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黄金冲刺大题07 新定义综合
（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选30题）
1．（2024·辽宁·二模）已知数列 的各项是奇数，且 是正整数 的最大奇因数，
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求数列 的通项公式.
2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列 的各项均为正整数，设集合
， ，记 的元素个数为 .
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合 ，并写出 的值;
(2)若 是递减数列，求证:“ ”的充要条件是“ 为等差数列”;
(3)已知数列 ，求证: .
3．（2024·广西·二模）已知函数 ，若存在 恒成立，则称 是 的一个“下界
函数”．
(1)如果函数 为 的一个“下界函数”，求实数 的取值范围；
(2)设函数 ，试问函数 是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说
明理由．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）设n次多项式 ，若其满足，则称这些多项式 为切比雪夫多项式.例如：由 可得切比雪夫多项式
，由 可得切比雪夫多项式 .
(1)若切比雪夫多项式 ，求实数a，b，c，d的值；
(2)对于正整数 时，是否有 成立？
(3)已知函数 在区间 上有3个不同的零点，分别记为 ，证明： .
5．（2024·浙江·模拟预测）已知实数 ，定义数列 如下：如果
， ，则 ．
(1)求 和 （用 表示）；
(2)令 ，证明： ；
(3)若 ，证明：对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ．
6．（2024·辽宁·三模）若实数列 满足 ，有 ，称数列 为“ 数列”.
(1)判断 是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)若数列 为“ 数列”，证明：对于任意正整数 ，且 ，都有
(3)已知数列 为“ 数列”，且 .令 ，其中 表示 中的较大者.证
明： ，都有 .
7．（2024·广东梅州·二模）已知 是由正整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，即；前 项的最小值记为 ，即 ，令 （
），并将数列 称为 的“生成数列”．
(1)若 ，求其生成数列 的前 项和；
(2)设数列 的“生成数列”为 ，求证： ；
(3)若 是等差数列，证明：存在正整数 ，当 时， ， ， ， 是等差数列．
8．（2024·浙江绍兴·二模）已知 ，集合 其中
.
(1)求 中最小的元素；
(2)设 ， ，且 ，求 的值；
(3)记 ， ，若集合 中的元素个数为 ，求 .
9．（2024·山东潍坊·二模）数列 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列 称为
的一阶差数列，记为 ，依此类推， 的一阶差数列称为 的二阶差数列，记为 ，…．
如果一个数列 的p阶差数列 是等比数列，则称数列 为p阶等比数列 ．
(1)已知数列 满足 ， ．
（ⅰ）求 ， ， ；
（ⅱ）证明： 是一阶等比数列；
(2)已知数列 为二阶等比数列，其前5项分别为 ，求 及满足 为整数的所有n值．10．（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有
限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就
是:对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们就称该函数为“不动点”函数，
实数 为该函数的不动点.
(1)求函数 的不动点;
(2)若函数 有两个不动点 ，且 ，若 ，求实数 的取值范围.
11．（2024·河北沧州·一模）对于函数 ， ，若存在 ，使得 ，则称 为函数
的一阶不动点；若存在 ，使得 ，则称 为函数 的二阶不动点；依此类推，可以
定义函数 的 阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数
的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为 和 ，即 ， ．
(1)若 ，证明：集合 中有且仅有一个元素；
(2)若 ，讨论集合 的子集的个数．
12．（2024·山东聊城·二模）对于函数 ，若存在实数 ，使 ，其中 ，则称
为“可移 倒数函数”， 为“ 的可移 倒数点”．已知 ．
(1)设 ，若 为“ 的可移 倒数点”，求函数 的单调区间；
(2)设 ，若函数 恰有3个“可移1倒数点”，求 的取值范围．
13．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是
由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数 满足在闭区间 连续，在开区间 内可导，且 ，那么在区间 内至少存在一点 ，使得 ．
(1)运用罗尔定理证明：若函数 在区间 连续，在区间 上可导，则存在 ，使得
．
(2)已知函数 ，若对于区间 内任意两个不相等的实数 ，都有
成立，求实数 的取值范围．
(3)证明：当 时，有 ．
14．（2024·安徽合肥·二模）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中
两个点 和 ，记 ，称 为点 与点 之间的“
距离”，其中 表示 中较大者．
(1)计算点 和点 之间的“ 距离”；
(2)设 是平面中一定点， ．我们把平面上到点 的“ 距离”为 的所有点构成的集合叫做
以点 为圆心，以 为半径的“ 圆”．求以原点 为圆心，以 为半径的“ 圆”的面积；
(3)证明：对任意点 ．
15．（2024·广东深圳·二模）无穷数列 ， ，…， ，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多
次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 ﹔如果n是奇数，就对 尽可能多次地除以2，直到
得出一个奇数，这个奇数就是 ．
(1)写出这个数列的前7项；(2)如果 且 ，求m，n的值；
(3)记 ， ，求一个正整数n，满足 ．
16．（2024·湖南邵阳·模拟预测）对于定义在 上的函数 ，若存在距离为 的两条平行直线
和 ，使得对任意的 都有 ，则称函数 有一个
宽度为 的通道， 与 分别叫做函数 的通道下界与通道上界．
(1)若 ，请写出满足题意的一组 通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；
(2)若 ，证明： 存在宽度为2的通道；
(3)探究 是否存在宽度为 的通道？并说明理由．
17．（2024·福建福州·模拟预测）记集合
，集合
，若 ，则称直线
为函数 在 上的“最佳上界线”；若 ，则称直线 为函数 在 上的
“最佳下界线”．
(1)已知函数 ， ．若 ，求 的值；
(2)已知 ．
（ⅰ）证明：直线 是曲线 的一条切线的充要条件是直线 是函数 在 上的
“最佳下界线”；
（ⅱ）若 ，直接写出集合 中元素的个数（无需证明）．18．（2024·辽宁·二模）如果数列 ，其中 ，对任意正整数 都有 ，则称数列
为数列 的“接近数列”．已知数列 为数列 的“接近数列”．
(1)若 ，求 的值；
(2)若数列 是等差数列，且公差为 ，求证：数列 是等差数列；
(3)若数列 满足 ，且 ，记数列 的前 项和分别为 ，试判断是否
存在正整数 ，使得 ？若存在，请求出正整数 的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：
）
19．（2024·辽宁大连·一模）对于数列 ，定义“T变换”：T将数列A变换成数
列 ，其中 ，且 ．这种“T变换”记作 ，继续对数列B进
行“T变换”，得到数列 ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：
(2)若 不全相等，判断数列 不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；
(3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
20．（2024·湖南·一模）已知 为非零常数， ，若对 ，则称数列 为 数列．
(1)证明： 数列是递增数列，但不是等比数列；
(2)设 ，若 为 数列，证明： ；
(3)若 为 数列，证明： ，使得 ．21．（2023·山西·模拟预测）对于数列 ，若存在 ，使得对任意 ，总有 ，
则称 为“有界变差数列”．
(1)若各项均为正数的等比数列 为有界变差数列，求其公比q的取值范围；
(2)若数列 满足 ，且 ，证明： 是有界变差数列；
(3)若 ， 均为有界变差数列，且 ，证明： 是有界变差数列．
22．（2024·江西九江·二模）定义两个 维向量 ， 的数量积
， ，记 为 的第k个分量（ 且 ）.如三
维向量 ，其中 的第2分量 .若由 维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含
有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素 ， ，满足
（T为常数）且 .则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和 .
23．（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确
定的对应关系 ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每
一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 ： 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作 .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 .
例如：对于集合 ， ，存在一一对应关系 ，因此 .
(1)已知集合 ， ，试判断 是否成立?请说明理由；
(2)证明：① ；
② .
24．（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合 ，定义：当 时，把集合
中所有的数从小到大排列成数列 ，数列 的前 项和为 .例如： 时，
，
.
(1)写出 ，并求 ；
(2)判断88是否为数列 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列 中的某一项 ，求 及 的值.
25．（2024·广西·二模）设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为取整函数，取整函数是
德国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：
① 的定义域为R，值域为Z；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即 ，其中 为x的整数部分，
为x的小数部分；③ ；
④若整数a，b满足 ，则 .
(1)解方程 ；
(2)已知实数r满足 ，求 的值；
(3)证明：对于任意的大于等于3的正整数n，均有 ．
26．（2024·河北石家庄·二模）设集合 是一个非空数集，对任意 ，定义 ，称
为集合 的一个度量，称集合 为一个对于度量 而言的度量空间，该度量空间记为 .
定义1：若 是度量空间 上的一个函数，且存在 ，使得对任意 ，均有：
，则称 是度量空间 上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列 为 ，若 是度量空间 上的数列，且对任意正实数 ，
都存在一个正整数 ，使得对任意正整数 ，均有 ，则称 是度量空间 上
的一个“基本数列”.
(1)设 ，证明： 是度量空间 上的一个“压缩函数”；
(2)已知 是度量空间 上的一个压缩函数，且 ，定义 ， ，证明：
为度量空间 上的一个“基本数列”.
27．（2024·湖北·模拟预测）欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合 ，欧拉函数 的值等于集合 中与n互质的正整数的个数；记 表示x除以y的余数（x和y均为正
整数），
(1)求 和 ；
(2)现有三个素数p，q， ， ，存在正整数d满足 ；已知对素数a和 ，
均有 ，证明：若 ，则 ；
(3)设n为两个未知素数的乘积， ， 为另两个更大的已知素数，且 ；又 ，
， ，试用 ， 和n求出x的值．
28．（2024·江西宜春·模拟预测）定义：设 和 均为定义在 上的函数，其导函数分别为
， ，若不等式 对任意 恒成立，则称 和 为
区间 上的“友好函数”．
(1)若 和 是“友好函数”，求 的取值范围；
(2)给出两组函数：① ， ；② ， ，分别判断这
两组函数是否为 上的“友好函数”．
29．（2024·海南省直辖县级单位·一模）若有穷数列 （ 是正整数），满足 （ ，
且 ，就称该数列为“ 数列”.
(1)已知数列 是项数为7的 数列，且 成等比数列， ，试写出 的每一项；
(2)已知 是项数为 的 数列，且 构成首项为100，公差为 的等差数列，数
列 的前 项和为 ，则当 为何值时， 取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数 ，试写出所有项数不超过 的 数列，使得 成为数列中的连续
项；当 时，试求这些 数列的前2024项和 .
30．（2024·江苏南京·二模）已知数列 的前n项和为 ．若对每一个 ，有且仅有一个 ，
使得 ，则称 为“X数列”.记 ， ，称数列 为 的“余项数列”.
(1)若 的前四项依次为0，1， ，1，试判断 是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若 ，证明 为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列 为“X数列”，且 的“余项数列”为等差数列，证明： ．
