天津卷
一、选择题(本题共9 小题，每小题5 分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．(2021·天津卷，1)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{1,3,5}，C＝{0,2,4}，则(A∩B)∪C 等于(
)
A．{0}
B．{0,1,3,5}
C．{0,1,2,4}
D．{0,2,3,4}
2．(2021·天津卷，2)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2021·天津卷，3)函数y＝的图象大致为( )
4．(2021·天津卷，4)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400 部，统计其评分数据，将所
得400 个评分数据分为8 组：[66,70)，[70,74)，…，[94,98]，并整理得到如下的频率分布直
方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是( )
A．20 B．40 C．64 D．80
5．(2021·天津卷，5)设a＝log20.3，b＝
0.4，c＝0.40.3，则a，b，c 的大小关系为(
)
A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b
6．(2021·天津卷，6)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积
为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为( )
A．3π B．4π C．9π D．12π
7．(2021·天津卷，7)若2a＝5b＝10，则＋等于( )
A．－1 B．lg 7 C．1 D．log710
8．(2021·天津卷，8)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重
合，抛物线的准线交双曲线于A，B 两点，交双曲线的渐近线于C，D 两点，若|CD|＝|AB|，
则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D．3
9．(2021·天津卷，9)设a∈R，函数f(x)＝
若f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6 个零点，则a 的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
二、填空题(本题共6 小题，每小题5 分，共30 分)
10．(2021·天津卷，10)i 是虚数单位，复数＝________.
11．(2021·天津卷，11)在6的展开式中，x6的系数是________．
12．(2021·天津卷，12)若斜率为的直线与y 轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1 相切于点B，
则|AB|＝________.
13．(2021·天津卷，13)若a>0，b>0，则＋＋b 的最小值为________．
14．(2021·天津卷，14)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方
猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，
且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也不影响，则一次活动中，甲获胜的概率
为________，3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为________．
15．(2021·天津卷，15)在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE⊥AB
且交AB 于点E，DF∥AB 且交AC 于点F，则|2BE＋DF|的值为________；(DE＋DF)·DA的最
小值为________．
三、解答题(本题共5 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(2021·天津卷，16)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知sin
A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，b＝.
(1)求a 的值；
(2)求cos C 的值；
(3)求sin 的值．
17．(2021·天津卷，17)如图，在棱长为2 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 为棱BC 的中点，
F 为棱CD 的中点．
(1)求证：D1F∥平面A1EC1；
(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．
(3)求二面角A－A1C1－E 的正弦值．
18．(2021·天津卷，18)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|
BF|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l 与椭圆有唯一的公共点M，与y 轴的正半轴交于点N，过N 与BF 垂直的直线交x
轴于点P.若MP∥BF，求直线l 的方程．
19．(2021·天津卷，19)已知{an}是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64.{bn}是公比大于
0 的等比数列，b1＝4，b3－b2＝48.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记cn＝b2n＋，n∈N*，
①证明{c－c2n}是等比数列；
②证明<2(n∈N*)
20．(2021·天津卷，20)已知a>0，函数f(x)＝ax－xex.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)证明f(x)存在唯一的极值点；
(3)若存在a，使得f(x)≤a＋b 对任意x∈R 成立，求实数b 的取值范围．
答案精析
1．C [∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,3,5}，C＝{0,2,4}，
∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0,1,2,4}．]
2．A [由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；
若a2>36，则a>6 或a<－6，故必要性不成立，
所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件．]
3．B [设y＝f(x)＝，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，C；
当x∈(0,1)时，ln|x|<0，x2＋2>0，所以f(x)<0，排除D.]
4．D [由频率分布直方图可知，评分在区间[82,86)内的影视作品数量为400×0.05×4＝80.]
5．D [∵log20.3<log21＝0，∴a<0，
∵
0.4＝－log20.4＝log2>log22＝1，∴b>1，
∵0<0.40.3<0.40＝1，∴0<c<1，
∴a<c<b.]
6．B [如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，
设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3∶1，即AD＝3BD，
设球的半径为R，则＝，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，
因为CD⊥AB，则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，所以∠CAD＝∠BCD，
又因为∠ADC＝∠BDC，所以△ACD∽△CBD，
所以＝，所以CD＝＝，
因此，这两个圆锥的体积之和为π×CD2·(AD＋BD)＝π×3×4＝4π.]
7．C [∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.]
8．A [设双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为(c,0)，
则抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－c，
令x＝－c，则－＝1，解得y＝±，
所以|AB|＝，
又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以|CD|＝，
所以＝，即c＝b，所以a2＝c2－b2＝c2，
所以双曲线的离心率e＝＝.]
9．A [因为x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0 最多有2 个根，所以cos(2πx－2πa)＝0 至少有4 个根，
由2πx－2πa＝＋kπ，k∈Z，可得x＝＋＋a，k∈Z，
由0<＋＋a<a 可得－2a－<k<－，
(1)x<a 时，当－5≤－2a－<－4 时，f(x)有4 个零点，即<a≤；
当－6≤－2a－<－5 时，f(x)有5 个零点，
即<a≤；
当－7≤－2a－<－6 时，f(x)有6 个零点，
即<a≤.
(2)当x≥a 时，f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5，
Δ＝4(a＋1)2－4(a2＋5)＝8(a－2)，
当a<2 时，Δ<0，f(x)无零点；
当a＝2 时，Δ＝0，f(x)有1 个零点；
当a>2 时，令f(a)＝a2－2a(a＋1)＋a2＋5＝－2a＋5≥0，则2<a≤，此时f(x)有2 个零点，所
以若a>时，f(x)有1 个零点．
综上，要使f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6 个零点，则应满足
或或
则可解得a 的取值范围是∪.]
10．4－i
解析 ＝＝＝4－i.
11．160
解析 6的展开式的通项为
Tr＋1＝C(2x3)6－r·r＝26－rC·x18－4r，
令18－4r＝6，解得r＝3，
所以x6的系数是23C＝160.
12．
解析 设直线AB 的方程为y＝x＋b，则点A(0，b)，
由于直线AB 与圆x2＋(y－1)2＝1 相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，
则＝1，解得b＝－1 或b＝3，所以|AC|＝2，
因为|BC|＝1，故|AB|＝＝.
13．2
解析 ∵a>0，b>0，
∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，
当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，
∴＋＋b 的最小值为2.
14．
解析 由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为×＝，
则在3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为C×2×＋3＝.
15．1
解析 设BE＝x，x∈，
∵△ABC 为边长为1 的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x，
∵DF∥AB，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2BE＋DF)2＝4BE2＋4BE·DF＋DF2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2BE＋DF|＝1，
∵(DE＋DF)·DA＝(DE＋DF)·(DE＋EA)＝DE2＋DF·EA＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1
＝52＋，
∴当x＝时，(DE＋DF)·DA的最小值为.
16．解 (1)∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶，
∵b＝，∴a＝2，c＝2.
(2)由余弦定理可得cos C＝＝＝.
(3)∵cos C＝，又C∈(0，π)，∴sin C＝＝，
∴sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，
cos 2C＝2cos2C－1＝2×－1＝，
∴sin＝sin 2Ccos －cos 2Csin ＝×－×＝.
17．(1)证明 以A 为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，C1(2,2,2)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，
因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，
所以E(2,1,0)，F(1,2,0)，
所以D1F＝(1,0，－2)，A1C1＝(2,2,0)，
A1E＝(2,1，－2)，
设平面A1EC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
令x1＝2，则m＝(2，－2,1)，
因为D1F·m＝2－2＝0，所以D1F⊥m，
因为D1F⊄平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1.
(2)解 由(1)得，AC1＝(2,2,2)，
设直线AC1与平面A1EC1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈m，AC1〉|＝＝＝.
所以直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为.
(3)解 连接BD，由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为DB＝(2，－2,0)，
则cos〈DB，m〉＝＝＝，
所以二面角A－A1C1－E 的正弦值为
＝.
18．解 (1)易知点F(c,0)，B(0，b)，
故|BF|＝＝a＝，
因为椭圆的离心率为e＝＝，
所以c＝2，b＝＝1，
因此，椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设点M(x0，y0)为椭圆＋y2＝1 上一点，
先证明直线MN 的方程为＋y0y＝1，
联立消去y 并整理得x2－2x0x＋x＝0，Δ＝4x－4x＝0，
因此，椭圆＋y2＝1 在点M(x0，y0)处的切线方程为＋y0y＝1.
在直线MN 的方程中，令x＝0，可得y＝，由题意可知y0>0，即点N，
直线BF 的斜率为kBF＝－＝－，所以直线PN 的方程为y＝2x＋，
在直线PN 的方程中，令y＝0，可得x＝－，
即点P，
因为MP∥BF，则kMP＝kBF，即＝＝－，整理可得(x0＋5y0)2＝0，
所以x0＝－5y0，所以＋y＝6y＝1，
因为y0>0，故y0＝，x0＝－，
所以直线l 的方程为－x＋y＝1，
即x－y＋＝0.
19．(1)解 因为{an}是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64.
所以a1＋a2＋…＋a8＝8a1＋×2＝64，所以a1＝1，
所以an＝a1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*，
设等比数列{bn}的公比为q，q>0，
所以b3－b2＝b1q2－b1q＝4(q2－q)＝48，
解得q＝4(负值舍去)，
所以bn＝b1qn－1＝4n，n∈N*.
(2)①证明 由题意，cn＝b2n＋＝42n＋，
所以c－c2n＝2－＝2·4n，
所以c－c2n≠0，且＝＝4，
所以数列{c－c2n}是等比数列．
②证明 由题意知，＝＝<，
所以<＝＝·，
所以<，
设Tn＝＝＋＋＋…＋，
则Tn＝＋＋＋…＋，
两式相减得Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，
所以Tn＝4－，
所以<＝<2.
20．(1)解 f′(x)＝a－(x＋1)ex，则 f′(0)＝a－1，
又f(0)＝0，则切线方程为y＝(a－1)x，a>0.
(2)证明 令f′(x)＝a－(x＋1)ex＝0，则a＝(x＋1)ex，
令g(x)＝(x＋1)ex，则g′(x)＝(x＋2)ex，
当x∈(－∞，－2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(－2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x→－∞时，g(x)<0，g(－1)＝0；当x→＋∞时，g(x)>0，画出g(x)大致图象如图所示，
所以当a>0 时，y＝a 与y＝g(x)仅有一个交点，
令g(m)＝a，则m>－1，且f′(m)＝a－g(m)＝0，
当x∈(－∞，m)时，a>g(x)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(m，＋∞)时，a<g(x)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
x＝m 为f(x)的极大值点，故f(x)存在唯一的极值点．
(3)解 由(2)知f(x)max＝f(m)，此时a＝(1＋m)em，
m>－1，
所以{f(x)－a}max＝f(m)－a＝(m2－m－1)em，m>－1，
令h(x)＝(x2－x－1)ex，x>－1，
若存在a，使得f(x)≤a＋b 对任意x∈R 成立，等价于存在x∈(－1，＋∞)，使得h(x)≤b，
即b≥h(x)min，
h′(x)＝(x2＋x－2)ex＝(x－1)(x＋2)ex，x>－1，
当x∈(－1,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝－e，故b≥－e，
所以实数b 的取值范围为[－e，＋∞)．
