文档文本内容
专题6.2.1 向量基本定理
教学目标
1．深入理解共线向量定理的核心内涵，准确把握“存在唯一一个实数λ”的充要条
件，熟练掌握三点共线的两个向量表示结论，能结合具体情境运用定理判定向量共线
及三点共线。
2．全面掌握平面向量基本定理的完整内容，明确“同一平面内”“两个不共线向
量”“有且只有一对实数”的关键限定，深刻理解定理所体现的向量分解思想。
3．能精准判断一组向量是否满足基底的“不共线”要求，熟练运用平面向量基本定
理，将平面内任意给定向量规范分解为指定基底的线性组合，确保分解结果准确。
教学重难点
重点：
共线向量定理的双向性，三点共线两个向量结论的逻辑推导与适用场景，以及实际应
用方法。
难点：
1．共线向量定理中实数λ 的求解方法，尤其是结合图形或已知向量关系时精准计算
λ，避免忽略“唯一性”和“非零向量”的隐含条件。
2．针对具体问题情境合理选择合适的基底，深刻理解“基底确定则分解式唯一”的
内涵，灵活解决复杂图形中向量的分解与线性表示问题。
知识点01 共线向量定理
1.共线向量定理的内容：向量
与
共线的充要条件是存在唯一一个实数
,使
.
2.三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点
共线的充要条件是存在唯一实数，使得
.
结论2：设
是平面内的任意一点，点A，B，C 共线的充要条件是存在唯一实数
使
得
.
【即学即练】
1．设
，
是平面内两个不共线的非零向量，已知
，
，
，若
，
，
三点共线，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由已知
，
，
则
，
又
，
，
三点共线，
则
与
共线，
，
即
，解得
，
故选：D.
2．已知
，
是两个不共线的向量，若向量
，
共线，则
（ ）
A．6
B．4
C．
D．
【答案】D
【详解】由向量
，
共线，得
，而向量
，
不共线，
因此
，解得
.
故选：D
知识点02 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
，
有且只有一对实数
，使
.
2.基底:我们把不共线的向量
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
3.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底
下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．
是被
唯一确定的数值．
【即学即练】
1．（多选）若
是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】因为
是平面内的一个基底，所以
不共线，
对于A，因
不共线，故
与
不共线，即
可以作为基底；
对于B，因
，所以
与
共线，不能作为基底；
对于C，因
不共线，故
与
不共线，即
可以作为基底；
对于D，因
不共线，
与
不共线，所以
可以作为基底..
故选：ACD
2．在平行四边形ABCD 中，E 是CD 中点，F 是BC 上靠近C 的三等分点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】四边形ABCD 为平行四边形，
所以
，
,
所以
.
故选：C
题型01 共线向量定理
例1．已知非零向量
，则“
与
共线”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】已知非零向量
，
若“
与
共线”：
当
时，
，则
，故充分性不成立；
若
：
则
，即
，化简得
，
，
，即
，
，
，即
，
与
共线，必要性成立；
故“
与
共线”是“
”的必要不充分条件．
故选：B．
例2．已知
，
，
，
是平面中四个不同的点，则“
（
）”是“
，
，
三点
共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
，
，
又
，
有公共点，所以
，
，
三点共线，所以充分性成立；
若
，
，
三点共线，则存在实数
使得
，即
，
当
时明显不满足
，所以必要性不成立.
即“
（
）”是“
，
，
三点共线”的充分不必要条件.
故选：A.
变式1-1．设
、
为平面向量，则“存在实数
，使得
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若存在实数
，使得
，则有
，
，
若
，则
故“存在实数
，使得
”不是“
”的充分条件；
当
，
，满足
，但是不存在实数
，使得
，
故“存在实数
，使得
”不是“
”的必要条件；
即“存在实数
，使得
”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
变式1-2．已知点A、B、C 是平面上不共线的三点，点
为
的外心，动点
满足条件：
(
，
)，则点
的轨迹一定通过
的（ ）．
A．内心
B．垂心
C．重心
D．
边的中点
【答案】D
【详解】取
的中点D，连接
，则
，
∵
，
∴
，
则
，即
∴P，C，D 三点共线，
因为
，所以
，
于是点P 的轨迹一定经过
边的中点．
故选：D.
变式1-3．已知
是平面上两个不共线的向量，且
，
，
.
(1)若
方向相反，求k 的值；
(2)若A，C，D 三点共线，求k 的值．
【答案】(1)2
(2)
或3
【分析】
【详解】（1）由题意得
，则存在实数
，使得
，
所以
，
则
，解得
或
，
因为
方向相反，所以
，则
.
（2）因为
，所以
，
所以
，
因为A，C，D 三点共线，
所以存在实数
，使得
，
则
，
所以
，解得
或3.
题型02 共线向量定理的推论
例3．如图，在
中，点
是
边上的点，满足
，过点
的直线分别交直线
，
于不同的两点
，
，若
，
，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．8
C．9
D．18
【答案】C
【详解】由题意可知：
三点共线，可设
，且
，
因为
，即
,
又因为
，
，
，
，
则
，可得
，即
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为9.
故选：C.
例4．如图，在
中，点A 是BC 的中点，点D 是OB 上靠近点B 的一个三等分点，DC 和OA 交于点
E．设
．
(1)用向量
表示
；
(2)若
，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为点A 是
的中点，
所以
，即
，
整理得
，
可得
，
故
．
（2）由题意可得
，
因为
三点共线，所以
，且
，
则
，
可得
，解得
，
故
．
变式2-1．如图，设
，
，线段
与
交于点F，且
，则
（ ）
A．4
B．3
C．
D．5
【答案】D
【详解】
，
，
又
，故
，所以
，
因为
，
，所以
，
因为
三点共线，所以
，
故
.
故选：D
变式2-2．如图，在
中，点
是线段
上靠近点
的三等分点，过点
的直线分别交直线
、
于点
、
.设
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】连接
，因为点
是线段
上靠近点
的三等分点，则
，
即
，所以，
，
又因为
，
，则
，
因为
、
、
三点共线，设
，则
，
所以，
，且
、
不共线，
所以，
，
，故
，因此，
.
故选：C.
变式2-3．若在直线上存在不同的三点
，使得关于实数
的方程
有解（点
不
在上），则此方程的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
即
，
又
三点共线，所以
，
解得
或
，
当
时，
，此时
重合，不符合题意，
当
，
，符合题意，
综上，此方程的解集为
.
故选：D.
结论2：设
是平面内的任意一点，点A，B，C 共线的充要条件是存在唯一实数
使
得
的使用：
解题时先通过向量线性运算（加、减、数乘）将已知向量关系化简，目标凑出
关
于
的线性组合形式；若判定三点共线，只需验证组合中
与
的系数和是否为
1；若求参数，则根据“系数和为1”列方程求解，
题型03 基底的判断
例5．下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内
有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是
.（填序号）
【答案】②③
【详解】一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基,①错误；②正确；
可以作为基底的向量需要是不共线的向量，零向量不可为基中的向量.③正确；
故答案为：②③.
例6．设
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】C
【详解】
是平面内所有向量的一组基底，所以
与
不共线.
对于A，假设
与
共线，则存在实数
，使
，所以
，所以假设不成立.
所以
与
不共线，所以能作为基底，所以A 错误；
对于B， 假设
与
共线，则存在实数
，使
，所以
，所以假设不成
立.
所以
与
不共线，所以能作为基底，所以B 错误；
对于C，因为
，所以
与
共线，不能作为基底，所以C 正确；
对于D，假设
与
共线，则存在实数
，使
，所以
，所以假设
不成立.
与
不共线，所以能作为基底，所以D 错误.
故选：C.
变式3-1．（多选）O 为▱ABCD 的对角线AC 和BD 的交点，下列各组向量中能作为平面ABC 上所有向量
的一组基底的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】AB
【详解】在平行四边形
中，
，故排除C，D；
与
不共线，
与
不共线，A，B 选项正确；
故选:AB.
变式3-2．若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A，
，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A 错误；
对于B，设
则
，显然无解，则向量
与向量
不共线，即能构成
一组基底，故B 正确；
对于C，
，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故C 错误；
对于D，
，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D 错误.
故选：B.
变式3-3．若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由已知
是平面内的一个基底，
则若
共线，则存在实数
，使得
，即
，与
是基底矛盾，因此
不共线，
若
共线，则存在实数
，
，所以
，与
是基底矛盾，
因此
不共线，
因为
，所以
不共线，
共线，
因此D 不能作为基底，
故选：D．
基底即为“同一平面内两个不共线向量”
题型04 用基底表示向量
例7．如图，平行四边形
中，
与
交于点
，
为
的中点，
为
的重心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】在平行四边形
中，因为
为
的重心，所以
，
则
，且
，
所以：
.
故选：A.
例8．如图，
为等边
的重心，
为
边上靠近
的四等分点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵
为等边
的重心，
∴
，
∵
为
边上靠近
的四等分点，
∴
，
由图知，
；
又∵
∴
∴
故选：C
变式4-1．在平行四边形
中，点
是
边上的点，
，点
是线段
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【详解】由题可得，向量
不共线，则以向量
为一组基底，
所以
，则
.
故选：D.
变式4-2．在如图所示的方格里，向量
与
均为单位向量，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图所示，
.
故选：C
变式4-3．在
中，记
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可知：
，所以
在线段
上且
，则
所以
.
故选：A
解题时先结合图形分析目标向量与基底的关联，通过向量加法、减法或数乘运算，将目标向量转化为基
底的线性组合，必要时利用共线向量定理确定系数
题型05 根据向量基本定理求参数
例9．如图，已知在
中，
为
的中点，
与
相交于点
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
则
，
又
三点共线，
，
又
为
的中点，
，又
，所以
，
又
三点共线，
，
由平面向量基本定理知，
，解得
，所以
，
即
，所以
，
故选：D.
例10．如图，在矩形
中，E，F 分别为
，
的中点，G 为线段
上的一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可设
，
则
，
因为
，所以
，解得
.
故选：A
变式5-1．如图，在梯形
中，点
在线段
上，
．若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】依题意，设
，
则
，
又
，且
，
不共线，则
，
解得
，即
，则
，
，所以
.
故选：C
变式5-2．如图，已知正六边形
，
和
分别是
和
的中点，
交
于点
，则
．
【答案】
【详解】解法1：如图，连接
．
因为
三点共线，
所以
．
因为点
在
的中线
上，
所以
，解得
，则
，所以
．
解法2：
，
化简得
，
即
，解得
，所以
．
变式5-3．在
中，
为
中点，
在
上，且
，
与
交于点O
(1)用
表示
.
(2)过O 作直线交线段
于点
，交线段
于
，
，求
的值
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】
【详解】（1）由
为
的中点可知
，由
可知
，如下图：
因此可得
，
因为
三点共线，所以可设
，
且
三点共线，所以存在实数
，使得
，
因此可得
，
即
，解得
，
因此
；
（2）如下图所示：
因为
三点共线，所以存在实数
使得
，
其中由
可得
，又
，
所以
，
结合（1）中结论可知
，解得
；因此
.
题型06 平面向量基本定理的综合问题
例11．已知
是
的外心，
，若
，则
．
【答案】
或
【详解】如图1，
为
的中点，
，
因为
，所以
三点共线，
又
是外心，故
．
当
时，点
与点
重合，如图2，此时
．
所以
或
．
故答案为：
或
.
例12．如图，点G 是
的重心，P，Q 分别是边
，
上的动点，且P，G，Q 三点共线．
(1)设
＝λ
，将
用λ，
表示．
(2)设
是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，
【分析】
【详解】（1）
；
（2）
.
由(1)可知
，
又
，
所以
，
因为点G 是
的重心，
所以
而
不共线，
所以
解得
所以
.
变式6-1．如图，第一象限内的点M 和第二象限内的点N 分别在直线
与
上，阴影部分
（不含边界）内的点P 满足
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】构造平行四边形
如下图所示，
则
，其中
因为
同向，
反向，所以
，
若点P 在x 轴上时，
，
所以，当点P 在阴影部分（不含边界）内时，
，
从而
，则
，
综上，
．
故选：C．
变式6-2．已知
的边
的中点为
，点
在
所在平面内，且
，若
，则
.
【答案】11
【详解】因为
，边
的中点为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，即
，
因为
，
所以
，
，故
.
故答案为：11
变式6-3．已知
不共线，
，设
，如果
，是否存在实数t 使
三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不
存在，请说明理由．
【答案】存在实数
.
【详解】存在．
由题设知，
，
，
三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得
，
即
，
又因为
不共线，根据平面向量基本定理，可得
，
故存在实数
，使
三点在一条直线上．
一、单选题
1．
是平面内不共线的两个向量，已知
，
，
，若A，B，D 三点
共线，则k 的值是（ ）
A．3
B．－3
C．－2
D．2
【答案】D
【详解】由已知
，
由A，B，D 三点共线，故存在实数λ，使
，
即
，即
解得
.
故选：D
2．在
中，点
是边
上一点，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【详解】在
中，点
是边
上一点，由
，得
，即
，
则
，当且仅当
时取等号，
所以所求的最小值为
.
故选：B
3．在
中，
，
.若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，
，
所以
，
，
，
，只有选项C 正确；
故选：C．
4．设
为
所在平面内一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】因为
，所以
.
故选：A.
5．在
中，
为三角形所在平面内一点，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图所示，在
中，
为三角形所在平面内一点，且
，
取
的中点
，取
靠近
的三等分点
，可得
，
由向量的平行四边形法则，可得
,
所以点
在
边的中位线上，所以
．
故选：D.
6．若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A,
，故
共线，不可作为基底，
对于B,
,故
共线，不可作为基底，
对于C,
,故
共线，不可作为基底，
对于D, 由于
，故不存在实数
，使得
，因此
不共线，故可以作为基
底向量，
故选：D
7．如图，已知在
中，
，
，
和
交于点E，若
，则以
为
基底表示
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，又因为
三点共线，
所以设
，又
，所以
，
所以
，又
三点共线，所以
，解得
，
所以
，
所以
.
故选：C.
二、多选题
8．设
，
是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】ABD
【详解】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量，
对于A，因为
，所以
和
不共线，可以作为基底；
对于B，因为
，所以
和
不共线，可以作为基底；
对于C，因为
，所以
和
共线，不可以作为基底；
对于D，因为
，所以
和
不共线，可以作为基底．
故选：ABD．
9．在
中，点
，
分别在
和
上，且满足
，
，点
在线段
上，且
，则下列各组数据适合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】ACD
【详解】∵点
在线段
上，∴设
，
.
又点
，
分别在
和
上，且满足
，
，
∴
，
，∴
.
又
，∴
，即
.
故选项A，C，D 正确，选项B 错误.
故选：ACD.
10．在
中，
为线段
上一点，且有
，则下列命题正确
的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】BCD
【详解】
因为
为线段
上一点，
所以
，
而点
线段
上面，所以
，故A 错，B 对，
由基本不等式得
，解得
，等号成立当且仅当
，C 对，
，等号成立当且仅当
，D 对.
故选：BCD.
三、填空题
11．已知等腰
中，
分别为
的中点，若
，则
．
【答案】
【详解】如图，作出符合题意的图形，
由题意得，在等腰
中，
，
且
分别为
的中点，
则
，
，
由平面向量的减法法则可得
，
而
，
则
，所以解得
.
故答案为：
.
12．设
，
是两个不共线的非零向量，向量
，
，若向量
，
的方向相反，则实
数
．
【答案】
【详解】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得
，
因为向量
，
的方向相反，所以
，
又因为
，
，
则
，
所以
，解得
或
（舍去），
故
.
故答案为：
.
13．如图，在
中，
，
，
，
，
交
于点
，过点
的
直线分别交
于点
，则
．
【答案】7
【详解】设
,因为
,
所以
,
又因为
三点共线,
三点共线,所以
, 解得
,
所以
，则
．
又
，
由于
与
共线，所以
，得
．
四、解答题
14．已知
不共线．
(1)若
，求证：
三点共线；
(2)若向量
与
共线，求实数的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）证明：
，
，
则有
，可得
且
为公共点，
所以
三点共线.
（2）向量
与
共线，则存在唯一实数
，使得
，
可得
，即
，解得
.
15．如图，在△ABC 中，
＝4
，
. 求证：B，T，E 三点共线．
【答案】证明过程见解析
【详解】设
，
，
，
显然
，
所以B，T，E 三点共线.
16．如图，在
中，点
满足
，
是线段
的中点，过点
的直线与线段
分别交
于点
．
(1)若
，请用向量
来表示向量
；
(2)若
，求
的最小值．
【答案】(1)
;
(2)
【分析】
【详解】（1）由图和题设条件可得：
；
.
（2）由图和
可得：
，即
（*），
因
，
当
时，点
与点
重合，显然不合题意，同理
时，也不合题意.则
，
由（*）可得：
，即
，
因
三点共线，故
，
又因
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
即
时，
的最小值为
.
17．如图，已知平行四边形ABCD 边AB 的中点为E，F 为AD 上的一点，且
，BF、CE 交于点K，
求
的值．
【答案】
.
【详解】设
，
为一组基底，则
∵
，
.
∴
设
，则
.
易求得
.
又B、K、F 三点共线，∴存在实数t，使
，
即
，
由平面向量基本定理得
，
∴
，即
.
18．在
中，
是边
的中点，
是边
上靠近点
的一个三等分点，
与
交于点
.设
.
(1)用
表示
；
(2)过点
的直线与边
分别交于点
.设
，求
的值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】
【详解】（1）设
，则
，
∵
，
，
三点共线，
∴
，
共线，从而
.①
又
，
，
三点共线. ∴
，
共线，
因为
，
共线，
所以可得
.②
联立①②，解得
，
故
.
（2）∵
，
，且
，
共线，
∴
，整理得
.
