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专题4.2.2 对数运算法则
教学目标
1.能复述3 条对数运算性质及换底公式，明确运算成立的前提条件（所有对数有意
义）。
2.会用运算性质化简对数式、计算对数值，能通过换底公式转化不同底数的对数。
3.会推导换底公式的3 个重要结论，能灵活运用结论解决复杂对数运算问题。
教学重难点
重点：对数3 条运算性质的记忆与直接应用；换底公式的结构及不同底数对数的转化
难点：判断对数运算是否有意义；换底公式重要结论的推导逻辑及灵活运用。
知识点01 对数运算性质
如果
，且
，那么：
（1）
；（2）
；（3）
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
例如，
是错误的．
【即学即练】
1．计算：
（ ）
A．10
B．1
C．2
D．
【答案】B
【详解】原式
.
故选：B.
2．计算式子
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
.
故选：A
知识点02 对数换底公式
若
，且
，则
(
，且
)．
由换底公式推导的重要结论
（1）
（2）
（3）
【即学即练】
1．
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】
，
故选：A
2．计算：
．
【答案】1
【详解】
故答案为：1
题型01 对数的运算法则
【例1】对于
，
，
，
，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，取
，
，
，
，
，
则
，故A 错误；
对于B，取
，
，
，
，
，
则
，故B 错误；
对于C，由对数的运算性质可知，
，故C 正确；
对于D，对数的底数不能为负数，则
表示错误，故D 错误；
故选：C.
【例2】
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【详解】根据对数运算性质可知
，
，所以
．
故选：C．
【变式1-1】若
与
互为相反数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知
，则
，
.
故选：C.
【变式1-2】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，
，所以
.
故选：D
【变式1-3】
的值为 .
【答案】4
【详解】
.
故答案为：4.
题型02 对数的化简求值
【例3】
.
【答案】3
【详解】
，
故答案为：3
【例4】已知
，则
（ ）
A．1
B．4
C．1 或4
D．2
【答案】B
【详解】由已知得
，整理得
，得
或
．
，即
，
则
,
故选：B
【变式2-1】
.
【答案】
【详解】
故答案：
【变式2-2】已知
，则
．
【答案】
【详解】
且
，则
，
.
故答案为：
【变式2-3】已知
，且
，则
（ ）
A．2 或8
B．
或8
C．8
D．64
【答案】C
【详解】因为
，
，
令
，
所以
，解得
或
（不符合题意舍去），
所以
，解得
.
故选：C
题型03 利用换底公式化简求值
【例5】求值：
.
【答案】
【详解】
.
.
故答案为：
.
【例6】已知正数a，b 满足
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【详解】因为正数a，b 满足
，所以
（*），
当且仅当
时，即
，
时等号成立.
由（*）可得
.
又
，
当且仅当
，
时等号成立.
所以
的最大值为1.
故选：D.
【变式3-1】
.
【答案】
【详解】原式
故答案为：
【变式3-2】已知正数
满足
，则
；若满足
，则
.
【答案】
【详解】由
，得
，
，
.
由
，得
，
，
所以
.
故答案为：
，
.
【变式3-3】已知
，
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．6
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，由
可得
，
所以
.
故选：B
用换底公式应注意：
（1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．
题型04 解对数方程
【例7】方程
的解为 .
【答案】
【详解】由
，解得
.
，
所以
，整理得
，解得
或
（舍去），
所以原方程的解为
.
故答案为：
【例8】甲、乙两人同时解关于x 的方程：
．甲写错了常数b，得两根为
及
；乙
写错了常数c，得两根为
及64，则这个方程的真正的根为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【详解】原方程两边同时乘以
，可变形为
，
∵甲写错了b，得到两根为
及
，∴
，
又∵乙写错了常数c，得到两根为
及64，∴
，
∴原方程为
，即
，
∴
或
，∴
或8.
故选：C.
【变式4-1】若方程
的两根为
、
，则
（ ）
A．
B．
C．35
D．
【答案】D
【详解】
，分解因式得到
，
则
，则
.
解得
或
，所以
.
故选：D.
【变式4-2】记方程
的根为
，求
的值．
【答案】7
【详解】
，即
，
则
，即
，
故
．
【变式4-3】对于正数
，
且
，可以定义运算
，则方程
的根落于区间
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，
，即
，即
，
即
，则
，
，
，
，即
，则
.
故选：C
题型05 用对数表示其他对数
【例9】若
，
，则
（用
，
表示）．
【答案】
【详解】由题设
，
，
所以
，
，
所以
，
，而
，
所以
.
故答案为：
【例10】已知
，
.
(1)求
的值；
(2)用
，
表示
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）由
，
，得
.
（2）由
，
，得
，
所以
.
【变式5-1】已知
，用含
的代数式表示
．
【答案】
【详解】
.
故答案为：
【变式5-2】已知
，
，试用
，
表示
．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
所以
．
故答案为：
．
【变式5-3】已知
，
，用
表示
.
【答案】
【详解】因为
，又
，
，
所以
.
用对数表示其他对数，核心是巧用换底公式
且
和对数运算性质；先观察已知
对数与目标对数的底数、真数，通过换底公式统一底数，再结合
、
等性
质，将已知对数转化为目标对数的表达式，逐步推导即可。
题型06 对数的实际应用
【例11】在一定条件下，某人工智能大语言模型训练
个单位的数据量所需要时间
（单位：
小时），其中
为常数．在此条件下，已知训练数据量
从
个单位增加到
个单位时，训练时
间增加20 小时；当训练数据量
从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加（单位：
小时）（ ）.
A．2
B．4
C．20
D．40
【答案】B
【详解】设N 取
个单位、
个单位、
个单位时所需时间分别为
，
则由题意
，
，
，
所以由题
，所以
，
所以
，
所以当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
【例12】中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式
（缪氏记录法）：
，其中
为被测试眼睛的视力值，
为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低
一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），
为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），
是与
，
无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4 米处检测右眼的视力值，若此时
，不考
虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：
）（ ）
A．4.8
B．4.9
C．5.0
D．5.1
【答案】B
【详解】由题意，得
，小华在距离标准视力表4 米处检测右眼的视力值，即
，代入
，得
.
故选：B.
【变式6-1】研究表明地震释放的能量
（单位：焦耳）与震级
之间满足
（
为常数）.若
5.5 级地震所释放的能量为
焦耳，8 级地震所释放的能量为
焦耳，则6 级地震所释放的能量
为（ ）（取
）
A．
焦耳B．
焦耳
C．
焦耳
D．
焦耳
【答案】C
【详解】由题意可得
，即
，解得
，
所以
，当
时，
，
所以
焦耳.
故选：C.
【变式6-2】声强级
（单位：dB）由公式：
给出，其中I 为声强（单位：
）.若某
音源的声强由
变为
，其声强级由10.1 提高到30.1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】声强级由10.1 提高到30.1，可知
，
，
故
，
即
，故
，则
，即
，
故选：C
【变式6-3】某水域每立方米中微生物含量
约为
，另一水域每立方米中同种微生物含量
约为
.则
下列各数中与
最接近的是（ ）（参考数据：
）
A．0.3
B．10
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，
，则
，
而
，
所以与
最接近的是
.
故选：D
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
2．已知
，计算
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【详解】由题可得：
,所以
故选：A
3．下列各数中与
最接近的是（ ）（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，又
，
所以
，
所以
，
因为指数
与选项A、B、C、D 的指数
相比较，与
的差的绝对值最小，
所以与
最接近的是
.
故选：C
4．已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．36
【答案】C
【详解】易知
，所以
，
所以
.
故选：C
5．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000 多年的历史.围棋
最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”
是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19 道棋盘（即
棋盘上有纵横各19 条线段将棋盘分成361 个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
约为
，而可观测宇宙中普通物质的原子总数
约为
，则下列各数中与
最接近的是（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意：
，根据题设及指对数关系有
，
所以
，所以
.
故选：A
6．已知
，
，
，
，则
（ ）
A．e
B．
C．1
D．
【答案】B
【详解】由
，
，
则
，
，
所以
，则
，
则
，所以
.
故选：B.
二、多选题
7．下列运算正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】A 选项，
，故A 错误；
B 选项，
，故B 正确；
C 选项，
，故C 正确；
D 选项，
，故D 正确.
故选：BCD.
8．已知
，若
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【详解】列表解析 直观解疑惑
选项
正误
原因
A
√
时，
，
故
，所以
，
即
．
B
√
同A 中分析，可得
，
则
．
若
，则
．
C
√
D
×
由B 中分析知，若
，
则
，则
或
．
一题多解 多方法解题
利用换底公式的一个推论：
，可得若
，
则
，
．
A（√）若
，则
．
B（√）
．
C（√）若
，则
．
D（×）若
，则
，则
或
．
故选:ABC.
三、填空题
9．
.
【答案】
【详解】
.
故答案为：
10．已知
，则
．
【答案】
/
【详解】由题设
，则
.
故答案为：
11．已知
，
，则
.（结果用
表示）
【答案】
【详解】因为
，
，
所以
.
故答案为：
.
四、解答题
12．计算：
．
【答案】
【详解】解法一：原式
．
解法二：原式
．
13．求值：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)2
(3)2
【分析】
【详解】（1）原式
．
（2）方法一：原式
．
方法二：原式
．
（3）原式
．
14．（1）已知
，试用
表示
；
（2）已知
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
【详解】（1）
；
（2）
即
，
，即
．
，即
，
或
．
符合题意，
舍去，
．
15．已知
均为正实数，
均为大于0 且不等于1 的实数，若
且
，求
的值．
【答案】
【详解】由题意得
，设
（
且
），
则
，
，
，
又
，即
，即
，则
，
即
，即
，则
，
故
.
