文档文本内容
专题6.3 平面向量线性运算的应用
教学目标
1．掌握向量解决平面几何问题的基底法与坐标法，能按步骤转化问题并求解。
2．理解物理中向量的含义，会将物理问题转化为向量模型并运算。
3．熟练运用向量应用的一般步骤，处理几何关系与物理量相关问题。
教学重难点
重点：几何中向量两种运算法的运用，物理问题的向量转化及解题步骤。
难点：根据情境选合适向量方法，实现几何/物理与向量运算的精准转化。
知识点01 向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”.
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
【即学即练】
1．已知四边形
中，
，
，
，则四边形
一定是（ ）
A．等腰梯形
B．正方形
C．矩形
D．菱形
【答案】D
【详解】由
，则
且
，即四边形
是平行四边形，
又
，
，则
为等边三角形，
所以四边形
是菱形.
故选：D
2．设P 为
内一点，且
，则
．
【答案】
/
【详解】设
的中点是
，连接
，由
，可得
，
因为
，所以
，所以
，
所以
为
的三等分点（靠近
点的分点），即
，
所以
．
故答案为：
.
知识点02 向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
（3）动量
是向量的数乘运算.
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
【即学即练】
1．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8 根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为
．已
知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接
近（ ）
（重力加速度
取
）
A．1.8N
B．1.6N
C．1.5N
D．1.4N
【答案】D
【详解】设每根绳子上的拉力大小为
，
则根据平衡条件可得，
,
解得
．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．
故选：D.
2．某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A 点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度
的大小为
km/h，水流速度
的大小为
km/h．设
和
的夹角
，当船的航行距离最短时，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】要使船的航行距离最短，只需
，
合速度垂直于两岸，如图所示，
所以
，其中
，所以
．
故选：C．
题型01 判断多边形形状
1．在四边形
中，若
，则四边形
为（ ）
A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
【答案】B
【详解】四边形ABCD 中，若
，
则
，且
，
所以四边形
是梯形.
故选：B
2．在四边形
中，
，且
，那么四边形
为（ ）
A．平行四边形
B．菱形
C．长方形
D．正方形
【答案】B
【详解】解：
，
，
四边形
为平行四边形，
又
，
平行四边形
为菱形.
故选：B.
3．已知向量
，
，
满足：
，且
，则三角形
的形状是
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【详解】因为
，所以
是三角形
的重心，又因为
，所以
是三
角形
的外心，
所以三角形
是等边三角形.
故选：D.
4．在△ABC 中，
·
+
·
+
·
，其中G 是△ABC 的重心，则△ABC 的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【详解】由G 是
的重心，得
+
+
，则
=
，
由题中等式得
，又
均为非零向量，
所以
由
的表示是唯一的，
则
，且
，故
，即
为等边三角形.
故选：D.
5．在△ABC 中，若
，则△ABC 的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】
，
，
则
，
，
，则△ABC 为直角三角形.
故选：B.
题型02 证明平行关系
6．如图，在平行四边形
中，
、
依次是对角线
上的两个三等分点，设
.
(1)请用
与
表示
;
(2)用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】
【详解】（1）因为
、
依次是对角线
上的两个三等分点，
所以
，
于是有
，
即
；
（2）因为
、
依次是对角线
上的两个三等分点，
所以
，
于是有
，
即
，因此
，
显然有
，
不共线，
因此
且
，
所以四边形
是平行四边形.
7．如图，已知
是平行四边形
对角线的交点，过点
的两条直线分别交四边于
四点，用
向量证明四边形
是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】
【详解】证法1：因为
，
，
且
，所以
．
因为
，
且
和
不共线，所以
，
同理
，
所以四边形
是平行四边形．
证法2：根据角边角可得
，
，
所以
，
，所以
，
所以四边形
是平行四边形．
8．如图，设
分别是梯形
的对角线
的中点.试用向量的方法证明：
【答案】证明见解析
【详解】
分别为
中点，
，
，
；
，
可设
，
，又
，
，
.
9．用向量的方法证明如图，在
中，点E，F 分别是AD 和DC 边的中点，BE，BF 分别交AC 于点
R，T．你能发现AR，RT，TC 之间的关系吗？
【答案】
，理由见解析
【详解】因为四边形
为平行四边形，所以
，
设
，
因为
是
的中点，所以
，
故
，
又因为
三点共线，
可设
，即
，
即
，
故
，相加可得
，解得
，
故
，
同理可证
，
故可知
为
的三等分点，
故
.
10．如图，已知
中，
是
的角平分线，
和
分别在
和
上，且
，
和
分别是
和
的中点，求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】由题设
，且
是
的角平分线，则
，
，
由
，所以
，
由
和
分别是
和
的中点，则
，
，所以
，
所以
，即
．
题型03 求线段长度
11．
中，
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】
，故
为
的中点，
，故
⊥
，
，
，故
三点共线，
，故当
两点重合时，
取得最小值，
最小值为
.
故选：C
12．已知正方形
边长为
为线段
的中点，若
为线段
上的动点，
为
的中点，则
的最小值为 .
【答案】
/
【详解】由题可得
，
则
的最小值为
的最小值，设为d，
则
.
故答案为：
13．在
中，斜边
长为2，O 是平面
外一点，点P 满足
，则
等
于（ ）
A．2
B．1
C．
D．4
【答案】B
【详解】解：
，
，
，
为
斜边
的中线，
．
故选：B．
14．在△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D，若AB＝4，且
，则AD
的长为 ．
【答案】
【分析】
【详解】因为B，D，C 三点共线，所以
，解得
，即
，
所以
，所以
，
如图，过点D 分别作AC，AB 的平行线交AB，AC 于点M，N，则
，
因为△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D，所以四边形AMDN 是菱形，
因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查向量的共线定理的应用，向量的线性表示，属于中档题.
15．已知直角梯形
中，
，
，
，
，
是腰
上的动点，则
的最小值为 .
【答案】5
【详解】
由题：以
为
轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
设
，
则
，当
取得最小值.
故答案为：5
【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于
解题.
题型04 求面积问题
16．已知点
是
所在平面内一点，若
，则
与
的面积之比为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【详解】不妨设
中，
，边长
，边长
，
以A 为原点、AB 为x 轴、AC 为y 轴建立平面直角坐标系
则
、
、
,
,设
，则
故
可得
，故
的面积为
，
的面积为
则
与
的面积之比为
故选：C
17．在
中，已知
，且
，则
面积的最大值为
【答案】2
【详解】如图所示：建立平面直角坐标系，设
，
，
，由
化简可得，
，所以
，故
面积为
，即
面积的最大值为2．
故答案为：2．
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，
．
（1）求点B，点C 的坐标；
（2）求四边形OABC 的面积．
【答案】（1）
，
；（2）
．
【分析】
【详解】（1）在平面直角坐标系xOy 中，设
，则
因为
，所以A（2，0）．
又
．所以
，
所以点
．
又
，所以
，
所以点
由（1）可得
，
，
所以
又
，所以四边形OABC 为等腰梯形，
如图，延长CB 交x 轴于点D，则DC＝ DO，BD＝AD．
又
，则
，
均为等边三角形．
∴四边形
的面积
.
19．设点
在
内部，且
，则
与
的面积之比是 ．
【答案】3
【详解】如图：
由
，
得
，
从而
（
为
的中点，
为
的中点），
即
，
所以
为中位线
的三等分点.
故
．
即
.
故答案为：3
20．
是
内一点，
的面积分别记为
，已知
，其中
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】延长
到
，使
，连接
，取
的中点
，
因为
，
故
共线，延长
交
的中点
，
，又
，
所以
.
故选：C.
题型05 解决力的问题
21．若向量
分别表示两个力
，则
.
【答案】
【详解】由题意，向量
分别表示两个力
，
可得
，
所以
.
故答案为：
22．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为
，两人手臂上的拉力分别为
，
，且
，
与
的夹角为
，下列结论中正确的是（ ）
A．
越小越费力，
越大越省力
B．始终有
C．当
时，
D．当
时，
【答案】C
【详解】根据题意，由于
，又由
，
则有向量
，
为邻边的四边形为菱形，
则有
，
,
对于A，由于
不变，则
越小越省力，
越大越费力，A 错误；
对于B，由于
，B 错误；
对于C，当
时，
，C 正确；
对于D，当
时，
，D 错误．
故选：C.
23．如图，重为
的匀质球，半径
，放在墙与均匀木板
之间，A 端固定在墙上，B 端用水平绳
索
拉住，板长
，木板
与墙夹角为
，如果不计木板重，当
为
时，求绳的拉力大小．
【答案】
【详解】设球的重力为
，球对板
的压力为
，绳
对板的拉力为
，令球心为
，
与球的切
点为
，
则
，
，
依题意，
，由
处于平衡状态，以
为杠杆支点，有
，
又
，
，
（
），
所以绳的拉力为
.
24．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为
，两臂拉力
分别为
，
，若
，
与
的夹角为
，则以下四个结论中：
①
的最小值为
；
②当
时，
；
③当
时，
；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．
【答案】①②③
【详解】对于①，当
与
方向竖直向上时，
的最小，此时
，所以①正确；
对于②，当
时，
，
，所以②正确；
对于③，当
时，
，
，所以③正确；
对于④，由
，当
越大时，
越小，
越大，越费力，所以④错误．
故答案为：①②③．
25．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与
球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多
大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？
【答案】答案见解析
【详解】设小球为点
，甲、乙、丙三人的拉力为
，
，
，如图所示，
若
，则
，
且
，
，
所以只要
，
，
即丙的力量与甲、乙相同即可使小球静止；
若
，则
与
不在一条直线上，则小球不能静止.
题型06 解决运动的问题
26．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量
(即点P 的运动方向与相同，且每秒移动的距
离为
个单位).设开始时点P 的坐标为
，则5 秒后点P 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，5 秒后P 点的坐标为
，则
，
由题意有
.
即
所以
解得
故选: C
27．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A 位置得球，将球传给位于点B 的左边锋，随即快速直向插
上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C 时前插的中场队员正好赶
到，直接射门得分．设
，
．（取
）
(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；
(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？
【答案】(1)位移大小为
，方向为正前方
(2)相等
【分析】
【详解】（1）由题意，
为直角三角形，
由
，
，
得
，
又
，
所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为
，方向为正前方；
（2）因为
，
所以中场队员的位移与球的位移相等.
32．船在静水中的速度为
，水流速度为
，当船以最短时间到达对岸时，船的实际速度的大
小为 ，船的实际速度方向与水流速度方向的夹角的正弦值为 ．
【答案】
【详解】当船以最短时间到达对岸时，船的静水速度方向应垂直于河岸.
因为垂直河岸方向的分速度越大，过河时间越短，而垂直河岸的分速度由船的静水速度提供.
所以船的实际速度是静水速度与水流速度的合速度，
所以根据勾股定理得
km/h.
设实际速度方向与水流速度方向的夹角为
，
则
.
故答案为：①
km/h②
.
33．一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东
.河南岸有一码头A，码头A 正
对面有一货站B（AB 与河的方向垂直），B 的正西方向且与B 相距600m 另有货站C，已知一货船匀速航
行，当货船自码头A 航行到货站C 航程最短时，合速度为
.
(1)求货船航行速度的大小；
(2)若货船从A 出发垂直到达正对岸的货站B 处，求货船到达B 处所需时间.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）以
为坐标原点，以东向方向为
轴，以垂直对岸的方向为
轴建立直角坐标系如图所示.
货船从码头
航行到货站
的最短路径要求合速度方向由
指向
.
设货船在静水中的速度为
，水流速度为4 km/h 向东，即
,
合速度为水流速度与船速的矢量和：
由题意，合速度方向与向量
同向，且大小为
.
设合速度为
，则：
因此，合速度为
.
联立方程：
货船速度大小为：
（2）货船要垂直到达正对岸
，需使合速度的东向分量为0.
设船速为
，则：
由（1）知船速大小为
，故：
合速度的北向分量为
，河宽
，所需时间为：
八、单选题
34．一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的
速度大小为
，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间
为6 分钟，则水流速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图：
船的实际过河速度为：
.即
.
又
，即
.
所以
，
所以
，
所以
.
即水流速度为：
.
故选：B
35．已知三个力
，
，
同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力
，
该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，作用在该质点上的三个力
，
，
，
则
．
想要该质点恰好达到平衡状态，只需
．
故选：C.
36．红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A 点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直
线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（ ）
A．曲线
B．直线
C．曲线
D．无法确定
【答案】A
【详解】当红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A 点匀速上升的同时，
合速度的方向与合加速度的方向，不在一条直线上，物体做曲线运动，
因为玻璃管水平向右做匀加速直线运动，所以红蜡块在竖直方向运动相同的距离时，向右的运动的距离越
来越大，
所以运动轨迹为曲线
.
故选：A.
一、单选题
1．如图所示，O 点在
内部，
分别是
边的中点，且有
，则
的
面积与
的面积的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
可得
，
又因为
分别是
边的中点，
所以
，
，
所以
，即
，
所以
三点共线，且
，
所以
到
的距离与
到
的距离之比也为
，
又
的面积与
的面积都以
为底，
所以
的面积与
的面积的比为
．
故选：A
2．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8 根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为
，已知礼物的质量为
，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大
小为（ ）（重力加速度
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小
，
则
，故
，
故选：C
3．已知在矩形
中，
，
，
是边
上的动点，记
，当
取最小
值时，
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
【详解】解法1：如图建立平面直角坐标系，不妨设
，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
则
．
当
时，
，
最小．
由
得
，则此时
．
解法2：设
为
的中点，
则
延长
，使得
，如图．
所以
由于点
在线段
上运动，故点
的轨迹是与
平行的线段．
当
最小时，
，
过
作
交
于
，过
作
交
于
，则
，
此时
，得
，
由
，得
.
故选：C．
三、多选题
4．一物体受到3 个力的作用，其中重力
的大小为4N，水平拉力
的大小为3N，另一力
未知，则
（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，
B．当
与
方向相反，且
时，物体所受合力大小为
C．当物体所受合力为
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【详解】A 选项：由题知，
的大小等于重力
与水平拉力
的合力大小，由图知
，故A 正确；
B 选项：如图，物体所受合力应等于向量
与
的和向量的大小，显然B 错误；
C 选项；当物体所受合力为
时，说明
与
的合力为
，所以
，C 正确；
D 选项：由上知，重力
与水平拉力
的合力为
，
N，易知当
与
同向时合力最大，最大
值为7N，反向时合力最小，最小值为3N，
即
，故D 正确.
故选：ACD
5．设
为
内一点，已知
，
分别为
中点，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
三点共线
C．
D．
【答案】BD
【详解】由
，
得
，故A 错误；
对于B，因为
分别为
中点，
所以
，
则
，
所以
，所以
，
又
为公共点，所以
三点共线，故B 正确；
对于C，由
，得
，
则
，
，
所以
，故C 错误；
对于D，由C 得
，故D 正确.
故选：BD.
十、填空题
7．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知两点
，若点
满足
，其中
且
，则点
的轨迹是 ．
【答案】直线
【分析】
【详解】方法1：因为
，
，
所以
.
所以
三点共线.
所以点
的轨迹是直线
.
方法2：设
，因为
，
所以
.
因为
，所以
，化简得：
.
又直线
的方程为：
，化简得：
.
所以点
的轨迹是直线
.
故答案为：直线
8．已知
，
，
，过
的中点
任作一条直线，与射线
和
分别交于点
和
，
则
的最小值为 ．
【答案】
．
【详解】因为
，
又因为
三点共线，所以
，
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
9．如图，无弹性细绳
，
一端分别固定在A，B 处，在同样的细绳
的下端吊一重物，要保持此状
态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填
或
或
)．
【答案】
【详解】设
三条绳受的力分别为
，则
，
合力为
，
，
如图，在平行四边形
中，
∵
，
∴
，
即
，故细绳OA 受力最大，即对OA 绳的耐力性要求最高．
故答案为：
四、解答题
10．如图，
的三个顶点的坐标分别为
，
，
，
是边AB 的中点，
是CD
上的一点，且
，求点
的坐标.
【答案】
【详解】
是AB 的中点，
点
的坐标为
，
，
，
设
点坐标为
，由线段的定比分点坐标公式可得，
，
，
即点
的坐标为
.
11．在四边形
中，向量
，
，
．求证：四边形
为梯形．
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为
，
所以
且
，
所以四边形
为梯形．
12．如图，一艘船从长江南岸点A 出发，以
km/h 的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向
东2km/h．
(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
【答案】(1)答案见解析
(2)船实际航行速度的大小为
，方向与江水速度间的夹角为
、【详解】（1）如图所示，
表示船速，
表示水速，
以
为邻边作平行四边形
，
则
表示该船实际航行的速度；
（2）由题意
，
在
中，
，
则
，
，所以
，
所以船实际航行速度的大小为
，方向与江水速度间的夹角为
.
