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第八章 成对数据的统计分析 ---B提高练
一、选择题
1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（理））下列数据中，拟合效果最好的回归直线方
程，其对应的相关指数 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为相关指数 越大，拟合效果更好，故选：D
2．（2021·安徽省舒城中学高二期末）某产品的广告费用 与销售额 的统计数据如下表：
广告费用 （万元） 2 3 4 5 6
销售额 （万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为 ，下列说法正确的是（ ）
A．回归直线 必经过样本点 、
B．这组数据的样本中心点 未必在回归直线 上
C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元
【答案】D
【详解】回归直线 ，不一定经过任何一个样本点，故 A错；
由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点 一定在回归直线 上，故B错；
回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C错；
， ，
将 代入 可得 ，则回归方程为 ，
时， ，故D正确.故选：D.3．（2021·吉林长春市高二）2019年10月18日至27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，
中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌．为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，
研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与
调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为 ；②在犯错误的
概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%
的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”．
男性运动员 女性运动员
对主办方表示满意 200 220
对主办方表示不满意 50 30
则正确说法的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为 ，故①错误；
，故②错误，③正确．故选：B．
4．（2021·全国高二专题练）下列说法错误的是（ ）
A.自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B.在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D.在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
【答案】B
【解析】对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机
性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；
对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，
反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；
对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其
模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2
为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．
5．（多选题）（2021·江苏南通市高二期末）已知由样本数据点集合 ，求
得的回归直线方程为 ，且 ，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8， 误差较大，
去除后重新求得的回归直线 的斜率为1.2，则（ ）
A．变量 与 具有正相关关系
B．去除后 的估计值增加速度变快
C．去除后 方程为
D．去除后相应于样本点 的残差平方为
【答案】ACD
【详解】由样本数据点集合 ，回归直线方程为 ，且 ，
得到 ，去除掉两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)，因为 ，
所以去除掉两个数据点后， ， 仍然成立，因为直线方程 ，将 ，
代入求得 ；故A选项正确；因为 ，所以B选项错误；由上知C选项正确；
去除后，当 ， 相应于样本点 的残差平方为 ，故D选
项正确；故选：ACD.
6．（多选题）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调
查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女
生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有( )人
附表：
α 0.050 0.010
x 3.841 6.635
α
附：χ2＝A．25 B．45 C．60 D．75
【答案】BCD
【详解】设男生可能有x人，依题意可得列联表如下：
喜欢抖音 不喜欢抖音 合计
男生 x x x
女生 x x x
合计 x x 2x
若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2>3.841，由χ2＝>3.841，解得x>40.335，由题
意知x>0，且x是5的整数倍，所以45，60和75都满足题意．故选BCD.
二、填空题
7．（2021·湖北高二月考）某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进
行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为 .若某城市职工人均工资
为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为________．
【答案】84%
【解析】因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程 ，该城市居民人均工资为
，所以可以估计该城市的职工人均消费水平 ，所以可以估计该城市人
均消费额占人均工资收入的百分比为 84%.
8．（2021·全国高二课时练）某学校为了制订治理学校门口，上学、放学期间家长接送孩子乱停车
现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下
的列联表：
同意限定区域停车 不同意限定区域停车 合计
男 20 5 25
女 10 15 25
合计 30 20 50
则认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”的把握约为____________．
【答案】99.5%【详解】因为 ，又 ，
所以我们有99.5%的把握认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”．
9．（2021·青铜峡市高级中学高二期末）为了研究某班学生的脚长 (单位：厘米)和身高 (单位：
厘米)的关系，从该班随机抽取 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关
关系，设其回归直线方程为 ．已知这组数据的样本中心点为 ， ，若该班某学
生的脚长为 厘米，据此估计其身高为________厘米．
【答案】
【详解】根据题意，计算 ， ， ；
∴ ，∴ ，
当 时，计算 ，据此估计其身高为 （厘米）．
10．（2021·黑龙江大庆市高二月考）.世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图
如图所示,样本点基本集中在一个条型区域,因此两个变量具有线性相关关系.利用散点图中的数据建
立的经验回归方程为^=3.193x+88.193.若受教育程度的人口百分比相差10%,则其人均收入相差
y
美元.
【答案】31.93【详解】设受教育程度的人口百分比分别为a%,b%,且a-b=10,根据经验回归方程为^
y
=3.193x+88.193,
可知收入相差大约为3.193×a+88.193-(3.193×b+88.193)=3.193×10=31.93,即受教育程度的人口百分
比相差10%,则其人均收入相差约31.93美元.
三、解答题
11．（2021·河南驻马店市）近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开
通共享单车的 县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年
使用人次进行了统计，得到了投放量 （单位：千辆）与年使用人次 （单位：千次）的数据如下
表所示，根据数据绘制投放量 与年使用人次 的散点图如图所示．
（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型 或指数函
数模型 对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量 与年
使用人次 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出 关于 的回归方程；
（2）已知每辆单车的购入成本为 元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次 元，按用
户每使用一次，收费 元计算，若投入 辆单车，则几年后可实现盈利？
参考数据：其中 ， ．
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距
的最小二乘估计公式分别为 ， ．
【答案】（1） 适宜， ；（2）6年.
【解析】（1）由散点图判断， 适宜作为投放量 与年使用人次 的回归方程类型．
由 ，两边同时取常用对数得 ．
设 ，则 ．
因为 ， ， ， ，
所以 ．
把 代入 ，得 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
故 关于 的回归方程为 ．
（2）投入 千辆单车，则年使用人次为 千人次，每年的收益为 （千元），
总投资 千元，
假设需要 年开始盈利，则 ，即 ，
故需要 年才能开始盈利．
12．（2021·山东日照市高二）定向越野起源于欧洲，是一种借助地图､指南针，在一个划定的区域
内，通过对地形地貌的判断.设计合理路线到达各个目标点位，最后到达终点的运动.湖南青奠定向
体育发展有限公司为了推广定向活动，对学生群体进行定向越野的介绍和培训，并对初步了解了定
向活动的学生是否会参加定向越野活动进行调查.随机抽取了200位中小学生进行调查，得到如下数
据：准备参加定向越野的小学生有80人，不准备参加定向越野的小学生有40人，准备参加定向越
野的中学生有40人.
（1）完成下列 列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查的中小
学生是否准备参加定向越野与中学生､小学生年龄有关.
准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计
小学生
中学生
合计
（2）为了储备定向后备力量，备战全国赛，提高会员定向水平，俱乐部将小学生会员分组进行比
赛.两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图(跑一张地图视为一次)，达到教练设
定的成绩标准的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小超与小红同一小组，小超､小红达到教练
设定的成绩标准的概率分别为 ， ，且 ，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使
得小超､小红小组在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到16次？并求此时 ， 的值.
附： ， .
0.50 0.25 0.05 0.025 0.0100.455 1.323 3.840 5.024 6.635
【解析】（1）由题意得2×2列联表如下：
准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计
小学生 80 40 120
中学生 40 40 80
合计 120 80 200
因为 ，
所以有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备参加定向越野与年龄有关.
（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为
∵ ，所以 .
∵ ， ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ 可看成关于 的二次函数，
当 时， ，
当 或 时， .
∴ ，令 ，∴ ，∴ ，
当 时， ，他们小组在 轮游戏中获“优秀小组”次数 满足 ，
由 ，则 ，
所以理论上至少要进行27轮游戏.
此时 ， ， .
