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专题7.1 任意角的概念与弧度制
教学目标
1．掌握任意角的定义、分类及表示方法，理解相等角与相反角的含义
2．理解象限角、终边相同角的概念，会用集合表示不同象限的角
3．掌握角度与弧度的换算，熟记扇形的弧长及面积计算公式
教学重难点
重点：任意角的概念及终边相同角的集合表示；角度与弧度的换算及扇形公式的应用
难点：终边相同角的集合表示及象限角的判断；弧度制的理解及扇形公式的灵活运用
知识点1：任意角
1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_______到另一个位置所成的图形．
2．角的表示
如图，射线的端点是圆心
，它从起始位置
按_______方向旋转到终止位置
，形成一个角
，射
线
分别是角
的_______和_______．
“角
”或“
”可以简记成“_______”．
（3）角的分类
正角：一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角
负角：一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角
零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角
（4）相等角与相反角
①设角
由射线
绕端点
旋转而成，角
由射线
绕端点
旋转而成．如果它们的旋转方向
_______且旋转量_______，那么就称
．
②我们把射线OA 绕端点O 按_______方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为_______．角
的相反角记
为
．
③设
是任意两个角．我们规定，把角
的终边旋转角
，这时终边所对应的角是_______．
④角的减法可以转化为角的_______．
【即学即练】
1．若角α＝30°，把角α 逆时针旋转20°得到角β，则β＝ .
2．将一条射线绕着其端点逆时针旋转
，再顺时针旋转
，则形成的角的度数为 .
知识点2：象限角和终边相同的角
1．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与_______重合，角的始边与_______重合，那么，角的终边在第
几象限，就说这个角是_______；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．终边相同的角
所有与角
终边相同的角，连同角
在内，可构成一个集合_______，即任一与角
终边相同的角，都可
以表示成角
与_______的和．
温馨提示：（1）
为任意角，“
”这一条件不能漏；
（2）
与
中间用“
”连接，如
可理解成
．
（3）象限角的表示：
是第一象限角，所以_______
是第二象限角，所以
是第三象限角，所以_______
是第四象限角，所以
【即学即练】
1．666°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．与
角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3：弧度制
1．角的单位制
（1）角度制：规定1 度的角等于周角的_______，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
（2）弧度制：长度等于_______的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度(radian)的角，弧度单位用符号_______表
示，读作弧度．
2．角度与弧度的换算
角度化弧度
弧度化角度
度数
弧度数
弧度数
度数
【即学即练】
1．体操中有“前空翻转体390 度”这样的动作名称，则
化成弧度是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．与
角终边相同的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4：扇形的弧长公式及面积公式
弧长公式：_______（角度制）、
（弧度制）
面积公式：
（角度制）、_______（弧度制）
【即学即练】
1．一家披萨店的某圆形披萨的半径为15 厘米，以圆心为顶点，将该披萨切出一个扇形块，其弧长为10 厘
米，则这个扇形披萨所对的圆心角是（ ）
A．
B．3
C．
D．
2．已知扇形的弧长是2，圆心角是2 弧度，则扇形的面积是（ ）
A．1
B．2
C．
D．
题型01 角的概念
【例1】给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若
，则
是第一象限的角；④小于
的角是锐角．其中错误的序号是 ．
【例2】已知O 为坐标原点，且射线OA 的始边与x 轴的非负半轴重合，若射线OA 绕端点O 逆时针旋转
到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转
到达OC 位置，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】时针走了1h 20min，则分针转过的角是 ．
【变式1-2】下列所示图形中，
的是 ；
的是 ．
【变式1-3】如图所示,已知角
的终边为射线OA,分别作出角
,
,
的终边.
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与
大小．
题型02 弧度制与角度制的互化
【例3】将
弧度化为角度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．
化成弧度是
B．
化成角度是
C．
化成弧度是
D．
与
的终边相同
【变式2-1】（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A．60°化成弧度是
B．
化成度是－600°
C．－150°化成弧度是
D．
化成度是15°
【变式2-2】（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】将下列各弧度化成角度．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
角度制与弧度制互化的原则
牢记
,充分利用
和
进行换算.
题型03 终边相同的角的表示
【例5】（多选）与
终边相同的角有（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】在平面直角坐标系
中，以O 为坐标原点，
为始边，终边在直线
上的角
的集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 .
【变式3-2】已知
，若
与
的终边相同，且
，则
.
【变式3-3】已知
，若将角
的终边顺时针旋转
所得的角的终边与角
的倍角的终边重
合，求角
．
求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构
建不等式求出
的值．
题型04 象限角的判定
【例7】若角
与
的终边相同，则角
的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例8】（多选）若角
是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】若
是第二象限角，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【变式4-2】已知
，则角
的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第一或第二象限
D．第三或第四象限
【变式4-3】如图，点
在半径为且圆心在原点的圆上，且
，点
从点
处出发，以逆时针方
向沿圆周匀速旋转．已知点
在秒内转过的角度为
，经过2 秒钟到达第三象限，经过14
秒钟又回到出发点
，求
，并判断
所在的象限．
判断一个角
在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法
（1）若
的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到
内或
内的一个角β；
（2）判断
所在象限，则
在第几象限，
就在第几象限．
题型05 区域角的表示
【例9】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角
的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是
【变式5-1】集合
中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】集合
中角
的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】如图，阴影部分表示角
的终边所在的位置，试写出角
的集合．
区域角的写法步骤：
（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角
，
，写出所有与
，
终边相同的角；
（3）用不等式表示区域内的角，组成集合．
题型06 n 倍角和n 分角的所在象限
【例11】若
（
），则
的终边在 ．
【例12】已知
是第三象限角，那么
是（ ）
A．第二象限角
B．第四象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
【变式6-1】若
与
的终边相同，则角
的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式6-2】（多选）若
是第二象限角，则（ ）
A．
是第一象限角
B．
是第一或第三象限角
C．
是第二象限角
D．
是第三象限角或
是第四象限角或
的终边在y 轴
非正半轴上
【变式6-3】（多选）已知
，
，那么
的终边可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
分角、倍角所在象限的判定思路
（1）已知角
终边所在的象限,确定
终边所在的象限用分类讨论法,要对
的取值分以下几种情况进行
讨论:
被
整除;
被
除余1;
被
除余
被
除余
.然后方可下结论；
（2）已知角
终边所在的象限,确定
终边所在的象限,可依据角
的范围求出
的范围,再直接转化为
终边相同的角即可.注意不要漏掉
的终边在坐标轴上的情况.
题型07 扇形的弧长及面积公式的应用
【例13】一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（ ）
A．
B．5
C．2
D．
【例14】“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕
琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”别号．如图是折扇的示意图，其中
，
，
为
中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）
．
A．
B．18000
C．36000
D．
【变式7-1】如图，从半径为的圆中剪下圆心角为
弧度，半径为的扇形
，此扇形的周长为，剩
余部分扇形的周长为
，若
，则
.
【变式7-2】如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径
为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .
【变式7-3】如图，已知矩形
截圆
所得的弧
的长为
，
，则矩形在圆外部分的面积为
．
（1）明确弧度制下扇形的面积公式是
(其中是扇形的弧长,
是扇形的半径,
是扇形
的圆心角).
（2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运
用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解.
题型08 扇形中的最值问题
【例15】（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．若该扇形的半径为1，则其面积为2
B．该扇形面积的最大值为1
C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．
的最大值为
【例16】如图，
是半径为2 的圆周上的定点，
为圆周上的动点，
.图中阴影区域的面积的
最大值为 .
【变式8-1】已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 .
【变式8-2】某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形
OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知
，
，线段BA，CD 与
，
的长度之和
为30，圆心角为
弧度.
(1)求
关于x 的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.
【变式8-3】《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的
定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与
圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角
为
，矢为2 的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角
是
，半径为，若该扇形周长是一定值
当
为多少弧度时，
该扇形面积最大？
一、单选题
1．已知角
的大小为
，则角
为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．与
终边相同的一个角为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．把
化成角度是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知角
的终边经过点
，则
是（ ）
A．第一或第三象限角
B．第二或第四象限角
C．第一或第二象限角
D．第三或第四象限角
5．若角
的终边在直线
上，则角
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
为第二象限角，那么
是（ ）
A．第一或第二象限角
B．第一或第四象限角
C．第二或第四象限角
D．第一、二或第四象限角
7．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环
的内圆弧
的长为
，外圆弧
的长为
，圆心角
，则该扇环的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．下列四个结论正确的是（ ）
A．
角是第四象限角
B．
角是第三象限角
C．
角是第三象限角
D．
角是第一象限角
9．下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．
的终边与
的终边关于直线
对称，则
的取值集合为 ．
11．已知点P 位于x 轴正半轴上,射线OP 在1 秒内转过的角为
,经过2 秒到达第三象限,若经
过14 秒后又恰好回到出发点,则
.
四、解答题
12．已知角
．
(1)将角
改写成
的形式，并指出角
是第几象限的角；
(2)在区间
上找出与角
终边相同的角．
13．已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48 齿，小轮有20 齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是
多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧
长是多少？
14．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为
．
(1)当
时，求弧
的中点E 到弦BC 的距离，
(2)当
为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积．
