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专题4.2.1 对数运算
教学目标
1．理解对数的概念，能区分常用对数（
）与自然对数（
）
2．掌握指数与对数的互化规则（
且
时，
）
3．熟记对数性质（
等）和恒等式，能正确运用
教学重难点
1．重点：指数与对数的互化；对数的概念及基本性质
2．难点：对数恒等式的理解与应用
知识点01 对数的概念
一般地，如果
且
），那么数
叫做以
为底
的对数，记作
，其中
叫
做对数的底数，
叫做真数．
常用对数与自然对数：通常我们将以10 为底的对数叫做常用对数，记为
.在科学技术中常使用以无理
数
为底的对数，以
为底的对数称为自然对数，并记为
.
【即学即练】
1．有下列说法:
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10 为底的对数叫做常用对数；④
=-5 成立.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】①零和负数没有对数，显然正确；
②错误，如(-1)2=1，不能写成对数式；
③以10 为底的对数叫做常用对数，故正确；
④错误，
没有意义.
故正确命题是①③.
故选：
.
【点睛】本题考查对数的概念和定义，属简单题.
2．思辨解析，在题目后的（ ）内正确的填“正确”，错误的填“错误”．
（1）
是
与N 的乘积．( )
（2）
可化为
．( )
（3）对数运算的实质是求幂指数．( )
（4）在
中，实数m 的取值范围是
．( )
【答案】 错误 错误 正确 正确
【详解】（1）根据对数的定义得
不是
与N 的乘积．故（1）错误；
（2）由对数的定义中，需底数大于0 且底数不等于1，真数大于0，故（2）错误；
（3）根据对数的定义知对数运算的实质是求幂指数．故（3）正确；
（4）由
解得
，所以实数m 的取值范围是
．故（4）正确.
故答案为：错误；错误；正确；正确.
知识点02 指数与对数的互化
当
时，
.
【即学即练】
已知
，则
．
【答案】
【详解】
。
故答案为：
.
知识点03 对数的性质
（1）
；（2）
；（3）零和负数没有对数．
【即学即练】
已知函数
，则
.
【答案】
【详解】因为函数
，且
，
所以
，
故答案为：
.
知识点04 对数恒等式
（1）
且
；（2）
且
【即学即练】
1．计算：
．
【答案】4
【详解】由题意可知：
.
故答案为：4.
2．计算下列各式：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)8；
(2)0.
【分析】
【详解】（1）
.
（2）
.
题型01 对数有意义的条件
【例1】使式子
有意义的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由对数的概念得
，解得
或
，
故
的取值范围是
.
故选：D.
【例2】若代数式
有意义，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题可得
，解得
或
，
故实数
的取值范围为
．
故选：D
【变式1-1】已知对数式
有意义，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
有意义可知
，解得
且
，
所以a 的取值范围为
.
故选：B
【变式1-2】使式子
有意义的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】要使式子
有意义，则
，解得
．
故选：B．
【点睛】本题考查对数式的概念，掌握对数式的定义是解题关键，在对数式
中有
，
且
．
【变式1-3】对数
有意义，那么
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】要使对数
有意义，
则
，即
，解得：
或
.
故
的取值范围是：
.
故答案为：
.
先明确对数
中，底数
需满足
且
，真数
需满足
；再根据题目给出的具体
对数表达式（如含未知数的真数或底数），分别列出关于
和
的不等式，联立求解不等式组，得到
未知数的取值范围，即为对数有意义的条件
题型02 对数式与指数式的互化
【例3】（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】AD
【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式
，
对于A，
可化为
，故A 正确，
对于B，
可化为
，故B 错误，
对于C，
可化为
，故C 错误，
对于D，
可化为
，故D 正确.
故选：AD
【例4】若
（
，且
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由对数的概念知
，故
，即
.
故选：A.
【变式2-1】已知
，则
的值为（ ）
A．15
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
.
故选：C.
【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式
，
对于
，可化为
.
（2）对于
，可化为
.
（3）对于
，可化为
.
（4）对于
，可化为
.
【变式2-3】已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，又因为
，
所以
，
故选：B.
题型03 对数求值
【例5】已知函数
，则
的值为（ ）
A．1
B．0
C．
D．2
【答案】A
【详解】由函数
可知
，
所以
.
故选：A.
【例6】已知函数
，则
.
【答案】3
【详解】
.
故答案为：3.
【变式3-1】求下列各式的值：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
.
【答案】（1）（2）
（3）
（4）
【解析】（1）根据指数式与对数式的相互转化,
即可求得答案;
（2）根据指数式与对数式的相互转化,
即可求得答案;
（3）根据指数式与对数式的相互转化,
即可求得答案;
（4）根据指数式与对数式的相互转化,
即可求得答案;
【详解】（1）根据指数式与对数式的相互转化,
,
.
（2）根据指数式与对数式的相互转化,
,
.
（3）根据指数式与对数式的相互转化,
,
.
（4）根据指数式与对数式的相互转化,
,
.
【点睛】本题主要考查指数式与对数式的相互转化,考查了计算能力,属于基础题.
【变式3-2】“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【详解】当
时，
，则
，故充分性成立；
当
时，
，则
，故必要性不成立，
所以“
”是“
”的充分非必要条件.
故选：A
【变式3-3】已知函数
，则
的值为 .
【答案】2
【详解】函数
，
，
所以
.
故答案为：2
题型04 利用对数的定义解方程
【例7】方程
的解
【答案】
【详解】由
，则
，解得
.
故答案为：
.
【例8】求下列各式中的x 的值．
(1)
．
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
(2)9
(3)2
【详解】（1）由
，得
；
（2）由
，得
，所以
；
（3）因为
，所以
，所以
.
【变式4-1】方程
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，
，解得
或
，
由
，得
，则
，解得
，所以方程
的解集为
.
故选：D.
【变式4-2】方程
的实数解为 ．
【答案】
【详解】方程
，化为：
，整理得
，
解得
或
（舍去），则
，所以所求实数解为
.
故答案为：
【变式4-3】求下列各式中
的值．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，解得
；
（2）因为
，所以
，
所以
，解得
；
（3）因为
，所以
，
所以
，解得
.
先依据指数与对数互化规则（
且
时，
），将对数方程转化为指数方
程；再结合对数性质（真数
且
、底数
且
），列出对应限制条件；最后解指数
方程并验证解是否满足限制条件，符合条件的即为方程的解。
题型05 对数恒等式的应用
【例9】计算：
.
【答案】3
【详解】解：
.
故答案为：3.
【例10】函数
（
），则
﹐则a=（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
时，
，
所以
，则
，
解得：
.
故选：A.
【变式5-1】已知函数
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】B
【详解】
.
【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的值选择合适的解析式来计算，本题属于基
础题.
【变式5-2】设函数
，则
.
【答案】3
【详解】
，
，所以
.
故答案为：3
【变式5-3】已知函数
则
.
【答案】
【详解】
，
，
.
故答案为：
1．在对数式
中，实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】要使对数式
有意义，需满足
，
解得
或
，
所以实数
的取值范围是
．
故选：D.
2．已知
，
，则
（ ）
A．0
B．2
C．-1
D．1
【答案】B
【详解】因为
，所以
，又因为
，
所以
，所以
，
则
.
故选：B.
3．若
，则
（ ）
A．26
B．24
C．22
D．20
【答案】B
【详解】由题知
，解得
.
故选：B.
4．已知
为
上的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．-3
B．3
C．-2
D．2
【答案】B
【详解】由题可知：函数
为
上的奇函数，所以
，
又当
时，
，则
，
所以
.
故选：B
5．已知实数
满足
，则
（ ）
A．11
B．12
C．16
D．17
【答案】D
【详解】因为
，所以
.
故选：D.
6．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据指数幂运算法则，可得
.
再根据指数幂运算法则，对
进行变形可得
，所以
.
已知
，根据对数与指数的关系，可得
.
同理，因为
，所以
.
将
和
代入
中计算结果
把
，
代入
可得：
.
故选：D.
7．已知
，
，
，
，则下列一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，所以
，
，
又
，所以
，
又
，所以
，所以
.
故选：C
8．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】D
【详解】设
，则
，
∵
，即
，整理得
，
注意到
，则
，
解得
，即
.
故选：D.
【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、指数的运算.
9．下列说法等式正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AB
【详解】对于选项A：
，故A 正确；
对于选项B：
，故B 正确；
对于选项C：若
，则
，故C 错误；
对于选项D：若
，则
，故D 错误.
故选：AB.
10．下列结论中，不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】CD
【详解】选项A：由
可得：
，则
，故A 错误，
选项B：由
可得：
，则
，故B 错误，
选项C：由
可得
，则
，故C 正确，
选项D：由
可得：
，则
，故D 正确，
故选：CD．
11．已知指数函数
且
经过点
，则
【答案】
【详解】由题设
且
，
，可得
，
所以
.
故答案为：
12．已知
是奇函数，且
，则
．
【答案】3
【详解】由题意得
，
所以
，
故答案为：3．
13．已知
，则
.
【答案】
【详解】因为
，所以
，则
，
所以
.
故答案为：
.
14．将下列指数式化为对数式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由
，得
.
（2）由
，得
.
（3）由
，得
.
15．求下列各式中的
的值.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，所以
.
（2）因
，所以
，
所以
.
16．求方程
的实数解．
【答案】
.
【详解】令
，则原方程可化为
，
解得
或
（舍去），即
，所以
．
17．已知实数
满足
且
，
，求实数
的值．
【答案】
或
【详解】因为
且
，则
①，
由
得，
②，
由
得，
③，
联立①②③解得
或
，
当
时，解得
；
当
时，解得
．
综上所述，
或
.
18．已知
，试比较x，y，z 的大小．
【答案】
．
【详解】解：由
，
得
，
，即
；
同理
，
．
∵
，
，
∴
．
又
，
，
∴
，∴
．
