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专题6.3 平面向量线性运算的应用
教学目标
1．掌握向量解决平面几何问题的基底法与坐标法，能按步骤转化问题并求解。
2．理解物理中向量的含义，会将物理问题转化为向量模型并运算。
3．熟练运用向量应用的一般步骤，处理几何关系与物理量相关问题。
教学重难点
重点：几何中向量两种运算法的运用，物理问题的向量转化及解题步骤。
难点：根据情境选合适向量方法，实现几何/物理与向量运算的精准转化。
知识点01 向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”.
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
【即学即练】
1．已知四边形
中，
，
，
，则四边形
一定是（ ）
A．等腰梯形
B．正方形
C．矩形
D．菱形
2．设P 为
内一点，且
，则
．
知识点02 向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
（3）动量
是向量的数乘运算.
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
【即学即练】
1．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8 根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为
．已
知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接
近（ ）
（重力加速度
取
）
A．1.8N
B．1.6N
C．1.5N
D．1.4N
2．某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A 点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度
的大小为
km/h，水流速度
的大小为
km/h．设
和
的夹角
，当船的航行距离最短时，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 判断多边形形状
1．在四边形
中，若
，则四边形
为（ ）
A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
2．在四边形
中，
，且
，那么四边形
为（ ）
A．平行四边形
B．菱形
C．长方形
D．正方形
3．已知向量
，
，
满足：
，且
，则三角形
的形状是
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
4．在△ABC 中，
·
+
·
+
·
，其中G 是△ABC 的重心，则△ABC 的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
5．在△ABC 中，若
，则△ABC 的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
题型02 证明平行关系
6．如图，在平行四边形
中，
、
依次是对角线
上的两个三等分点，设
.
(1)请用
与
表示
;
(2)用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
7．如图，已知
是平行四边形
对角线的交点，过点
的两条直线分别交四边于
四点，用
向量证明四边形
是平行四边形．
8．如图，设
分别是梯形
的对角线
的中点.试用向量的方法证明：
9．用向量的方法证明如图，在
中，点E，F 分别是AD 和DC 边的中点，BE，BF 分别交AC 于点
R，T．你能发现AR，RT，TC 之间的关系吗？
10．如图，已知
中，
是
的角平分线，
和
分别在
和
上，且
，
和
分别是
和
的中点，求证：
．
题型03 求线段长度
11．
中，
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
12．已知正方形
边长为
为线段
的中点，若
为线段
上的动点，
为
的中点，则
的最小值为 .
13．在
中，斜边
长为2，O 是平面
外一点，点P 满足
，则
等
于（ ）
A．2
B．1
C．
D．4
14．在△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D，若AB＝4，且
，则AD
的长为 ．
15．已知直角梯形
中，
，
，
，
，
是腰
上的动点，则
的最小值为 .
题型04 求面积问题
16．已知点
是
所在平面内一点，若
，则
与
的面积之比为（ ）
A．
B．
C．2
D．
17．在
中，已知
，且
，则
面积的最大值为
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，
．
（1）求点B，点C 的坐标；
（2）求四边形OABC 的面积．
19．设点
在
内部，且
，则
与
的面积之比是 ．
20．
是
内一点，
的面积分别记为
，已知
，其中
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 解决力的问题
21．若向量
分别表示两个力
，则
.
22．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为
，两人手臂上的拉力分别为
，
，且
，
与
的夹角为
，下列结论中正确的是（ ）
A．
越小越费力，
越大越省力
B．始终有
C．当
时，
D．当
时，
23．如图，重为
的匀质球，半径
，放在墙与均匀木板
之间，A 端固定在墙上，B 端用水平绳
索
拉住，板长
，木板
与墙夹角为
，如果不计木板重，当
为
时，求绳的拉力大小．
24．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为
，两臂拉力
分别为
，
，若
，
与
的夹角为
，则以下四个结论中：
①
的最小值为
；
②当
时，
；
③当
时，
；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．
25．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与
球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多
大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？
题型06 解决运动的问题
26．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量
(即点P 的运动方向与相同，且每秒移动的距
离为
个单位).设开始时点P 的坐标为
，则5 秒后点P 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A 位置得球，将球传给位于点B 的左边锋，随即快速直向插
上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C 时前插的中场队员正好赶
到，直接射门得分．设
，
．（取
）
(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；
(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？
32．船在静水中的速度为
，水流速度为
，当船以最短时间到达对岸时，船的实际速度的大
小为 ，船的实际速度方向与水流速度方向的夹角的正弦值为 ．
33．一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东
.河南岸有一码头A，码头A 正
对面有一货站B（AB 与河的方向垂直），B 的正西方向且与B 相距600m 另有货站C，已知一货船匀速航
行，当货船自码头A 航行到货站C 航程最短时，合速度为
.
(1)求货船航行速度的大小；
(2)若货船从A 出发垂直到达正对岸的货站B 处，求货船到达B 处所需时间.
34．一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的
速度大小为
，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间
为6 分钟，则水流速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
35．已知三个力
，
，
同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力
，
该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
36．红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A 点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直
线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（ ）
A．曲线
B．直线
C．曲线
D．无法确定
一、单选题
1．如图所示，O 点在
内部，
分别是
边的中点，且有
，则
的
面积与
的面积的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8 根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为
，已知礼物的质量为
，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大
小为（ ）（重力加速度
）
A．
B．
C．
D．
3．已知在矩形
中，
，
，
是边
上的动点，记
，当
取最小
值时，
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
三、多选题
4．一物体受到3 个力的作用，其中重力
的大小为4N，水平拉力
的大小为3N，另一力
未知，则
（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，
B．当
与
方向相反，且
时，物体所受合力大小为
C．当物体所受合力为
时，
D．当
时，
5．设
为
内一点，已知
，
分别为
中点，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
三点共线
C．
D．
十、填空题
7．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知两点
，若点
满足
，其中
且
，则点
的轨迹是 ．
8．已知
，
，
，过
的中点
任作一条直线，与射线
和
分别交于点
和
，
则
的最小值为 ．
9．如图，无弹性细绳
，
一端分别固定在A，B 处，在同样的细绳
的下端吊一重物，要保持此状
态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填
或
或
)．
四、解答题
10．如图，
的三个顶点的坐标分别为
，
，
，
是边AB 的中点，
是CD
上的一点，且
，求点
的坐标.
11．在四边形
中，向量
，
，
．求证：四边形
为梯形．
12．如图，一艘船从长江南岸点A 出发，以
km/h 的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向
东2km/h．
(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
