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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题04 统计与概率小题综合 （新高考通用）
一、单选题
1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）北京2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪
容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：
在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，
4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4
就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出事件，求出两次都抽到卡片中奖的概率和第一次抽到卡片中奖的概率，
利用条件概率公式计算出答案.
【详解】若事件 为“第一次抽到卡片中奖”，事件 为“第二次抽到卡片中奖”，
则 ， ，故 ．
故选：B．
2．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）某种心脏手术成功率为0.7，现采用随机模拟
方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0~9之间取整
数值的随机数，由于成功率是0.7，故我们用0､1､2表示手术不成功，3､4､5､6､7､8､9
表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下
10组随机数：856､832､519､621､271､989､730､537､925､907由此估计“3例心脏手术全
部成功”的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】B
【分析】从随机数中观察得出三个数都是大于2的组数，从而可得概率．
【详解】10组随机数中，代表“3例心脏手术全部成功”的有 共3个，
所以估计“3例心脏手术全部成功”的概率为 .故选：B.
3．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年11月30日，我国神舟十五号载人飞
船圆满发射，并成功对接空间站组合体，据中国载人航天工程办公室消息，神舟十六
号等更多的载人飞船正在测试准备中，第**号载人飞船将从四名男航天员A，B，C，
D与两名女航天员E，F中选择3人执行飞天任务（假设每位航天员被选中的可能性相
同），则其中有且仅有一名女航天员的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据古典概型及组合数求解即可.
【详解】根据题意，随机选取3人共有 种选法，其中有且仅有一名女航天员的选法
有 种，
根据古典概型可得 ，
故选：C
4．（2023秋·浙江·高三期末）袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个
是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记 第一次摸到红球”， “第二次
摸到红球”，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用古典概型概率公式求出 ，即可判断A、C；利用公式
求出 ，即可判断B、D.
【详解】 ，则 ，故C正确；
，则 ，故A错误；
，则 ，故B错误；
，故D错误，
故选：C.
5．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若正整数 的所有真因数（即不是自身的因
数）之和等于 ，正整数 的所有真因数之和等于 ，则称 和 是一对“亲和数”.约
两千五百年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现第一对亲和数：284和 的所有真
因数为 的所有真因数为 .若分别从284和
220的所有真因数中各随机抽取一个数，则取出的两个数的和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别计算出从284和220的所有真因数中随机抽取一个数为奇数和偶数的概
率，再利用概率的加法公式即可求得结果.
【详解】由题意可知，从220的11个真因数中取出一个奇数的概率为 ，取出一个偶
数的概率为 ；
从280的5个真因数中取出一个奇数的概率为 ，取出一个偶数的概率为 ；
若取出的两个数的和为奇数，则取出的两个数为一奇一偶，
所以取出的两个数的和为奇数的概率 .
故选：C
6．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）在一段时间内，甲去某地的概率是 ，乙去
某地的概率是 ，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人
去此地的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率乘法公式，（法一）至少有1人去此地包
含甲去乙不去、甲不去乙去、甲去乙去三种情况，由此即可求出结果；（法二）它的对立事件是两个人都不去此地，做出两个人都不去此地的概率，再根据对立事件的概
率得到结果．
【详解】（法一）设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，
则至少有一人去此地的概率为
；
（法二）所求事件的概率 ；
故选：C．
7．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，
1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测
试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算抽取方式的种数，得到其中一种抽取方式的概率，计算5人都抽取这一
结果的概率，再把所有类型的结果相加即可.
【详解】从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，有
种结果，
其中抽得“引体向上，仰卧起坐”这两项的概率为 ，5位男生都抽到这两项概率为
，
同理， 5位男生都抽到“引体向上，立定跳远”
这两项和5位男生都抽到“仰卧起坐，立定跳远” 这两项的概率都是 ，
所以5位男生测试项目恰好相同的概率为 .
故选：B.
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）随机掷两枚质地均匀的骰子，
它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为 ”，“向上的点数之和为奇数”的概率记为 ，“向上的点数之积为偶数”的概率记为 ”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用列举法结合古典概型的公式求出 ， ， 即可求解．
【详解】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下：
共有36种等可能的结果，
其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况，
“向上的点数之和为奇数”的有18种情况，
“向上的点数之积为偶数”的有27种情况，
所以“向上的点数之和不超过5”的概率 ，
“向上的点数之和为奇数”的概率 ，
“向上的点数之积为偶数”的概率 ，
因为 ，
所以 ，
故选：A．
9．（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
【答案】C
【分析】根据对立事件和独立事件的定义和性质逐项分析.
【详解】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生，
，正确；
对于B，根据独立事件的性质知 ，正确；
对于C，由 ，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4
个小球，
选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表
示选中b，c两球，则 ，
，但A，B不是对立事件，错误；、
对于D，由独立事件的性质知：正确；
故选：C.
10．（2023·广东深圳·统考一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一
家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，
根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，
即可计算得出答案.
【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；
当分为3,1,1人时，有 种实习方案，
当分为2,2,1人时，有 种实习方案，
即共有 种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有 种，
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 ，
故选：D.
11．（2023·广东佛山·统考一模）已知事件 ， ， 的概率均不为 ，则
的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据和事件的概率公式判断A、B，根据积事件的概率公式判断C、D.
【详解】解：对于A：因为 ，由
，
只能得到 ，并不能得到 ，故A错误；
对于B：因为 ，
，
由 ，只能得到 ，
由于不能确定 ， ， 是否相互独立，故无法确定 ，故B错误；
对于C：因为 ， ，
又 ，所以 ，故C正确；
对于D：由于不能确定 ， ， 是否相互独立，
若 ， ， 相互独立，则 ， ，
则由 可得 ，故由 无法确定 ，故D错误；
故选：C
12．（2022秋·浙江绍兴·高三统考期末）某校进行“七选三”选课，甲､乙两名学生都
要从物理､化学､生物､政治､历史､地理和技术这7门课程中选择3门课程进行高考，假
设他们对这7门课程都没有偏好，则他们所选课程中有2门课程相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出总的选法 ，再求出2门学科相同时的选法种数，由古典
概型求解.
【详解】甲乙分别选3门学科共有 种不同的选法，
其中所选有2门学科相同的选法为先选出2门学科作为相同学科，从剩余5门学科选1
门给甲，再从剩余4门学科中选1门给乙，共有 种，
所以 ，
故选：A
13．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三
人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】六名同学排成一排照相，共有 中不同的排列方法，满足条件的共有
种排法，得到概率.
【详解】六名同学排成一排照相，共有 中不同的排列方法.
甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻共有：
先确定除甲乙丙三人外的位置，共有 种方式，再确定甲在丁的两边有 种方式，
最后将乙丙放入3个空中，（甲旁边不能放入），有 种方式，故共有 种不同的排法，故概率 ，
故选：D
14．（2023·福建漳州·统考二模）2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大
会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的
5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师
节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先插入第一个节目，再插入第二个节目，再按照分步乘法计数原理分别计算
插入的情况数量及这两个教师节目恰好相邻的情况数量,再应用古典概率公式求概率即
可.
【详解】由题意可知，先将第一个教师节目插入到原节目单中，有6种插入法，
再将第二个教师节目插入到这6个节目中，有7种插入法，
故将这两个教师节目插入到原节目单中，共有 （种）情况，
其中这两个教师节目恰好相邻的情况有 （种），所以所求概率为 .
故选:D.
15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）在一次春节聚会上，小王
和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的贺卡，这四张贺卡收齐
后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（ ）
A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
【答案】B
【分析】根据基本计数原理分别计算出所有的可能组合数为24种，而“小王和小张恰
好互换了贺卡”的可能为2种，即可得出其概率为 ，即A错误；根据条件概率计算公式可得小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为 ，
即B正确；计算可得“恰有一个人抽到自己写的贺卡”的基本事件数为8种，即可得
出其概率为 ，即C错误；易知“每个人抽到的贺卡都不是自己写的”的基本事件数
为9种，所以其概率为 ，可得D错误.
【详解】对于 ，四个人每人从中随机抽取一张共有 种抽法，
其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有 种，
故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为 ，即A错误；
对于B，设小王抽到的是小张写的贺卡为事件 ，则 ，
小张抽到小王写的贺卡为事件 ，则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，
小张抽到小王写的贺卡的概率为 ，B正确；
对于 ，恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有 种，故恰有一个人抽到自己写
的贺卡的概率为 不正确；
对于D，每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有 种，
故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为 错误.
故选：B
16．（2023·安徽·校联考模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至
2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊
五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少
安排1人，学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先按分组分配原则求出学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的方法数，
5 名学生分配到三个项目中做志愿者的方法数，然后由概率公式计算．
【详解】学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者，那么冰壶和短道速滑两个比赛
项目的志愿者人数分别为1，3或2，2，方法数为 ，
五个人分配到三个项目上去，可先分组再分配，5人按 或 分成三组，然后安
排到三个项目，方法数为 ，
因此学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为
．
故选：C．
二、多选题
17．（2023·广东·高三统考阶段练习）将 ， ， ， 这4张卡片分给甲、乙、丙、
丁4人，每人分得一张卡片，则（ ）
A．“甲得到 卡片”与“乙得到 卡片”为对立事件
B．“甲得到 卡片”与“乙得到 卡片”为互斥但不对立事件
C．甲得到 卡片的概率为
D．甲、乙2人中有人得到 卡片的概率为
【答案】BCD
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断选项A，B，根据古典概型概率公式判断
C，D.
【详解】事件“甲得到 卡片”与“乙得到 卡片”不可能同时发生，
所以事件“甲得到 卡片”与“乙得到 卡片”为互斥事件，随机试验的结果可能是“丙得到 卡片”
所以事件“甲得到 卡片”与“乙得到 卡片”有可能都不发生，
所以事件“甲得到 卡片”与“乙得到 卡片”不是对立事件，
所以A错误，B正确；
随机试验将 ， ， ， 这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片
的样本空间含 个基本事件，事件甲得到 卡片包含基本事件 个，
所以事件甲得到 卡片的概率为 ，C正确；
事件甲、乙2人中有人得到 卡片包含的基本事件数为 ，
所以事件甲、乙2人中有人得到 卡片的概率为 .D正确.
故选：BCD.
18．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每
次的点数，设事件 “第一次出现2点”， “第二次的点数小于5点”，
“两次点数之和为奇数”， “两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ）
A． 与 不互斥且相互独立 B． 与 互斥且不相互独立
C． 与 互斥且不相互独立 D． 与 不互斥且相互独立
【答案】ABD
【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.
【详解】对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影
响，即 与 相互独立；
第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生， 与 不互斥；故A正确；
对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即
与 不相互独立；
第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即 与 不能同时发生，即 与 互斥，
故B正确；
对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即
与 不相互独立；
若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即 与 可以同时发
生，即 与 不互斥，故C错误；
对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的
奇偶，即 与 相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即 与 可以
同时发生，即 与 不互斥，故D正确.
故选：ABD.
19．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知甲袋内有a个红球，b个黑球，乙袋内
有b个红球，a个黑球 ，从甲、乙两袋内各随机取出1个球，记事件
“取出的2个球中恰有1个红球”， “取出的2个球都是红球”， “取出的2
个球都是黑球”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据古典概型的概率计算公式，结合独立事件概率的乘法公式，分别计算三
个事件的概率，可得答案.
【详解】解：若取出的2个球为1个红球1个黑球，其概率
，
若2个球都是红球，其概率 ，
若2个球都是黑球，其概率 ，且
，
故B正确，C错误；
而
，故A错误；
，D正确，
故选：BD．
20．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）从装有 个红球和 个蓝球的袋中（ 均不小于2），每次不放回地随机摸出一球. 记“第一次摸球时摸到红
球”为 ，“第一次摸球时摸到蓝球”为 ，“第二次摸球时摸到红球”为 ，“第
二次摸球时摸到蓝球”为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对AC，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解判断；对BD，利用条件概
率公式求解判断.
【详解】由题意可知， ， ，
，
，
从而 ，故AC正确；
又因为 ，
，
故 ，故D正确；
，
故 ，故B错误.故选：ACD.
21．（2023·江苏泰州·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分
别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件
A，“第二次取到黄球”为事件 ，则（ ）
A． B． 为互斥事件
C． D． 相互独立
【答案】AC
【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.
【详解】 正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”， 不互斥， 错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为 正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
22．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2
的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差
异．从中任意摸1个球，设事件 “摸出的球是红球”，事件 “摸出的球标号为
偶数”，事件 “摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）
A．事件A与事件C互斥
B．事件B与事件C互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．事件B与事件C相互独立
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件的概念可判断AB的正误，根据独立事件的判断方法可得CD的
正误.
【详解】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，
故事件A与事件C互斥，故A正确；
若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误；
对C， ，所以C正确；对D， ，所以D正确；
故选：ACD．
23．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）“新高考”后，普通高考考试科目构成实
“3＋2＋1”模式．“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物这4门科目中选择2
门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选两门科目学习，设A
表示事件“甲乙两人所选科目恰有一门相同”，B表示事件“甲乙两人所选科目完全
不同”，C表示事件“甲乙两人所选科目完全相同”，D表示事件“甲乙两人均选择
生物”，则（ ）
A．A与B为对立事件 B．B与D为互斥事件
C．C与D相互独立 D．A与D相互独立
【答案】BD
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断 ，再利用概率的计算公式求出
即可判断 .
【详解】甲、乙两名同学所选科目共有“所选科目完全不同”，“所选科目恰有一门
相同”．“所选科目完全相同”这三种情况，即A与B为互斥事件但不对立，选项
错误；
B与D为互斥事件，选项B正确；
易知 ， ， ，
， ，
，选项 错误；选项 正确．
故选： ．
24．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）新型冠状病毒肺
炎（Corona Virus Disease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名
为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法
可以诊断是否患有新冠，假设 ，其中随机事件 表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件 表示“被检验者患有新冠”，现某人群中 ，
则在该人群中（ ）
A．每100人必有1人患有新冠
B．若 ，则事件 与事件 相互独立
C．若 ,则某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999
D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001
【答案】BD
【分析】根据相互独立事件，对立事件和条件概率的计算公式逐项进行判断即可求解.
【详解】因为 表示每100人大约由1人患有新冠，故选项 错误；
因为 ，所以 ，又因为 ，由条件概率的
计算公式可得： ，若 ，则
，因为 ，所以事件 与事件
相互独立，则事件 与事件 相互独立，故选项 正确；
由题意可知：若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率 ，故选项 错
误；
某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为 ，因为 ，
所以 ，故选项 正确，
故选： .
25．（2023·山东威海·统考一模）已知事件A，B满足 ， ，则
（ ）
A．若 ，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若 ，则A与B相互独立
【答案】BD【分析】对于A，由题意可得 ，从而即可判断；
对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可；
对于C，先求得 ，再根据独立事件的计算公式计算即可；
对于D，判断 是否成立即可.
【详解】解：对于A，因为 ， ， ，
所以 ，故错误；
对于B，因为A与B互斥，所以 ，故正确；
对于C，因为 ，所以 ，所以 ，故错
误；
对于D，因为 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以A与B相互独立，故正确.
故选：BD
26．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004
年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成
为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统
文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁
队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各
队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一
场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 ，
则在比赛结束时（ ）A．四支球队的积分总和可能为15分
B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D．丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
【答案】ACD
【分析】举例比赛的各种得分情况判断AC，由互斥事件与独立事件的概率公式计算概
率判断BD．
【详解】四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9
分，乙、丙、丁各得2分，AC均正确；
每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 ，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
，B错；
丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与丙比赛，丙输， ，例如是丙甲，
若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲
只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意，
若丙全赢（概率是 ）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两
场比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有平或输，
一平一输，概率 ，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率 ，
两场均平，概率是 ，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，
两场甲都输，概率是 ，乙丁这场比赛只能平，概率是
综上概率为 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】难点点睛：本题考查独立的概率与互斥事件的概率公式，难点在于分析丙在
输第一场的情况下如何才能使得分超过其他三人，方法是结合列举法对六场比赛结果
分步分析，确定每人的得分使之合乎题意．27．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若事件 互斥， ，则
B．若事件 相互独立， ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根
据条件概率以及全概率公式可判断 .
【详解】对于A： ，正确；
对于B： ，正确；
对于C： ，
，
所以 ，解得 正确；
对于D：由C得 ，D错误，
故选：ABC.
三、填空题
28．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）从不包含大小王的52张扑克牌中随机
抽取一张，设事件 “抽到红心”，事件 “抽到方片”，且 ，记事件 “抽到黑花色”，则 ______.
【答案】 ##
【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可.
【详解】记事件 “抽到红花色”
因为 ，且 不会同时发生，所以 是互斥事件，
则 ，
又因为 互斥，且 是必然事件，所以 互为对立事件，
所以 ，
故答案为：
29．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）高三某位同学准备参加物理、化学、政治科
目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达 的概率分别为 、 、
，假定这三门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 个 的概率是
_______．
【答案】
【分析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达 的事件分别为 ，则
， ， ，这位考生至少得2个 的概率：
．
【详解】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达 的事件分别为 ，
以为这位同学在物理、化学、政治科目考试中达 的概率分别为 、 、 ，
所以 ， ， ，
这三门科目考试成绩的结果互不影响，
则这位考生至少得2个 的概率：
．故答案为： ．
30．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B， ， ，
，则 ________.
【答案】
【分析】首先求出 ，则 ，则 ，最后利用对立事件的
求法即可得到答案.
【详解】依题意得 ，所以
故 ，所以 .
故答案为： .
