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专题6.1.1 向量的概念
教学目标
1．准确理解向量“既有大小又有方向”的核心定义，明确有向线段的三要素，熟练
掌握向量的几何表示（有向线段）与字母表示规范；
2．清晰认识零向量、单位向量的本质特征，牢记零向量的表示形式与长度属性，理
解单位向量的长度定义；
3．精准区分平行（共线）向量、相等向量的概念，明确两者的核心判定条件，能结
合简单情境判断向量关系。
教学重难点
1．重点：向量的核心定义与规范表示方法（几何表示、字母表示），向量模的含
义；
平行（共线）向量、相等向量的定义，以及零向量、单位向量的关键特征。
2．难点：零向量方向不确定的特殊性，理解“零向量与任意向量平行”的规定内
涵；
把握相等向量“长度相等且方向相同”的双条件，避免仅依据单一条件判断向量相
等。
知识点01 向量的概念及表示
1.定义:既有_______又有_______的量叫做向量.
2.表示:_______（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、_______、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段
表示,记作向量
.有向线段的长度
表示向量的_______,有向线段的方向
表示向量的_______.向量
的大小称为向量
的长度(或称_______),记作
.
②字母表示:书写时用
表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以
为起点,以
为
终点的向量记作
.
3.两个特殊向量:
（1）零向量与非零向量:
长度为_______的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为
，长度不为0 的向
量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于_______个单位长度的向量,叫做单位向量.
【即学即练】
1．下列各量中是向量的是（ ）
A．时间
B．路程
C．加速度
D．温度
2．下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
知识点02 平行向量与相等向量
1.平行向量（共线向量）:方向_______或_______的非零向量叫做平行向量,向量
平行,记作
.规定:
零向量与任意向量_______,即对于任意向量
,都有
.
2.相等向量:长度_______且方向_______的向量叫做相等向量;向量
与
相等,记作
.
【即学即练】
1．设点
是正方形
的中心，则向量
的关系是（ ）
A．方向相同
B．模相等
C．共线
D．起点相同
2．下面命题中，正确的是（ ）
A．若
， 则
B．若
，则
C．若
， 则
D．若
则
题型01 平面向量的基本概念
【例1】指出下列各种量中的向量：
（1）密度； （2）体积； （3）速度； （4）能量；
（5）电阻； （6）加速度； （7）功； （8）力矩．
你能找出更多向量的例子吗？
【例2】下列关于向量说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．所有单位向量都相等
C．向量的模是一个正实数
D．相反向量的模一定相等
【变式1-1】下列说法错误的是（ ）
A．
B．
，
是单位向量，则
C．若
，则
D．两个相同的向量的模相等
【变式1-2】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．加速度是向量
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的方向是任意的
D．向量就是有向线段
【变式1-3】如图，设
的边长分别为1 和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多
少？
题型02 平面向量的表示
【例3】某人从点A 出发向东走了5 米到达点B，然后改变方向按东北方向走了
米到达点
.
(1)在图中作出向量
；（正方形小方格的边长是1 米）
(2)求向量
的模.
【例4】如图所示的方格纸是由若干个边长为1 的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，
点C 为小正方形的顶点，且
．
(1)画出所有满足条件的向量
；
(2)求
的最大值与最小值．
【变式2-1】如图，四边形
是边长为3 的正方形，把各边三等分后，共有16 个交点，从中选取两个
交点作为向量的起点和终点，与向量
同向且长度为
的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出
这些向量）
【变式2-2】如图，某人从点A 出发，向西走了200m 后到达B 点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某
方向行走了
到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点，发现D 点在B 点的正北方．
(1)作出
、
、
（图中1 个单位长度表示100m）；
(2)求
的模．
【变式2-3】在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)
，点
在点
的正西方向；
(2)
，点
在点
的北偏西
方向；
(3)求出
的值．
题型03 平行向量与相等向量
【例5】给出下列四个说法：①若
，则
；②若
，则
或
；③若
，则
的方向相同或相反；④ 若
，
，则
. 其中错误的说法有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【例6】在矩形
中，
，
分别为
、
的中点，在以
为起点和终点
的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量：
（1）与
相等的向量： ；
（2）
的负向量： ；
（3）与
共线的向量： .
【变式3-1】下列说法正确的是（ ）
A．若
方向相反，则
与
为相反向量
B．模相等的两个平行向量相等
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【变式3-2】（多选）(多选)关于非零向量
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
【变式3-3】如图所示，四边形
是平行四边形，四边形
是矩形，在以各顶点为起点和终点的
非零向量中，写出（不含
）：
(1)与向量
相等的向量；
(2)与向量
共线的向量．
平行向量需满足“方向相同或相反”（非零向量），且零向量与任意向量平行，无需考量长度；相等向
量必须同时具备“长度相等且方向相同”双条件，缺一不可。解题时先明确向量是否为零向量，再分别
辨析方向与长度，避免仅凭单一条件误判，同时规范向量表示形式可辅助精准判断。
题型04 平面向量的简单应用
【例7】如图，已知E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点，用向量法证明：
四边形EFGH 是平行四边形．
【例8】已知四边形
中，
.求证：
.
【变式4-1】如图所示，在平面上给定了一个四边形
，点
、
、
、
分别是边
、
、
、
的中点，求证：
．
【变式4-2】如图所示，点D 在
的边
上，且与点B，C 不重合，点E，F 分别在
，
上，
.求证：
.
【变式4-3】如图，半圆的直径
，
是半圆上的一点，
、
分别是
、
上的点，且
，
，
.
（1）求证：
；
（2）求
.
一、单选题
1．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ）
A．①②④是数量，③⑤⑥是向量
B．①④⑤是数量，②③⑥是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量
D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
2．已知平面向量
，
是单位向量，则“
，
是相等向量”是“
，
的方向相同”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列说法中正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等
B．物理学中的重力是向量
C．若
，
，则
D．长度相等的两个向量必相等
4．已知向量
与
是两个不平行的向量，若
且
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．不存在这样的向量
5．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
、
是单位向量，则
C．
D．若非零向量
与
是共线向量，则A、B、C、D 四点共线
6．如图，在矩形ABCD 中，
，M，N 分别为边AB，CD 的中点，在以A，B，C，D，M，N
为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（ ）
A．12 对
B．18 对
C．20 对
D．24 对
二、多选题
7．下列能使
成立的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
与
方向相反
D．
或
8．如图，在单位圆
中，向量
是（ ）
A．有相同起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
三、填空题
9．在四边形
中，有
，则四边形
的形状为 .
10．给出下列四个条件：①
；②
；③
与
方向相反；④
或
，其中能使
成立
的条件是 .
11．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，
，对角线AC，BD 交于点O，过点O 作
，交AD
于点M，交BC 于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N 为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相
等向量有 对.
12．在棱长为的正方体
的个顶点中选
个点作为向量的顶点和终点，则其中：单位向
量共有 个与向量
相反的向量，模长为
的向量共有 个．
四、解答题
13．如图，
为正方形
对角线的交点，四边形
，
都是正方形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与
，
相等的向量；
(2)写出与
的相反向量；
(3)写出与
模相等的向量.
14．如图所示，O 是正六边形
的中心.
(1)与
的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与
长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与
共线的向量有几个？
15．如图，已知四边形
中，
，
分别是
，
的中点，
且
，求证：
.
