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专题4.1.1 实数指数幂及其运算
教学目标
1．理解根式、分数/无理数指数幂的概念及性质
2．掌握有理数指数幂的运算性质并能计算
3．能区分正负分数指数幂的意义及0 的指数幂限制
教学重难点
重点：根式性质；分数指数幂意义；有理数指数幂运算性质
难点：根式与分数指数幂的转化；无理数指数幂的理解
知识点01 根式
1.根式的概念
一般地,如果
,那么
叫做
的
次方根,其中
,且
.
（1）当
是奇数时,正数的
次方根是一个________,负数的
次方根是一个________,这时,
的
次方根用
符号________表示.
（2）当
是偶数时,正数
的
次方根有两个,记为
,负数________偶次方根.
（3）0 的任何次方根都是________,记作
.
式子
叫做根式,其中
,且
叫做根指数,
叫做________.
2.根式的性质
根据
次方根的意义,可以得到:（1）
________；
（2）当
是奇数时,
;当
是偶数时,
________
温馨提示:
中当
为奇数时,
________
为偶数时,
,而
中
________.
【即学即练】
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．当
时，化简:
.
知识点02 指数幂
1．分数指数幂的意义
分数指数
幂
正分数指数幂
规定
负分数指数幂
规定
________
0 的分数指数幂
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义
温馨提示：（1）分数指数幂
不可以理解为
个
相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是________．
2．有理数指数幂的运算性质
（1）
;
（2）
________
;
（3）
.
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂
(
是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于
无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的
结果．
（2）
是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了________范围．
【即学即练】
1．
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
2．若
，则
（ ）
A．11
B．14
C．30
D．45
题型01 利用根式的性质化简
【例1】已知
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【例2】若
，则实数
的取值范围为 ．
【变式1-1】式子
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式1-2】若
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【变式1-3】若
，则实数
的取值范围是 ．
化简时需注意被开方数的取值范围：偶次根式的被开方数非负，奇次根式的被开方数无限制
题型02 根式与分数指数幂的互化
【例3】下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】已知
，将
化为有理数指数幂
形式，则
.
【变式2-1】经过化简，可得恒等式
（其中
），则
【变式2-2】将
写成根式，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 利用指数幂运算性质化简
【例5】已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．12
C．18
D．24
【例6】已知
，则关于
的表达式
．
【变式3-1】（多选）下列运算（化简）中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】计算：
【变式3-3】计算下列各式：
(1)
；
(2)
．
题型04 解简单的指数方程
【例7】方程
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】方程
的解为
【变式4-1】已知
，且
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】方程
的解为 ．
【变式4-3】关于
的方程
的解为 ．
题型05 指数幂条件求值问题
【例9】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】（1）已知
，且
，求
的值．
（2）已知
，求
的值．
【变式5-1】设
，
，已知
，
，
，则
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【变式5-2】（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】已知
，
.求
及
的值
解决指数幂条件求值问题，首先需观察已知条件与所求表达式的结构特征，优先对已知条件进行变形（如
将幂的形式化为同底数、同指数，或通过因式分解、配方等转化为可整体代入的形式）；再利用实数指数
幂的运算性质，对所求表达式进行拆解或重组，使其能代入已知条件变形后的整体值
题型06 根式与指数幂综合化简求值
【例11】计算求值
(1)
(2)若
，且
，求代数式
的值.
【例12】已知
，
，化简：
．
【变式6-1】已知
，则
．
【变式6-2】（1）求值：
（2）化简：
；
（3）已知
，求
的值.
【变式6-3】已知
，求证：3k2+2＝2m2．
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
且
，下列三个式子，正确的个数为（ ）
①
；②
；③
．
A．0
B．1
C．2
D．3
4．化简
的值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
5．设大于1 的实数
，
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．12
C．18
D．24
7．若
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
8．人们发现，可以通过公式
来求方程
（
均为
正实数）的正实数根.例如，方程
的正实数根为
，我们知道
是
的唯一正实数根，所以
，这里规定
.根据以上材料可得
（ ）
A．3
B．6
C．9
D．4
二、多选题
9．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．下列各式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．
.
13．若
，
，用含
的代数式表示
，则
．
14．若
，则
的值为 ．
四、解答题
15．求值：
(1)
；
(2)
(3)
；
16．已知
，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
．
17．先化简：
，再从
中选择一个合适的数代入并求值．
18．化简并求值．
(1)若
，
，求
的值；
(2)设
，求
的值．
19．已知
，求证:
