3 成立的条件是M,O 重合,且Q,E 重合,综上所述,|MF|＋|MQ|的最小值为3.
(2)由题意得a＝3,b＝4,
所以c＝√a
2＋b
2＝5,
不妨设|MF1|>|MF2|,
根据双曲线定义可得|MF1|－|MF2|＝2a＝6,①
又⃗M F1⊥⃗M F2,
所以|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝100,②
联立①②解得|MF1|·|MF2|＝32,
所以△MF1F2的面积为S＝1
2|MF1|·|MF2|＝16.
热点二 椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
(1)直接利用公式:椭圆的离心率e＝c
a ＝√
1−b
2
a
2(0<e<1),双曲线的离心率e＝c
a ＝√
1＋b
2
a
2(e>1).
(2)根据条件建立关于a,b,c 的齐次式,消去b 后,转化为关于e 的方程或不等式,即可求得e 的值或
取值范围.
2.与双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程为x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝λ(λ≠0).
考向1 离心率问题
例2 (1)(2025·天津卷)双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以右焦点F2为焦点
的抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P,若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|,则双曲线的离心率
e＝( )
A.2
B.5
C.√2＋1
2
D.√5＋1
2
(2)已知椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,半焦距为c.在椭圆上存在点P 使得
a
sin ∠P F1 F2
＝
c
sin ∠P F2 F1,则椭圆离心率的取值范围是 .
答案 (1)A (2)(√2－1,1)
解析 (1)因为|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|,|F1F2|＝2c,所以|PF1|＋|PF2|＝6c,
又点P 在双曲线上且在第一象限,
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a,
所以|PF1|＝3c＋a,|PF2|＝3c－a,
如图所示,抛物线的准线为P'F1,P'为过P 作准线的垂线,与准线的交点,
因为点P 在抛物线上,
所以|PF2|＝|PP'|＝xP＋c＝3c－a,
所以xP＝2c－a,yP＝√|P F1|
2−| PP' |
2＝√(3c＋a)
2−(3c−a)
2＝2√3ac,
把点P 的坐标代入抛物线方程,可得(2√3ac)2＝4c(2c－a),化简得c
a＝2,故选A.
(2)由
a
sin∠P F1 F2
＝
c
sin∠P F2 F1,
得c
a ＝sin ∠P F2 F1
sin ∠P F1 F2
＝|P F1|
|P F2| ＝
|P F1|
2a−|P F1|,
得|PF1|＝2ac
a＋c ,又|PF1|∈(a－c,a＋c),
则a－c< 2ac
a＋c <a＋c,
∴a2－c2<2ac<(a＋c)2,即e2＋2e－1>0,
又e∈(0,1),∴e∈(√2－1,1).
考向2 椭圆、双曲线的几何性质
例3 (1)(多选)连接椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
3 ＝1(a>√3)的三个顶点所围成的三角形面积为2√3,记椭圆C 的右
焦点为F,则( )
A.a＝4
B.椭圆C 的离心率为1
2
C.椭圆C 的焦距为2√7
D.椭圆C 上存在点P,使|PF|＝2
(2)(2025·武汉模拟)已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P 在双曲线上,
且|PF1|>|PF2|,若△PF1F2的内心为Q(xQ,a),且⃗PQ＋3⃗OQ与⃗F1 F2共线,则双曲线C 的渐近线方程为(
)
A.y＝±x
B.y＝±√2x
C.y＝±√3x
D.y＝±2x
答案 (1)BD (2)B
解析 (1)椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
3 ＝1(a>√3)的左顶点为(－a,0),右顶点为(a,0),上顶点为(0,√3),下顶点为
(0,－√3),
因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为2√3,
若为左、右顶点与上(下)顶点时,
则1
2×2a×√3＝2√3,解得a＝2,符合题意;
若为上、下顶点与左(右)顶点时,则1
2×2√3×a＝2√3,解得a＝2,符合题意.
综上可得a＝2,故A 错误;
则椭圆方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
所以c＝√a
2−b
2＝1,
则椭圆C 的离心率e＝c
a ＝1
2,故B 正确;
椭圆C 的焦距为2c＝2,故C 错误;
因为椭圆C 的右焦点为F(1,0),
所以a－c≤|PF|≤a＋c,即1≤|PF|≤3,
所以在椭圆C 上存在点P,使|PF|＝2,
故D 正确.
(2)设P(xP,yP),依题意可设⃗PQ＋3⃗OQ＝λ⃗F1 F2,
所以a－yP＋3a＝0,
则yP＝4a,
故S△P F1 F2＝1
2×2c×4a＝1
2(|PF1|＋|PF2|＋2c)a,
化简得|PF1|＋|PF2|＝6c,
又|PF1|－|PF2|＝2a,
所以|PF1|＝3c＋a,|PF2|＝3c－a,
因为F1(－c,0),点P 在双曲线上,且|PF1|>|PF2|,所以P 在双曲线的右支上,
所以|PF1|＝√( xP＋c)
2＋y P
2
＝√
( xP＋c)
2＋b
2(
xP
2
a
2 −1)
＝c
a·xP＋a,
则3c＋a＝c
a·xP＋a,
解得xP＝3a,所以P 的坐标为(3a,4a),
代入双曲线方程中,得(3a)
2
a
2
－(4 a)
2
b
2
＝1,
解得b
a ＝√2,
故所求渐近线的方程为y＝±√2x.
规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围,其关键就是确立一个关于a,b,c 的等量关系
或不等关系,然后用a,c 代换b,进而求c
a的值或范围.
2.求双曲线渐近线方程的关键在于求b
a 或a
b的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为
“0”,然后因式分解得到.
训练2 (1)(多选)(2025·长沙二模)已知双曲线C1: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1 和C2: y
2
b
2 －x
2
a
2＝1,其中a>0,b>0,且
a≠b,则( )
A.C1与C2有相同的实轴
B.C1与C2有相同的焦距
C.C1与C2有相同的渐近线
D.C1与C2有相同的离心率
(2)(2025·合肥二模)已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0),过顶点A 作C 的一条渐近线的垂线,交y 轴
于点B,且|AB|＝√a
2＋b
2,则C 的离心率为 .
答案 (1)BC (2)√2
解析 (1)对于A,双曲线C1: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1 的实轴在x 轴上,实轴长为2a,
双曲线C2: y
2
b
2 －x
2
a
2＝1 的实轴在y 轴上,实轴长为2b,A 错误;
对于B,双曲线C1: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1 和C2: y
2
b
2 －x
2
a
2＝1 的焦距均为2c＝2√a
2＋b
2,B 正确;
对于C,双曲线C1: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1 的渐近线为y＝±b
ax,双曲线C2: y
2
b
2 －x
2
a
2＝1 的渐近线为y＝±b
ax,C 正
确;
对于D,双曲线C1: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1 的离心率为e＝c
a ＝√a
2＋b
2
a
,
双曲线C2: y
2
b
2 －x
2
a
2＝1 的离心率为e＝c
b ＝√a
2＋b
2
b
,D 错误.
(2)不妨令渐近线方程为y＝b
ax,顶点A 为(a,0),
则过顶点A 与渐近线垂直的直线的方程为
y－0＝－a
b(x－a),
令x＝0,得y＝a
2
b ,则B(0, a
2
b ),
所以|AB|＝√
a
2＋(
a
2
b )
2
＝√
a
2(a
2＋b
2)
b
2
,
又因为|AB|＝√a
2＋b
2,所以a＝b,
又因为c2＝a2＋b2,所以c＝√2a,
所以e＝√2.
热点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论:
设AB 是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α 是直线AB 的倾斜角,则
(1)x1x2＝p
2
4 ,y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2 p
sin
2α .
(3)当AB⊥x 轴时,弦AB 的长最短为2p.
(4)以线段AB 为直径的圆与准线x＝－p
2 相切.
例4 (多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点,直线y＝－√3(x－1)过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点,
且与C 交于M,N 两点,l 为C 的准线,则( )
A.p＝2
B.|MN|＝8
3
C.以MN 为直径的圆与l 相切
D.△OMN 为等腰三角形
答案 AC
解析 对于A,因为直线y＝－√3(x－1)经过抛物线C 的焦点,
且直线与x 轴的交点为(1,0),
所以抛物线C 的焦点坐标为(1,0),
所以p
2 ＝1,即p＝2,所以A 正确;
对于B,
法一 不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<x2,
联立方程得{
y ＝−√3( x−1),
y
2＝4 x ,
消去y 并整理得3x2－10x＋3＝0,
解得x1＝1
3,x2＝3.
由抛物线的定义得,
|MN|＝x1＋x2＋p＝10
3 ＋2＝16
3 ,故B 错误;
法二 易知直线y＝－√3(x－1)的倾斜角为2π
3 ,
所以|MN|＝
2 p
sin
2 2π
3
＝
2×2
sin
2 2π
3
＝16
3 ,故B 错误;
对于C,
法一 设MN 的中点为A,M,N,A 到直线l 的距离分别为d1,d2,d,
因为d＝1
2(d1＋d2)＝1
2(|MF|＋|NF|)＝1
2|MN|,即A 到直线l 的距离等于MN 的一半,所以MN 为直径
的圆与直线l 相切,C 正确;
法二 由二级结论——以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切,易知C 正确;
对于D,由题知M(
1
3 , 2√3
3 ),N(3,－2√3),
所以由两点间距离公式可得|OM|＝√13
3 ,|ON|＝√21,又|MN|＝16
3 ,故D 错误.
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角
形、直角梯形等)来得到已知量与p 的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论,使问题简单化且
减少数学运算.
训练3 (多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2),其焦点为F,过点F 的直线l 与抛物线交于两
个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),O 为坐标原点,设直线OA,OB 的斜率分别为k1,k2,则( )
A.p＝2
B.|AB|≥4
C.⃗OA·⃗OB＝－4
D.k1k2＝－4
答案 ABD
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2),
所以22＝2p,解得p＝2,故A 正确;
法一 由A 项知抛物线方程为y2＝4x,则焦点F(1,0),
设直线l:x＝my＋1,则{
y
2＝4 x ,
x＝my ＋1,
消去x 整理得y2－4my－4＝0,
则Δ＝16m2＋16>0,
所以y1＋y2＝4m,y1y2＝－4,
则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2,
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)
＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1,
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4,
故B 正确;
因为⃗OA＝(x1,y1),⃗OB＝(x2,y2),
所以⃗OA·⃗OB＝x1x2＋y1y2＝－3,故C 错误;
由题意知,x1≠0 且x2≠0,
所以k1k2＝
y1
x1
·
y2
x2
＝－4,故D 正确.
法二 设直线l 的倾斜角为α,
则|AB|＝2 p
sin
2α
＝
4
sin
2α ≥4,故B 正确;⃗
OA·⃗OB＝x1x2＋y1y2＝p
2
4 －p2＝－3
4p2＝－3,故C 错误;
由题意知,x1≠0 且x2≠0,
所以k1k2＝
y1 y2
x1 x2
＝−p
2
p
2
4
＝－4,故D 正确.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·西安二模)设椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|
＝4,则该椭圆的方程为( )
A. x
2
16 ＋y
2
12＝1
B. x
2
16 ＋y
2
4 ＝1
C. x
2
4 ＋y
2
3 ＝1
D. x
2
4 ＋y
2
2 ＝1
答案 A
解析 由椭圆的几何性质,因为|BF2|＝|F1F2|＝4,可得a＝2c＝4,
所以a＝4,c＝2,则b2＝a2－c2＝12,
所以椭圆的方程为x
2
16 ＋y
2
12＝1.
2.(2025·深圳模拟)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂
直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已
知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,直线y＝kx 与椭圆C 交于A,B 两
点,若四边形AF1BF2的周长为12,则椭圆C 的短半轴长为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案 A
解析 依题意abπ＝6π,则ab＝6,由椭圆对称性,得线段AB,F1F2互相平分于原点,
则四边形AF1BF2为平行四边形,由椭圆的定义得4a＝2(|AF1|＋|AF2|)＝12,解得a＝3,
所以椭圆C 的短半轴长b＝2.
3.(2025·成都诊断)若P 为双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)上异于A(－a,0),B(a,0)的动点,且直线PA
与PB 的斜率之积为5,则C 的渐近线方程为( )
A.y＝±√5
5 x
B.y＝±√5
2 x
C.y＝±√5x
D.y＝±5x
答案 C
解析 设P(x0,y0),x0≠±a,
则x0
2
a
2 －y0
2
b
2 ＝1,
即y0
2＝b2· x0
2−a
2
a
2
,
则kPA·kPB＝
y0
2
x0
2−a
2 ＝b
2
a
2＝5,
则b
a ＝√5,
故C 的渐近线方程为y＝±√5x.
4.已知抛物线C:x2＝4y 的焦点为F,P 为抛物线上一个动点,A(－1,3),则|PF|＋|PA|的最小值为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
答案 B
解析 由题意可知抛物线x2＝4y 的焦点坐标为F(0,1),准线l 的方程为y＝－1,过P 作PQ⊥l 于Q,
如图所示,
由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|,
所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|,
则当A,P,Q 三点共线时,|PQ|＋|PA|取得最小值,所以|PF|＋|PA|的最小值为3－(－1)＝4.
5.(2025·菏泽调研)焦点为F 的抛物线C:y2＝2px(p>0)的对称轴与准线交于点A,点B 在抛物线C 上
且在第一象限,在△ABF 中,3sin∠AFB＝4sin∠FAB,则cos∠FBA＝( )
A.−7＋3√2
12
B.7−3√2
12
C.7＋3√2
12
D.−7−3√2
12
答案 C
解析 过点B 作准线的垂线,垂足为H,
作x 轴的垂线,垂足为E,如图所示.
则由抛物线的定义可得|BF|＝|BH|.
因为3 sin∠AFB＝4sin∠FAB,
所以在△ABF 中,由正弦定理可得
|AB|＝4
3|BF|＝4
3 |BH|,
则|AH|＝√7
3 |BH|,
则sin∠BAF＝|BE|
| AB| ＝| AH |
| AB| ＝√7
4 ,
sin∠BFE＝|BE|
|BF | ＝| AH |
|BH | ＝√7
3 ,
则cos∠BAF＝3
4,cos∠BFE＝√2
3 ,
所以cos∠FBA＝cos(∠BFE－∠BAF)
＝cos∠BFEcos∠BAF＋sin∠BFEsin∠BAF
＝√2
3 × 3
4 ＋√7
3 × √7
4 ＝3√2＋7
12
.
6.(2025·聊城模拟)设F 是椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左焦点,M,N 是C 上的任意两点,△FMN 周
长的取值范围为(m,n],若n＝3m,则椭圆C 的离心率为( )
A.1
3
B.1
2
C.√2
2
D.2
3
答案 A
解析 令椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)右焦点为E(c,0),
|MF|＋|ME|＝2a,|NF|＋|NE|＝2a,
△FMN 周长|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋2a－|ME|＋2a－|NE|＝4a＋|MN|－(|ME|＋|NE|)≤4a＋|MN|－|
MN|＝4a,
当且仅当M,N,E 共线时取等号,则3m＝4a,即m＝4 a
3 ,
又|MN|＋|MF|＋|NF|>|MF|＋|MF|＝2|MF|≥2(a－c),
因此m＝2(a－c),
则4 a
3 ＝2(a－c),解得c
a ＝1
3,
所以C 的离心率为1
3.
7.(2025·开封二模)已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0),圆O 经过直线x＝±a,y＝±b 的四个交点,且
圆O 与C 在第一象限交于点P,与x 轴分别交于点E,F,则△PEF 的面积为( )
A.a2
B.b2
C.a2＋b2
D.a2－b2
答案 B
解析 设双曲线的半焦距为c,由题意,
圆O 的圆心在坐标原点,半径r＝√a
2＋b
2＝c,
点E,F 即双曲线的左、右两焦点,
故有|PE|－|PF|＝2a,①
且因EF 为圆的直径,可得PE⊥PF,
则有|PE|2＋|PF|2＝4c2,②
将①式两边取平方,(|PE|－|PF|)2＝|PE|2＋|PF|2－2|PE|·|PF|＝4c2－2|PE|·|PF|＝4a2,
解得|PE|·|PF|＝4 c
2−4 a
2
2
＝2b2,
故△PEF 的面积为1
2|PE|·|PF|＝b2.
8.(2025·沈阳二模)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线,如图1,设
圆锥轴截面的顶角为2α,用一个平面Γ 去截该圆锥面,随着圆锥的轴和Γ 所成角β 的变化,截得的
曲线的形状也不同.据研究,曲线的离心率为e＝cos β
cosα ,比如,当α＝β 时,e＝1,此时截得的曲线是抛
物线.如图2,在底面半径为1,高为2√2的圆锥SO 中,AB,CD 是底面圆O 上互相垂直的直径,E 是母
线SC 上一点,|SE|＝2|EC|,平面ABE 截该圆锥面所得的曲线的离心率为( )
A.1
2
B.√3
3
C.√3
2
D.2√3
3
答案 C
解析 由题意得∠OSC＝α,∠EOS＝β,则∠SCO＝90°－α,∠EOC＝90°－β,
所以e＝cos β
cosα ＝sin ∠EOC
sin ∠SCO ,
在△SOC 中,
|SO|＝2√2,|CO|＝1,
连接OE,则|⃗OE|2＝(
2
3⃗OC ＋1
3⃗OS)
2
＝4
9⃗OC
2＋4
9⃗OC·⃗OS＋1
9⃗OS
2
＝4
9 ＋1
9×8＝4
3,
所以|OE|＝2√3
3 ,
又由勾股定理得|SC|＝√|OC |
2＋|OS|
2
＝√1＋8＝3.
又|SE|＝2|EC|,所以|SE|＝2
3|SC|＝2,
所以|CE|＝|SC|－|SE|＝3－2＝1,
在△OEC 中,由正弦定理得,
| EC |
sin ∠EOC ＝| EO|
sin ∠SCO,即sin ∠EOC
sin ∠SCO ＝| EC |
| EO| ＝√3
2 ,
所以平面ABE 截该圆锥面所得的曲线的离心率为√3
2 .
二、多选题
9.(2025·金华质检)已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
3a
2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若|F1F2|＝2e(e 为C
的离心率),则( )
A.a＝1
B.C 的虚轴长为2√3
C.e＝√2
D.C 的一条渐近线的斜率为√3
3
答案 AB
解析 由C: x
2
a
2 －y
2
3a
2＝1(a>0),
知F1(－2a,0),F2(2a,0),e＝2a
a ＝2,
由|F1F2|＝2e,得4a＝4,即a＝1,3a2＝3,
所以C 的虚轴长为2√3,故A,B 正确,C 错误;
由C 的渐近线方程为y＝±√3x,得两条渐近线的斜率分别为√3,－√3,故D 错误.
10.已知椭圆C:3x2＋4y2＝48 的两个焦点分别为F1,F2,P 是C 上任意一点,则( )
A.C 的离心率为√3
2
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
答案 BD
解析 由椭圆C:3x2＋4y2＝48,得x
2
16 ＋y
2
12＝1,
则a＝4,b＝2√3,c＝2,所以e＝c
a ＝1
2,故A 错误;
易知△PF1F2的周长为|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|＝2a＋2c＝8＋4＝12,故B 正确;
当P 在椭圆长轴的一个端点时,|PF1|取得最小值,最小值为a－c＝4－2＝2,故C 错误;
由基本不等式得
|PF1|·|PF2|≤(
|P F1|＋|P F2|
2
)
2
＝16,
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等,
则|PF1|·|PF2|取得最大值16,故D 正确.
11.(2025·新高考Ⅰ卷)已知抛物线C:y2＝6x 的焦点为F,过F 的一条直线交C 于A,B 两点,过A 作直
线l:x＝－3
2的垂线,垂足为D,过F 且与直线AB 垂直的直线交l 于点E,则( )
A.|AD|＝|AF|
B.|AE|＝|AB|
C.|AB|≥6
D.|AE|·|BE|≥18
答案 ACD
解析 直线l 为抛物线的准线,由抛物线的定义,可知|AD|＝|AF|,A 正确;
由通径最短,可得|AB|≥2p＝6,所以C 正确;
法一 易知直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x＝my＋3
2,A(x1,y1)B(x2,y2),
由{
x＝my ＋3
2 ,
y
2＝6 x ,
得y2－6my－9＝0,
则y1＋y2＝6m,y1y2＝－9,
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3,
|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6,
当m＝0 时,E(−3
2 ,0),|AB|＝2p＝6,
|AE|＝√A F
2＋E F
2＝3√2,
此时|AE|≠|AB|,所以B 不正确;
此时|AE|＝|BE|＝3√2,|AE|·|BE|＝18.
当m≠0 时,直线EF 的方程为x＝－1
my＋3
2,
E(−3
2 ,3m),|EF|＝√9＋9m
2,
S△AEB＝1
2|AE|·|BE|sin∠AEB
＝1
2|AB|·|EF|＝1
2(6＋6m2)·√9＋9m
2
＝9(1＋m2)
3
2>9,
所以|AE|·|BE|>
18
sin ∠AEB >18.
综上,|AE|·|BE|≥18,D 正确.故选ACD.
法二 如图,设∠AFx＝θ,
则|AE|＝
| AF |
cos θ
2
＝
p
(1−cosθ)cos θ
2
,
|AB|＝|AF|＋|BF|＝
p
1−cosθ ＋
p
1＋cosθ ＝2 p
sin
2θ,B 错误;
|AE|·|BE|＝|
p
(1−cosθ)cos θ
2
·
p
(1＋cosθ)cos π −θ
2 |
＝18
sin
3θ≥18,D 正确.故选ACD.
三、填空题
12.已知O 为坐标原点,F1(－1,0),F2(1,0),Q(0,3),向量m＝(1,－2),动点P 满足⃗PQ∥m,写出一个
a,使得有且只有一个点P 同时满足||PF1|－|PF2||＝2a(0<a<1),则a＝ .
答案 √5
5
解析 由||PF1|－|PF2||＝2a(0<a<1),
且|F1F2|＝2>2a,知点P 在以F1,F2为焦点的双曲线上,c＝1,b2＝1－a2.
设P(x,y),因为Q(0,3),
则⃗PQ＝(－x,3－y),m＝(1,－2),
由于⃗PQ∥m,y＝－2x＋3.
若直线y＝－2x＋3 与双曲线的一条渐近线平行,此时直线与双曲线只有一个交点,
所以－√1−a
2
a
＝－2,
解得a＝√5
5 .
13.(2025·漳州模拟)已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>1)的左、右焦点分别为F1(－1,0),F2(1,0),上顶点
为B,直线BF1交椭圆C 于点M,直线MF2交椭圆C 于点N,且⃗MB·⃗BN＝0,则椭圆C 的方程为
.
答案 x
2
3 ＋y
2
2 ＝1
解析 依题意得k B F1＝b,
所以直线BF1的方程为y＝bx＋b,
代入x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1 中,
解得M(−2a
2
a
2＋1
,−b(a
2−1)
a
2＋1 ),
因为⃗MB·⃗BN＝0,
所以MB⊥BN,
所以kBN＝－1
b,
所以直线BN 的方程为y＝－1
bx＋b,
代入x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1 中,
解得N(
2a
2b
2
a
2＋b
4 , b(b
4−a
2)
a
2＋b
4 ),
因为M,F2,N 三点共线,
所以k M F2＝k N F2,
即
−b(a
2−1)
a
2＋1
−2a
2
a
2＋1
−1
＝
b(b
4−a
2)
a
2＋b
4
2a
2b
2
a
2＋b
4 −1
,
化简得2b2－a2－1＝0,
又a2＝b2＋1,
所以a2＝3,b2＝2,
所以椭圆C 的方程为x
2
3 ＋y
2
2 ＝1.
14.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2＝π
3 ,设椭圆、双曲线
的离心率分别为e1,e2,则e1
2＋e2
2的最小值为 .
答案 1＋√3
2
解析 由题意,可设椭圆长半轴长为a1,
双曲线的实半轴长为a2,
不妨设P 为双曲线右支上一点,
由椭圆和双曲线的定义可知{
|P F1|＋|P F2|＝2a1,
|P F1|−|P F2|＝2a2,
则|PF1|＝a1＋a2,|PF2|＝a1－a2,
又∠F1PF2＝π
3 ,
由余弦定理可得(2c)2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cosπ
3 ,
整理得4c2＝a1
2＋3a2
2,
即
1
e1
2 ＋3
e2
2＝4,则
1
4 e1
2 ＋3
4 e2
2＝1,
所以e1
2＋e2
2＝(
1
4 e1
2 ＋3
4 e2
2)(e1
2＋e2
2)
＝1＋
e2
2
4 e1
2 ＋3e1
2
4 e2
2
≥1＋2√
e2
2
4 e1
2 · 3e1
2
4 e2
2
＝1＋√3
2 .
当且仅当
e2
2
4 e1
2 ＝3e1
2
4 e2
2,
即e2＝
4√3e1时取等号
