1
专题突破练14 统计与成对数据的统计分析
必备知识夯实练
1.(2025 北京东城模拟)如图所示的频率分布直方图显示了三种不同的分布形态,图1 形
成对称形态,图2 形成“右拖尾”形态,图3 形成“左拖尾”形态,根据所给图作出以下判
断,不正确的是( )
图1
图2
图3
A.图1 的平均数=中位数=众数
B.图2 的平均数<众数<中位数
C.图2 的众数<中位数<平均数
D.图3 的平均数<中位数<众数
2.(2025 江西九江二模)植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内,
小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中,在确保土壤
肥力及灌溉条件相对稳定的情况下,统计了根长度x(单位:cm)与氮元素吸收量y(单
位:mg/天)的相关数据,如下表所示:
x 9.9
12.1
14.8
18.2
19.9
21.8
25.1
27.7
30.4
32.1
y 0.30
0.34
0.42
0.50
0.55
0.60
0.71
0.74
0.78
0.86
根据表中数据可得x=21.2,y=0.58 及经验回归方程为
y
^ =0.025x+a,则( )
A.a=-0.05
B.变量y 与x 的样本相关系数r<0
C.在一定范围内,小麦的根长度每增加1 cm,它一天的氮元素吸收量平均增加0.025 mg
D.若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计,则对应回归方程不变
2
3.(多选题)(2025 山东名校联考)某小区共有2 000 名20~60 岁的居民进行消防知识有奖
答题,满分100 分.答题完成后,工作人员从中随机抽取100 人的答卷,并根据成绩绘制了
频率分布直方图(如图),则下列结论正确的是( )
A.频率分布直方图中a=0.015
B.小区2 000 名20~60 岁居民答题成绩的平均数约为70.5,极差约为60
C.估计这100 名居民答题成绩的第60 百分位数为70
D.被抽取的100 人中答题成绩在[70,90)的有45 人
4.(2025 河北衡水模拟)加密运算在信息传送中具有重大作用.对于一组数据a1,a2,…,an,其
密钥s=1
n ∑
i=1
n
ai,定义算法bi=ais={
ai+ s,ai≤s,
ai- s,ai>s,其中i=1,2,…,n.将数据a1,a2,…,an加密为
b1,b2,…,bn的过程称为I 型单向加密.现将一组数据4,1,6,8,4,7 进行I 型单向加密,则加密
后的新数据的第60 百分位数为( )
A.2
B.3
C.6
D.9
5.(多选题)(2025 北京海淀模拟)如图是根据一组观测数据得到海拔6~15 km 的大气压强
散点图,根据一元线性回归模型得到经验回归方程为y
^
1
=-4.0x+68.5,决定系数为R1
2=0.99.
根据非线性回归模型得到经验回归方程为y
^
2
=132.9e-0.163x,决定系数为R2
2=0.99,则下列说
法正确的是( )
A.由散点图可知,大气压强与海拔高度负相关
3
B.由方程y
^
1
=-4.0x+68.5 可知,海拔每升高1 km,大气压强必定降低4.0 kPa
C.由方程y
^
1
=-4.0x+68.5 可知,样本点(11,22.6)的残差为-1.9
D.对比两个回归模型,结合实际情况,方程y
^
2
=132.9e-0.163x的预报效果更好
6.(2025 云南昆明模拟)某研究性学习小组针对“使用某APP 的用户是否存在性别差
异”,向40n(n∈N*)个人进行调查.用Ω 表示所有调查对象构成的集合.以Ω 为样本空间
建立古典概型,并定义一对分类变量X 和Y 如下:对于Ω 中的每一名学生, X=
{
0,调查对象为女性,
1,调查对象为男性,
Y={
0,调查不是该APP的用户,
1,调查是该APP的用户.
现得到下表
X
Y
1
0
1
8n
12n
0
12n
8n
若根据α=0.05 的独立性检验,认为P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1)(其中x0.05=3.841),则n 的最
小值为 .(参考公式:χ2=
n(ad -bc)
2
(a+c )(b+d )(a+b)(c +d )
,其中n=a+b+c+d)
7.(2025 北京西城模拟)南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计
的,图中每个扇形圆心角都是相等的,半径长短表示数量大小.某机构统计了近几年某国
知识付费用户数量(单位:亿人次,数据为年末数据),并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示),
根据此图,则下列正确结论的序号是 .
①2016 年至2023 年,知识付费用户数量逐年增加
②2017 年至2023 年,知识付费用户数量逐年增加量2018 年最多
③2017 年至2023 年,知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
④2023 年知识付费用户数量超过2016 年知识付费用户数量的10 倍
4
关键能力提升练
8.(多选题)(2025 福建福州模拟)有一组成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),设x = 1
n ∑
i=1
n xi,
y = 1
n ∑
i=1
n yi.由这组数据得到新成对样本数据(x1+x,y1+y),(x2+x,y2+y),…,(xn+x,yn+y).利用
一元线性回归模型,根据最小二乘法,下列结论一定正确的是( )
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b
^
=
∑
i=1
n
( xi- x )( yi- y )
∑
i=1
n
( xi- x )
2
,a
^
= y -b
^
x.样本相关系数r=
∑
i=1
n
( xi- x )( yi- y )
√∑
i=1
n
( xi- x )
2∑
i=1
n
( yi- y )
2
,决定系数
R2=1-∑
i=1
n
( yi- y
^
i)
2
∑
i=1
n
( yi- y )
2
(其中
y
^
i=b
^xi+
a
^).
A.两条经验回归直线都过点(x , y)
B.两条经验回归直线的截距相同
C.两组数据的样本相关系数相同
D.两组数据的决定系数相同
9.(多选题)(2025 安徽合肥二模)从某校高一和高二年级分别随机抽取100 名学生进行知
识竞赛,按得分(满分100 分)绘制如图所示的频率分布直方图,根据频率分布直方图,并用
频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为x,高二年级学生得分中位数与平
均数的估计值分别为y,z.从高一和高二年级各随机抽取一名学生,记事件M=“高一年级
学生得分不低于60 分,高二年级学生得分不低于80 分”,事件N=“高一年级学生得分不
低于80 分,高二年级学生得分不低于60 分”,则( )
高一年级学生得分
5
高二年级学生得分
A.x<z
B.y>z
C.事件M,N 互斥D.P(M)=P(N)
10.(2025 广东汕头一模)在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下,西北某地光伏发电装
机量急剧上升,现对2016 年至2023 年的新增光伏装机量进行调查,根据散点图选择了两
个模型进行拟合,并得到相应的经验回归方程.为判断模型的拟合效果,甲、乙、丙三位
同学进行了如下分析:
(1)甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图,如图所示;
(2)乙同学求出模型①的残差平方和为0.417 5、模型②的残差平方和为1.562 5;
(3)丙同学分别求出模型①的决定系数R1
2=0.952 0、模型②的决定系数为R2
2=0.978 1.
经检验,模型①拟合效果最佳,则甲、乙、丙三位同学中,运算结果肯定出错的同学是
.(填“甲”或“乙”或“丙”)
11.(15 分)(2025 湖南长沙模拟)乒乓球被称为中国的“国球”,是一种球类体育项目.某学
校为了丰富学生的课后活动内容,增强学生体质,决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7
个星期(用x=1 表示第1 个星期,用x=2 表示第二个星期,以此类推)参加活动的累计人数
y(单位:人)的统计数据.
x
1
2
3
4
5
6
7
y/人
6
14
20
37
74
108
203
(1)根据表中数据可以判断y 与x 大致满足回归模型
y
^ =cdx,试建立y 与x 的回归方程(精
确到0.01);
(2)为了更好地开展体育类型活动,学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层
抽样抽取了男生30 人,其身高的平均数和方差分别为171.5 和13.0;抽取了女生20 人,其
身高的平均数和方差分别为161.5 和27.0,试求全体学生身高的平均数和方差.
6
参考数据:y=66,z≈1.57,∑
i=1
7 xiyi=2 681,∑
i=1
7 xizi≈50.95,其中zi=lg yi,z = 1
7 ∑
i=1
7 zi.
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线
v
^
=α
^
+ β
^ u 的斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为β
^
=
∑
i=1
n
ui vi-nu v
∑
i=1
n
ui
2-nu
2
,α
^
= v - β
^
u.
核心素养创新练
12.(17 分)(2025 南京师大附中模拟)在测试中,客观题难度的计算公式为Pi=Ri
N
,其中Pi为
第i 题的难度,Ri为答对该题的人数,N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级240 名学
生进行一次测试,共5 道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如表所
示:
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度Pi
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后,随机抽取了20 名学生的答题数据进行统计,结果如下
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
8
(1)根据题中数据,估计这240 名学生中第5 题的实测答对人数;
(2)从抽取的20 名学生中再随机抽取2 名学生,记这2 名学生中第5 题答对的人数为X,求
X 的分布列和数学期望;
(3)定义统计量S=1
n
[(P1'-P1)2+(P2'-P2)2+…+(Pn'-Pn)2],其中Pi'为第i 题的实测难度,Pi为第i
题的预估难度(i=1,2,…,n).规定:若S<0.05,则称该次测试的难度预估合理,否则为不合理.
试据此判断本次测试的难度预估是否合理.
7
答案：
1.B 解析 对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的,那么平均数
和中位数应该大体上差不多.如果直方图在右边“拖尾”,那么平均数大于中位数.如果
直方图在左边“拖尾”,那么平均数小于中位数.也就是说,和中位数相比,平均数总是在
“长尾巴”那边.
题图1 的频率分布直方图是对称的,所以平均数=中位数=众数,故A 正确;题图2 众数最
小,平均数大于中位数,故B 错误,C 正确;题图3 众数最大,平均数小于中位数,故D 正确.
故选B.
2.C 解析 由经验回归直线过样本点的中心(x , y)知,a=0.58-0.025×21.2=0.05,故A 错误;
小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系,故样本相关系数r>0,故B 错误;由
经验回归方程
y
^ =0.025x+a 可得,在一定范围内,小麦的根长度每增加1 cm,它一天的氮元
素吸收量平均增加0.025 mg,故C 正确;若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系,
回归方程可能发生改变,故D 错误.故选C.
3.ABD 解析 由图可知(0.01×2+2a+0.02+0.03)×10=1,所以a=0.015,故A 正确;记平均数
的估计值为x,则x=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5,
极差约为100-40=60,故B 正确;设第60 百分位数的估计值为x,
(0.01+0.015+0.020)×10=0.45<0.6,(0.01+0.015+0.020+0.030)×10=0.75>0.6,所以
x∈(70,80),故C 错误;成绩在[70,90)的频率为0.3+0.15=0.45,所以有0.45×100=45 人,故D
正确.故选ABD.
4.C 解析 依题意,密钥s=4 +1+6+8+ 4 +7
6
=5,则加密后的新数据依次为9,6,1,3,9,2,将
加密后的新数据按从小到大的顺序排列为1,2,3,6,9,9,由6×60%=3.6,得加密后的新数据
的第60 百分位数为6.故选C.
5.ACD 解析 对于A,由图象知,海拔高度越高,大气压强越低,所以大气压强与海拔高度
负相关,故A 正确;
对于B,经验回归方程得到的数据为估计值,而非精确值,故B 错误;
对于C,当x=11 时,y
^
1
=-4.0×11+68.5=24.5,所以样本点(11,22.6)的残差为22.6-24.5=-1.9,
故C 正确;
对于D,随着海拔高度的增加,大气压强越来越小,但不可能为负数,因此方程y
^
2
=132.9e-0.163x的预报效果更好,故D 正确.故选ACD.
8
6.3 解析 因为P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1),所以用该APP 的用户存在性别差异,
所以χ2=40n×(12n×12n-8n×8n)
2
20n×20n×20n×20n
= 8
5
n>x0.05=3.841,即n>3.841× 5
8
=2.400 625,所以n
的最小值为3.
7.①② 解析 对于①,由图可知,2016 年至2023 年,知识付费用户数量逐年增加,故①正
确;
对于②和③,知识付费用户数量的逐年增加量分别为2017 年,1.88-0.96=0.92;
2018 年,2.95-1.88=1.07;
2019 年,3.56-2.95=0.61;
2020 年,4.15-3.56=0.59;
2021 年,4.77-4.15=0.62;
2022 年,5.27-4.77=0.5;
2023 年,5.72-5.27=0.45.
则知识付费用户数量逐年增加量2018 年最多,知识付费用户数量的逐年增加量不是逐
年递增,故②正确,③错误;
对于④,由5.72<10×0.96,则2023 年知识付费用户数量未超过2016 年知识付费用户数量
的10 倍,故④错误.故答案为①②.
8.CD 解析 对于A,设新数据的样本点的中心为(x', y '),
因为x'= x1+ x + x2+ x +…+ xn+ x
n
= x1+ x2+…+ xn
n
+ x=2x,
y '= y1+ y + y2+ y +…+ yn+ y
n
=2y,所以新成对样本数据的经验回归直线过点(2x,2y),故
A 错误;
对于B,因为
b'
^=∑
i=1
n
( xi+ x -2 x )( yi+ y -2 y )
∑
i=1
n
( xi+ x -2 x )
2
=∑
i=1
n
( xi- x )( yi- y )
∑
i=1
n
( xi- x )
2
=b
^,所以新成对样本数
据的经验回归直线的截距为
a'
^=2
y -b
^
·
2x=2(
y -b
^
x
)=2
a
^,故B 错误;
9
对于C,因为新成对样本数据的样本相关系数r'=
∑
i=1
n
( xi+ x -2 x )( yi+ y -2 y )
√∑
i=1
n
( xi+ x -2 x )
2∑
i=1
n
( yi+ y -2 y )
2
=
∑
i=1
n
( xi- x )( yi- y )
√∑
i=1
n
( xi- x )
2∑
i=1
n
( yi- y )
2
=r,所以两组数据的样本相
关系数相同,故C 正确;
对于D,因为新成对样本数据的决定系数R'2=1-∑
i=1
n
{ yi+ y -[b
^
( xi+ x )+2a
^
]}
2
∑
i=1
n
( yi+ y -2 y )
2
=1-
∑
i=1
n
( yi-b
^
xi-a
^
+ y -b
^
x -a
^
)
2
∑
i=1
n
( yi- y )
2
.
其中,
y =b
^
x +a
^,
所以R'2=1-∑
i=1
n
( yi- y
^
i)
2
∑
i=1
n
( yi- y )
2
=R2,所以两组数据的决定系数相同,故D 正确.
故选CD.
9.AB 解析
x=(35×0.01+45×0.02+55×0.03+65×0.02+75×0.01+85×0.005+95×0.005)×10=58.5,
z=(35×0.005+45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.005)×10=67.5,
∵0.05+0.1+0.15+0.2=0.5,∴y=70,∴x<z,故A 选项正确;
y>z,故B 选项正确;∵M∩N=“高一年级学生得分不低于80 分,高二年级学生得分不低于
80 分”≠⌀,故C 选项错误;
由频率估计概率得P(M)=(0.2+0.1+0.05+0.05)×(0.15+0.05)=0.08,
P(N)=(0.05+0.05)×(0.2+0.3+0.15+0.05)=0.07,故D 选项错误.
故选AB.
10.丙 解析 甲的残差图中,模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带
状区域内,且水平带状区域更窄,说明模型①拟合效果更好;残差平方和越大,即决定系数
越小,说明数据点越离散,所以乙的计算结果显示模型①的拟合效果更好,而丙的计算结
果显示模型②的拟合效果更好.故答案为丙.
10
11.解 (1)对于y=cdx,两边取常用对数可得lg y=lg(cdx)=lg c+xlg d,设z=lg y,a=lg c,b=lg d,
则回归方程变为
z
^
=a
^
+b
^x.
∑
i=1
7
xi
2=12+22+32+42+52+62+72=1+4+9+16+25+36+49=140,n=7,x = 1+2+3+ 4 +5+6+7
7
=4
.
根据参考公式,b
^
=
∑
i=1
7
xi zi-7 x z
∑
i=1
7
xi
2-7 x
2
,将∑
i=1
7 xizi≈50.95,z ≈1.57,∑
i=1
7
xi
2=140,x=4 代入,可得
b
^
≈50.95-7×4×1.57
140-7×4
2
= 50.95- 43.96
140-112
= 6.99
28
≈0.25.
a
^
= z -b
^
x ≈
1.57-0.25×4=1.57-1=0.57.
则
z
^=0.25x+0.57,
因为a=lg c,b=lg d,
所以lg c≈0.57,则c≈100.57;
lg d≈0.25,则d≈100.25.
所以y 与x 的回归方程为
y
^ =100.57·100.25x.
即y=100.25x+0.57.
(2)全体学生身高的平均数X=30×171.5+20×161.5
30+20
=5 145+3 230
50
= 8 375
50
=167.5.
根据方差公式s2=n1[s1
2+( X1- X )
2]+n2[s2
2+( X 2- X )
2]
n1+n2
(其中n1,n2为各层人数,s1
2,s2
2为各层方差,X1, X 2为各层平均数,X为总平均数).
将n1=30,s1
2=13.0,X1=171.5,n2=20,s2
2=27.0,X 2=161.5,X=167.5 代入,可得s2=
1
30+20 ×
{30×[13.0+(171.5-167.5)2]+20×[27.0+(161.5-167.5)2]}=2 130
50
=42.6,则全体学生身高的
平均数为167.5,方差为42.6.
11
12.解 (1)因为20 人中答对第5 题的人数为8,因此第5 题的实测难度为8
20
=0.4,所以估计
240 人中有240×0.4=96 人实测答对第5 题.
(2)X 的可能取值是0,1,2,
P(X=0)=C12
2
C20
2 = 33
95,P(X=1)=C12
1 C8
1
C20
2
= 48
95,P(X=2)= C8
2
C20
2 = 14
95 .
X 的分布列为
X
0
1
2
P
33
95
48
95
14
95
E(X)=0× 33
95
+1× 48
95
+2× 14
95 = 76
95 = 4
5 .
(3)将抽样的20 名学生中第i 题的实测难度,作为240 名学生第i 题的实测难度.各题的实
测难度如下表:
题号
1
2
3
4
5
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.4
所以S=1
5
[(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.4-0.4)2]=0.004,
因为S=0.004<0.05,所以该次测试的难度预估是合理的.
