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专练 56 高考大题专练(六) 概率与统计的综合运用
授课提示：对应学生用书117页
1．[2023·新课标Ⅰ卷]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此
人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均
为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、
乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝q，i＝1，2，…，
i i i i
n，则E()＝.
i i
记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y).
解析：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，
则A＝BA＋A，
所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8
＝0.6.
(2)设第i次投篮的人是甲的概率为p，由题意可知，p＝，p ＝p×0.6＋(1－p)×(1－
i 1 i＋1 i i
0.8)，即p ＝0.4p＋0.2＝p＋，
i＋1 i i
所以p －＝(p－)，
i＋1 i
又p－＝－＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
1
所以p－＝×()i－1，
i
所以p＝＋×()i－1.
i
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为X，则X的可能取值为0或1，当X＝0时，表示第
i i i
i次投篮的人是乙，当X＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1
i i i i
－p，所以E(X)＝p.
i i i
Y＝X＋X＋X＋…＋X，
1 2 3 n
则E(Y)＝E(X＋X＋X＋…＋X)＝p＋p＋p＋…＋p，
1 2 3 n 1 2 3 n
由(2)知，p＝＋×()i－1，
i
所以p＋p＋p＋…＋p＝＋×[1＋＋()2＋…＋()n－1]＝＋×＝＋×.
1 2 3 n
2．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜
者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩
余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
解析：(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝．
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果
有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝．
3．[2024·新课标Ⅱ卷]某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具
体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，
比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员
投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 p，乙每次投中的概率为q，各次
投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5分
的概率；
(2)假设0p>0，所以q－p>0，所以P－P>0，即P>P ，
3 4 3 4
故应该由甲参加第一阶段比赛．
(ⅱ)若甲参加第一阶段比赛，则设该队比赛成绩为 X分，X的所有可能取值为0，5，
10，15，进入第二阶段的概率为1－(1－p)3，未进入第二阶段的概率为(1－p)3，
则P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3](1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]Cq(1－q)2，
P(X＝10)＝ [1－(1－p)3]Cq2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]q3，
则E(X)＝5×[1－(1－p)3]Cq(1－q)2＋10×[1－(1－p)3]Cq2(1－q)＋15×[1－(1－p)3]q3＝
15pq(p2－3p＋3).
若乙参加第一阶段比赛，则设该队的比赛成绩为Y分，
同理可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3)，
则E(X)－E( Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)
＝15pq(p－q)(p＋q－3)，
因为1≥q>p>0，所以pq>0，p－q<0，p＋q－3<0，
所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y).故应该由甲参加第一阶段的比赛．
4．[2024·九省联考]盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小
球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X).
解析：(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，
先确定3个不同数字的小球，有C种方法，
然后每种小球各取1个，有C×C×C种取法，
所以P(M)＝＝.
(2)由题意可知，X的可能取值为1，2，3，
当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，
所以P(X＝1)＝＝；
当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，
所以P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，
所以P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
5．[2022·全国甲卷(理)，19]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个
项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠
军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独
立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
解析：(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件 A，B，C，易知事件A，B，C相
互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，
故甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC＋ABC＋ABC＋ABC)
＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04
＝0.6.
(2)由题意得，X的所有可能取值为0，10，20，30.
易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，则
P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2
＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
则E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.6．[2023·新课标Ⅱ卷]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医
学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方
图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，
小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事
件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，
105]的最小值．
解析：(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%>0.5%，所以95c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100
