文档文本内容
专题01 集合8 大题型
考点01 利用集合元素的互异性求参
考点02 判断集合的子集个数
考点03 根据集合的包含关系求参数
考点04 交集运算
考点05 并集运算
考点06 交并补混合计算
考点07 容斥原理
考点08 集合新定义
考点01 利用集合元素的互异性求参
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．-1
B．-3 或1
C．3
D．-3
【答案】D
【详解】由
可得
或
.
① 当
时，解得
或
，
若
，则
，与集合元素互异性矛盾，
若
，则
，此时
，符合题意，故
；
②当
时，
，由上分析可知不合题意.
故
.
故选：D.
2．已知
，则
【答案】或
【详解】当
时，
，
，与集合元素的互异性矛盾；
当
时，
，
，此时集合为
，符合题意；
当
时，显然
，则
，
，
，此时集合为
，符合题意，
所以
或
.
故答案为：或
.
3．已知集合
，若
，则实数
的所有可能取值组成的集合为 ．
【答案】
【详解】因为
，
，
所以
，或
，或
，
若
，则
，所以
，解得
或
，
当
时，
，符合题意，当
时，
，不符合题意；
若
，则
，又
，方程无解；
若
，则
，解得
或
，
当
时，
，不符合题意，当
时，
，符合题意；
综上所述，实数
的所有可能取值组成的集合为
.
故答案为：
.
4．已知
，
，若集合
，则
的值为 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
，
此时两个集合即
，所以
，解得
或
，
若
，则两个集合都是
不满足互异性，
所以
此时两个集合都是
，满足条件.
所以
，
故答案为：.
5．已知全集
，集合
，若
，则
.
【答案】2
【详解】因为
，所以
，
是3，4，5 中的两个数.
当
时，得
.
若
，则
，符合题意；
若
，则
，不符合题意.
当
时，得
，则
，不符合题意.
当
时，得
，则
，不符合题意.
故答案为：2
考点02 判断集合的子集个数
6．若集合
，则
有 个非空真子集.
【答案】
【详解】
有个元素，
有
个非空真子集.
故答案为：
.
7．集合
的非空真子集个数为 ．
【答案】14
【详解】由
，得
，
由
得
，其元素个数为4，
故非空真子集个数为
.
故答案为：14
8．已知集合
，
、则集合
的子集的个数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【详解】当
时，
为奇数，
∴
共2 个元素，
∴集合
的子集的个数
个，
故选：C
9．已知集合
，则
的真子集个数为（ ）
A．1
B．3
C．7
D．15
【答案】C
【详解】因为
，
所以
的值有：
，
，
，
，
由集合元素的互异性得：
，
所以其真子集个数为
.
故选：C.
10．（多选）已知集合
有且仅有2 个子集，则实数
可以取的值为（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】ABC
【详解】因为集合
只有两个子集，所以该集合恰有1 个元素，
即：方程
有且仅有1 个解或有两个相等的实数解，
则当
时，方程有一个解；
当
时，
，即：
时，方程有1 个解，
故
或
时，方程有1 个解.
故选：ABC.
11．已知集合
，则集合
的子集个数为 .（填数字）
【答案】16
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，共4 个元素，
所以集合A 的子集个数为
.
故答案为：16
考点03 根据集合的包含关系求参数
12．（多选）设集合
，
，若
，则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
，
，
因为
，且集合
中至多有一个元素，所以
或
或
，
若
，则
；
若
，则
；
若
，则
；
故选：ABD.
13．设
，若关于x 的不等式
的解集是区间
的真子集，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】原不等式等价于
，
当
时，原不等式为
，解集为
，满足题意；
当
时，原不等式解集为
，不满足题意；
当
时，原不等式解集为
，要满足该解集是区间
的真子集，只需
，即
综上，
的取值范围是
14．已知集合
，
.
(1)若
，求
;
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
所以
，
.
（2）当
时，即
，解得
，满足题意；
当
时，因为
，则
，解得
，
综上，
的取值范围为
.
15．已知集合
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由题设，显然
，又
，所以
，
所以
，解得
，
则
，因此
，
所以
，解得
，
则
，此时
，符合题意，
故
.
（2）若
，则
，
又
，所以
或
或
或
，
当
时，
，解得
；
当
时，
，无解；
当
时，
，解得
；
当
时，
，无解.
综上所述，
的取值范围是
.
16．已知集合
.
(1)求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】
【详解】（1）解：由集合
，
可得
，且
或
，
所以
.
（2）解：由集合
，且
，
当
时，则满足
，解得
，此时满足
；
当
时，则满足
，解得
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
17．已知集合
（m 为实数）.
(1)求
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）集合
，则
，
不等式
，即
，解得
或
，
所以
.
（2）由
，且
，
得n 与6 为方程
的两根，则
，解得
，
所以
.
（3）由
，得
，
因此
，即
对
成立，
而
，当且仅当
，即
时取等号，则
，
所以实数
的取值范围是
.
考点04 交集运算
18．设集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，
所以
，
故选：A.
19．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意知：
，
所以
.
故选：B.
20．设集合
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
故
，
故选：
.
21．集合
，若
且
，则
的取值为 ．
【答案】
【详解】由集合
，
因为
，则
或
，解得
或
或
，
当
时，集合
，可得
，不满足
，舍去；
当
时，集合
，可得
，不满足
，舍去；
当
时，集合
，可得
，满足
.
故答案为：
.
22．已知集合
，
.
(1)若
，求
；
(2)若集合
中恰有5 个整数元素，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
，
当
时，
，
所以
；
（2）由（1）知
，包含
共5 个整数，
要使集合
中恰有5 个整数元素，则集合
至少包含
这5 个整数，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
23．设集合
，
.
(1)写出集合
的所有子集；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）由
，得到
或
，所以
，
故集合
的所有子集为
.
（2）因为
，则
，又
，
方程
，
，
若
，即
，方程
无解，此时
，满足题意；
若
，即
，由
，即
，解得
，
此时
，满足题意；
若
，即
，要使
，则方程
的解集为
或
，
则
，解得
，
综上所述，
或
.
24．已知集合
，
.
(1)当
时，求
，
；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】
【详解】（1）由已知得
，
当
时，
，
则
，
又
，所以
.
综上，
，
.
（2）由（1）得
，又
，
当
时，
，满足题意，此时
，解得
；
当
时，要使
，则
或
，
解得
或
.
综上，
的取值范围为
.
考点05 并集运算
25．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：B
26．已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为集合
，
，
，则
或
，
若
，则
，集合
中的元素不满足互异性，不符合题意，
所以
，解得
，故
，因此
.
故选：D.
27．已知集合
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，所以
，所以
且
，
所以
且
，所以
，即实数
的取值范围为
.
故选：A
28．已知集合
，
，则
【答案】
【详解】
，
，
，
.
故答案为：
.
29．已知集合
.若
，求实数m 的取值范围.
【答案】
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，解得
；
当
时，则
，方程组无解.
综上所述，实数
的取值范围为
.
30．已知集合
或
，
.
(1)若
，求
，
；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
或
，
或
(2)
【分析】
【详解】（1）若
，则
，则
或
，
，则
或
；
（2）由
，则
，解得
.
31．设集合
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
或
；
(2)
或
.
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
此时
，故
或
；
（2）若
，则
，且
，
若
，则
，可得
；
若
，则
，解得
；
综上所述：实数
的取值范围为
或
.
考点06 交并补混合计算
32．已知全集
，集合
，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由全集
，集合
，
可得
，所以阴影部分表示的集合为
.
故选：C.
33．设全集
，
，则使
成立的集合B 至多有 个．
【答案】8
【详解】
，根据
，可知
，即
，
所以
共有8 种，
所以集合B 至多有8 个．
故答案为：8．
34．已知集合
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
，或
，
，
，
；
（2）由（1）可知
，
当
时，显然
成立，此时
，解得
，
当
时，此时
，解得
，
要想
，只需
，而
，所以
，
综上所述：实数a 的取值范围为
.
35．已知全集
，集合
，
或
，其中
．
(1)若
，求
：
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】
【详解】（1）（1）当
时，
或
，
，
．
；
（2）由已知可得
，
，
或
，
或
，又
，
实数
的取值范围为
或
.
36．已知全集为
，集合
，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）当
时，
．由
，解得
或
，
所以
或
，所以
，
所以
．
（2）由
得，
，
当
时，由
，可得
，即
；
当
时，由
，且
，
可得
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围为
．
37．记全集
，已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求a 的取值范围．
【答案】(1)
．
(2)
【分析】
【详解】（1）
，则
．
由
，得
，则
，
所以
．
（2）依题意，
，
因为
，所以
，解得
，
故a 的取值范围为
．
考点07 容斥原理
38．某幼儿园老师给班上30 位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中
一种颜色，其中有18 人选择了红色，有9 人选择了白色，有15 人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的
有5 人，同时选择了红色、蓝色的有5 人，同时选择了三种颜色的有1 人，则只选择了白色的小朋友有（
）
A．1 人
B．2 人
C．4 人
D．3 人
【答案】B
【详解】设只选择了白色的小朋友有
人，
则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有
人，
只选择了蓝色的小朋友有
人，
所以
，解得
.
故选：B
39．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目
、径赛项目
、其他健身项目
．
该班有25 名同学选择球类项目
，20 名同学选择径赛项目
，18 名同学选择其他健身项目
；其中有6
名同学同时选择
和
，4 名同学同时选择
和
，3 名同学同时选择
和
．若全班同学每人至少选择一
类项目且有2 名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A．52
B．51
C．50
D．49
【答案】A
【详解】因为有2 名同学同时选择三类项目，所以只选择
和
两个项目的同学有4 人，
只选择
和
两个项目的同学有2 人，只选择
和
两个项目的同学有1 人，
只选择
一个项目的同学有17 人，只选择
一个项目的同学有13 人，只选择
一个项目的同学有13 人，
如图，
所以班级人数为：
.
故选：A
40．现有20 个函数，其中奇函数的个数为12，偶函数的个数为10，既不是奇函数也不是偶函数的函数个
数为2，则既是奇函数又是偶函数的函数个数为 .
【答案】4
【详解】既是奇函数又是偶函数的函数个数为
.
故答案为：4
41．某班有学生56 人，其中38 人爱好体育，32 人爱好科技，还有8 人既不爱好体育也不爱好科技，则该
班学生既爱好体育又爱好科技的有 人．
【答案】22
【详解】设既爱好体育又爱好科技的人数为
人，
则仅爱好体育的人数为
人；仅爱好科技的人数为
人；
既不爱好体育又不爱好科技的人数为人，
∴
，∴
，
所以该班学生既爱好体育又爱好科技的有22 人.
故答案为：22
42．某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18 种商品，第二天售出12 种商品，第三天
售出16 种商品，前两天都售出的商品有3 种，后两天都售出的商品有4 种，则该商店第一天售出但第二天
未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种.
【答案】
【详解】因为前两天都售出的商品有种，
因此第一天售出且第二天没有售出的商品有
种；
同理由后两天都售出的商品有
种，
则第三天售出的商品中有
种第二天未售出；
所以三天售出商品种数最少时，
即第三天中这
种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可，
所以这三天售出的商品至少有
种.
故答案为：
；
.
考点08 集合新定义
43．当集合是
的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合
的
全部非空子集的厚度之和为（ ）
A．800
B．625
C．1550
D．750
【答案】A
【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：
，
集合
的元素之和为
，
所以集合
的全部非空子集的厚度之和为：
.
故选：A
44．若
，则
，则称
是伙伴关系集合，在集合
的所有非空子集中，
具有伙伴关系的集合个数为（ ）
A．16
B．15
C．14
D．13
【答案】B
【详解】
时，则
；
时，则
；
时，则
；
时，则
，
集合
的所有满足新定义的元素有6 个，
那么
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共有15 个.
故选：B
45．用
表示非空集合
中的元素个数，定义
，若
，
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【详解】∵
，∴
，
又
，根据定义得到
或
.
显然
为
的根，故
当
时，方程
有1 解，不符合题意.
当
时，由
，得
由
时，解得
或
有2 个解，
由
，∵
，∴
有2 个不同的解，
，
或
，此时4 个解两两相异.
故选：D
46．记
表示集合
的元素个数，对于集合
，定义
．若集合
满足
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】设
，由题意可得，
得到一个集合
中的元素有两类方法：
第一类：由
中任意两个不同元素求和可得，有
个；
第二类：由
中一个元素自身相加求和可得，有
个；
当且仅当任意两个和都不相等时， 集合
满足
，
故集合
中任意两个元素之和均不相同.
集合
中的元素
，不妨设
，
由于
；
可知“集合
中任意两个元素之和均不相同”等价于“集合
中的任意两个元素之差也均不相同”，
同理集合
中的任意两个元素之差也均不相同.
要得到集合
中的一个元素，其中
.
需从集合
中各取一个元素求和，
若任意两个元素之和不等，则
中有
个元素，
要使
最小，则必须两元素之和重复的最多；
设
，
不妨设
，
，
任取
中两个元素
，
其中
，
，设
，则
，
由于
，
故
中任意两数作差所得正数差（大减小）互不相同，共有
个；
同理
中所得正数差（大减小）也互不相同，共有
个；
故最多有相等的正数差
个，即两元素之和相等最多有
组，
故
.
由题意
，则
，可得
.
构造集合
，
由二进制数表示的唯一性可知，
则
.
故答案为：
.
47．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2 个，对于任意
，
，
若数
或
中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”.
(1)判断
和
是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由；
(2)若题设中的
、
都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）.
(3)题设的有限集合中，既有大于1 的元素，又有小于1 的元素，证明：集合是“坏集”；
【答案】(1)
是“坏集”，
是“好集”，理由见解析
(2)
且
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）
，当
时，
，
，
是“坏集”.
，不妨设
，
当
时，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
对于任意
，
，若数
或
中至少有一个属于
，所以集合
是“好集”.
（2）当
且
时，
，则为“超级好集”；
下面证明：集合中不可能存在其它元素.
因为集合不可能存在同时大于1 和小于1 的元素，
若
，
且
为中大于1 的元素中最大的元素
此时
，
，
不是“超级好集”；
若
，
且
为中小于1 的元素中最大的元素
此时
，
，
不是“超级好集”；
中不可能存在其它元素.
满足题意的“超级好集”
且
.
（3）假设有限集合中的大于1 的最小元素为
，小于1 的最大元素为
，
则
，
，因为
，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾，
，而
，所以
，
有限集合是“坏集”.
48．已知集合
，
，
，若
，
，
或
，则称集合
具有
“包容”性.
(1)判断集合
和集合
是否具有“包容”性，并说明理由；
(2)若集合
具有“包容”性，求
的值.
【答案】(1)集合
不具有“包容”性，集合
具有“包容”性，理由见解析
(2)1
【分析】
【详解】（1）对于集合
，集合中的
，
所以，集合
不具有“包容”性；
对于集合
，
该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合
，
所以，集合
具有“包容”性.
（2）若集合
具有“包容”性，记
，
则
，易得
，从而必有
，
不妨令
，则
且
，
则
，且
，
当
时，若
得
，
此时
具有包容性.
若
，得
舍去；若
无解，
当
时，则
，
由
且
，可知
无解，故
，
所以
.
