文档文本内容
1
概率与统计十类大题梳理
题型归纳
题型一：离散型随机变量及其分布列
（23-24 高三下·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7 名成员参加
密室逃脱游戏，其中3 名资深玩家，4 名新手玩家，甲为新手玩家.
(1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为
；若
是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为
，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；
(2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密
室①有2 个门，密室②有3 个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1 个门出去，若走出密
室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为
，求
的分布列.
2
1．（24-25 高三上·贵州·月考习）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的
方式答题，抢到并回答正确得1 分，答错则对方得1 分，甲､乙两人初始分均为0 分，答题过程中当一人比
另一人的得分多2 分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5 题时仍未分出胜负，则答题直
接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为
，甲､乙两人答对每道题的概率分别为
，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.
(1)求第一题结束时甲获得1 分的概率；
(2)记
表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求
的分布列与期望.
2．（24-25 高三上·北京·月考习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对
三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
题目
A
做对的概率
获得的奖金/元
20
40
80
规则如下：按照
的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]
(1)求甲没有获得奖金的概率；
(2)求甲最终获得的奖金
的分布列及期望；
(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望
最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）
3
题型二：超几何分布与二项分布
（24-25 高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某
采购商从采购的该种产品中随机抽取100 件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等
级
一等品
二等
品
三等品
四等品
数
量
40
30
10
20
(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100 件产品中抽取10 件，再从这10 件产品中随机抽取3 件，记
这3 件产品中一等品的数量为
，求
的分布列及数学期望；
(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3 件产品，求恰好有1 件四等品的概率；
(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21 元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
售价/（元/件）
24
22
18
16
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.
4
1．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考习）哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规
则如下：第一轮，参赛选手从A 类6 道题中任选3 道进行答题，都答完后错题个数不超过1 道（否则终止
比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B 类10 道题中任选3 道进行答题．A 类题每答对一道得10 分，
B 类题每答对一道得30 分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80 分或90 分为三等奖，110 分为
二等奖，120 分为一等奖．某班参加活动的同学
类题中只有4 道能答对，
类题中，每题答对的概率均
为
，且各题答对与否互不影响．
(1)求该同学被终止比赛的概率；
(2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X 的分布列及期望；
(3)求该同学获得三等奖的概率．
2．（24-25 高三上·重庆·月考习）我国承诺2030 年前“碳达峰”，2060 年“碳中和”，“碳达峰”是指二
氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、
节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，
助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决
赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通
过初赛和复赛获胜的概率均为2
3，第三组通过初赛和复赛的概率分别为
和
，其中
，三组
是否通过初赛和复赛互不影响.
(1)求
取何值时，第三组进入决赛的概率最大；
(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数
的分布列和数学期望.
5
题型三：均值与方差的实际应用
（24-25 高三上·河北·期中）随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智能
在教育､医疗､金融､出行､物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学技术
的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲､乙､丙三类（每类题有若干道），
各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0 分，竞赛
分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分.
项目
题型
每小题分值
每小题答对概率
甲类
题
乙类
题
丙类
题
其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，
同样进入第二轮答题；否则，退出比赛.
第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.
第三轮，在乙类试题中选择一道作答.
(1)求小李答题次数恰好为2 次的概率；
(2)求小李最终得分的数学期望.
6
1．（24-25 高三上·四川成都·月考习）某小区有3000 名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假
设携带病毒的人占
.为减轻工作量，随机地按
人一组分组，然后将各组
个人的血样混合在一起化验.
若混合血样呈阴性，说明这
个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就
需要对每个人再分别化验一次.
(1)若
试估算该小区化验的总次数；
(2)若
，且每人单独化验一次花费10 元，
人混合化验一次花费
元，求当
为何值时，每个居
民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当
时，
.
2．（24-25 高三上·辽宁丹东·期中）甲乙两人各有n 张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别
标有数字1，3，5，
，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，……，2n，两人进行n 轮比赛，在每轮比
赛中，甲按照固定顺序1，3，5，……，
每轮出一张卡片，乙从自己持有的卡片中随机选一张，并比
较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置
的卡片在此后的轮次中不能使用）．
(1)当
时，求甲的总得分小于2 的概率．
(2)分别求甲得分的最小值和最大值的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，
，2，3，…，n，则
，记
轮比赛（即从第1 轮到第
轮比赛）中甲的总得分为
，乙的总得分为
，求
和
的值，并由这两个值来判断随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差有什么变化规律？
7
题型四：正态分布与标准正态分布
（24-25 高三上·浙江·月考习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000 人，数学
均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数
学分数不服从正态分布.
(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70 分及以下的学生中抽取10 人进行访问，学生小A 考分为
68 分，求他被抽到的概率大约为多少；
(2)根据统计发现学校乙得分不低于130 分的学生有25 人，得分不高于58 分的有1 人，试说明乙学校教学
的特点；
参考数据：若
，则
，
，
.
8
1．（24-25 高三上·江苏泰州·月考习）以A 地生产的所有番茄为总体，总体中每个番茄的重量为随机变量
，其中
均为正数．随机从总体中抽取
个番茄作为一个样本，番茄的重量分别为
，
，其取值相互独立．样本均值为
．
(1)已知对于任意的随机变量
，有
；如果
，
的取值相互独立，则又
有
．求
及
．
(2)若
，证明：
是
的充要条件．
2．按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7 克,其重量的误差在区间[－
0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x 服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中
随机抽取10 件样本,其重量如下：
2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8
(1)计算上述10 件产品的误差的平均数及标准差s；
(2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%；
②如果产品的误差服从正态分布
,那么从这批产品中随机抽取10 件产品,则有不合格产品的概
率为多少？（附：若随机变量x 服从正态分布
,则
，
，
，
用0.624，
用0.9704 分别代
替计算）
9
题型五：线性回归与非线性回归
（24-25 高三上·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具
有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人
有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份x
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽车购买数量>（万辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80
(1)计算
与
的相关系数（保留三位小数）；
(2)求
关于
的线性回归方程，并预测该地区2025 年新能源汽车购买数量．
参考公式
，
，
．
参考数值：
，
．
10
1．（24-25 高三上·广东·月考习）仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强
的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌
不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄
土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙
人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样
和数据记录得到如下数据：
样本编号
1
2
3
4
根茎长度
10
1
2
14
16
植株高度
62
8
6
112
132
参考数据：
．
(1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合
与
的关系（若
，则可用线性
回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；
(2)求
关于
的线性回归方程.
附：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数
的公式分别为
．
11
2．（24-25 高三上·福建泉州·月考习）一只药用昆虫的产卵数
与一定范围内的温度
有关，现收集了该
种药用昆虫的6 组观测数据如下表：
温度
21
23
24
27
29
32
产卵数
个
6
11
20
27
57
77
经计算得：
线性
回归模型的残差平方和
，其中
分别为观测数据中的温差和产卵数，
.
(1)若用线性回归方程，求
关于
的回归方程
（精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得
关于
回归方程为
，且相关指数
0.9522.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用
说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为
时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计为
；相关指数
.
12
题型六：独立性检验及应用
（24-25 高三上·四川绵阳·月考习）2021 年8 月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务
开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400 人进行调查问卷，整
理后获得如下统计表:
喜欢奥数
不喜欢奥数
总计
已选奥数课（A 组）
150
50
200
未选奥数课（B 组）
90
110
200
总计
240
160
400
(1)若从样本内喜欢奥数的240 人中用分层抽样方法随机抽取32 人，则应在A 组、B 组各抽取多少人？
(2)依据小概率值
的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附:
参考公式:
，其中
.
13
1．（24-25 高三上·宁夏中卫·月考习）宁夏新高考改革方案已正式公布，根据改革方案，将采用“3+1+2”
的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3 门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治，历史、地
理、物理、化学、生物6 门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理和历史中选
择1 门，再从政治、地理、化学、生物中选择2 门，形成自己的“高考选考组合”.
(1)若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“物化生”组合的概率；
(2)由于物理和历史两科必须选择1 科，某校想了解高一新生选科的需求，随机选取100 名高一新生进行调
查，得到如下统计数据，完成下面
列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为“选科与
性别有关”？
选择物理
选择历
史
合计
男生
40
50
女生
合计
30
100
附参考公式与表：
，
.
独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：
0.10
0.05
0.01
0.00
5
0.001
2.706
3.841
6.635
7.87
9
10.828
14
2．（24-25 高三上·上海·开学考试）某地生产队在面积相等的50000 块稻田上种植一种新型水稻，从中抽
取100 块得到各块稻田的亩产量（单位：kg）与优质频数并部分整理成下表（最终亩产量均在900kg 到
1200kg 之间）
亩产量
优质频数
5
10
14
18
6
普通频数
1
2
4
6
4
(1)这50000 块稻田中，亩产量在
的频数约为多少？
(2)估计这片稻田的平均亩产量（单位kg）；
(3)已知在100 块抽取稻田中亩产量在
的优质稻田有25 块，是否有0.95 的把握认为产品是否优
质与亩产量不少于1050kg 且少于1200kg 有关？（参考公式：
，参考数据：
）
题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式
（24-25 高三上·贵州遵义·模拟预测）已知4 台车床加工的同一种零件共计1000 件，其中第一台加工200 件，
次品率为5%；第二台加工250 件，次品率为6%；第三台加工250 件，次品率为8%；第四台加工300 件，
次品率为10%.现从这1000 件零件中任取一个零件.
(1)求取到的零件是次品的概率；
(2)若取到的零件是次品，求它是第（其中
）台车床加工的零件的概率.
15
1．（24-25 高三上·广东·月考习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，
答对积1 分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，
有选手领先2 分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为
，乙答
对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1 分的概
率为
．记比赛结束时甲乙两人的答题总次数为
．
(1)求
；
(2)求在
的情况下，甲晋级的概率；
(3)由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3 轮，若超过3 轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3 轮
比赛之内成功晋级的概率．
2．（24-25 高三上·四川内江·月考习）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种
凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1 天选择绿豆汤的概率是
，若在前一天选
择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为
，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选
择银耳羹的概率为
，如此往复．（提示：设
表示第
天选择绿豆汤）
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
(2)求该同学第2 天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第
天选择绿豆汤的概率为
，求出
的通项公式.
16
题型八：概率与统计图表的综合应用
（24-25 高三上·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了
名高中学
生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求
的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这
名高中学生户外运动的时间分配，在
，
两组内的学生中，采用分层
抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在
内的人数为
，求
的分布列
和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“
”表示这名学生中恰有
名学
生户外运动时间在
内的概率，当
最大时，求
的值.
17
1．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·月考）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了
高一年级100 位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100 位学生的数学成绩的平均值
；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩
近似地服从正态分布
，经计算，（1）中
样本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数
作为
的近似值，用样本标准差s 作为
的估计值，现任
抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64 分到94 分之间的概率；（若随机变量
，则
，
，
）
(3)该年级1 班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，
特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序
中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上
有一列方格，共15 格，刚开始有只小兔子在第1 格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，
每次跳1 格或跳2 格，概率均为
，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14 格（奖励0 分）或第
15 格（奖励5 分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第
格的概率为
，试证
明
是等比数列，并求
（获胜的概率）的值.
18
2．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考习）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日
的汽车销售情况进行了统计，如图所示.
(1)求
的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60 百分位数；
(2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4 天，设每日汽车销售量在
内的天数为
，在恰
有1 天的汽车销售量不超过150 辆的条件下，求
的分布列及数学期望；
(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥
中，
、
均是边长为2 的正三角形，
，现从写有数字1~8 的八个标签中随机选择两个分别
贴在
、
两个顶点，记顶点
、
上的数字分别为
和
，若
为侧棱
上一个动点，满足
，
当“二面角
大于
”即为中奖，求中奖的概率.
19
题型九：概率与其他知识的交汇应用
（24-25 高三上·广东深圳·月考习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，
答对积1 分且对方不得分，答错不得分且对方积1 分；然后换对方抽题作答，直到有领先2 分者晋级，比
赛结束.已知甲答对题目的概率为
，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，
已知两次答题后甲乙两人各积1 分的概率为
.记甲乙两人的答题总次数为
.
(1)求p；
(2)当
时，求甲得分X 的分布列及数学期望；
(3)若答题的总次数为n 时，甲晋级的概率为
，证明：
.
1．（24-25 高三上·湖南·月考习）若无穷正项数列
同时满足下列两个性质：①存在
，使得
；②
为单调数列，则称数列
具有性质
.
(1)若
，
（i）判断数列
是否具有性质
，并说明理由；
（ii）记
，判断数列
是否具有性质
，并说明理由；
(2)已知离散型随机变量
服从二项分布
，记
为奇数的概率为
.证明：数列
具有性
20
质
.
2．（24-25 高三上·海南省·开学考试）第十五届全国运动会将于2025 年在广东、香港、澳门三地举办．为
了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，
初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新
闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他
们各自闯关成功的概率分别为
，假定
互不相等，且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，
，求该小组初赛胜利的概率；
(2)已知
，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙
谁先派出；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一
等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在
复赛中前两道题答对的概率均为
，第三道题答对的概率为
．若他获得一等奖的概率为
，设他获得二
等奖的概率为
，求
的最小值．
21
题型十：利用概率解决决策类问题
（24-25 高三上·宁夏银川·月考习）2023 年12 月30 号，长征二号丙/远征一号S 运载火箭在酒泉卫星发射中
心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长
征系列运载火箭的第505 次飞行，也代表着中国航天2023 年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生
对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为40 的样本进行调查，调查
结果如下表：
学生群体
关注度
合计
关
注
不关注
大学生
20
28
高中生
合计
24
附：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，
.
(1)完成上述列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为关注航天事业发展与学生群体有关？
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题
方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.
已知小华同学答出三个问题的概率分别是
，
，
，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该
22
选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）
1．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考习）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3 次，在
处
投一次三分球，投进得3 分，未投进不得分，在
处连续投2 次两分球，每投进一次得2 分，未投进不得
分，测试者累计得分高于3 分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.
甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3 分球的概率为
，投中2 分球的概率为
，且每次投篮结果互不
影响.
(1)若甲同学先投3 分球，求他投篮2 次就终止投篮的概率；
(2)为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？
(3)为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？
23
2．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·月考习）某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团
体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2 道判断题
（判
断对错）和4 道选择题
（每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛者全
都作答，若有4 道或4 道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于
20 人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的
个
人平均分成n 组，每组2 人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中
至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n 个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级
选派的
个人平均分成2 组，每组n 个人，电脑随机分配给同组n 个人一道相同试题，各人同时独立答题，
若这n 个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功.
(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率；
(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题
并且答对选择题
，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战
成功的概率；
(3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数
，为使本班团队
挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.
24
必刷大题
1．（2024·全国·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的
产品中随机抽取150 件进行检验，数据如下：
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1)填写如下列联表：
优级品
非优级品
甲车
间
乙车
间
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
的把握认为甲，乙两车间产品
的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率
，设
为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150 件产品的数据，能否认为生
产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（
）
附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
25
2．（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：
第一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至少投中
一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中得5 分，未投中得0 分.
该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙
每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若
，
，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
(2)假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
3．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保
单中随机抽取1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次
数
0
1
2
3
4
单数
假设：一份保单的保费为0.4 万元；前3 次索赔时，保险公司每次赔偿0.8 万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6 万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2 的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记
为一份保单的毛利润，估计
的数学期望
；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少
，有索赔的保单的保费增加
，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中
估计值的大小．（结论不要求证明）
26
4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000 名学生
中抽取580 人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成
绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
(1)该地区29000 名学生中体育锻炼时长不少于1 小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有
的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关？
（附：
其中
，
．）
5．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136 箱，其中一级果102 箱，二级果34 箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8 箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120 个，单果质量平均数为303.45 克，方差为603.46；二级果48 个，
单果质量平均数为240.41 克，方差为648.21；求168 个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
