抢分练2
1.(17 分)(2025 江苏盐城模拟)如图所示,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x 轴、y 轴的交点,
已知∠B1FB2=2π
3
,扇形FB1A1B2的面积为4 π
3
.
(注:题目中把半椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0,x≥0)与圆弧(x-c)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称作
“曲圆”,其中F(c,0)为半椭圆的右焦点)
(1)求a,c 的值;
(2)过点F 且倾斜角为θ 的直线交“曲圆”于P,Q 两点,试将△A1PQ 的周长L 表示为θ 的
函数;
(3)在(2)的条件下,当△A1PQ 的周长L 取得最大值时,探究△A1PQ 的面积是否为定值?若
是,请求出该定值;若不是,请求出面积的取值范围.
2.(17 分)(2025 山东济南三模)甲、乙两人比赛,比赛规则为:共进行奇数局比赛,全部比完
后,所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是p(0<p<1),各局比赛之间的结果互
不影响,且没有平局.
(1)当p=1
2
时,若两人共进行5 局比赛,设两人所赢局数之差的绝对值为X,求X 的分布列
和数学期望;
(2)当p=2
3
时,若两人共进行2n+1(n∈N*且n≥2)局比赛,记事件Ak表示“在前2n-1 局比
赛中甲赢了k(k=0,1,2,…,2n-1)局”,事件B 表示“甲最终获胜”.请写出P(B|∑
k =0
n-2Ak),P(B|
An-1), P(B|An),P(B| ∑
k =n+1
2n-1 Ak)的值(直接写出结果即可);
(3)若两人共进行了2n-1(n∈N*)局比赛,甲获胜的概率记为Pn.证明:当1
2
<p<1 时,
Pn+Pn+2<2Pn+1.
答案：
1.解 (1)扇形FB1A1B2的面积为1
2 × 2π
3 ×a2=4 π
3
,解得a=2.
半椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0,x≥0)与y 轴的交点B2(0,b),右焦点F(c,0),
所以在△OFB2中,tan∠OFB2=tanπ
3 = b
c = ❑√3,又b2+c2=a2=4,所以c=1.
(2)显然直线PQ 的斜率不为0 或不存在,所以θ∈(0,π).
由(1)知半椭圆方程为x
2
4 + y
2
3
=1(x≥0),圆弧方程为(x-1)2+y2=4(x<0),A1(-1,0)恰为椭圆的左
焦点.
①当θ∈(0,π
3
)时,点P,Q 分别在圆弧(x-1)2+y2=4(x<0)和半椭圆x
2
4 + y
2
3
=1(x≥0)上,
因为|A1F|=|PF|=2,所以△A1PF 是腰为2 的等腰三角形,且∠A1FP=θ,所以|A1P|=4sinθ
2
,因
为Q 在半椭圆上,所以|QF|+|QA1|=2a=4,所以△A1PQ 的周长L=|QA1|+|A1P|+|PF|+|QF|
=6+4sinθ
2
;
②当θ∈[π
3 , 2π
3
]时,点P,Q 在半椭圆x
2
4 + y
2
3
=1(x≥0)上,
因为点P,Q 在半椭圆上,所以|PF|+|PA1|=|QF|+|QA1|=2a=4,所以△A1PQ 的周长L=|QA1|
+|A1P|+|PF|+|QF|=8;
③当θ∈(2π
3
,π)时,点P,Q 分别在半椭圆x
2
4 + y
2
3
=1(x≥0)和圆弧(x-1)2+y2=4(x<0)上,
因为|A1F|=|QF|=2,所以△A1QF 是腰为2 的等腰三角形,且∠A1FQ=π-θ,所以|A1Q|=4sin
π -θ
2
=4cosθ
2
,
因为P 在半椭圆上,所以|PF|+|PA1|=2a=4,所以△A1PQ 的周长L=|QA1|+|A1P|+|PF|+|
QF|=6+4cosθ
2 .
综上,L={
6+ 4 sin θ
2 ,θ∈(0, π
3 ),
8,θ∈[ π
3 , 2π
3 ],
6+ 4 cos θ
2 ,θ∈( 2π
3 ,π ).
(3)由(2)知,当θ∈(0,π
3
)时,θ
2 ∈(0,π
6
),sinθ
2 ∈(0,1
2
),L=6+4sinθ
2 ∈(6,8),当θ∈(2π
3
,π)时,θ
2 ∈
(π
3 , π
2
),cosθ
2 ∈(0,1
2
),L=6+4cosθ
2 ∈(6,8),所以当θ∈[π
3 , 2π
3
]时,L 取得最大值8,此时点
P,Q 在半椭圆x
2
4 + y
2
3
=1(x≥0)上.
设直线PQ 的方程为x=my+1,
联立{
x =my +1,
x
2
4 + y
2
3 =1,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ>0 显然成立,
则y1+y2=-
6m
3m
2+ 4
,y1y2=-
9
3m
2+ 4
,
|PQ|=❑√1+m
2❑√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2=
❑√1+m
2
❑√144+144 m
2
3m
2+ 4
= 12(m
2+1)
3m
2+ 4
,
点A1(-1,0)到直线PQ 的距离d=
2
❑√1+m
2,
所以S△A1 PQ= 1
2 ×|PQ|×d=1
2 × 12(m
2+1)
3m
2+ 4
×
2
❑√1+m
2 = 12
❑√m
2+1
3m
2+ 4
,
令m2+1=t,因为θ∈[π
3 , 2π
3
],所以0≤m2≤1
3
,m2+1=t∈[1,4
3
],
S△A1 PQ= 12
❑√m
2+1
3m
2+ 4
=12❑√
t
9t
2+6t +1
=12❑
√
1
9t + 1
t +6
.
因为g(t)=9t+1
t
在[1,4
3
]上单调递增,所以g(1)≤g(t)≤g(4
3
),即10≤g(t)≤51
4
,
所以16≤9t+1
t
+6≤75
4 , 4
75 ≤
1
9t + 1
t +6
≤1
16 , 2❑√3
15 ≤❑
√
1
9t + 1
t +6
≤1
4 , 8 ❑√3
5
≤12❑
√
1
9t + 1
t +6
≤3,
即△A1PQ 的面积不是定值,取值范围是[8 ❑√3
5
,3].
2.(1)解 X 的可能取值为1,3,5,
P(X=1)=C5
2×(1
2
)2×(1
2
)3×2=5
8
,P(X=3)=C5
1× 1
2 ×(1
2
)4×2= 5
16
,P(X=5)=(1
2
)5×2= 1
16 .
所以X 的分布列为
X
1
3
5
P
5
8
5
16
1
16
数学期望E(X)=1× 5
8
+3× 5
16
+5× 1
16 = 15
8 .
(2)解 当p=2
3
时,两人共进行2n+1(n∈N*且n≥2)局比赛,前2n-1 局,甲赢的局数不足n-1
局,再赢2 局,甲不能获胜,因此P(B|∑
k =0
n-2Ak)=0;
前2n-1 局,甲已赢n-1 局,最后2 局全赢,甲能获胜,因此P(B|An-1)=(2
3
)2=4
9
;
最后2 局甲至少赢1 局,甲能获胜,因此P(B|An)=1-(1
3
)2=8
9
;
前2n-1 局,甲已赢n+1 局,甲必胜,因此P(B| ∑
k =n+1
2n-1 Ak)=1.
(3)证明 由全概率公式得,
Pn+1=C2n-1
n-1 pn-1(1-p)n·p2+C2n-1
n
·pn(1-p)n-1·[1-(1-p)2]+[Pn-C2n-1
n
pn(1-p)n-1]
=Pn+C2n-1
n-1 ·pn-1(1-p)n·p2-C2n-1
n
pn(1-p)n-1·(1-p)2=Pn+C2n-1
n
pn+1(1-p)n-C2n-1
n
pn(1-p)n+1
=Pn+C2n-1
n
pn(1-p)n(2p-1),
则Pn+1-Pn=C2n-1
n
pn·(1-p)n(2p-1),当1
2
<p<1 时,Pn+1-Pn>0,
Pn+2- Pn+1
Pn+1- Pn
= C2n+1
n+1 p
n+1(1- p)
n+1(2 p-1)
C2n-1
n
p
n(1- p)
n(2 p-1)
= C2n+1
n+1 p(1- p)
C2n-1
n
=
(2n+1)!
(n+1)!n! p(1- p)
(2n-1)!
n!(n-1)!
=(2n+1)2n
(n+1)n
p(1-p)=4 n+2
n+1
p(1-p)<4p(1-p)≤4[ p+(1- p)
2
]2=1,
因此Pn+2-Pn+1<Pn+1-Pn,所以Pn+Pn+2<2Pn
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微信fjshuxue 加入百度网盘群4T 一线老师必
备资料一键转存自动更新永不过期
