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高考命题中，以知识为载体，以能力立意，以思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础
性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组
合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录
和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与
化归思想等.
第1 讲 函数与方程思想
思想概述 函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认
识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.
方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方
程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.
方法一 运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函
数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.
例1 (1)已知函数f(x)={
(3a-1)x + 4 a，x<1，
a
x ，x ≥1，
满足对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有[f(x1)-f(x2)](x1-
x2)<0，则实数a 的取值范围为( )
A.[
1
7 ，1)
B.[0，1
3)
C.[
1
6 ，1
3)
D.[
1
6 ，1)
思路分析 [f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0→f(x)为减函数→每一段都单调递减→x=1 左侧的函数值不小于右侧的函数值.
答案 C
解析 对任意的实数x1，x2且x1≠x2，
都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0，
即
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
<0 恒成立，
可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，即函数f(x)是减函数，可得{
3a-1<0，
a>0，
3a-1+ 4 a≥a，
解得1
6≤a<1
3.
批注 在函数的第一段中，虽然没有x=1，但当x=1 时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，
且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即
f(1)，这是解题的一个易忽视点.
(2)对于函数f(x)(x∈D)，若存在常数T(T>0)，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≤f(x)成立，我们称函数
f(x)为“T 同比不增函数”.若函数f(x)=kx+cos x 是“π
3 同比不增函数”，则实数k 的取值范围是( )
A.[
3
π ，+ ∞)
B.(-∞，- 3
π]
C.[- 3
π ，+∞)
D.(-∞，3
π]
思路分析 f(x)为“π
3 同比不增函数”→f(x + π
3)≤f(x)恒成立→分离参数求最值.
答案 B
解析 因为函数f(x)=kx+cos x 是“π
3 同比不增函数”，
所以f (x + π
3)≤f(x)，
即k(x + π
3)+cos(x + π
3)≤kx+cos x，
故k π
3 ≤cos x-cos(x + π
3)
=cos x-(cos x cos π
3 -sin x sin π
3)
=√3
2 sin x+1
2cos x=sin(x + π
6)恒成立，
又因为sin(x + π
6)min
=-1，
因此k π
3 ≤-1，故k≤-3
π ，即实数k 的取值范围为(-∞，- 3
π].
批注 本题关键是理解“T 同比不增函数”的含义，对于恒成立问题，一般是分离参数，转化成求函数的
最值问题.
[规律方法] 解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定
义推导即可.
方法二 利用函数性质解不等式、方程问题
函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等
式问题.
例2 (1)已知函数f(x+2)=log3(3x+3-x)，若f(a-1)≥f(2a+1)成立，则实数a 的取值范围为( )
A.(-∞，-2]
B.[-2，4
3]
C.(-∞，-2]∪[0，+∞)
D.(-∞，-2]∪[
4
3 ，+ ∞)
思路分析 解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性.
答案 B
解析 设g(x)=f(x+2)=log3(3x+3-x)，
则其定义域为R，
因为g(-x)=log3(3-x+3x)=g(x)，
所以g(x)为偶函数，
所以f(x+2)的图象关于直线x=0 对称，
所以f(x)的图象关于直线x=2 对称.
设y=3x+3-x，
则y'=3xln 3-3-xln 3=(3x-3-x)ln 3，
令y'>0，则3x-3-x>0，得x>0，
所以y=3x+3-x在(0，+∞)上单调递增，
因为函数y=log3x 为增函数，
所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以f(x)在[2，+∞)上单调递增，
因为f(a-1)≥f(2a+1)，
所以|a-1-2|≥|2a+1-2|，
所以(a-3)2≥(2a-1)2，化简得(a+2)(3a-4)≤0，
解得-2≤a≤4
3 .
所以实数a 的取值范围为[-2，4
3].
批注 本题关键是利用函数的奇偶性及单调性脱掉f 列出不等式，然后解不等式.
(2)设x，y 为实数，满足(x-1)3+2 025(x-1)=-1，(y-1)3+2 025(y-1)=1，则x+y= .
思路分析 观察两方程形式特征→借助函数f(t)=t3+2 025t 的单调性、奇偶性→f(x-1)=f(1-y)→求出x+y.
答案 2
解析 令f(t)=t3+2 025t，则f(t)为奇函数且在R 上是增函数.
由f(x-1)=-1=-f(y-1)=f(1-y)，
可得x-1=1-y，则x+y=2.
批注 本题关键是根据函数的特点构造函数，然后利用函数的单调性求解.
[规律方法] 函数与方程的相互转化：对于方程f(x)=0，可利用函数y=f(x)的图象和性质求解问题.
方法三 构造函数解决数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁
为简、化难为易的效果.
例3 已知ε>0，x，y∈(- π
4 ，π
4)，且ex+εsin y=eysin x，则下列关系式恒成立的为( )
A.cos x≤cos y
B.cos x≥cos y
C.sin x≤sin y
D.sin x≥sin y
思路分析 ex+εsin y=eysin x→sin x
e
x + ε =sin y
e
y →由ex+ε>ex放缩等式→sin x
e
x 与sin y
e
y 的关系→构造f(x)=sin x
e
x ，x∈
(- π
4 ，π
4)→利用函数的性质求解.
答案 A
解析 构造f(x)=sin x
e
x ，x∈(- π
4 ，π
4)，
则f'(x)=cos x -sin x
e
x
，
当x∈(- π
4 ，π
4)时，cos x>sin x，
f'(x)=cos x -sin x
e
x
>0，
所以f(x)=sin x
e
x 在(- π
4 ，π
4)上单调递增，
因为ex>0，ey>0，
当sin x
e
x + ε =sin y
e
y >0，eε>1 时，
则sin x>sin y>0，所以sin x
e
x >sin y
e
y >0，
所以0<y<x<π
4 ，
又y=cos x 在(0，π
4)上单调递减，
所以cos x<cos y.
当sin x
e
x + ε =sin y
e
y <0，eε>1 时，
则sin x<sin y<0，所以sin x
e
x <sin y
e
y <0，
所以-π
4 <x<y<0，又y=cos x 在(- π
4 ，0)上单调递增，所以cos x<cos y；
当x=y=0 时，满足ex+εsin y=eysin x，
此时cos x=cos y.
综上所述，cos x≤cos y.
批注 本题注意到ε>0，主要是先由e
x+ ε>ex放缩，然后根据题目结构再构造函数，利用函数的性质求解.
[规律方法] 在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系使问题明晰化.
专题强化练
[分值：73 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·石家庄模拟)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A.y=f(|x|)
B.y=f(x2)
C.y=x·f(x)
D.y=f(x)+x
答案 D
解析 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(-x)=-f(x)，
又因为f(|-x|)=f(|x|)，所以y=f(|x|)是偶函数，A 不符合题意；
令F(x)=f(x2)，则F(-x)=f(x2)=F(x)，所以F(x)是偶函数，B 不符合题意；
令M(x)=x·f(x)，则M(-x)=(-x)·f(-x)=x·f(x)=M(x)，所以M(x)是偶函数，C 不符合题意；
令N(x)=f(x)+x，则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x)，所以N(x)是奇函数，D 符合题意.
2.(2025·北京海淀区模拟)已知f(x)=ln x -b
1- x ，b∈R，则“b=-1”是“f(x)是奇函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 当b=-1 时，f(x)=ln1+ x
1- x ，
定义域为(-1，1)，关于原点对称，
且f(-x)=ln1- x
1+ x =-ln1+ x
1- x =-f(x)，因此f(x)是奇函数，充分性成立.
如果f(x)是奇函数，则f(x)的定义域必须关于原点对称，因此b=-1，必要性成立，
所以“b=-1”是“f(x)是奇函数”的充要条件.
3.(2025·上海模拟)定义在R 上的函数f(x)为奇函数，其导数为f'(x)，且当x∈(-∞，0]时，f'(x)<1，则不等式
f(x)-f(2 026)≥x-2 026 的解集是( )
A.(2 026，+∞)
B.[2 026，+∞)
C.(-∞，2 026]
D.(-∞，2 026)
答案 C
解析 令g(x)=f(x)-x，当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f'(x)-1<0，
所以g(x)在(-∞，0]上单调递减，又因为函数f(x)为定义在R 上的奇函数，y=x 为定义在R 上的奇函数，所
以g(x)为定义在R 上的奇函数，
则g(x)在(0，+∞)上单调递减，即函数g(x)在R 上单调递减，
所以由f(x)-f(2 026)≥x-2 026，可得f(x)-x≥f(2 026)-2 026，
即g(x)≥g(2 026)，所以x≤2 026.
4.(2025·贵阳模拟)已知定义在(- π
2 ，π
2)上的函数f(x)=x3+tan x+3，则不等式f(x-1)+f(
x
2)>6 的解集是( )
A.(
2
3 ，π
2 +1)
B.(
2
3 ，π
2 +2)
C.(
2
3 ，π)
D.(
2
3 ，+ ∞)
答案 A
解析 设g(x)=f(x)-3=x3+tan x，x∈(- π
2 ，π
2)，则g(-x)=-g(x)，所以g(x)=f(x)-3 为奇函数.
易知y=x3，y=tan x 在区间(- π
2 ，π
2)上单调递增，
所以g(x)在区间(- π
2 ，π
2)上单调递增.
因为不等式f(x-1)+f(
x
2)>6，
可得f(x-1)-3+f(
x
2)-3>0，
所以g(x-1)+g(
x
2)>0，
所以g(x-1)>-g(
x
2)=g(- x
2).
因为函数f(x)的定义域为(- π
2 ，π
2)，
所以x-1∈(- π
2 ，π
2)，且x
2∈(- π
2 ，π
2)，
所以x∈(- π
2 +1，π
2 +1)，
又函数g(x)在区间(- π
2 ，π
2)上单调递增，
所以由g(x-1)>g(- x
2)得，x-1>- x
2，
解得x>2
3，综上，2
3<x<π
2 +1.
5.(2025·曲靖模拟)已知x1是函数f(x)=xln x-2 025 的零点，x2是函数g(x)=ln x+x-ln 2 025 的零点，则x1x2的值
为( )
A.2 025
e
B.
e
2 025
C.√2 025
D.2 025
答案 D
解析 由题意可得{
x1ln x1=2 025，
x2+ ln x2= ln2 025，
可得x2+ln x2=ln(x1ln x1)=ln x1+ln(ln x1)，
因为函数y=x+ln x 在(0，+∞)上单调递增，
所以x2=ln x1，则x1x2=x1ln x1=2 025.
6.(2025·昭通模拟)已知函数f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)，若f(x)≤0，则a，b 满足的关系式为( )
A.a-2b=1
B.a+2b=1
C.a=2b
D.a=-2b
答案 B
解析 f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)=[x2(a-x)+(a-x)]log2(x+2b)
=(x2+1)(-x+a)log2(x+2b)，又x2+1>0，
所以f(x)≤0 等价于(-x+a)log2(x+2b)≤0，
又y=log2(x+2b)在定义域(-2b，+∞)上单调递增，且零点为1-2b，
y=-x+a 在定义域上单调递减，且零点为a，
所以函数y=log2(x+2b)与函数y=-x+a 的零点重合，
则a=1-2b，即a+2b=1.
7.(2025·天津模拟)已知f(x)=x-1
x +a，g(x)=x3-3x+1，若∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，2]，使f(x1)=g(x2)成立，则实
数a 的取值范围为( )
A.[-1，1]
B.[1，3
2]
C.[- 3
2 ，1]
D.[-1，3
2]
答案 D
解析 由题意可知，函数f(x)在[1，2]上的值域是函数g(x)在[0，2]上的值域的子集，
而函数f(x)=x-1
x +a 在[1，2]上单调递增，所以函数f(x)的值域为[a，3
2 +a]，
又函数g(x)的导函数为g'(x)=3x2-3，
当x∈[0，1)时，g'(x)<0，所以函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，
当x∈(1，2]时，g'(x)>0，所以函数g(x)在区间(1，2]上单调递增，
所以函数g(x)在区间[0，2]上的最小值为g(1)=-1，
而g(0)=1，g(2)=3，
所以函数g(x)在区间[0，2]上的值域为[-1，3]，
所以{
a≥-1，
3
2 +a≤3 ⇒-1≤a≤3
2，
即实数a 的取值范围为[-1，3
2].
8.(2025·天津模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2时，x2f ( x1)- x1f ( x2)
x1- x2
>0 恒成立，f(3)=-6，则不等式f(x)+2x>0 的解集为( )
A.(-3，0)∪(3，+∞)
B.(-∞，-3)∪(3，+∞)
C.(-3，0)∪(0，3)
D.(-∞，-3)∪(0，3)
答案 A
解析 构造函数g(x)=f ( x)
x
，x≠0，
则g(-x)=f (- x)
- x
=f ( x)
x
=g(x)，
故函数g(x)为偶函数，
当x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2时，
x2f ( x1)- x1f ( x2)
x1- x2
>0 恒成立，
不妨设x1<x2，则x2f(x1)-x1f(x2)<0，
则
x2f ( x1)- x1f ( x2)
x1 x2
=
f ( x1)
x1
-
f ( x2)
x2
<0，
即g(x1)<g(x2)，
故函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，
因为f(3)=-6，则g(3)=g(-3)=f (3)
3
=-2，
当x>0 时，由f(x)+2x>0，得f ( x)
x
>-2，即g(x)>g(3)，解得x>3；
当x<0 时，由f(x)+2x>0，得f ( x)
x
<-2，即g(x)<g(-3)，解得-3<x<0；
当x=0 时，易知f(x)+2x=0.
综上所述，不等式f(x)+2x>0 的解集为(-3，0)∪(3，+∞).
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=e2|x|+cos 2x(x∈R)，则下列判断正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于y 轴对称
B.函数f(x)的最小值为2，无最大值
C.函数f(x)在(-π，π)上单调递增
D.不等式f(x-1)<f(x)的解集为(
1
2 ，+ ∞)
答案 ABD
解析 由题意得f(x)的定义域关于原点对称，f(-x)=e2|-x|+cos(-2x)=e2|x|+cos 2x，即f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是
偶函数，即函数f(x)的图象关于y 轴对称，故A 正确；
当x≥0 时，f(x)=e2x+cos 2x，f'(x)=2e2x-2sin 2x>0，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，因为f(0)=2，且f(x)是偶
函数，所以函数f(x)的最小值为2，无最大值，故B 正确；
由A，B 选项可知，f(x)在(-π，0]上单调递减，在(0，π)上单调递增，故C 错误；
不等式f(x-1)<f(x)⇔|x-1|<|x|，两边平方得-2x+1<0，得x>1
2，故D 正确.
10.(2025·淄博检测)定义在(0，+∞)上的函数f(x)，其导函数为f'(x)，且满足f'(x)>f(x)>0，若0<x1<1<x2，且
x1x2=1，则下列不等式一定正确的是( )
A.f(x2)>f(2-x1)
B.x1f(x2)<x2f(x1)
C.ln f(x1)-ln f(x2)<x1-x2
D.2f(2)>3f (
1
2)
答案 ACD
解析 A 选项，因为0<x1<1<x2，且x1x2=1，
则x1+x2>2√x1 x2=2，即x2>2-x1>1，
因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x2)>f(2-x1)，A 正确；
B 选项，设f(x)=e2x，f'(x)=2e2x>f(x)>0，
当x1=1
2，x2=2 时，x1f(x2)=1
2f(2)=1
2e4>2e=2f (
1
2)=x2f(x1)，B 错误；
C 选项，令g(x)=f ( x)
e
x (x>0)，
则g'(x)=f '( x)- f ( x)
e
x
>0，
可知g(x)在(0，+∞)上单调递增，
因为0<x1<x2，所以g(x1)<g(x2)，
即
f ( x1)
e
x1 <
f ( x2)
e
x2
，
又因为f(x)>0，则0<f ( x1)
f ( x2)<e
x1
e
x2=e
x1- x2，
可得lnf ( x1)
f ( x2)<ln e
x1- x2，
所以ln f(x1)-ln f(x2)<x1-x2，C 正确；
D 选项，由C 可知f ( x1)
e
x1 <f ( x2)
e
x2
，
则f(x2)>e
x2
e
x1f(x1)，
令h(x)=ex-x-1，h'(x)=ex-1，
当x>0 时，h'(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)>h(0)=e0-0-1=0，所以当x>0 时，ex>x+1，
所以f(x2)>e
x2
e
x1f(x1)=e
x2- x1f(x1)>(x2-x1+1)f(x1)>(2-x1)f(x1)，
所以f(x2)>(2-x1)f(x1)，
当x1=1
2，x2=2 时，f(2)>3
2f (
1
2)，2f(2)>3f (
1
2)，D 正确.
11.(2025·济南模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0 时，f(x)=e-x(x-1)，则( )
A.当x<0 时，f(x)=ex(x+1)
B.函数f(x)有2 个零点
C.函数f(x)在点(-1，0)处的切线方程为x-ey+1=0
D.∀x1，x2∈R，都有|f(x1)-f(x2)|<2
答案 ACD
解析 对于A，当x<0 时，则-x>0，f(-x)=ex(-x-1)，
因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-[ex(-x-1)]=ex(x+1)，故A 正确；
对于B，当x>0 时，
令f(x)=e-x(x-1)=0，解得x=1，
由f(x)是定义在R 上的奇函数，
所以当x=-1 时，f(x)=0，又f(0)=0，故函数f(x)有3 个零点，故B 错误；
对于C，当x<0 时，f(x)=ex(x+1)，
f'(x)=ex(x+2)，所以f'(-1)=1
e ，
故所求切线方程为y-0=1
e (x+1)，即x-ey+1=0，故C 正确；
对于D，当x<0 时，f(x)=ex(x+1)，f'(x)=ex(x+2)，
当-2<x<0 时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(-2，0)上单调递增，
当x<-2 时，f'(x)<0，所以函数f(x)在(-∞，-2)上单调递减，f(x)min=f(-2)=-e-2，
且当x→-∞时，f(x)→0，
当x→0-时，f(x)→1，所以f(x)的值域为[-e-2，1)，
由f(x)是定义在R 上的奇函数，故当x>0 时，f(x)的值域为(-1，e-2]，因此∀x1，x2∈R，都有|f(x1)-f(x2)|<2，
故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知f(x)是定义在R 上的函数，若f(x)-x2是奇函数，f(x)-2x是偶函数，则f(1)的值为 .
答案 7
4
解析 由于函数y=f(x)-x2是奇函数，函数y=f(x)-2x为偶函数，
所以{
f (-1)-1=-[f (1)-1]，
f (-1)-2
-1= f (1)-2，
化简得{
f (-1)+ f (1)=2，
f (-1)- f (1)=- 3
2 ，解得f(1)=7
4 .
13.(2025·南京模拟)已知函数f(x)={
x +1，x ≤0，
lo g2 x，x>0，则函数y=f(f(x))-1 的所有零点构成的集合为 .
答案 {-1，1，4}
解析 因为函数f(x)={
x +1，x ≤0，
lo g2 x，x>0，
所以f(f(x))-1=0 等价于
{
f ( x)≤0，
f ( x)+1-1=0或{
f ( x)>0，
lo g2f ( x)-1=0，
解得f(x)=0 或f(x)=2，
即{
x ≤0，
x +1=0或{
x>0，
lo g2 x =0或{
x ≤0，
x +1=2或{
x>0，
lo g2 x =2，
解得x=-1 或x=1 或x=4.
14.已知f(x)，g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0 时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，且
f(-2)=0，则不等式f ( x)
g( x)>0 的解集为 .
答案 (-∞，-2)∪(0，2)
解析 ∵f(x)和g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，
∴f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x).
∵当x<0 时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，
∴[
f ( x)
g( x)]'=f
'( x)g( x)- f ( x)g
'( x)
[ g( x)]
2
<0，
令h(x)= f ( x)
g( x)，则h(x)在(-∞，0)上单调递减，
∵h(-x)= f (- x)
g(- x)=- f ( x)
g( x)=-h(x)，
∴h(x)为奇函数，
根据奇函数的性质可得，函数h(x)在(0，+∞)上单调递减，
∵f(-2)=-f(2)=0，h(2)=0，
∴h(-2)=-h(2)=0.
h(x)的大致图象如图，由图可知，
h(x)= f ( x)
g( x)>0 的解集为(-∞，-2)∪(0，2).
