文档内容
专题 25 新定义综合
（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定
义）
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷
新高考数学新结构体系下，新定义类试
考点1 数列新 2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷 题更综合性的考查学生的思维能力和推
定义 2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江苏卷
理能力;以问题为抓手，创新设问方式，
搭建思维平台，引导考生思考，在思维
（10年10 2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷
过程中领悟数学方法。
考） 2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷
题目更加注重综合性、应用性、创新
2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷 性，本题分值最高，试题容量明显增
大，对学科核心素养的考查也更深入。
压轴题命题打破了试题题型、命题方
考点2 函数新 式、试卷结构的固有模式，增强试题的
2024·上海、2020·江苏、2018·江苏
灵活性，采取多样的形式多角度的提
定义
2015·湖北、2015·福建 问，考查学生的数学能力，
（10年4考）
新定义题型的特点是;通过给出一个新概
念，或约定一种新运算，或给出几个新
模型来创设全新的问题情景，要求考生
考点3 集合新 在阅读理解的基础上，依据题目提供的
2020·浙江卷、2018·北京卷
定义 信息，联系所学的知识和方法，实现信
2015·山东卷、2015·浙江卷
息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定
（10年3考）
义问题，应耐心读题，分析新定义的特
点，弄清新定义的性质，按新定义照章
考点4 其他新
办事”逐条分析、验证、运算，使问题
定义 2020·北京卷、2016·四川卷 得以解决，难度较难，需重点特训。
（10年2考）
考点01 数列新定义一、小题
1．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数 ，其中 ，
记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足
，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（ ）
A． B． C． D．
二、大题
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删
去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证
明： ．
2．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
3．（2023·北京·高考真题）已知数列 的项数均为m ，且 的前n
项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义 ，
其中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
4．（2022·北京·高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，
在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
6．（2020·北京·高考真题）已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.7．（2020·江苏·高考真题）已知数列 的首项a =1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切
1
正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ~k”数列．
（1）若等差数列 是“λ~1”数列，求λ的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若
不存在，说明理由，
8．（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{a }满足： ，求证:数列{a }为“M－数列”；
n n
（2）已知数列{b }满足: ，其中S 为数列{b }的前n项和．
n n n
①求数列{b }的通项公式；
n
②设m为正整数，若存在“M－数列”{c }，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最
n
大值．
9．（2018·江苏·高考真题）设 ，对1，2，···，n的一个排列 ，如果当s k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”.
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.12．（2016·江苏·高考真题）记 .对数列 和 的子集 ，若 ，定义 ；
若 ，定义 .例如： 时， .现设 是公
比为3的等比数列，且当 时， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）对任意正整数 ，若 ，求证： ；
（3）设 ，求证： .
13．（2016·北京·高考真题）设数列A： ， ,… ( ).如果对小于 ( )的每个正整数 都
有 ＜ ，则称 是数列A的一个“G时刻”.记“ 是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出 的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在 使得 > ，则 ；
（3）证明：若数列A满足 - ≤1（n=2,3, …,N）,则 的元素个数不小于 - .
14．（2016·上海·高考真题）若无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称 具有
性质 .
（1）若 具有性质 ，且 ， ，求 ；
（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列， ， ，
判断 是否具有性质 ，并说明理由；
（3）设 是无穷数列，已知 .求证：“对任意 都具有性质 ”的充要条件
为“ 是常数列”.
15．（2016·上海·高考真题）对于无穷数列{ }与{ }，记A={ | = ， }，B={ | = ， }，
若同时满足条件：①{ }，{ }均单调递增；② 且 ，则称{ }与{ }是无穷互补数列．
（1）若 = ， = ，判断{ }与{ }是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若 = 且{ }与{ }是无穷互补数列，求数列{ }的前16项的和；
（3）若{ }与{ }是无穷互补数列，{ }为等差数列且 =36，求{ }与{ }得通项公式．
16．（2015·北京·高考真题）已知数列 满足： ， ，且 ．
记
集合 ．
（Ⅰ）若 ，写出集合 的所有元素；（Ⅱ）若集合 存在一个元素是3的倍数，证明： 的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合 的元素个数的最大值．
考点02 函数新定义
一、小题
1．（2015·湖北·高考真题）已知符号函数 是 上的增函数， ，
则
A． B．
C． D．
2．（2015·福建·高考真题）一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中
称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，
或者由1变为0）
已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为： ．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程
组可判定 等于 ．
二、大题
1．（2024·上海·高考真题）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
2．（2020·江苏·高考真题）已知关于x的函数 与 在区间D上恒有
．（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证：
．
3．（2018·江苏·高考真题）记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”．
（1）证明：函数 与 不存在“ 点”；
（2）若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
（3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区
间 内存在“ 点”，并说明理由．
考点03 集合新定义
一、小题
1．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，y S，若x≠y，都有xy T
②对于任意x，y T，若x
