文档内容
专题21 人教七下精选新定义题型（解析版）
类型一 实数中的新定义题型
{a(a≥b)
1．（2022 秋•辉县市校级月考）对于任意两个实数 a，b 定义两种运算：aΔb= ，
b(a＜b)
{b(a≥b)
a∇b=
，并且定义运算顺序任然是先做括号内的，例如（﹣2）Δ3＝3，（﹣2）∇3＝2，
a(a＜b)
[（﹣2）Δ3]∇2＝2，那么(√5∇2)Δ√327等于（ ）
A．√5 B．3 C．6 D．√10
思路引领：直接利用已知运算规律分别化简，进而得出答案．
解：原式＝2Δ3
＝3．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了实数的运算，正确理解题意是解题关键．
2．（2022•台山市校级一模）定义：求乘方运算中的指数运算叫做对数，如果N＝ax，则log N＝x．例如
a
1
log 8＝3，那么log ×log❑ 2√2= ．
2 327 √2
思路引领：根据已知新定义计算即可确定出结果；
1
解：∵log =log 3﹣3＝﹣3，log√22√2=log√2（√2）3＝3，
327 3
1
∴log ×log❑ 2√2=−3×3＝﹣9．
327 √2
故答案为：﹣9．
总结提升：本题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．（2022•南京模拟）新定义一种运算@，其运算法则是x@y=√xy+1，则2@（6@8）＝ ．
思路引领：先根据新定义求出6@8＝7，然后计算2@7即可得到答案．
解：由题意得：6@8=√6×8+1=√49=7，
∴2@(6@8)=2@7=√2×7+1=√15，
故答案为：√15．总结提升：本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
4．（2022 秋•永兴县期末）定义[x]为不大于 x 的最大整数，如[2]＝2，[√3]=1，[4.1]＝4，则满足
[√n]=5，则n的最大整数为 ．
思路引领：由题意得：5＜√n≤6，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
解：由题意得：
∵5≤√n＜6，
∴25≤n＜36，
∴n的最大整数为35．
故答案为：35．
总结提升：本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．
5．（2022秋•隆回县期末）对于正实数a，b作新定义：a b＝2√a−√b，若25 x2＝4，则x的值为
． ⊙ ⊙
思路引领：直接利用已知得出关于x的方程，进而得出答案．
解：由题意可得：2√25−√x2=4，
则10﹣|x|＝4，
解得：x＝±6．
故答案为：±6．
总结提升：此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．
6．（2022秋•朝阳区校级期末）用 定义一种新运算：对于任意实数a和b，规定a b＝a2﹣ab+1．
（1）求√2⊗√6的值． ⊗ ⊗
（2）√2⊗(√3⊗√6)= ．
思路引领：（1）利用新运算的规定列式计算即可；
（2）利用新运算的规定列式计算即可．
解：（1）∵a b＝a2﹣ab+1，
⊗
∴原式=(√2) 2−√2×√6+1
＝2﹣2√3+1
＝3﹣2√3；
（2）原式=√2 [(√3) 2−√3×√6+1]
⊗
=√2 （3﹣3√2+1）
⊗=√2 （4﹣3√2）
⊗
=(√2) 2−√2×（4﹣3√2）+1
＝2﹣4√2+6+1
＝9﹣4√2．
故答案为：9﹣4√2．
总结提升：本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的
规定是解题的关键．
{√a2+b2，a≥b
7．（2022•苏州模拟）对实数a，b，定义运算“◆”：a◆b = ，例如4◆3，因为4＞3，
ab，a＜b
{4x−y=8
所以4◆3=√42+32=5，若x，y满足方程组 ，则x◆y＝ 3 2 ．
x+2y=20
思路引领：求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出所求即可．
{4x−y=8①
解： ，
x+2y=20②
①×2+②得：9x＝36，
解得：x＝4，
把x＝4代入②得：y＝8，
则x◆y＝4◆8＝4×8＝32，
故答案为：32．
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元
法．
8．（2018秋•阳山县期末）对于实数x，y，定义一种新的运算“★”，规定x★y＝ax+by，其中a，b为常
数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果3★5＝12，1★2＝3，那么√3 ab= ．
思路引领：已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到 a与b的值，代入原式计
算即可求出值．
解：已知等式利用题中的新定义化简得：
{3a+5b=12①
，
a+2b=3②
②×3﹣①得：b＝﹣3，
把b＝﹣3代入①得：a＝9，则原式=√3−3×9=√3−27=−3．
故答案为：﹣3．
总结提升：此题考查了解二元一次方程组，立方根以及实数的运算，解二元一次方程组利用了消元的思
想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{√a−√b(a≥b)
9．（2022秋•屯留区期末）对于任意的正实数a和b，我们定义新运算：a∗b= ．
√a+√b(a＜b)
如：27∗12=√27−√12=√3．
求：（5*2）×（18*45）的值．
思路引领：根据定义确定好所用计算方法，再进行代入计算．
解：∵5＞2，18＜45，
∴（5*2）×（18*45）
＝（√5−√2）×（3√2+3√5）
＝3（√5−√2）（√5+√2）
＝3[（√5）2﹣（√2）2]
＝3（5﹣2）
＝3×3
＝9，
即（5*2）×（18*45）的值是9．
总结提升：此题考查了运用新定义进行实数运算的能力，关键是能准确理解并运用新定义，并进行正确
地计算．
类型二 平面直角坐标系中的新定义题型
10．（2022春•晋安区期末）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）
＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（5，﹣2））＝（ ）
A．（2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣5，2） D．（﹣2，﹣5）
思路引领：直接利用已知f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），进而分析得出答案．
解：由题意可得：g（f（5，﹣2））＝g（﹣5，2）＝（2，﹣5）．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了点的坐标，正确运用已知条件分析是解题关键．
11．（2022春•景县期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多
拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（2，﹣1），Q（﹣1，0），则P，Q的“实际距离”为4，即PS+SQ＝4或PT+TQ＝4．图中点A（3，2），B（5，﹣3）为共享单车停放点，
嘉淇在点P处，则（ ）
A．他与A处的“实际距离”更近
B．他与B处的“实际距离”更近
C．他与A处和B处的“实际距离”一样近
D．无法判断
思路引领：根据实际距离的概念得出距离解答即可．
解：P到A处的“实际距离”＝|3﹣2|+|2﹣（﹣1）|＝1+3＝4，
P到B处的“实际距离”＝|5﹣2|+|﹣3﹣（﹣1）|＝3+2＝5，
故选：A．
总结提升：此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．
12．（2022春•思明区校级期末）给出一个新定义：若平面直角坐标系中的点（a，b）的横、纵坐标满
足方程x﹣2y＝4，则称点（a，b）是方程x﹣2y＝4的坐标点，比如：点（6，1）就是方程x﹣2y＝4的
坐标点．
（1）写出方程x﹣2y＝4的另一个坐标点 ；
（2）若有一个点（3a，a+2）是方程x﹣2y＝4的坐标点，则a的值为 ．
思路引领：（1）给出x的一个值，代入求y的值；
（2）把点的坐标代入方程求解．
解：（1）当x＝4时，y＝0，
故答案为：（4，0）．
（2）由题意得：3a﹣2（a+2）＝4，
解得：a＝8．
故答案为：8．
总结提升：本题考查了方程的解，理解新定义是解题的关键．
13．（2022春•天河区期末）在平面直角坐标系中取任意两点 A（x ，y ），B（x ，y ），定义新运算
1 1 2 2
“*”，得到新的C的坐标为（x y ，x y ），即（x ，y ）*（x ，y ）＝（x y ，x y ）．若点A在第一
1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1象限，点B在第四象限，根据上述规则计算得到的点C的坐标在第 象限．
思路引领：根据每一象限内点的坐标特点进行分析解答．
解：∵点A（x ，y ）在第一象限，点B（x ，y ）在第四象限，
1 1 2 2
∴x ＞0，y ＞0．x ＞0，y ＜0．
1 1 2 2
∴x y ＜0，x y ＞0，
1 2 2 1
∴点C的坐标（x y ，x y ）位于第二象限．
1 2 2 1
故选答案为：二．
总结提升：本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符
号特征．
14．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P （x ，y ）与P （x ，y ）的
1 1 1 2 2 2
“非常距离”给出如下定义：若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|x ﹣x |；若|x ﹣x |
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＜|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|y ﹣y |，例如：点P （1，2），点P （3，5），因为|1﹣3|
1 2 1 2 1 2 1 2
＜|2﹣5|，所以点P 与点P 的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P Q与线段P Q长度的较大值
1 2 1 2
1
（点Q为垂直于y轴的直线P Q与垂直于x轴的直线P Q的交点）．已知点A(− ，0)，B为y轴上
1 2 2
的一个动点．
（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标 ；
（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值 ．
思路引领：（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确
定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；
1 1
（2）设点B的坐标为（0，y）．因为|− −0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|− −
2 2
1
0|= ．
2
解：（1）∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．
1 1
∵|− −0|= ≠4，
2 2
∴|0﹣y|＝2，
解得y＝2或y＝﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；
1
（2）∵|− −0|≥|0﹣y|，
2
1 1
∴点A与点B的“非常距离”最小值为|− −0|= ；
2 2
1
∴点A与点B的“非常距离”的最小值为 ．
2
1
故答案为： ．
2
总结提升：本题考查新定义问题，阅读并理解题意是解题关键．
15．（2022春•青山区校级月考）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点A，B，C的“矩面积”，
给出如下定义：“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大
值，“矩面积”S＝ah．例如：A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2）则“水平底”a＝5，“铅垂
高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．若D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t）三点的“矩面积”为18，
则t的值为 ．
思路引领：根据“矩面积”的定义，得出若D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t）三点的“矩面积”的
“水平底”a＝3，由矩面积”S＝ah＝18，得出“铅垂高”h＝18÷3＝6，则D、E、F三点的纵坐标差的
最大值为2﹣t＝6或t﹣1＝6，从而求得t的值．
解：由题意知，
D、E、F三点的“矩面积”的“水平底”a＝1﹣（﹣2）＝3，
∵D、E、F三点的“矩面积”S＝ah＝18，
∴D、E、F三点的“铅垂直”h＝18÷3＝6，
当点F在点D下方时，2﹣t＝6，
解得t＝﹣4．
当点F在点D上方时，t﹣1＝6
解得：t＝7，故答案为：﹣4或，7．
总结提升：本题考查坐标确定位置，掌握“矩面积”的定义是解题的关键．
16．（2022秋•霍邱县校级月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y
轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，
5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．
（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点
C的坐标；
（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．
思路引领：（1）根据“等距点”的定义解答即可；
（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．
解：（1）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；
②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，
综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；
（2）由题意，可分两种情况：①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，
∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），
1
解得k＝9或k= （不合题意，舍去）；
3
②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，
∴4+k＝6或4+k＝﹣6，
解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；
综上所述，k＝2或k＝9．
总结提升：本题主要考查了点的坐标，掌握“等距点”的定义是解答本题的关键．
17．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P
（x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”
的对应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，
y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．
（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．
①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；
②四边形ABB′A′的面积为 （平方单位）；
（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，
当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．思路引领：（1）①根据定义平移即可；
②根据平移后的图形，写出坐标即可；
（2）利用割补法求四边形的面积．
解：（1）①A（﹣1，2）“1型平移”后得到A'（0，1），
B（2，3）“1型平移”后得到B'（3，2）；
1 1
②S四边形ABB′A′ ＝S△ABB '+S△AB'A ' =
2
×4×1 +
2
×4×1＝4，
故答案为：4；
（2）A（2﹣a，a+1）“2型平移”后得到A'（4﹣a，a﹣1），
B（a+1，a+2）“2型平移”后得到B'（a+3，a），
如图，在四边形外作矩形CDEF，
∴C（2﹣a，a+2），D（2﹣a，a﹣1），E（a+3，a﹣1），F（a+3，a+2），
∴BC＝2a﹣1，AC＝1，BF＝2，B'F＝2，AD＝2，A'D＝2，AE＝2a﹣1，BE'＝1，
∴CF＝2a+1，CD＝3，
1 1
∴S四边形ABB′A′ ＝3（2a+1）−
2
×（2a﹣1）×1×2−
2
×2×2×2＝4a，
∵四边形ABB′A′的面积为8平方单位，
∴4a＝8，
∴a＝2．总结提升：本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，利用割补法求四边形的面积是解
题的关键．
类型三 二元一次方程组中的新定义题型
18．（2022春•梁山县期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通
常的加法和乘法运算，若2*5＝10，4*7＝28，则3*6＝（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
思路引领：已知等式利用题中的新定义化简求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
{2a+5b+1=10
解：根据题中的新定义得： ，
4a+7b+1=28
{a=12
解得 ，
b=−3
∴3*6＝3×12+6×（﹣3）+1＝19．
故选：B．总结提升：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2022春•万州区校级期中）把y＝ax+b（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系
二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的
“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝
2．
（1）x＝3是“雅系二元一次方程”y＝3x+m的“完美值”，求m的值；
（2）类比“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等
式”y＞kx+1（k≠0，k是常数）的“完美解集”为x＞2，请求出k的值．
思路引领：（1）由已知可得x＝3x+m，将x＝3代入即可求m；
（2）假设存在，得到x＝kx+1，所以（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，
1
存在“完美值”x= ．
1−k
解：（1）由已知得：x＝3x+m，
把x＝3代入x＝3x+m得：3＝9+m，
∴m＝﹣6；
（2）若“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”，
则有x＝kx+1，
∴（1﹣k）x＝1，
当k＝1时，不存在“完美值”，
当k≠1，k≠0时，存在“完美值”，
∵y＞kx+1（k≠0，k是常数），
则有x＞kx+1，
∴（1﹣k）x＞1，
∵完美解集为x＞2，
1
∴x＞ =2，
1−k
解得k＝0.5．
总结提升：本题考查二元一次方程的解，新定义；能够理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解
是关键．
20．（2022春•如皋市期中）定义：数对（x，y）经过运算 可以得到数对（x'，y'），记作 （x，y）＝
φ φ{x′=ax+by
（x'，y'），其中 （a，b为常数）．如，当a＝1，b＝1时， （﹣2，3）＝（1，﹣5）．
y′=ax−by
φ
（1）当a＝2，b＝1时， （1，0）＝ ；
（2）若 （2，1）＝（0φ，4），则a＝ ，b＝ ；
（3）如果φ组成数对（x，y）的两个数x，y满足x﹣2y＝0，xy≠0，且数对（x，y）经过运算 又得到数
对（x，y），求a和b的值． φ
思路引领：（1）当a＝1且b＝1时，分别求出x′和y′即可得出答案；
（2）根据条件列出方程组即可求出a，b的值；
{ax+by=x
（3）根据对任意数对（x，y）经过运算 又得到数对（x，y），得到 ，，根据x﹣2y＝0，
ax−by= y
φ
得到x＝2y，代入方程组即可得到答案．
解：（1）当a＝2，b＝1时，
x′＝2×1+1×0＝2，
y′＝2×1﹣1×0＝2，
故答案为：（2，2）；
{2a+b=0
（2）根据题意得： ，
2a−b=4
{ a=1
解得： ，
b=−2
故答案为：1，﹣2；
（3）∵对任意数对（x，y）经过运算 又得到数对（x，y），
{ax+by=x φ
∴ ，
ax−by= y
∵x﹣2y＝0，
∴x＝2y，
3
{a=
4
代入方程组解得： ．
1
b=
2
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一
元方程是解题的关键．
21．（2022春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常
数．已知1&1＝1，3 2＝8． ⊗
⊗（1）求a，b的值；
{x& y=4−m
（2）若关于x，y的方程组 的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
x⊗y=5m
{a x&b y=c {x=4
（ 3 ） 若 关 于 x ， y 的 方 程 组 1 1 1的 解 为 ， 求 关 于 x ， y 的 方 程 组
a x⊗b y=c y=5
2 2 2
{3a (x+ y)&4b (x−y)=5c
1 1 1
的解．
3a (x+ y)⊗4b (x−y)=5c
2 2 2
思路引领：（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
{ a+b=1 { a=2
解：（1）由题意得 ，解得 ；
3a−2b=8 b=−1
{2x−y=4−m { x=m+1
（2）依题意得 ，解得 ，
2x+5=5m y=3m−2
∵x+y＝5，
∴m+1+3m﹣2＝5，
3
解得m= ；
2
{2a +b y=c {x=4
（3）由题意得 1 1 1的解为 ，
2a +b y=c y=5
2 2 2
{3a (x+ y)&4b (x−y)=5c {6a (x+ y)−4b (x−y)=5c
1 1 1 1 1 1
由方程组 得 ，
3a (x+ y)⊗4b (x−y)=5c 6a (x+ y)+4b (x−y)=5c
2 2 2 2 2 2
3 4
{2a ⋅ (x+ y)−b ⋅ (x−y)=c
1 5 2 5 1
整理，得 ，
3 4
2a ⋅ (x+ y)+b ⋅ (x−y)=c
2 5 2 5 2
3
{ (x+ y)=4
5
即 ，
4
(x−y)=5
5155
{x=
24
解得 ．
5
y=
24
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思
想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
22．（2022春•江阴市期中）对整数x、y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝axy﹣byx（其中a、b是常
数），如：T（2，1）＝a×21﹣b×12＝2a﹣b．
（1）填空：T（2，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
3
（2）若T（3，2）＝10，T（8，﹣1）=− ．
4
①求a与b的值；
②若T（x，1）＝T（1，x），求出此时x的值．
思路引领：（1）根据新运算的运算顺序计算即可；
（2）①由题意列出二元一次方程组，再解方程组即可；
②由题意得2x﹣1＝2﹣x，解方程可得x的值．
1
解：（1）由题意得，T（2，﹣1）＝a×2﹣1﹣b×（﹣1）2= a﹣b，
2
1
故答案为： a﹣b；
2
{9a−8b=10
（2）①由题意得， 1 3，
a−b=−
8 4
{a=2，
解得
b=1
答：a的值是2，b的值是1；
（3）由题意得，2x﹣1＝2﹣x，
解得x＝1．
总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
类型四 一元一次不等式中的新定义问题
23．（2022•南谯区开学）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，
x+1
[﹣ ]＝﹣4，如果[ ]=3，则x的取值范围是（ ）
2
πA．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7
x+1
思路引领：根据题意可得：3≤ ＜4，然后进行计算即可解答．
2
解：由题意得：
x+1
3≤ ＜4，
2
∴6≤x+1＜8，
∴5≤x＜7，
故选：A．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解定义的新运算是解题的关键．
{a(a＞b)
24．定义一种法则“？”如下：a？b = ，例如：1？2＝2，若（﹣2m﹣5）？3＝3，则m的取值
b(a≤b)
范围是 ．
思路引领：根据题中新定义的运算可得出关于m的不等式﹣2m﹣5≤3；接下来求解即可得到m的取值
范围．
解：∵1 2＝2，若（﹣2m﹣5） 3＝3，
∴﹣2m﹣⊕5≤3，解得m≥﹣4． ⊕
故答案为：m≥﹣4．
总结提升：本题考查了不等式的解和解集，解答此题的关键是掌握不等式的解及解集的意义．
25．（2022秋•临湘市期末）现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣
2）*x≥0的解集为 ．
思路引领：直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案．
解：∵a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，
∴不等式（﹣2）*x≥0可变形为：4﹣2x≥0，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键．
3
26．（2022春•舒城县校级月考）在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：a b＝2a−
2
⊕ ⊕
3
（a+b），如1 5＝2×1− （1+5）＝﹣7．
2
⊕（1）若x 4＝0，则x＝ ；
（2）解不⊕等式x 6＞3；
（3）求不等式x⊕2＞（﹣2） （x+4）的负整数解．
思路引领：（1）⊕根据所给的运⊕算列出关于x的方程，解方程即可；
（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可；
（3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可．
3
解：（1）∵a b＝2a− （a+b），
2
⊕
3 1
∴x 4＝2x− （x+4）= x−6，
2 2
⊕
∵x 4＝0，
1⊕
∴ x−6= 0，
2
解得x＝12，
故答案为：12；
3
（2）由x 6＞3，可得2x− （x+6）＞3，
2
⊕
解得x＞12．
3
（3）∵a b＝2a− （a+b），
2
⊕
3 1 3 3 3
∴x 2＝2x− （x+2）= x−3，﹣2 （x+4）＝2×（﹣2）− （﹣2+x+4）＝﹣4+3− x﹣6=− x﹣
2 2 2 2 2
⊕ ⊕
7
∵x 2＞（﹣2） （x+4），
1⊕ 3 ⊕
∴ x−3＞− x﹣7，
2 2
解得x＞﹣2，
∴不等式的负整数解为﹣1．
总结提升：本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一
次（方程）不等式是解答此题的关键．
27．（2022秋•西湖区校级月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
3x+1 x+1
（1）在不等式①3x﹣5＜0，②x≥1，③x﹣（3x﹣1）＜﹣5④ ＞x中，不等式 −1≥x的
2 2
“云不等式”是 .（填序号）
（2）若a≠﹣2，若关于x的不等式x+2≥a与不等式（a+2）x＜a+2互为“云不等式”，求a的取值范
围．
思路引领：（1）分别求出各不等式的解，再根据“云不等式”的定义即可得出结论；
（2）先求出不等式x+2≥a的取值范围，再分a+2＞0和a+2＜0两种情况进行讨论．
5
解：（1）①解不等式3x﹣5＜0得，x＜ ；
3
②x≥1；
③不等式的解集为：x＞3；
④不等式的解集为x＞﹣1．
x+1
解不等式 −1≥x得，x≤﹣1．
2
x+1
∵只有不等式3x﹣5＜0的解集与不等式 −1≥x有公共部分，
2
x+1
∴不等式 −1≥x的“云不等式”是不等式3x﹣5＜0．
2
故答案为：①；
（2）不等式x+2≥a的解集为x≥a﹣2，
①当a+2＞0时，即a＞﹣2，可得x＜1，根据题意a﹣2＜1，即a＜3，a的取值范围为a＜3；
②当a+2＜0时，即a＜﹣2，可得x＞1，此时不论a为小于﹣2的何值均符合题意．
故a＜3且a≠﹣2．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解出不等式、根据解集判断系数的取值范围是解题的关键．
28．（2022春•永春县期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为
y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）最大的“对称数”为 ，最小的“对称数”为 ．
（2）若上述定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有 个．
（3）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，{3x−4 x−2
−1≤
且个位数字b能使得不等式组 4 2 有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的
8x−1＞b
值．
思路引领：（1）根据题意，可以写出最小的“对称数”和最大的“对称数”；
{3x−4 x−2
−1≤
（2）根据个位数字b使得不等式组 4 2 有3个整数解，可以求得b的值，然后根据题意，
8x−1＞b
可以得到所有满足条件的“对称数”M的值．
解：（1）由题意可得，最大的“对称数”是9999，最小的“对称数”为1010，
故答案为：9999；1010；
（2）∵|x+1|＜4，1≤x≤9，x为整数，
∴x＝1或2，
∴当x＝1时，对称数有1010，1100，
当x＝2时，对称数有1111，1201，1021，2110，2200，2020，
故定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有8个，
故答案为：8；
{3x−4 x−2
−1≤ b+1
（3）由不等式组 4 2 ，得 ＜x≤4，
8
8x−1＞b
{3x−4 x−2
−1≤
∵个位数字b使得不等式 4 2 有3个整数解，
8x−1＞b
b+1
∴1≤ ＜2，
8
解得7≤b＜15，
∵b为个位数字，
∴b＝7，8，9，
∵一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，
∴百位数字为3a，十位数字是10﹣b，
∴a+b＝3a+（10﹣b），
∴a＝b﹣5，
∴当b＝7时，a＝2，此时对称数”M的值是2637，
当b＝8时，a＝3，此时对称数”M的值是3928，当b＝9时，a＝4，此时百位数字3a＝12不存在，舍去，
由上可得，对称数”M的值是2637，3928．
总结提升：本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关
键是明确题意，求出M的值．
29．（2022春•如东县期中）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中
m，n均为非零常数）．例如T（1，1）＝3m+2n．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．
①求m，n的值；
{T(2p，2−p)＞4
②若关于P的不等式组 恰好有3个整数解，求a的取值范围．
T(4 p，3−2p)≤a
（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系
式．
思路引领：（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题；
{−(m−n)=0
解：（1）①由题意，得 ，
8n=8
{m=1
∴ ；
n=1
{(2p+2−p)(2p+4−2p)＞4①
②由题意，得 ，
(4 p+3−2p)(4 p+6−4 p)≤a②
解不等式①，得p＞﹣1．
a−18
解不等式②，得p≤ ．
12
a−18
∴﹣1＜p≤ ．
12
∵恰好有3个整数解，
a−18
∴2≤ ＜3．
12
∴42≤a＜54．
（2）由题意得：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m＝2n．
总结提升：本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思
想思考问题，属于中考常考题型．
30．（2022春•长沙县期末）定义：对于任意实数a，b，如果满足a+b＝ab，那么称a，b互为“朋友数”，
点（a，b）为“朋友点”．
（1）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”；
①1.5与3是互为“朋友数”的；
②若点（a，b）为“朋友点”，则点（b，a）也一定为“朋友点”；
③若点a与b互为相反数，则（a，b）一定不是“朋友点”；
④存在与1互为“朋友数”的实数．
（2）填空：若（a，3）为“朋友点”，则a＝ ．
（3）已知P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组
{x−2y=m2−9
的解，请判断点P（x，y）是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说
2x+ y=2m2+7
明理由．
思路引领：（1）①由1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，可得①是真命题；
②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，有b+a＝ba，可知②是真命题；
③若a＝b＝0，则a+b＝ab，故③是假命题；
④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，可知④是假命题；
3
（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a= ；
2
{x−2y=m2−9 {x=m2+1
（3）由 得： ，若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，
2x+ y=2m2+7 y=5
1
可解得m＝± ，即可得答案．
2
解：（1）①∵1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，
∴1.5与3是互为“朋友数”的，①是真命题，故答案为：√；
②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，
∴b+a＝ba，
∴点（b，a）也一定为“朋友点”； ②是真命题，
故答案为：√；
③若a＝b＝0，则a+b＝ab，
∴此时（a，b）是“朋友点”，③是假命题，
故答案为：×；
④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，
方程无解，
∴不存在与1互为“朋友数”的实数，④是假命题，
故答案为：×；
（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，
3
解得a= ，
2
3
故答案为： ；
2
1
（3）当m＝± 时，P（m2+1，5）是“朋友点“，理由如下：
2
{x−2y=m2−9 {x=m2+1
由 得： ，
2x+ y=2m2+7 y=5
∴P（m2+1，5），
若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，
1
解得m＝± ，
2
1
∴当m＝± 时，P（m2+1，5）是“朋友点”题意，理解“朋友数”和“朋友点”的定义．
2
31．（2022春•灌云县期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元
{x−1＞1
一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组 的解
x−2＜3
{x−1＞1
集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组 的“相依
x−2＜3方程”．
{x＞2
（1）在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组 的“相依方程”是 ① ；
x≤5
（填序号）
3x+1
{ ＞x
2
（2）若关于x的方程2x+k＝6是不等式组 的“相依方程”，求k的取值范围．
x−1 2x+1
≥ −1
2 3
思路引领：（1）求出不等式组的解集，以及各方程的解，判断即可；
（2）求出已知不等式组的解集，根据方程为不等式组的“相依方程”，确定出k的范围即可．
解：（1）方程①x﹣3＝0，
解得：x＝3；
②3x+2＝x，
解得：x＝﹣1；
③2x﹣10＝0，
解得：x＝5，
{x＞2
不等式组 ，
x≤5
解得：2＜x≤5，
{x＞2
则方程①x﹣3＝0是不等式组 的“相依方程”；
x≤5
故答案为：①；
3x+1
{ ＞x
2
（2）不等式组 ，
x−1 2x+1
≥ −1
2 3
解得：﹣1＜x≤1，
方程2x+k＝6，
6−k
解得：x= ，
2
6−k
代入得：﹣1＜ ≤1，
2
解得：4≤k＜8．总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关
键．
|a b| |a b|
32．（2022春•蜀山区校级期中）阅读理解：我们把 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 =
c d c d
|2 3|
ad﹣bc，例如： = 2×5﹣3×4＝﹣2．
4 5
|−1 2x−1| 1 | 2 1|
（1）填空：若 = 0，则x＝ ， ＞0，则x的取值范围 ；
0.5 x 4 3−x x
|1 n|
（2）若对于正整数m，n满足，1＜ ＜3，求m+n的值；
m 4
|x−1 y| |x −y|
（3）若对于两个非负数x，y， = = k，求实数k的取值范围．
2 3 2 −1
思路引领：（1）根据法则得到﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0、2x﹣（3﹣x）＞0，然后解得即可．
（2）根据法则得到1＜4﹣mn＜3，解不等式求得1＜mn＜3，由m、n是正整数，则可求得m+n＝3；
（3）根据法则得到3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k，解方程组求得x，y的值，然后根据题意得关于k的不
等式组，解得即可．
解：（1）由题意可得﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0，
整理可得﹣x﹣x+0.5＝0，
1
解得x= ；
4
由题意可得2x﹣（3﹣x）＞0，
解得x＞1，
1
故答案为 ，x＞1；
4
（2）由题意可得，1＜4﹣mn＜3，
∴1＜mn＜3，
∵m、n是正整数，
∴m＝1，n＝2，或m＝2，n＝1，
∴m+n＝3；
（3）由题意可得3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k，
{3x−2y=k+3 ①
∴ ，
−x+2y=k ②
①+②得：2x＝2k+3，2k+3
解得：x= ，
2
2k+3 2k+3
将x= 代入②，得：− +2y＝k，
2 2
4k+3
解得y= ，
4
∵x、均为非负数，
2k+3
{ ≥0
2
∴ ，
4k+3
≥0
4
3
解得k≥− ．
4
总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式和解一元二次方程组，关键是看懂题目所给的运算法则，
根据题意列出等式或不等式．
