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专题6.2.2 直线上向量的坐标及其运算&6.2.3 平面向量的坐标
及其运算
教学目标
1．理解直线上向量的坐标定义、模与方向的关联，掌握其加减、数乘运算及中点坐
标公式，能规范进行相关计算。
2．掌握平面向量正交分解与坐标表示，熟练运用加减、数乘的坐标运算规则，会求
向量坐标与模长。
3．熟记平面向量共线的坐标条件，能依据条件判断向量共线，解决相关参数求解问
题。
教学重难点
重点：直线与平面向量的坐标表示及加减、数乘运算规则，运算的准确性与规范性。
平面向量共线的坐标条件，向量坐标与有向线段起点、终点坐标的关系。
难点：灵活运用向量坐标运算解决复杂问题，理解正交分解的本质。结合共线坐标条
件分析问题，避免运算中坐标对应错误或忽略隐含条件。
知识点01 直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
(1)定义：给定一条直线l 以及这条直线上一个单位向量
，由共线向量基本定理可知，对于直线l 上的
任意一个向量
，一定存在________的实数x，使得
，此时，
称为向量
的坐标．
(2)向量的模和方向与x 的关系
为单位向量)．
当
时，
的方向与
的方向________；
当
时，
是________；
当
时，
的方向与
的方向________．
在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定．
(3)直线上向量的坐标：在直线l 上指定一点O 作为原点，以
的方向为正方向，
的模为单位长度建
立数轴，对于l 上的任意一个向量
，如果我们把它的始点________到原点O，那么
的终点对应的数就
是向量
的坐标．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量
的坐标分别为
（1）
的充要条件是________.
（2）
的坐标为________，
的坐标为________，
的坐标为________.
（3）设
是数轴上的两点，
是线段AB 的中点，则
【即学即练】
1．直线上向量
，
的坐标分别为-3，5，则向量
的坐标和模分别是（ ）
A．-19，19
B．21，21
C．-19，5
D．1，1
2．已知
是直线l 上的一个单位向量，则直线l 上的向量
，
的坐标分别是 .
知识点02 平面向量的坐标及其运算
1．平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相________的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与
轴、y 轴方向相同的两个单位向量
作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量
,有且仅有一对实数x,y,使得
，则有序数对
叫做向量
的坐标.
（4）坐标表示
.
（5）特殊向量的坐标:
2．平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量
则有下表
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的
和
减法
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的
差
________
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来
向量的相应坐标
向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
终点的坐标减去起点的坐标
已知
,则
________
模
________
3．平面向量共线的坐标表示
（1）条件:
,其中
；
（2）结论:当且仅当________时,向量
共线.
【即学即练】
1．已知向量
，
，若
，则实数
.
2．已知向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型01 直线上向量的坐标及运算
例1．已知数轴上两点
的坐标分别是0，
，则
的坐标是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
例2．已知A，B 都是数轴上的点，
，
，则
的坐标为
A．17
B．1
C．-1
D．-17
变式1-1．数轴上点M，N，P 的坐标分别为3，-1，-5，则
等于
A．-4
B．4
C．-12
D．12
变式1-2．数轴上点P，M，N 的坐标分别为-2，8，-6，则在①
；②
；③
中，
正确的表示有
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
变式1-3．数轴上点
的坐标为
，若点
在数轴上，且
对应的坐标为
，则
点对应的坐标是
.
题型02 平面向量的坐标表示
例3．在平面直角坐标系中，
，
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为
，若向量
，则点A 的坐标为 ．
变式2-1．已知
，
，则与向量
方向相反的单位向量为（ ）．
A．
B．
C．
D．
变式2-2．已知知两点
，
，且点P 为线段AB 的中点.则
的坐标为 ．
变式2-3．已知平面内平行四边形的三个顶点
，求第四个顶点
的坐标．
题型03 平面向量的坐标运算
例5．如果用，
分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且
，
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．0
例6．已知
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．已知点
，
，且
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．已知
，若
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．已知平面向量
，
，则
.
题型04 根据线段比例求点的坐标
例7．已知三点
、
、
在一条直线上，点
，
，且
，则点
的坐标为 .
例8．已知
，点
在线段
的延长线上，且
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．已知
，
，点
分
所成的比为
，则
与
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．
的重心为
，顶点
，则
．
变式4-3．已知点
，向量
，
，点
是线段
的三等分点，则点
的坐标是
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
先明确线段端点坐标与比例关系，将分点对应的向量表示为两端点向量的线性组合，再通过“向量坐标
=终点坐标
起点坐标”转化为坐标方程，代入端点坐标求解，注意区分内分点、外分点，确保比例对
应与运算准确。
题型05 根据坐标求向量的模
例9．已知向量
，
，
，则m 的值为（ ）
A．0
B．-2
C．0 或-2
D．0 或2
例10．已知向量
，则下列选项中与
同向的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．已知向量
、
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．已知向量
，
在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．20
变式5-3．已知向量
满足
，且
，则
的值为 .
题型06 向量共线的坐标表示
例11．已知平面向量
和
，若
，则
．
例12．（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．已知向量
，
，若
//
，则k＝ ．
变式6-2．已知非零向量
，
，若A，B，C 三点共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无解
变式6-3．已知向量
，
，且
，则
的最小值为 .
题型07 利用坐标法求最值（范围）
例13．已知平面向量
，
，
，若
，
，
三点共线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例14．如图所示，
是正六边形
的外接圆，若点
是
上的动点，设
，
则
的最大值是 ．
变式7-1．若向量
，
，能作为平面内所有向量的一组基底，则
的取值范围为
.
变式7-2．已知向量
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
变式7-3．在直角梯形
中，
，
，
，
，点E 为
边上一点，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 坐标法在几何中的应用
例15．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼
的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着
现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形
，其中心为O，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
例16．如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点.
(1)若
，则
的值
(2)若
交
于点
，求线段
的长
变式8-1．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中
，
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-2．（多选）如图，在直角梯形
中，
，
，E 为AB 的中点，M，N 分别为线
段DE 的两个三等分点，点P 为线段BD 上的任意一点，若
，则
的值不可能是
（ ）
A．
B．3
C．7
D．9
变式8-3．如图，在直角梯形OABC 中，
，
，
，M 为AB 上靠近B 的
三等分点，OM 交AC 于D，P 为线段BC 上的一个动点.
(1)用
和
表示
；
(2)以O 为原点，
和
方向为x，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，当P 为BC 中点时，写出点M，
P，D 的坐标；
(3)设
，求
的取值范围.
先建立合适的直角坐标系，给图形关键点赋坐标，再将几何关系（平行、共线、长度等）转化为向量坐
标问题，通过坐标加减、数乘运算或共线坐标条件计算，求解未知量或验证结论，
一、单选题
1．已知向量
，
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．已知点
，
，且
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
，
在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
4．已知点
，向量
，
，点P 是线段AB 靠近点A 的三等分点，则点P 的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知直角△ABC 中，
，
，
为边
的中点，
是边
上的动点，则
的最
小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
二、多选题
6．已知向量
，
，且
与
共线，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
，点
在直线
上，且
，
则点
的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
8．已知向量
，若存在实数
，使得
与
的方向相同，则的一个取值为 ．
9．已知O 为坐标原点，
，若
，则与
共线的单位向量为 ．
10．在
中，
，点
满足
，点
使得
，直线
与
相交于点
，则
的坐标为 ．
四、解答题
11．如图，四边形
是正方形.
在边
上运动，
在边
上运动，
与
交于点
.
(1)若
是
的中点，
，
，求实数
的值；
(2)若
，
，求
的最大值.
12．已知平面向量
，
.
(1)求向量
的坐标；
(2)当实数k 为何值时，
与
共线.
13．已知向量
，
，点
，若
(1)求与向量
方向相同的单位向量
的坐标；
(2)求点M 的坐标；
(3)若点
满足
，求y 与
的值.
14．已知
是平面内两个不共线向量，
，且
三点共线.
(1)求实数
的值；
(2)已知
，若
，
，且
四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点
的坐
标.
15．已知向量
、
.
(1)求
的模
和其单位向量
；
(2)若
，以
、
为基表示向量.
16．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
．
(1)求
的坐标；
(2)已知
，且
，求
的值．
17．如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点.
(1)若
，则
的值
(2)若
为
中点，连接
，交
于点
，求证
.
