文档文本内容
专题6.1.1 向量的概念
教学目标
1．准确理解向量“既有大小又有方向”的核心定义，明确有向线段的三要素，熟练
掌握向量的几何表示（有向线段）与字母表示规范；
2．清晰认识零向量、单位向量的本质特征，牢记零向量的表示形式与长度属性，理
解单位向量的长度定义；
3．精准区分平行（共线）向量、相等向量的概念，明确两者的核心判定条件，能结
合简单情境判断向量关系。
教学重难点
1．重点：向量的核心定义与规范表示方法（几何表示、字母表示），向量模的含
义；
平行（共线）向量、相等向量的定义，以及零向量、单位向量的关键特征。
2．难点：零向量方向不确定的特殊性，理解“零向量与任意向量平行”的规定内
涵；
把握相等向量“长度相等且方向相同”的双条件，避免仅依据单一条件判断向量相
等。
知识点01 向量的概念及表示
1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.表示:
（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段
表示,记作向量
.有向线段的长度
表示向量的大小,有向线段的方向表
示向量的方向.向量
的大小称为向量
的长度(或称模),记作
.
②字母表示:书写时用
表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以
为起点,以
为
终点的向量记作
.
3.两个特殊向量:
（1）零向量与非零向量:
长度为0 的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为
，长度不为0 的向量称
为非零向量.
（2）单位向量:长度等于1 个单位长度的向量,叫做单位向量.
【即学即练】
1．下列各量中是向量的是（ ）
A．时间
B．路程
C．加速度
D．温度
【答案】C
【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量.
故选：C.
2．下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
【答案】C
【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A 错误；
对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B 错误；
对于C：向量的模与方向没有关系，故C 正确；
对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D 错误.
故选：C.
知识点02 平行向量与相等向量
1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
平行,记作
.规定:零向量
与任意向量平行,即对于任意向量
,都有
.
2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量
与
相等,记作
.
【即学即练】
1．设点
是正方形
的中心，则向量
的关系是（ ）
A．方向相同
B．模相等
C．共线
D．起点相同
【答案】B
【详解】如图，因为
是正方形
的中心，则
，
而
方向不相同，不共线，起点不相同.
故选：B.
2．下面命题中，正确的是（ ）
A．若
， 则
B．若
，则
C．若
， 则
D．若
则
【答案】D
【详解】对A，
，但
，
不一定同向，所以
，
不一定相等，错误；
对B，向量不能比较大小，错误；
对C，若
，则
，错误；
对D，若
，则
，
长度相等，且方向相同，所以
，正确.
故选：D
题型01 平面向量的基本概念
【例1】指出下列各种量中的向量：
（1）密度； （2）体积； （3）速度； （4）能量；
（5）电阻； （6）加速度； （7）功； （8）力矩．
你能找出更多向量的例子吗？
【答案】速度、加速度、力矩为向量．生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等
【详解】解：向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量．
密度、体积、能量、电阻、功都只有大小，没有方向，不是向量；
而速度、加速度、力矩既有大小，又有方向，为向量．
生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等．
【例2】下列关于向量说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．所有单位向量都相等
C．向量的模是一个正实数
D．相反向量的模一定相等
【答案】D
【详解】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A 错误；
对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B 错误，
对于C，因为
的模长为
，所以C 错误，
对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D 正确，
故选：D.
【变式1-1】下列说法错误的是（ ）
A．
B．
，
是单位向量，则
C．若
，则
D．两个相同的向量的模相等
【答案】C
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，
是单位向量，则
，故B 正确；
对于C，若
，
有方向不能比较大小，故C 错误；
对于D，两个相同的向量长度相等，方向相同，故D 正确.
故选：C.
【变式1-2】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．加速度是向量
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的方向是任意的
D．向量就是有向线段
【答案】AC
【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确；
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确；
D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误．
故选：AC．
【变式1-3】如图，设
的边长分别为1 和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多
少？
【答案】答案见解析
【详解】
所有的边可以构成以下向量：
、
、
、
、
、
、
、
.
它们的模分别为：
，
.
题型02 平面向量的表示
【例3】某人从点A 出发向东走了5 米到达点B，然后改变方向按东北方向走了
米到达点
.
(1)在图中作出向量
；（正方形小方格的边长是1 米）
(2)求向量
的模.
【答案】(1)作图见解析；
(2)
米.
【分析】
【详解】（1）作出向量
，如图：
（2）依题意，
，向量
相当于从点A 出发向东走15 米，再向正北走10 米，
所以
（米）.
【例4】如图所示的方格纸是由若干个边长为1 的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，
点C 为小正方形的顶点，且
．
(1)画出所有满足条件的向量
；
(2)求
的最大值与最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)最大值为
，最小值为
．
【详解】（1）画出所有满足条件的向量
，即
（
，2，…，8），如图所示．
（2）由（1）所画的图知，当点C 位于点
或
的位置时，
取得最小值
；
当点C 位于点
或
的位置时，
取得最大值
，
故
的最大值为
，最小值为
．
【变式2-1】如图，四边形
是边长为3 的正方形，把各边三等分后，共有16 个交点，从中选取两个
交点作为向量的起点和终点，与向量
同向且长度为
的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出
这些向量）
【答案】4 个．
【详解】如图，我们标注一些点，
由图得与向量
同向且长度为
的向量有
，共4 个．
【变式2-2】如图，某人从点A 出发，向西走了200m 后到达B 点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某
方向行走了
到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点，发现D 点在B 点的正北方．
(1)作出
、
、
（图中1 个单位长度表示100m）；
(2)求
的模．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）根据题意可知，B 点在坐标系中的坐标为
，
又因为D 点在B 点的正北方，所以
，
又
，所以
，即D、 C 两点在坐标系中的坐标为
，
；
即可作出
、
、
如下图所示.
（2）如图，作出向量
，
由题意可知，
且
，
所以四边形
是平行四边形，
则
，
所以
的模为
【变式2-3】在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)
，点
在点
的正西方向；
(2)
，点
在点
的北偏西
方向；
(3)求出
的值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)3
【分析】
【详解】（1）因为
，点
在点
的正西方向，故向量
的图示如下：
（2）因为
，点
在点
的北偏西
方向，故向量
的图示如下：
（3）
.
题型03 平行向量与相等向量
【例5】给出下列四个说法：①若
，则
；②若
，则
或
；③若
，则
的方向相同或相反；④ 若
，
，则
. 其中错误的说法有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】对于①，若
，则
，故①错误；
对于②，若
，由于方向不确定是相同或相反，则
或
是不一定正确的，故②错误；
对于③，若
，且
，因为零向量的方向是任意的，则
的方向不一定相同或相反；只有当
时，若
，则
的方向相同或相反；故③错误；
对于④，若
，
，由于当
，就不能保证
，只有当
时，才一定有
，故④错误；
故选：D.
【例6】在矩形
中，
，
分别为
、
的中点，在以
为起点和终点
的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量：
（1）与
相等的向量： ；
（2）
的负向量： ；
（3）与
共线的向量： .
【答案】
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
【详解】（1）与
相等的向量：
；
（2）
的负向量：
;
（3）与
共线的向量：
.
故答案为：①
②
③
.
【变式3-1】下列说法正确的是（ ）
A．若
方向相反，则
与
为相反向量
B．模相等的两个平行向量相等
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】C
【详解】选项A：若
方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A 错误；
选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B 错误；
选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具，
所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C 正确；
选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D 错误.
故选：C
【变式3-2】（多选）(多选)关于非零向量
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
【答案】BD
【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确；
B：由
，可以得到非零向量
的方向相反，所以
，因此本选项命题正确；
C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确；
D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确，
故选：BD
【变式3-3】如图所示，四边形
是平行四边形，四边形
是矩形，在以各顶点为起点和终点的
非零向量中，写出（不含
）：
(1)与向量
相等的向量；
(2)与向量
共线的向量．
【答案】(1)
，
(2)
，
，
，
，
，
，
．
【详解】（1）因为四边形
是平行四边形，四边形
是矩形，
所以
，又
，所以
，
与向量
相等的向量有
，
.
（2）与
共线的向量有
，
，
，
，
，
，
．
平行向量需满足“方向相同或相反”（非零向量），且零向量与任意向量平行，无需考量长度；相等向
量必须同时具备“长度相等且方向相同”双条件，缺一不可。解题时先明确向量是否为零向量，再分别
辨析方向与长度，避免仅凭单一条件误判，同时规范向量表示形式可辅助精准判断。
题型04 平面向量的简单应用
【例7】如图，已知E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点，用向量法证明：
四边形EFGH 是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】证明：在三角形BCD 中，G、F 分别为CD、CB 的中点，
所以
所以
同理可得
即
共线
又因为G、F、H、E 四点不在同一直线上，
所以GF 平行HE，且GF=HE
所以四边形EFGH 是平行四边形
【点睛】本题考查了平面向量的四则运算和相等向量，数量的运用向量的四则运算是解题的关键，属于基
础题.
【例8】已知四边形
中，
.求证：
.
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为
所以四边形
为平行四边形.
所以
，且
.
所以
.
【变式4-1】如图所示，在平面上给定了一个四边形
，点
、
、
、
分别是边
、
、
、
的中点，求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】解：如图所示，
平面四边形
中，点
、
、
、
分别是边
、
、
、
的中点，
连接
，则
，且
；
，且
；
，且
；
．
【点睛】本题考查了平面向量相等的定义与应用问题，也考查了中位线定理的应用问题，属于基础题．
【变式4-2】如图所示，点D 在
的边
上，且与点B，C 不重合，点E，F 分别在
，
上，
.求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】根据相等向量的定义，可以得到一个平行四边形，根据平行四边形的性质得到线线平行，再根据
已知的向量相等，可得到一组平行线，这样可以得到两组角对应相等，利用相似三角形的判定理可以证明
.
【详解】证明：∵
，∴
且
，
∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
.
由
，得
.∴
【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了平行四边形的判定定理和性质定理，考查了平行线的性质定
理，考查了三角形相似的判定定理，考查了推理论证能力.
【变式4-3】如图，半圆的直径
，
是半圆上的一点，
、
分别是
、
上的点，且
，
，
.
（1）求证：
；
（2）求
.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
【详解】(1)由题意知，在
中，
，
，
，
所以
，
是直角三角形，
因为点
为半圆上一点，所以
所以
，故
(2)因为
，所以
，
，
即
，解得
，即
。
一、单选题
1．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ）
A．①②④是数量，③⑤⑥是向量
B．①④⑤是数量，②③⑥是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量
D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【分析】详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量；
速度，重力既有大小又有方向，是向量，
故选：D.
2．已知平面向量
，
是单位向量，则“
，
是相等向量”是“
，
的方向相同”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】详解】若
，则
的方向必相同，充分性成立，
若
的方向相同，又
是单位向量，则
，必要性成立，
所以“
是相等向量”是“
的方向相同”的充要条件.
故选：A
3．下列说法中正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等
B．物理学中的重力是向量
C．若
，
，则
D．长度相等的两个向量必相等
【答案】B
【分析】详解】A 选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A 错误；
B 选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B 正确；
C 选项，若
，则满足
，
，但
不一定平行，C 错误；
D 选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D 错误.
故选：B
4．已知向量
与
是两个不平行的向量，若
且
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．不存在这样的向量
【答案】A
【分析】详解】由零向量与任意向量平行，故
满足条件；
若
，由
且
，得
，这与条件矛盾，故排除；
综上所述，
.
故选：A.
5．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
、
是单位向量，则
C．
D．若非零向量
与
是共线向量，则A、B、C、D 四点共线
【答案】C
【分析】详解】A.向量不能比较大小，故A 错误；
B. 若
、
是单位向量，则
，故B 错误；
C.向量
与
是相反向量，方向相反，模相等，故C 正确；
D. 若非零向量
与
是共线向量，则向量
与
方向相同或相反，根据向量可以平移，则无法说明
四点共线，故D 错误.
故选：C
6．如图，在矩形ABCD 中，
，M，N 分别为边AB，CD 的中点，在以A，B，C，D，M，N
为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（ ）
A．12 对
B．18 对
C．20 对
D．24 对
【答案】D
【分析】详解】在矩形ABCD 中，
，点M，N 分别为AB 和CD 的中点，
所以AMND 和MNCB 为边长相等的正方形，如图所示：
由题意得：
，则
，有3 对；
，
则
，有6 对；
，有1 对；
，有1 对；
，有1 对；
共有：
对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12 对，
综上，相等的非零向量共有24 对.
故选：D
二、多选题
7．下列能使
成立的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
与
方向相反
D．
或
【答案】ACD
【分析】详解】对于A 中，由
，可得
，所以A 符合题意；
对于B 中，由
时，向量
与
的方向不一定相同或相反，所以
与
不一定共线，所以B 不符合
题意；
对于C 中，由
与
方向相反，则向量
与
共线，所以
，所以C 符合题意；
对于D 中，由
或
，得到
或
，即向量
与
至少有一个为
，
根据
与任意向量共线，可得
，所以D 符合题意.
故选：ACD.
8．如图，在单位圆
中，向量
是（ ）
A．有相同起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
【答案】BC
【分析】详解】A：由图可知，
的起点为O，
的起点为A，故A 错误；
B：由
，知
都为单位向量，故B 正确；
C：
，故C 正确；
D：
方向不同，
，所以
不为相等向量，故D 错误.
故选：BC
三、填空题
9．在四边形
中，有
，则四边形
的形状为 .
【答案】平行四边形
【分析】详解】由
得，
，且
，
∴四边形
为平行四边形.
故答案为：平行四边形.
10．给出下列四个条件：①
；②
；③
与
方向相反；④
或
，其中能使
成立
的条件是 .
【答案】①③④
【分析】详解】因为
与
为相等向量，所以
，即①能够使
成立；
由于
并没有确定
与
的方向，即②不一定能使
成立；
因为当
与
方向相反时，则
，即③能够使
成立；
因为零向量与任意向量共线，所以
或
时，
能够成立.
故使
成立的条件是①③④.
故答案为：①③④.
11．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，
，对角线AC，BD 交于点O，过点O 作
，交AD
于点M，交BC 于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N 为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相
等向量有 对.
【答案】2
【分析】详解】由题意
∥AB 可知，
，所以
，所以
.
因为
，所以
，
，
所以，
，所以
.
又M，O，N 三点共线，
所以
，
，故相等向量有2 对.
故答案为：2.
12．在棱长为的正方体
的个顶点中选
个点作为向量的顶点和终点，则其中：单位向
量共有 个与向量
相反的向量，模长为
的向量共有 个．
【答案】
【分析】详解】如图所示，
其中单位向量有
与
相反，共个；
正方体棱长为，
正方体体对角线长为
，
模长为
的向量有
，
，
，
，
，
，
，
，共个．
故答案为：，．
四、解答题
13．如图，
为正方形
对角线的交点，四边形
，
都是正方形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与
，
相等的向量；
(2)写出与
的相反向量；
(3)写出与
模相等的向量.
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
，
，
，
，
，
，
【详解】（1）由题意
，
．
（2）由题意，与
的相反向量为：
，
．
（3）由题意，与
模相等的向量为：
，
，
，
，
，
，
．
14．如图所示，O 是正六边形
的中心.
(1)与
的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与
长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与
共线的向量有几个？
【答案】(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【详解】（1）与
的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，
所以这样的向量共有23 个.
（2）存在，由正六边形的性质知，
，
所以与
的长度相等、方向相反的向量有
，
，
，
，共4 个.
（3）由（2）知，
，线段OD，AD 与OA 在同一条直线上，
所以与
共线的向量有
，
，
，
，
，
，
，
，
，共9 个.
15．如图，已知四边形
中，
，
分别是
，
的中点，
且
，求证：
.
【答案】见解析
【解析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明；
【详解】解：因为
，所以
且
，
所以四边形
是平行四边形，
所以
且
.
又
与
的方向相同，所以
.
同理可证，四边形
是平行四边形，所以
.
因为
，
，所以
，
又
与
的方向相同，所以
【点睛】本题考查向量相等的定义的应用，属于基础题.
