抢分练1
1.(17 分)(2025 江苏宿迁二模)某公司邀请某棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比
赛,规则如下:棋手的初始分为200,每局比赛,棋手胜加100 分;平局不得分;棋手负减100
分.当棋手总分为0 时,挑战失败,比赛终止;当棋手总分为300 时,挑战成功,比赛终止;否则
比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为1
4 , 1
4 , 1
2
,且各局比赛相互独立.
(1)求2 局后比赛终止的概率;
(2)在3 局后比赛终止的条件下,求棋手挑战成功的概率;
(3)在挑战过程中,棋手每胜1 局,获奖5 千元.记n(n≥10)局后比赛终止且棋手获奖1 万元
的概率为P(n),求P(n)的最大值.
2.(17 分)(2025 山东潍坊二模)双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A,A1,点A1到C
的渐近线的距离为
❑√2
2
.
(1)求C 的方程;
(2)按照如下方式依次构造点An(n≥2 且n∈N):过点An-1作斜率为-2 的直线交C 于另一点
Bn-1,设An是点Bn-1关于实轴的对称点,记点An的坐标为(xn,yn).
(ⅰ)证明:数列{xn-yn},{xn+yn}是等比数列,并求数列{xn}和{yn}的通项公式;
(ⅱ)记△AnAAn+1的面积为S,△AnA1An+1的面积为T,求S
T
的最大值.
答案：
1.解 (1)设每局比赛棋手胜为事件Ai,每局比赛棋手平为事件Bi,每局比赛棋手负为事件
Ci(i∈N*),设“两局后比赛终止”为事件M,因为棋手与机器人比赛2 局,所以棋手可能得
0 分或300 分比赛终止.
(ⅰ)当棋手得分为0 分,则2 局均负,即C1C2;
(ⅱ)当棋手得分为300 分,则2 局先平后胜,即B1A2.因为C1C2,B1A2互斥,
所以P(M)=P(C1C2+B1A2)=P(C1C2)+P(B1A2)=P(C1)P(C2)+P(B1)P(A2)=(1
2)2+(
1
4)
2
= 5
16 .
所以2 局后比赛终止的概率为5
16 .
(2)设“3 局后比赛终止”为事件D,“3 局后棋手挑战成功”为事件E.
因为P(D)=P(B1B2A3+B1C2C3+C1A2A3+C1B2C3)=(
1
4)
3
+ 1
4 ×(1
2)2+1
2 ×(
1
4)
2
+ 1
2 × 1
4 × 1
2 = 11
64
,P(E)=P(B1B2A3+C1A2A3)=(
1
4)
3
+ 1
2 ×(
1
4)
2
= 3
64 .
所以在3 局后比赛终止的条件下,棋手挑战成功的概率为P(E|D)=
P( DE )
P( D) = P( E)
P( D) =
3
64
11
64
= 3
11 .
(3)因为n 局获奖励1 万元,说明棋手共胜2 局.
(ⅰ)当棋手第n 局以0 分比赛终止,说明前n-1 局中有3 负2 胜,且是“负胜负胜负”的顺
序,其余均为平局,共有Cn-1
5 种,
(ⅱ)当棋手第n 局以300 分比赛终止,说明前n-1 局中有1 负1 胜,且是先负后胜的顺序,其
余均为平局,共有Cn-1
2 种,
则“n(n≥10)局后比赛终止且棋手获得1 万元奖励”的概率P(n)=Cn-1
5
( 1
2
)4
·(
1
4)
n- 4
+Cn-1
2
( 1
2 )(
1
4)
n-1
= Cn-1
2
+8Cn-1
5
2
2n-1
(n≥10).
所以P(n+1)
P(n)
=
Cn
2+8Cn
5
4Cn-1
2
+32Cn-1
5
.
Cn
2+8Cn
5-4Cn-1
2 -32Cn-1
5 =(Cn
2-4Cn-1
2 )+8(Cn
5-4Cn-1
5 )=
(n-1)(8-3n)
2
+(n-1)(n-2)(n-3)(n- 4)(20-3n)
15
.
因为n≥10,所以Cn
2+8Cn
5-4Cn-1
2 -32Cn-1
5 <0,
所以P(n+1)
P(n)
<1,所以P(n)单调递减,
所以当n=10 时,P(n)取最大值为P(10)=261
2
17 .
2.解 (1)双曲线C 的渐近线方程为x±y=0,A1(a,0),
则点A1到渐近线的距离为|a|
❑√2 =
❑√2
2
,所以a=1,所以C 的方程为x2-y2=1.
(2)(ⅰ)因为An(xn,yn),所以An-1(xn-1,yn-1),Bn-1(xn,-yn),直线An-1Bn-1的方程为y+yn=-2(x-xn),即
y=-2x+2xn-yn,
代入x2-y2=1,消去y,整理得3x2-4(2xn-yn)x+(2 xn- yn)
2+1=0,
根据韦达定理得xn-1+xn=4
3
(2xn-yn).
所以yn=5
4
xn-3
4
xn-1,yn-1=-2xn-1+2xn-yn=3
4
xn-5
4
xn-1,
由题设有x1+y1=x1-y1=1,因为
xn- yn
xn-1- yn-1
=
xn-( 5
4 xn- 3
4 xn-1)
xn-1-( 3
4 xn- 5
4 xn-1)
=
- 1
4 xn+ 3
4 xn-1
- 3
4 xn+ 9
4 xn-1
= 1
3
,
所以{xn-yn}是公比为1
3
的等比数列.
因为
xn+ yn
xn-1+ yn-1
=
xn+ 5
4 xn- 3
4 xn-1
xn-1+ 3
4 xn- 5
4 xn-1
=
9
4 xn- 3
4 xn-1
3
4 xn- 1
4 xn-1
=3,
所以{xn+yn}是公比为3 的等比数列,
所以xn-yn=(1
3
)n-1,xn+yn=3n-1,
所以xn=3
n-1+( 1
3 )
n-1
2
,yn=3
n-1-( 1
3 )
n-1
2
.
(ⅱ)先证明结论:若⃗MN=(a1,b1),⃗MP=(a2,b2)为两个不共线的非零向量,
则S△PMN=1
2 |⃗MN|·|⃗MP|sin∠PMN
=1
2 |⃗MN|·|⃗MP|
❑√1-co s
2∠PMN
=1
2
❑√|⃗MN |
2·|⃗MP|
2-(|⃗MN |·|⃗MP|cos∠PMN )
2
=1
2
❑√|⃗MN |
2·|⃗MP|
2-(⃗MN ·⃗MP)
2
=1
2 ❑√(a1
2+b1
2)(a2
2+b2
2)-(a1a2+b1b2)
2
=1
2
❑√a1
2b2
2-2a1a2b1b2+a2
2b1
2
=1
2
|a1b2-a2b1|.
本题中,因为⃗AAn=(xn+1,yn),⃗AAn+1=(xn+1+1,yn+1),
所以S=1
2
|(xn+1)yn+1-(xn+1+1)yn|=1
2
|xnyn+1-xn+1yn+yn+1-yn|.
因为⃗A1 An=(xn-1,yn),⃗A1 An+1=(xn+1-1,yn+1),
T=1
2
|(xn-1)yn+1-(xn+1-1)yn|=1
2
|xnyn+1-xn+1yn+yn-yn+1|,
又因为xnyn+1-xn+1yn=3
2n-1+3- 1
3 -( 1
3 )
2n-1
4
-3
2n-1+ 1
3 -3-( 1
3 )
2n-1
4
= 4
3
,
yn+1-yn=3n-1+(1
3
)n,
所以S=1
2 [ 4
3
+3n-1+(1
3
)n],T=1
2
[3n-1+(1
3
)n-4
3
],
所以S
T =
3
n-1+( 1
3 )
n+ 4
3
3
n-1+( 1
3 )
n- 4
3
=1+
8
3
3
n-1+( 1
3 )
n- 4
3
,
设dn=3n-1+(1
3
)n-4
3
,则dn+1=3n+(1
3
)n+1-4
3
,所以dn+1-dn>0,所以dn+1>dn,所以dn≥3+1
9 −4
3 = 16
9
,
所以S
T ≤1+
8
3
16
9
=1+8
3 × 9
16
=1+3
2 = 5
2
,当且仅当n=2 时,等号成立,所以S
T
的最大值为
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群
552511468 也可联系微信fjshuxue 加入百度网盘群4T 一线老师必备资料一键转存自动
更新永不过期
