概率章末复习卷（一）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A 表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，
事件B 表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C 表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D 表
示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（
）
A．A
D
B．B
D
C．A
C
D
D．A
B
B
D
【答案】D
【解析】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机，
另一种是两枚炮弹都击中飞机，即A 发生，D 必发生，因此A
D
，A 正确；
对于B，显然事件D 是事件B 的对立事件，因此B
D
，B 正确；
对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此A
C
D
，
C 正确；
对于D，B
D
包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件A
B
表示“两个炮弹都击中飞机或者都没
击中飞机”，
因此A
B
B
D
，D 错误.
故选：D
2．气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（
）
A．本地区有90%的地方下雨
B．本地区有90%的时间下雨
C．明天出行不带雨具，一定被雨淋
D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋
【解题思路】根据概率的实际意义即可判断.
【解答过程】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D 正确，
故选：D.
3．给出下列命题，其中说法正确的是（
）
A．若A，B 为两个随机事件，则�(�∪�) = �(�) + �(�)
B．若事件A，B，C 两两互斥，则�(�) + �(�) + �(�) = 1
C．若A，B 为互斥事件，则�(�) + �(�) ≤1
D．若�⊆�，则��< ��
【解题思路】
AB 选项，可举出反例；C 选项，根据�(�) + �(�) = �(�∪�) ≤�得到C 正确；D 选项，根据概率的性
质得到��≤��.
【解答过程】
对于A：当A，B 为两个互斥事件时，才有�(�∪�) = �(�) + �(�)，
当A，B 不互斥时，�(�∪�) = �(�) + �(�) −��∩�，A 选项错误；
对于B：当事件A，B，C 两两互斥，且�∪�∪�= �时，才有�(�) + �(�) + �(�) = �，所以B 错误；
对于C：当A，B 为互斥事件时，�(�) + �(�) = �(�∪�) ≤�，C 选项正确；
对于D：由概率的性质可知，若�⊆�，则��≤��，D 选项错误；
故选：C.
4．第31 届世界大学生夏季运动会于2023 年7 月28 日至8 月8 日在中国四川省成都市举行，是中国西部
第一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18 个大项，269 个小项．甲同
学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个
前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（
）
A．1
6
B．2
3
C．3
5
D．1
3
【答案】D
【解析】用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为
, ,
A B C ，
则两人选择比赛项目的情况有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A B
A C
B B
B C
C B
C C ，共6 种，
其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有
,
,
,
B B
C C ，共2 种，
故所求概率
2
1
6
3
P
．
故选：D．
5．在如图所示的电路中，5 个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开
关合上时，电路畅通的概率是（
）
A．551
720
B．29
144
C．29
72
D．29
36
【答案】D
【解析】当开关合上时，电路畅通即表示左至中间畅通且中间至右畅通,
左至中间畅通的概率
1
1
1
1
5
1
1
1
1
4
2
3
6
P
，
中间至右畅通的概率
2
1
1
29
1
5
6
30
P
，
所以电路畅通的概率
1
2
5
29
29
6
30
36
P
PP
.
故选：D.
6．在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2 的素
数对，例如3 和5，11 和13 等.从不超过10 的正奇数中随机抽取2 个，则这2 个奇数是孪生素数的概率为
（
）
A．
1
10
B．
1
6
C．
1
5
D．
1
3
【解题思路】利用古典概型计算公式先列举出所有基本事件数，再求出是孪生素数的事件数即可求得结果.
【解答过程】不超过10 的正奇数有�, �, �, �, �，共5 个，从中随机抽取2 个，
共有�, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �，10 种情况，
其中孪生素数有{�, �}, {�, �}，共2 种情况，
由古典概型可得这2 个奇数是孪生素数的概率为
�
��=
�
�.
故选：C.
7．自1972 年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜
爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10 环的概率均为
2
3，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射
箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10 环的概率为（
）
A．
2
3
B．
11
12
C．
3
4
D．
8
9
【解题思路】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.
【解答过程】记“甲射中10 环”为事件�，“乙射中10 环”为事件�，�(�) = �(�) =
�
�，
甲、乙两人中至少有一人射中10 环的概率为：
�= �−�(�ഥ�ഥ) = �−�(�ഥ)�(�ഥ) = �−�−
�
�× �−
�
�=
�
�.
故选：D．
8．一个袋子中有大小和质地相同的4 个球其中有2 个红色球（标号为1 和2），2 个绿色球（标号为3 和
4），从袋中不放回地依次随机揽出2 个球，每次摸出一个球，设事件�="第一次摸到红球"，�= "第二次
摸到红球"，�="两次都摸到红球"，�="两次都摸到绿球”，�=“两球颜色相同”，�=“两球颜色不同”.
则下列说法错误的是（
）
A．�= �
B．R 与G 互斥但不对立
C．�∪�= �
D．S 与T 相互独立
【解题思路】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义求解，
【解答过程】对于A，�=“两球颜色相同”，�=“两球颜色不同”是对立事件，
所以�= �，故A 正确；
对于B，�="两次都摸到红球"和�="两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生，
所以R 与G 互斥但不对立，故B 正确；
对于C，�="两次都摸到红球"，�="两次都摸到绿球”，�=“两球颜色相同”，
所以�∪�= �，故C 正确；
对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2 个球，不同的结果有：
�, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �，共12 种结果，
事件S 包含�, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �这6 种结果，��=
�
��=
�
�，
事件T 包含�, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, �这6 种结果，��=
�
��=
�
�，
事件ST 包含�, �, �, �这2 种结果，���=
�
��=
�
�，
���≠����，所以S 与T 不是相互独立事件，故D 错误.
故选：D.
二、选择题：本题共4 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．在12 件同类产品中，有9 件正品和3 件次品，从中任意抽出3 件产品，设事件A “3 件产品都是次品”，
事件B “至少有1 件是次品”，事件C “至少有1 件是正品”，则下列结论正确的是（
）
A．A 与C 为对立事件
B．B 与C 不是互斥事件
C．A
B
A
D．
1
P B
P C
【答案】ABC
【解析】从中任意抽出3 件产品，共有4 种情况：3 件产品都是次品，2 件次品1 件正品，1 件次品2 件
正品，3 件产品都是正品.
事件B 的可能情况有：3 件产品都是次品，2 件次品1 件正品，1 件次品2 件正品，
事件C 的可能情况有：2 件次品1 件正品，1 件次品2 件正品，3 件产品都是正品.
A 与C 为对立事件，故A 正确；
B
C
{2 件次品1 件正品，1 件次品2 件正品}，则B 与C 不是互斥事件，故B 正确；
A
B
，
A
B
A
，故C 正确；
由上知
1
P B
P C
，故D 错误.
故选：ABC
10．一个人连续射击2 次，则下列各事件关系中，说法正确的是（
）
A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
B．事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件
C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
【答案】AC
【解析】对于A，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，
与事件“两次均击中”是对立事件，故A 正确；
对于B，事件“最少一次击中”包含“一次击中”与“二次击中”，
事件“最多次击中”包含“一次击中”与“0 次击中”，
故两事件可以同时发生，不是互斥事件，故B 不正确；
对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C 正确；
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D 错误.
故选：AC
11．已知A ，B 是随机事件，若
1
(
)
(
)
4
P AB
P AB
，且
(
)
1
P A
B
，则下列结论正确的是（
）
A．
( )
( )
P A
P B
B．A ，B 为对立事件
C．A ，B 相互独立
D．
3
( )
4
P B
【答案】AD
【解析】A ，B 是随机事件，
(
)
1
P A
B
，且
1
(
)
(
)
4
P AB
P AB
，
对于A，
( )
(
)
(
)
(
)
P A
P AB
AB
P AB
P AB
，即
( )
(
)
(
)
P A
P AB
P AB
，
( )
(
)
(
)
(
)
P B
P AB
AB
P AB
P AB
，即
( )
(
)
(
)
P B
P AB
P AB
，
又
(
)
(
)
P AB
P AB
，故
( )
( )
P A
P B
，A 正确；
对于BCD，因为
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
P A
B
P AB
AB
AB
P AB
P AB
P AB
P AB
，
所以
1
(
)
2
P AB
，由于
3
( )
(
)
(
)
4
P A
P AB
P AB
，
3
( )
(
)
(
)
4
P B
P AB
P AB
，
则
( )
( )
1
P A
P B
，所以A ，B 不是对立事件；
又
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
，所以A ，B 不是相互独立事件，故BC 错误，D 正确.
故选：AD
12．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70 四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数
字，记事件“数字为2 的倍数”为事件�，“数字是5 的倍数”为事件�，“数字是7 的倍数”为事件�，则下列
选项不正确的是（
）
A．事件�、�、�两两互斥
B．事件�∪�与事件�∩�对立
C．����= ������
D．事件�、�、�两两独立
【解题思路】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.
【解答过程】依题意抛掷一次可能出现的结果有�、�、�、��，
事件�包含的基本事件有�、��，则��=
�
�=
�
�；
事件�包含的基本事件有�、��，则��=
�
�=
�
�；
事件�包含的基本事件有�、��，则��=
�
�=
�
�；
显然事件�与事件�，事件�与事件�，事件�与事件�均可以同时发生，
故事件�与事件�，事件�与事件�，事件�与事件�均不互斥，故A 错误；
事件�∪�包含的基本事件有�、�、��，
事件�∩�包含的基本事件有��，
当出现��时事件�∪�与事件�∩�均发生，故事件�∪�与事件�∩�不互斥，
显然不对立，故B 错误；
又事件���包含的基本事件有��，所以����=
�
�，
所以����≠������，故C 错误；
因为事件��包含的基本事件有��，所以���=
�
�= ����，所以�与�相互独立；
因为事件��包含的基本事件有��，所以���=
�
�= ����，所以�与�相互独立；
因为事件��包含的基本事件有��，所以���=
�
�= ����，所以�与�相互独立；
即事件�、�、�两两独立，故D 正确.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共15 分。
13．刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的
2
1
k
阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把
2
1,2,
, n
排成n n
的方阵，使其每行､每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3 阶幻方，现从中随机
抽取和为15 的三个数，则这三个数中仅有1 个奇数的概率是
．
8
1
6
3
5
7
4
9
2
【答案】3
4 /0.75
【解析】试验“随机抽取和为15 的三个数”的样本空间
Ω
{ 8,1,6 , 3,5,7 , 4,9,2 , 8,3,4
，
1,5,9 , 6,7,2 , 8,5,2 , 4,5,6 },
Ω
8
n
，
记A “和为15 的三个数中仅有1 个奇数”，
则
8,1,6 , 4,9,2 , 8,3,4 , 6,7,2 , 8,5,2 , 4,5,6
,
A
6
n A
故
6
3
8
4
P A
．
故答案为：3
4 .
14．有一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2，3，4，10，11，12 这六种情
况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9 时，白方胜，这种游戏对
方有利.(选填“红”
或“白”)
【答案】白
【解析】两枚骰子点数之和如下表:
第一枚
第二枚
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12 这六种情况的共12 种,概率是12
36 = 1
3 ,
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9 的情况共24 种,概率是24
36 = 2
3 .
所以这种游戏不公平,对白方比较有利.
故答案为：白.
15．采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0 到9 之间取整数值的随
机数，指定1，2，3，4 表示击中目标，5，6，7，8，9，0 表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表
三次发射的结果，经随机数模拟产生了20 组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为
17
20
.
【解题思路】根据题意，得到这20 组随机数中一次为没有击中目标的次数，结合对立事件的概率计算公
式，即可求解.
【解答过程】根据题意，这20 组随机数中一次也没有击中目标的有���, ���, ���，共有3 组，
所以，这20 组随机数中至少有一次击中目标的概率为�= �−
�
��=
��
��.
故答案为：
��
��.
16．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，
小明需要在9 个小格子中填上1 至9 中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4 个小格子中的准确数字，
, , , ,
a b c d e这5 个数字未知，且,b d 为奇数，则
5
a
b
的概率为
.
9
a
7
b
c
d
4
e
5
【答案】2
3
【解析】这个试验的等可能结果用下表表示：
a
b
c
d
e
2
1
6
3
8
2
1
8
3
6
6
1
2
3
8
6
1
8
3
2
8
1
2
3
6
8
1
6
3
2
2
3
6
1
8
2
3
8
1
6
6
3
2
1
8
6
3
8
1
2
8
3
2
1
6
8
3
6
1
2
共有12 种等可能的结果，其中
5
a
b
的结果有8 种，
所以
5
a
b
的概率为8
2
12
3
.
故答案为：2
3 .
四、解答题：本题共6 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ；再由乙猜甲刚才所想的数字，记为b ，其
中
,
1,2,3,4,5
a b
.
(1)试列举出由样本点
,a b 组成的样本空间Ω ，并指出样本空间Ω 所含样本点的个数；
(2)若
1
a
b
，则称甲、乙“心有灵犀”，求甲、乙二人“心有灵犀”的概率.
【解析】（1）由题意得，
Ω
1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5, 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 ,
4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 ，共25 个样本点.
（2）记甲、乙二人“心有灵犀”的为事件A ，
则
1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 5,4 , 5,5
A
，共13个样本点，
13
25
P A
，故甲、乙二人“心有灵犀”的概率为13
25 .
18.某商场有奖销售中，购满100 元商品得一张奖券，多购多得，每1000 张奖券为一个开奖单位.设特等奖
1 个，一等奖10 个，二等奖50 个.设1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)
( ),
( ),
( )
P A P B
P C ；
(2)抽取1 张奖券中奖概率；
(3)抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
【解析】（1）因为每1000 张奖券中设特等奖1 个，一等奖10 个，二等奖50 个，
所以
1
10
1
50
1
( )
,
( )
,
( )
1000
1000
100
1000
20
P A
P B
P C
.
（2）设“抽取1 张奖券中奖”为事件D，
则
1
1
1
61
(
)
( )
( )
( )
1000
100
20
1000
P D
P A
P B
P C
.
（3）设“抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，
则
1
1
989
( )
1
( )
( )
1 1000
100
1000
P E
P A
P B
.
19.在试验
6
E “袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相同，
从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为
1
w ，
2
w ，
3
w ，
摸到黑球的结果分别记为
1b ，
2b ．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
【解析】（1）由前面的分析可知试验
6
E 的样本空间
1
2
1
3
1 1
1 2
2
1
2
3
2 1
2
2
3
1
3
2
3 1
3 2
1
1
1
2
1
3
1 2
2
1
2
2
2
3
2 1
Ω
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
w w w w w b w b w w w w
w b w b w w w w w b w b b w b w b w b b b w b w b w b b
，
共有20 个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A 表示“取到的两个球都是白球”，则
1
2
1
3
2
1
2
3
3
1
3
2
,
,
,
,
,
A
w w w w w w w w w w w w
，
共含有6 个样本点，所以
6
3
( )
20
10
P A
，即取到的两个球都是白球的概率为3
10 ；
（2）设事件B 表示“取到的两个球颜色相同”，则
1
2
1
3
2
1
2
3
3
1
3
2
1 2
2 1
,
,
,
,
,
,
,
B
w w w w w w w w w w w w bb b b
，
共含有8 个样本点，所以
8
2
( )
20
5
P B
，即取到的两个球颜色相同的概率为2
5 ；
（3）设事件C 表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则
1
2
1
3
1 1
1 2
2
1
2
3
2 1
2
2
3
1
3
2
3 1
3 2
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
C
w w w w w b w b
w w w w w b w b w w w w w b w b b w b w b w b w b w b w
，
共含有18 个样本点，所以
18
9
( )
20
10
P C
，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为9
10 .
20.高一年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问
题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正
确的概率为2
3 ，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为2
15 ，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的
概率为3
10 ；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为3 2 4
,
,
4 3 5 ．且所有的问答
中回答正确与否相互之间没有任何影响．
(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2
枝“黑玫瑰”奖品的概率．
【解析】（1）记
iA
“玲儿姐回答正确第i 个问题”，
iB “关关姐回答正确第i 个问题”，
i
C “页楼哥
回答正确第i 个问题”，
1,2
i
.
根据题意得
1
1
1
1
1
1
1
2
2
(
)
(
) (
)
(1
(
))(1
(
))
(1
)(1
(
))
3
15
P A B
P A P B
P A
P B
P B
，所以
1
3
(
)
5
P B
；
1
1
1
1
1
3
3
(
)
(
) (
)
(
)
5
10
P B C
P B P C
P C
，所以
1
1
(
)
2
P C
；
故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为3
5 和1
2 .
（2）由题意知
2
2
2
3
2
4
(
)
, (
)
, (
)
4
3
5
P A
P B
P C
，
“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为
1
1
2
1
2
2
3
1
(
)
(
) (
)
3
4
2
P
P A A
P A P A
；
“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为
2
1
2
1
2
3
2
2
(
)
(
) (
)
5
3
5
P
P B B
P B P B
；
“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为
3
1
2
1
2
1
4
2
(
)
(
) (
)
2
5
5
P
P C C
P C P C
；
三人最终一共获得2 枝“黑玫瑰”奖品的概率为
1
2
3
1
2
3
1
2
3
(1
)
(1
)
(1
)
P
P P P
P
P P
PP
P
1
2
2
1
3
2
1
2
3
8
2
5
5
2
5
5
2
5
5
25
.
所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为1 2 2
2 5 5
，，；三人最终一共获
得2 枝“黑玫瑰”奖品的概率为8
25 .
21.甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下
场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3 局，则该人获得最
终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，
甲、乙比赛甲胜概率为1
2 ，乙、丙比赛乙胜概率为1
3 ，丙、甲比赛丙胜概率为2
3 ，每局比赛相互独立且每
局比赛没有平局.
(1)比赛完3 局时，求甲、乙、丙各旁观1 局的概率；
(2)已知比赛进行5 局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
【解析】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1 局只需讨论前两局的胜负情况，可分为：
甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙.
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独
立，
设比赛完3 局时，甲、乙、丙各旁观1 局为事件M ，则M
AC
AB
，
则
1
2
1
2
2
2
3
2
3
3
P M
P AC
P AB
P A P C
P A P B
，
所以甲、乙、丙各旁观1 局的概率为2
3 .
（2）设甲、乙、丙第i 局比赛获胜分别为事件
iA ，
iB ，
i
C ，
1,2,3,4,5
i
，
设比赛完5 局甲获得最终胜利为事件D ，则
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5,
D
B B A A A
B C A A A
A A B B A
A A B C A
AC C A A
AC B A A
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
2
72
P B B A A A
P B P B
P A
P A
P A
，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
1
1
1
1
2
3
3
2
3
54
P B C A A A
P B P C
P A
P A
P A
，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
2
72
P A A B B A
P A P A
P B
P B
P A
，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
1
1
2
1
1
2
3
2
3
3
54
P A A B C A
P A P A
P B
P C
P A
，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
27
P AC C A A
P A P C
P C
P A
P A
，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
1
1
1
1
2
3
3
2
3
54
P AC B A A
P A P C
P B
P A
P A
，
所以
1
1
1
1
1
1
13
72
54
72
54
27
54
108
P D
.
所以，已知比赛进行5 局后结束，甲获得最终胜利的概率为13
108 .
22.为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出
胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获
得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为
2
3，甲胜丙的
概率为
3
5，乙胜丙的概率为
1
2．假设甲和乙进行第一场比赛．
(1)若甲、乙、丙三人共进行了3 场比赛，求丙获得冠军的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共进行了4 场比赛，求甲获得冠军的概率
【解题思路】
（1）（2）根据给定条件，把所求概率的事件分拆成互斥事件的和，再结合相互独立事件的概率公式计算
即得.
【解答过程】（1）
甲、乙、丙三人共进行了3 场比赛，且丙获得冠军的情况有2 种：
①首先甲乙比赛，甲胜，然后甲丙比赛，丙胜，再由乙丙比赛，丙胜，
概率为：��=
�
�(�−
�
�)(�−
�
�) =
�
��；
②首先甲乙比赛，乙胜，然后乙丙比赛，丙胜，再由甲丙比赛，丙胜，
概率为：��= (�−
�
�)(�−
�
�)(�−
�
�) =
�
��，
所以丙获得冠军的概率�=
�
��+
�
��=
�
�．
（2）
甲、乙、丙三人共进行了4 场比赛，且甲获得冠军的情况有2 种：
①乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，概率为：��= (�−
�
�) × (�−
�
�) ×
�
�×
�
�=
�
��；
②甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，概率为：��=
�
�× (�−
�
�) ×
�
�×
�
�=
�
��，
所以甲获得冠军的概率�=
�
��+
�
��=
�
��．
