文档文本内容
第 4 讲 转化与化归思想
思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一
种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，
同时也是获取成功的思维方式.
方法一 特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊
问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某
些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案.
例1 (1)已知函数f(x)满足对∀x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，且f(1)=1，则f(-3)等于( )
A.2 B.3
C.6 D.9
思路分析 方法一 取特值求f（2），f（3） f（3）与f（-3）的关系→求f（-3）.
方法二 令f（x）=x2→求f（-3）.
答案 D
解析 方法一 令x=y=0，得f(0)=0，
令x=y=1，得f(2)=4，
令x=2，y=1，得f(3)=9，
令x=3，y=-3，
得f(0)=f(3)+f(-3)-18，解得f(-3)=9.
方法二 取f(x)=x2，满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy及f(1)=1，
所以f(-3)=(-3)2=9.
批注 此类题目一般都是采用方法一，赋值法求解，比较烦琐，所以可以直接取满足条件的函数求解.
(2)在平行四边形ABCD中，|⃗AB|=12，|⃗AD|=8，若点M，N满足⃗BM=3⃗MC，⃗DN=2⃗NC，则⃗AM·⃗NM
等于( )
A.20 B.15
C.36 D.6
思路分析 假设平行四边形ABCD为矩形，建系→写出坐标→数量积运算
答案 C
解析 假设平行四边形ABCD为矩形，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示
的平面直角坐标系，则A(0，0)，M(12，6)，N(8，8)，
∴⃗AM=(12，6)，⃗NM=(4，-2)，
∴⃗AM·⃗NM=12×4+6×(-2)=36.
[规律方法] 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，
使我们达到成批处理问题的效果.对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一
个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案.
方法二 命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包
括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化.
例2 (1)已知命题p：∃x∈(0，3)，x2-a-2ln x≤0.若p为假命题，则a的取值范围为 .
思路分析 p为假命题→綈p为真命题→x2-a-2ln x>0恒成立→a<x2-2ln x恒成立→利用导数研究最值求解.
答案 (-∞，1)
解析 ∵p为假命题，
∴綈p：∀x∈(0，3)，x2-a-2ln x>0为真命题，
故a<x2-2ln x，
令f(x)=x2-2ln x，x∈(0，3)，
2 2(x2-1)
则f'(x)=2x- = ，x∈(0，3)，
x x
令f'(x)>0，解得1<x<3；
令f'(x)<0，解得0<x<1，
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，
∴f(x) =f(1)=1，∴a<1.
min
(2)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示，底面ABCD是边长为2的
正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，
则该包装盒的容积为( )10√3 20
A. B.
3 3
C.10√3 D.20
思路分析 补成长方体→求补的部分的体积→正方体的体积减去补的部分的体积即可.
答案 A
解析 将几何体补全为长方体，如图所示，
1
A E=A H= A B =1，
1 1 2 1 1
AA =√AE2-A E2
1 1
=√22-12=√3，
所以该包装盒的容积为
V -4V
长方体ABCD-A B C D 三棱锥A-A EH
1 1 1 1 1
[1 (1 ) ]
=2×2×√3-4× × ×1×1 ×√3
3 2
2√3 10√3
=4√3- = .
3 3
[规律方法] 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见的思路；对复杂问题可采用正难则反策
略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.
方法三 函数、方程、不等式之间的转化
函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y=f(x)的图象性质可以确定方程f(x)=0、不等式f(x)>0和
f(x)<0的解集.
[1 ]
例3 (1)已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈ ，1 ，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得ln x-
e
x+1+a=y2ey成立，则实数a的取值范围是( )
[1 ] (2 ]
A. ，e B. ，e
e e
(2 ) (2 1)
C. ，+∞ D. ，e+
e e e
[1 ]
思路分析 f(x)=ln x-x+1+a，x∈ ，1 的值域M→g(y)=y2ey的单调性、图象→结合g(y)的图象，找到唯一
e
的y对应的g(y)的值的取值集合N→利用M N求解.
⊆答案 B
[1 ] 1-x
解析 设f(x)=ln x-x+1+a，当x∈ ，1 时，f'(x)= ≥0，f(x)单调递增，
e x
[1 ] [ 1 ]
所以当x∈ ，1 时，f(x)∈ a- ，a .
e e
1
设g(y)=y2ey，则g'(y)=eyy(y+2)，则g(y)在[-1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，g(0)=0，且g(-1)=
e
[1 ] [ 1 ]
<g(1)=e，因为对任意的x∈ ，1 ，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得f(x)=g(y)成立，所以 a- ，a ⊆
e e
(1 ] 2
，e ，所以 <a≤e.
e e
1 1 m
(2)已知m，n∈(2，e)，且 - <ln ，则( )
n2 m2 n
A.m>n
B.m<n
1
C.m>2+
n
D.m，n的大小关系不确定
1 1 m 1 1 1
思路分析 由 - <ln → +ln n< +ln m→构造函数f(x)= +ln x→利用函数性质解不等式.
n2 m2 n n2 m2 x2
答案 A
1 1
解析 由不等式可得 - <ln m-ln n，
n2 m2
1 1
即 +ln n< +ln m，
n2 m2
1
设f(x)= +ln x(x∈(2，e))，
x2
2 1 x2-2
则f'(x)=- + = .
x3 x x3
因为x∈(2，e)，所以f'(x)>0，
故函数f(x)在(2，e)上单调递增.
因为f(n)<f(m)，
所以n<m.
[规律方法] 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最
值(值域)问题，从而求出含参变量的范围.
