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专题6.1.2 向量的加法~专题6.1.5 向量的线性运算
教学目标
1．透彻理解向量加法的三角形法则与平行四边形法则，明确零向量的加法规定，能
灵活运用交换律、结合律进行向量加法运算；
2．熟练掌握相反向量的定义与核心性质，理解向量减法“加相反向量”的本质，能
运用几何法则求解向量差，准确把握减法的几何意义及“终点向量减始点向量”的结
论；
3．全面掌握向量数乘的定义，明确其长度计算公式与方向判定规则，熟记数乘的三
大运算律及衍生结论，能规范进行向量加、减、数乘的线性运算。
教学重难点
重点：
向量加法两种法则的适用条件与操作步骤，加法运算律的实际应用；
相反向量的性质，向量减法的定义、几何意义及核心结论；
向量数乘的长度、方向规律，数乘运算律，以及向量线性运算的综合求解。
难点：
结合图形情境，准确选择加法法则（三角形或平行四边形法则）；
向量减法中 “从减向量终点指向被减向量终点” 的方向判断，避免混淆向量方向；
数乘运算中 λ 正负对向量方向的影响，以及多向量线性运算的化简技巧；
知识点01 向量的加法
三角形法则：已知非零向量
,在平面内任取一点
,作
,再作向量
,则向量
叫
做
与
的和,记作
平行四边形法则：已知不共线的两个向量
,在平面内任取一点
,以同一点
为________的两个已
知向量
,以
为邻边作
,则
就是
与
的和
,
规定：零向量与任意向量
的和,都有
运算律：①________律：
；②________律：
【即学即练】
1．在平面四边形
中，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在平行四边形
中，
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 向量的减法
一、相反向量
1.定义:与向量
长度相等、方向________的向量,叫做
的相反向量,记作
,
与
互为相反向量,
3.性质：①
；②若
互为相反向量,则
；
③
的相反向量是________
二、向量的减法
1.向量的减法的定义:向量
加上
的相反向量,叫做
与
的差,即
,求两个向量差的运
算叫做向量的减法.
2.运算法则:在平面内取一点O,作
,则
.
3.几何意义
表示从向量
的终点________
的终点的向量.
4.向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终
点的向量；
②一个向量
等于它的终点相对于点
的位置向量
减去它的始点相对于点
的位置向量
或
简记“终点向量减去始点向量”.
【即学即练】
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 向量的数乘运算
1.定义:规定实数
与向量
的________是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作
,它的长度和方
向规定如下:
①
;
②当
时，
的方向与
的方向________；当
时，
的方向与
的方向________；当
时，
2.运算律:设
为任意实数,则有①
；②
；
③
特别地,有
.
(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量
以及任意实数
恒有
.
【即学即练】
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
是不共线的两个向量，若
，
，
，则（ ）
A．
，
，
三点共线
B．
，
，
三点共线
C．
，
，
三点共线
D．
，
，
三点共线
题型01 加法运算及几何意义
例1．已知
是两个非零向量，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．已知
、
，用向量加法的三角形法则作出
.
变式1-1．化简：
(1)
(2)
变式1-2．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-3．如图，已知在
中，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：
(1)
；
(2)
.
题型02 减法运算及几何意义
例3．在边长为1 的正方形
中，若
，
，
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．
例4．如图所示，
的三边长均不相等，E，F，D 分别是边AC，AB，BC 的中点．在以A，B，C，
D，E，F 为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)找出与
相等的向量；
(2)分别找出与
，
，
相反的向量．
变式2-1．化简：
；
．
变式2-2．下列关于向量的加、减运算的结果为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．已知菱形
的棱长为2，则
（ ）
A．20
B．4
C．16
D．12
题型03 数乘运算
例5．如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．已知向量
，如图，作向量
.
变式3-1．化简下列向量运算；
(1)
；
(2)
；
(3)
．
变式3-2．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
变式3-3．如图所示，判断向量
，，
，
是否可以写成数与向量
相乘．如果可以写出表达式；如果
不可以，说明理由．
题型04 向量共线问题
例7．已知
是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例8．若
，且
，则四边形ABCD 是（ ）
A．平行四边形
B．菱形
C．等腰梯形
D．不等腰的梯形
变式4-1．判断下列各小题中的向量
，
是否共线：
(1)
，
；
(2)
，
（其中两个非零向量
和
不共线）；
(3)
，
.
变式4-2．在四边形
中，对角线
与
交于点O，若
，则四边形
一定是（ ）
A．矩形
B．梯形
C．平行四边形
D．菱形
变式4-3．设
是单位向量，
，则四边形
一定是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
题型05 三点共线问题
例9．已知平面向量
，
是不共线的两个向量，
，
，
，则
（ ）
A．
，
，
三点共线
B．
，
，
三点共线
C．
，
，
三点共线
D．
，
，
三点共线
例10．已知
分别为
的垂心、重心、外心，求证：
三点共线（
，
，
三点连线称
为“欧拉线”）．
变式5-1．如图，在
中，已知
．若
，证明：
三点共线．
变式5-2．已知
，
，
，求证：A，B，C 三点共线．
变式5-3．已知
.其中
与
不共线且B，C，D 三点共线，求
的值.
题型06 线性运算在几何问题中的应用
例11．已知
是
所在平面内一点，若
均为
正数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
例12．如图，已知
＝a，
＝b，任意点M 关于点A 的对称点为S，点S 关于点B 的对称点为N，则向
量
＝ ．(用a，b 表示)
变式6-1．如图，在
中，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采
用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图
形中，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-3．如图，设P、Q 分别是梯形
的对角线
与
的中点，求证：
.
题型07 三角形重心、内心的向量表示
例13．在
中，点D 为
的中点，点O 为
的重心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例14．在
中，I 为
的内心，若
，则
.
变式7-1．空间内有五点A，P，Q，S，T，则“
”是“Q 为
重心”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件
变式7-2．已知
是边长为
的正三角形，该三角形重心为点
，点
为
所在平面内任一点，
下列等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-3．点
在
所在的平面内，若
,则直线
一定经过
的
.（填:重心、内心、外心或垂心）
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知点
为
内一点，满足
，若
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
3．已知非共线向量
、
，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
三点共线
B．
、
、
三点共线
C．
、
、
三点共线
D．
、
、
三点共线
4．在
所在的平面上有一点
，满足
，则
与
的面积之比是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
的面积为1，
为
所在平面内一点，且
，则
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．八卦是中国文化中的哲学概念，图1 是八卦模型图，其平面图形记为图2 中的正八边形
，
其中
，给出下列结论：（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在梯形ABCD 中，
，AB＝2CD，AC 与BD 相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．已知正方形
的边长为2，
，则
．
10．已知非零向量
，
满足
，则
．
11．已知
的三个顶点
及所在平面内一点
满足
，
与
的面积分
别为
，则
.
12．已知点O 是
的内心，
，
，则
.
四、解答题
13．已知任意两个不共线向量
，且
，
，
，求证：A，B，C 三点共线．
14．如图，已知凸六边形
的6 个顶点是
和
的各边的交点，且
.求证：
.
15．如图，已知
，
分别是
，
上的动点，且满足
，求证：在
三点运动过程中，
的重心
不动．
