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思维8 生物学中的数学思维
一、数学与生物学的关系
生物学和其他学科一样，既需要多层次的研究，解决不同层次的问题，又需要在
不同层级的研究中，合理应用数学、物理、化学的方法解决问题，其中数学方法的
应用非常重要，构建数学模型可以将生物学问题转化为数学问题，就可以利用函
数、概率论、统计学等工具更高效、透彻地理解生物学问题。
二、解题思想
1.概率论在遗传学中的应用
(1)独立事件概率为1
①数学原理：独立事件S 概率P(S)等于1。即P(S)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋…＋
P(An)＝1。
②生物学应用
模型
案例
当群体发生淘汰
时，剩余集合的概
率总和为1
令Aa 自交，其后代的基因型和概率分别为AA＝1/4、Aa＝
1/2、aa＝1/4，若淘汰aa，则AA 和Aa 的概率分别为1/3 和
2/3
当某一群体概率为
P(A)时，剩余群体
概率为1－P(A)
令AaBb 自交，其后代纯合子的比例为1/4，则后代杂合子的
比例为1－1/4＝3/4
限定研究范围时，
在特定范围内分析
概率
已知某疾病的致病基因型为XbXb或XbY，一对夫妻的基因
型分别为XBXb和XBY，后代可能出现XBXB、XBXb、XBY、
XbY 四种基因型且比例相等，均为1/4，其中基因型为XbY
的个体是患者，所以其后代出现患病男孩的概率是所有后代
中基因型为XbY 的占比，为1/4；男孩中患病的概率为后代
男孩(XBY、XbY)中XbY 的占比，为1/2
(2)互斥事件加法原理，独立事件乘法原理
①数学原理
互斥事件A 或B 发生的概率等于两者概率之和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。
独立事件A 和B 同时或先后发生的概率等于两者概率之积，即P(A∩B)＝
P(A)·P(B)。
②生物学应用
模型
案例
同一个体不同
基因型属于互
斥事件
Aa 自交后代中出现AA、Aa、aa 三种基因型的个体的比例为
1/4、1/2、1/4，出现AA 和出现Aa 是互斥事件，则后代中出现AA
或Aa 的概率＝1/4＋1/2＝3/4
雌雄配子随机
结合属于独立
事件
Aa 自交时，雄配子中A 的概率为1/2，雌配子中A 的概率为1/2，
雄配子A 和雌配子A 的相遇属于独立事件、同时发生，应彼此相
乘，因此后代中基因型为AA 的概率为1/2×1/2＝1/4
多对等位基因
自由组合属于
独立事件
AaBb 自交后代中，只考虑A/a，Aa 占后代的1/2，只考虑B/b，Bb
占后代的1/2(A/a、B/b 独立遗传)，则后代出现Aa 和出现Bb 是
独立事件，则后代为AaBb 的概率为1/2×1/2＝1/4
嵌套条件的概
率为独立事件
已知一个群体中AA 和Aa 的比例为1∶2，求群体自交后代中
Aa 的概率，由于亲代Aa 的概率为2/3，其后代为Aa 的概率为
1/2，这两个事件为独立事件，互不干扰，需要概率相乘，因此后
代基因型为Aa 的概率＝2/3×1/2＝1/3
[思维示例①] (2024·山
坊
东潍
测试)我国科学家团队在农作物育种方面做出了突
出贡献。某二倍体农作物是雌雄同花植物，可自花传粉，也可异花传粉，花的位置
和花的颜色遗传符合自由组合定律。研究者利用纯系品种顶生紫花与腋生蓝花植
株进行了杂交实验，F1植株全部表现为腋生紫花，让F1植株自交，产生的F2植株
中腋生紫花∶腋生蓝花∶顶生紫花∶顶生蓝花＝39∶9∶13∶3。下列叙述错误的
是( )
A.由实验结果可推测该农作物花的颜色受3 对等位基因控制
B.在F2顶生紫花植株中基因型有7 种，其中杂合子有4 种
C.F1植株自交所得F2中，每对基因均杂合的个体所占比例为1/8
D.F2中的紫花植株随机传粉，则后代中蓝花植株所占比例为16/169
F1自交
生的
产
F2中紫花∶
花＝
蓝
13∶3，13∶3 可看作是9∶3∶3∶1 的
式，花
变
则
的
色至少由
颜
2
等位基因控制，且根据
干
对
题
“花的位置和花的
色
符合自
颜
遗传
由
合定律
组
”可知，3
等位基因是独立事件，使用乘法原理
行
算。
对
进
计
答案 A
解析 只研究花的
色，本紫花和
花
交，
颜
亲
蓝
杂
F1全部是紫花，F1自交，F2中紫花
∶
花＝
蓝
13∶3，13∶3 可看作是9∶3∶3∶1 的
式，
花的
色至少由
变
则
颜
2
等位
对
基因控制，A
；只研究花的位置，本
生和腋生
交，
错误
亲
顶
杂
F1全部是腋生，F1自
交，F2中腋生∶
生＝
顶
3∶1，腋生是
性性状，生是
性性状。假
性状由
则
显
顶
隐
设该
D/d 基因控制，花的
色由
颜
A/a、B/b 基因控制，则F2 中
生紫花的基因型有
顶
ddA_B_、ddA_bb(或ddaaB_)、ddaabb，共有7 种，其中
合子有
杂
4 种，B 正确；F1植
株的基因型为AaBbDd，F1植株自交所得F2中，每
基因均
合的个体所占比例
对
杂
为1/2×1/2×1/2＝1/8，C 正确；F2中的紫花植株随机
粉，只研究花的
色，
传
颜
则亲
本有1/13AABB、2/13AABb、2/13AaBB、4/13AaBb、1/13AAbb(或1/13aaBB)、
2/13Aabb(或2/13aaBb)、1/13aabb，随机
粉其
生的配子的基因型及比例有
传
产
4/13AB、4/13Ab、2/13aB、3/13ab(或4/13AB、4/13aB、2/13Ab、3/13ab)，花所占比
蓝
例是(2/13)×(2/13)＋(3/13)×(2/13)×2＝16/169，D 正确。
2.统计学在调查问题中的应用
[思维示例②] (2022·山
卷，
东
12)根据所捕获动物占该种群总数的比例可估算种群
数量。若在某封闭鱼塘中捕获了1 000 条鱼售卖，第2 天用相同方法捕获了950
条鱼。假设鱼始终保持均匀分布，则该鱼塘中鱼的初始数量约为( )
A.2×104条
B.4×104条
C.6×104条
D.8×104条
答案 A
解析 由题“根据所捕
物占
种群
数的比例可估算种群数量
获动
该
总
”，假
种
设该
群
数
总
为x，有
则
1 000/x＝950/(x－1 000)，算得出
计
x＝2×104，即
塘中
的
该鱼
鱼
初始数量为2×104条，A 正确。
3.数列在配子种类计算中的应用
(1)在连续自交和自由交配中的应用
类型
有关比例
Aa 连续自交后代的基因型比例
AA∶Aa∶aa＝(2n－1)∶2∶(2n－1)
Aa 连续自交并淘汰aa 后的基因型比例
AA∶Aa＝(2n－1)∶2
Aa 连续自由交配后代的基因型比例
AA∶Aa∶aa＝1∶2∶1
Aa 连续自由交配并淘汰aa 后的基因型
比例
AA∶Aa＝n∶2
注：n 代表代数。
(2)多体或多倍体配子比例计算
①计算Aaaa 个体的配子种类及比例
Aa∶aa＝∶＝1∶1
②计算AAAAaa 个体的配子种类及比例
AAA∶AAa∶Aaa＝∶∶＝1∶3∶1
③计算AAAaaa 个体的配子种类及比例
AAA∶AAa∶Aaa∶aaa＝∶∶∶＝1∶9∶9∶1
[思维示例③] (2024·江西九校
考
联
)果蝇(2n＝8)缺失一条点状染色体的个体称为
单体，可以存活，而且能够繁殖后代；若两条点状染色体均缺失则不能存活；增加
一条点状染色体的个体称为三体，仍可以存活，而且能够繁殖后代。若让单体雄
果蝇(基因型为a)和三体雌果蝇(基因型为Aaa)相互交配，下列对子代基因型和表
型及其比例的分析，正确的是( )
A.子代中三体所占的比例为1/4
B.子代正常果蝇中基因型为Aa 的个体所占的比例为2/3
C.子代中单体果蝇的基因型有两种且所占比例相同
D.子代中致死个体所占的比例为1/12
根据
意可知，
体和三体均可育，因此根据基因的分离定律，
体雄果
题
单
单
蝇(a)能
生的精子
型
两种：
够产
类
为
a∶O＝1∶1，O 表示没有点状染色体；三体雌果蝇
(Aaa)
生的卵
胞的种
及比例
产
细
类
为A∶aa∶Aa∶a＝∶∶∶＝1∶1∶2∶2。
答案 A
解析
体雄果
生了两种配子：含
单
蝇产
a 基因和不含a 基因，且各占，三体雌果蝇
生了四种配子
产
，各基因型及其比例为A∶aa∶a∶Aa＝1∶1∶2∶2，故子代中三
体所占的比例为×(＋)＝，A 正确；子代果
中只有基因型
蝇
为Aa、aa 的个体表现
正常，其中基因型
为
为Aa 的个体所占的比例为×＋×＝，基因型为aa 的个体占
×＋×＝，所以子代正常果
中基因型
蝇
为Aa 的个体占，B
；子代中
体果
错误
单
蝇
的基因型有两种，AO 占×＝，aO 占×＝(O 表示没有点状染色体)，两种
体果
单
蝇
的基因型所占比例不同，C
；子代中无致死个体，
错误
D
。
错误
4.导数在速率问题中的应用
函数在某一点的导数是指这个函数在这一点处的变化率。当函数定义域和取值都
在实数域的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。生物学中常常借用基
本的导数来分析某一研究对象的“变化量”和“变化率”的关系，以增加理解深
度。
类型
种群的数量增长
原函数
“J”形增长
“S”形增长
理想条件下种群数量的增长
曲线，是一个指数函数
有环境阻力的情况下种群数量的增
长曲线
导函数
“J”形增长
“S”形增长
“J”形增长的增长速率和“J”
形增长一样，也是个指数函数
“S”形增长的增长速率在K/2 时最
大，通过控制捕捞剩余量在K/2，可
以持续获得高产量
类型
光合、呼吸的强度
原函数
24 小时内，密闭玻璃罩内植物通过吸收或释放CO2使玻璃罩内的
CO2浓度发生变化
导函数
24 小时内，植物吸收或释放CO2的速率，是左侧函数取倒数后的导
函数
[思维示例④] (2024·湖南
沙期末
长
)将A、B 两种物质混合，T1时加入酶C。如图为
最适温度下A、B 浓度的变化曲线。下列叙述错误的是( )
A.酶C 降低了A 生成B 这一反应的活化能
B.该体系中酶促反应速率先快后慢
C.T2后B 增加缓慢是酶活性降低导致的
D.适当降低反应温度，T2值增大
分析曲
：将
线图
A、B 两种物
混合，
质
T1
加入
时
酶C，加入酶C 后，A
度逐
降低
浓
渐
，
B
度逐
升高，
明
浓
渐
说
酶C 催化物质A 生成了物质B。
答案 C
解析 T1
加入
时
酶C 后，A
度逐
降低，
浓
渐
B
度逐
升高，明
浓
渐
说
酶C 催化物质A
生成了物质B，由于
能降低化学反
的活化能，因此
酶
应
酶C 降低了A 生成B
一
这
反
的活化能，
应
A 正确；由
可知，体系中
促反
速率先快后慢，减慢的原因
图
该
酶
应
是底物A
度降低，
浓
B 正确，C
；示是在最适温度条件下
行的，若适当降
错误图
进
低反
温度，
活性降低，
促反
速率减慢，
应
则酶
酶
应
T2
增大，
值
D 正确。
