文档文本内容
专题7：空间中的距离及体积问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：距离定义......................................................................2
考点二：点线距.........................................................................2
考点三：点面距.........................................................................2
考点四：线线距.........................................................................2
考点五：线面距.........................................................................3
考点六：面面距.........................................................................3
考点七：公式法求体积................................................................ 3
考点八：等体积法求三棱锥体积.................................................... 3
考点九：多面体割补法求体积....................................................... 3
考点十：两部分体积比例法.......................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：两点之间的距离............................................................. 4
题型二：点到直线的距离............................................................. 4
题型三：直线到直线的距离.......................................................... 5
题型四：点到平面的距离............................................................. 7
题型五：直线到平面的距离........................................................ 10
题型六：平面到平面的距离........................................................ 11
题型七：直接法求体积.............................................................. 12
题型八：等体积法求体积........................................................... 13
题型九：割补法求体积.............................................................. 14
题型十：体积比例法求体积........................................................ 15
题型十一：体积的最值问题........................................................ 16
模块三：综合巩固....................................................................... 17
专题7：空间中的距离及体积问题
模块一：基础知识
考点一：距离定义
1.点到平面的距离：平面外一点P 在该平面上的射影为P"，则线段PP"的长度就是点到平面的距离.
2.两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的
距离．求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，
注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线；
②公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段；
③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离
④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离
3.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行，这条直线上的任意一点到这个平面的距离叫做这条直线
到这个平面的距离.
4.平面与平面的距离
两个平行平面的公垂线、公垂线线段的定义：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公
垂线，其中夹在这两个平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.
两个平行平面的距离：两个平行平面的共垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离
空间距离包括空间内任意两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两个
平行平面的距离，其中两点间距离和点到直线的距离可以用两点间距离公式处理；点到平面的距离、直线
到平面的距离以及两个平行平面的距离都可以转化为点到平面的距离.
考点二：点线距
1、点在直线上的射影
自点A 向直线l 引垂线，垂足
1A 叫做点A 在直线l 上的射影．
点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．
2、点线距的求法：
点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法求解距离。
考点三：点面距
1、点到平面的距离：
已知点P 是平面外的任意一点，过点P 作PA
，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面
的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离
奎屯
王新敞
新疆（转化为点到点的距离）
结论：连结平面外一点P 与内一点所得的线段中，垂线段PA 最短
奎屯
王新敞
新疆
2、点面距的求解问题，主要有三个方法：
（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
考点四：线线距
1、公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线
间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.
2、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.
考点五：线面距
直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离
(转化为点面距离).如果一条直线l 平行与平面,则直线l 上的各点到平面的垂线段相等,即各点到的
距离相等；垂线段小于或等于l 上任意一点与平面内任一点间的距离；
考点六：面面距
1、两个平行平面的公垂线、公垂线段：
（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线.
（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段.
（3）两个平行平面的公垂线段都相等.
（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长.
2.两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.
考点七：公式法求体积
直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接
找到
考点八：等体积法求三棱锥体积
1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。
2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。
【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。
考点九：多面体割补法求体积
1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，
再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；
【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥
多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”
2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；
常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；
（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；
（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；
（4）将台体补成锥体等等。
【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。
考点十：两部分体积比例法
利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。
【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。
模块二：题型分类
题型一：两点之间的距离
1.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5 的圆台，其两底面之间的距离为（
）
A．4
B．3 2 C．2 3 D．2 6
2.如图，线段AB，BD 在平面�内，��⊥��，��⊥�，且��= 4，��= 3，��= 12，则C，D 两点间的
距离为（
）
A．19
B．17
C．15
D．13
3.在矩形ABCD 中，��= 15，��= 20，现将△CBD 沿对角线BD 翻折，使得平面ABD 与平面CBD 垂直，此
时A、C 两点之间的距离为_____________
4.如图，直三棱柱���−�1�1�1中，∠���=
π
2 ，��= ��1 = 1，��= 2，点�是��的中点，点�是线段
�1�上一动点，点�在平面���1上移动，则�，�两点之间距离的最小值为（
）
A．
3
3
B
．
1
2
C．
2
3
D．1
5.�为矩形����所在平面外一点，且��⊥平面ABCD，P 到B、C、D 三点的距离分别为5、17、13，则�
点到�点的距离为______.
题型二：点到直线的距离
1.如图，正三角形ABC 的边长为2，P 是三角形ABC 所在平面外一点，PA 平面ABC，且
1
PA ，则P 到
BC 的距离为___________.
2.在棱长为2 的正方体����−�'�'�'�'中，点�为棱��'的中点，则点�'到直线��的距离为（
）
A．3
B．2 2
C．
6 5
5
D．
2 5
5
3.在长方体����−�1�1�1�1中，如果��= ��= 1，��1 = 2，那么A 到直线�1�的距离为（
）
A．
3 6
3
B．
3 6
2
C．
2 6
3
D．
2 3
3
4.【等面积法】古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平
面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的
体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即�= ��（V 表示平面图形绕旋转轴旋
转的体积，S 表示平面图形的面积，�表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知Rt△ACB 中，��⊥��, ��=
2, ��= 4，则△ACB 的重心G 到AC 的距离为（
）
A．
4
3B．
2
3C．1
D．2
5. P 为边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一点且PA
PB
PC
a
，则P 到AB 的距离为_____.
6.在菱形ABCD中，
6
AB
，
30
B
，P 为菱形ABCD所在平面外一点，PA
，
4
PA
，P 到直线
BC 距离为_________．
7.如图，S 为矩形ABCD 所在平面外一点，且SC
，S 到D，A，B 的距离分别是
5 ，17 ，13 ，则
SC ______；S 到BD 的距离是______.
题型三：直线到直线的距离
1.已知矩形ABCD 中，
2,
1
AB
BC
，折叠使点A，C 重合，折痕为MN ，打开平面ADMN ，使二面角
A
MN
C
的大小为3
，则直线MN 与直线AC 的距离为（
）
A．
3
2
B．
15
4
C．1
D．3 2
2
2.已知矩形����中，��= 2, ��= 1，折叠使点A，C 重合，折痕为��，打开平面����，使二面角�−��−
�的大小为
�
3，则直线��与直线��的距离为（
）
A．
3
2
B．
15
4
C．1
D．
3 2
2
3.已知菱形����中，∠���=
π
3 ，沿对角线��折起，使二面角�−��−�的平面角为�，若异面直线��
与��的距离是菱形边长的
3
4，则�=（
）
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2
4.如图，在空间四边形ABCD 中，
2
AB
BD
AD
，
7
2
BC
CD
，
3
2
AC
，延长BC 到E ，使BC
CE
，
取BD 中点F ，求异面直线AF 与DE 的距离和它们所成的角．
5.（多选）在长方体����−�1�1�1�1中，��= ��1 = 2��= 2 ，则（
）
A．��1与��1是异面直线
B．��1与��1是异面直线
C．异面直线�1�1与��的距离为1
D．异面直线��1与��的距离为
2 5
5
6.如图，已知四棱锥P
ABCD
中，ABCD 为矩形，PB 平面
,
3,
5
ABCD BC
PC
，
4 2
PA
，异面直
线BC 与PD 之间的距离为___________.
7.空间四边形ABCD中，
2
AB
BD
AD
，
3
BC
CD
，延长BC 到E ，使得BC
CE
，F 为BD 中点，
则异面直线AF 和DE 的距离为______．
8.（多选）如图，在棱长为4 的正方体����−�1�1�1�1中，E，F，G 分别为棱��，��，��的中点，点
P 为线段�1�上的动点，则（
）
A．两条异面直线�1�和��1所成的角为45°
B．存在点P，使得�1�//平面���
C．对任意点P，平面���1 ⊥平面���
D．点�1到直线�1�的距离为4
题型四：点到平面的距离
1.如图，P 为矩形ABCD所在平面外一点，PA 平面ABCD，若已知
3,
4,
1
AB
AD
PA
，求点P 到BD
的距离.
2. ABC
的三边长分别为3、4、5，P 为平面ABC 外一点，它到三边的距离都等于2，则P 到平面ABC 的
距离是________．
3.如图，圆柱��1的上、下底面圆心分别为�1，O，底面圆直径��= 2，圆柱高为3，C 是下底面圆周上
一动点，连接��1，过��1作圆柱的截面，当截面与圆柱的下底面所成的角最小时，点O 到截面的距离为
（
）．
A．
3
2
B．
2
2
C．1
D．与动点C 的位置有关
4.在直四棱柱����−�1�1�1�1中，四边形����为平行四边形，平面�1��⊥平面�1��．
(1)求证：��⊥��；
(2)若��1 = 2��= 2��= 4，�，�分别为��1，��1的中点，求�到平面BDF 的距离．
5.如图，PA 是三棱锥
P
ABC 的高，线段BC 的中点为M ，且AB
AC
，
2
AB
AC
PA
.
（1）证明：BC 平面PAM ；
（2）求A 到平面PBC 的距离.
6.已知四棱柱����−�1�1�1�1的底面是正方形，��= 2，��1 = 2 2，点�1在底面ABCD 的射影为BC 中
点H，则点�1到平面ABCD 的距离为(
)
A．6
B．7
C．2 2 D．3
7.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD，��= ��= 2，点E，F 分别是PC，
PD 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为（
）
A．
2
2
B．2
C．
3
2
D．2
8.如图，正方形����所在平面外一点�满足��⊥平面����，且��= 3，��= 4．求点�到平面���的距
离.
9.如图，在四棱锥�−����中，四边形����是菱形，∠���= 60°，��= ��，�是棱��上的一点，且2��Ԧ
ሬሬሬሬ=
3��Ԧ
ሬሬሬሬ．
(1)证明：��⊥平面���．
(2)若��= 2，��= ��=
6，求点�到平面���的距离．
10.如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，
60
ABC
，EA 平面ABCD ，
//
EA BF ，
2
2
AB
AE
BF
.
（1）证明：平面EAC 平面EFC ；
（2）求点B 到平面CEF 的距离.
11.在三棱锥
P
ABC 中，底面ABC 是边长为2 的等边三角形，点P 在底面ABC 上的射影为棱BC 的中点O，
且PB 与底面ABC 所成角为π
3 ，点M 为线段PO 上一动点.
（1）证明：BC
AM
；
（2）若
1
2
PM
MO
，求点M 到平面PAB 的距离.
12.已知三棱锥�−���的四个顶点均在球�的球面上，��= ��= 2，��= ��=
5，��= ��=
3，�
为球�的球面上一动点，则点�到平面���的最大距离为（
）
A．
6
2 +
22
11
B．
6
2 +
66
22
C．6 +
22
11
D．6 +
66
22
题型五：直线到平面的距离
1.设正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长是2，求棱
1
AA 和平面
1
1
BB D D 的距离．
2.若正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面边长为1，
1
AB 与底面ABCD成60角，则
1
1
AC 到底面ABCD的距离
为__________.
3.已知直线m、n 及平面�，其中�//�，那么在平面�内到两条直线m、n 距离相等的点的集合可能是：①
一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①④D．②④
4.设正方体����−�1�1�1�1的棱长是2，求棱��1和平面��1�1�的距离．
5.如图，在正四棱锥P－ABCD 中，��= ��= 3 2，点M，N 分别在PA，BD 上，且
��
��=
��
��=
1
3．
(1)求证：��⊥��；
(2)求证：��//平面PBC，并求直线MN 到平面PBC 的距离．
6.已知正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
4,
2 2
AB
CC
，E 为
1
CC 的中点，则直线
1
AC 与平面BED 的距离
为________．
7.如图，在五面体ABCDEF 中，AB // DC ，
2
BAD
，
3
CD
AD
，四边形ABFE 为平行四边形，FA
平面ABCD ，
5
FC
，则直线AB 到平面EFCD 距离为_________．
题型六：平面到平面的距离
1.如图（1）平行六面体容器
1
1
1
1
ABCD
A B C D
盛有高度为h 的水，
1
2
AB AD AA
，
1A AB
1
60
A AD
BAD
.固定容器底而一边BC 于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A ，
1
B ，
1
C ，
D 四点，则h 的值为（
）
A．
3
3
B．
6
3
C．2 3
3
D．2 6
3
2.用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为4 ，则平
面
1
1
AB D 与平面
1
BC D 间的距离为（
）
A．
3
B．
6
3
C．4 3
3
D．2 3
3.在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，有一过AD 且与平面
1
1
A D CB 平行的平面，棱
1
5
AA
，
12
AB
，则平
面与平面
1
1
A D CB 的距离是_________．
4.我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某
城楼中抽象出一几何体ABCD－EFGH，其中ABCD 是边长为4 的正方形，EFGH 为矩形，上、下底面与左、右
两侧面均垂直，��= 4，��= 2，��= ��= ��= ��，且平面ABCD 与平面EFGH 的距离为4，则异面直
线BG 与CH 所成角的余弦值为______．
5.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E，F 分别为
1
1
A D ，
1
1
B C 的中点.
（1）求证：平面
1 //
AB E
平面
1
BD F ；
（2）求平面
1
AB E 与平面
1
BD F 之间的距离.
题型七：直接法求体积
1.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，M 为棱
1
AA 的中点，N 为棱
1
CC 上靠近点C 的一个三等分点，若记正
三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为V，则四棱锥B
AMNC
的体积为（
）
A．5
12V
B．5
18V
C．5
24V
D．5
36V
2.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA ⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2 ，
4
PA
，设E 为侧棱PC 的
中点.求四棱锥E
ABCD
的体积V ；
3.如图，三棱锥S
ABC
的底面ABC 的侧面SAB 都是边长为2 的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 的
中点，SD
CD
．
（1）证明：BC ∥平面SDE ；
（2）求三棱锥S
ABC
的体积．
题型八：等体积法求体积
1.三棱锥
P
ABC 的侧棱
,
,
PA PB PC上分别有三点E，F，G，且
1
1
1,
,
2
3
PE
PF
PG
EA
FB
GC
，则三棱锥
P
ABC
与P
EFG
的体积之比是（
）
A．6
B．8
C．12
D．24
2.如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD是边长为2 的菱形，
60
ABC
，FA 底面ABCD，
/ /
DE
AF ，
M 是BC 的中点，且
3
3
FA
DE
.
（1）求证AM
EF
；
（2）求三棱锥E
ACF
的体积.
3.已知直棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的底面ABCD 为菱形，且
2
AB
AD
BD
，
1
3
AA
，点E 为
1
1
B D 的中点．
（1）证明：
/ /
AE
平面
1
BDC ；
（2）求三棱锥
1
E
BDC
的体积．
题型九：割补法求体积
1.如图，在几何体ABCFED 中，
8
AB
，
10
BC
，
6
AC
，侧棱AE，CF，BD 均垂直于底面ABC，
3
BD
，
4
FC
，
5
AE ，则该几何体的体积为__________．
2.如图所示，空间几何体ADE
BCF
-
中，四边形ABCD 是直角梯形，AD
DC
，四边形CDEF 是矩形，且AD
平面CDEF，
2
AB
AD
DE
，
4
EF
，则空间几何体ADE
BCF
-
的体积为___________.
3.设三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为1，则四棱锥
1
1
1
A
BCC B
的体积为___________
4.刍（chu）甍（meng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍
者，下有袤有广，而上有袤无广。刍，草也。甍，屋盖也。求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又
以高乘之，六而一。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草
屋顶。……”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为长方形，
//
EF
平面ABCD，
ADE
V
和
BCF
△
是全
等的等边三角形.
（1）求证：
//
EF DC ；
（2）若已知
2
2
4
AB
BC
EF
，求该五面体ABCDEF 的体积.
题型十：体积比例法求体积
1.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为1，P 是线段
1
1
B D 上的动点，则三棱锥
1
P
A BD
的体积为（
）
A．1
8
B．1
6
C．1
5
D．1
4
2.如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，AB＝1，E 为CD 的中点，则四棱锥
1
1
E
ABC D
的体积为______．
3.如图，在正四棱锥P
ABCD
中，
2,
4,
AB
PA
M
是PB 上的点且
2
,
PM
MB N
是PD 的中点．求：
（1）四棱锥P
ABCD
的表面积；
（2）三棱锥N
MCD
的体积．
4.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为平行四边形，
120
ABC
，
1
AB ，
5
PA
，PD
CD
，
PB
BD
，点N 在棱PC 上，平面PBD 平面ABCD.
（1）证明：AB
PB
；
（2）若
//
PA 平面BDN ，求三棱锥N
PAD
的体积.
5.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E 分别为A1B1、AA1的中点，点F 在棱AB 上，且AF= 1
4 AB．
（1）求证：EF∥平面BDC1；
（2）在棱AC 上是否存在一个点G，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，
指出点G 的位置；若不存在，说明理由．
题型十一：体积的最值问题
1.三棱锥A
BCD
中，AC 平面BCD，BD
CD
.若
4
AB
，
2
BD ，则该三棱锥体积的最大值为（
）
A．16
3
B．4
C．8
3
D．2
2.在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面
的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
,
2
AC
BC AA
，
鳖臑
1
1
1
B
AC B
的外接球的体积为8 2 π
3
，则阳马
1
1
B
ACC A
体积的最大值为（
）
A．2
3
B．4
3
C．8
3
D．4
3.如图，在三棱锥A
BCD
中，
2
BC
DC
AB
AD
，
2 2
BD
，平面ABD 平面
,
BCD O 为BD 中点，
点
,
P Q 分别为线段
,
AO BC 上的动点（不含端点），且AP
CQ
，则三棱锥P
QCO
体积的最大值为
___________.
4.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，PA 是圆柱的母线，
3
PA ，
2
2
AD
AB
，
120
BAD
，
C 是
BD 上的一个动点.
（1）求圆柱的表面积S圆柱；
（2）求四棱锥P
ABCD
的体积
P ABCD
V
的最大值.
模块三：综合巩固
1.设��⊥Rt △���所在的平面�，∠���= 90°，PB、PC 分别与�成45°和30°角，��= 2，点P 到BC
的距离是_________________．
2.如图，在棱长为1 的正方体����−�1�1�1�1中，�为��的中点，点�在线段�1�上，点�到直线��1的
距离的最小值为___________．
3.如图，已知四棱锥�−����中，����为矩形，��⊥平面����, ��= 3, ��= 5，��= 4 2，异面直线
��与��之间的距离为___________.
4.正方体����−�1�1�1�1，棱长为�，则棱�1�1所在直线与直线��1间的距离为______.
5.在棱长为1 的正方体����−�1�1�1�1中，直线AC 与直线�1�1的距离是______．
6.在棱长为�的正方体����−�1�1�1�1中，点�为等边三角形�1��中线�1�上一点，记�到平面�1�1��、
平面�1�1��以及平面����的距离的平方和为�，则�的最小值为______．
7.已知正方体����−�1�1�1�1的棱长为1，O 是�1�1的中点，则点O 到平面���1�1的距离为______．
8.如图，��是三棱锥�−���的高，线段��的中点为�，且��⊥��，��= ��= ��= 2.
(1)证明：��⊥平面���；
(2)求�到平面���的距离.
9.如图，在四棱锥�−����中，��⊥面����，��⊥��, ��//��，点�, �分别为��, ��的中点，��=
2, ��= 2 2.
(1)证明：直线��//平面���；
(2)求点�到平面���的距离.
10.如图，在四棱锥�−����中，底面ABCD 为正方形，二面角�−��−�为直二面角．��= ��=
2，��⊥
��，M，N 分别为AP，AC 的中点．
(1)求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值；
(2)若平面���∩平面���= �，求点A 到直线l 的距离．
11.（多选）长方体����−�1�1�1�1中，��= 3，��= 2，��1 = 1，则（
）
A．�到平面�1��的距离为
6
7
B．�到平面�1��的距离为
4
7
C．沿长方体的表面从�到�1的最短距离为3 2
D．沿长方体的表面从�到�1的最短距离为2 5
12.如图，在正四棱锥P－ABCD 中，AB＝2，侧面PAD 与底面ABCD 的夹角为
π
3 .
(1)求正四棱锥P－ABCD 的体积；
(2)若点M 是正四棱锥P－ABCD 内任意一点，点M 到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA
的距离分别为�1，�2，�3，�4，�5，证明：2�1 + �2 + �3 + �4 + �5 = 2 3；
13.如图，在三棱柱���−�1�1�1中，��1 ⊥平面�1�1�1，��= ��，F 是�1�1的中点，点E 在棱��1上．
(1)证明：�1�⊥�1�；
(2)若∠���= 120°，��1 = 2��= 2，且点�1到平面�1��的距离为
21
7 ，求��: ��1的值．
14.如图1，在直角梯形ABCD 中，��∥��，∠���= 90°，��= ��=
1
2 ��，将△���沿AC 折起（如图
2）．在图2 所示的几何体�−���中：
(1)若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC；
(2)设P 为BD 的中点，记P 到平面ACD 的距离为ℎ1，P 到平面ABC 的距离为ℎ2，求证：
ℎ1
ℎ2为定值，并求
出此定值．
15.四面体����中，��= ��= 13，��= ��= 14，��= ��= 15，则异面直线��与��的距离为______．
16.如图，三棱柱���−�1�1�1的底面是边长为2 的正三角形，侧棱��1垂直于底面ABC，��1 =
3，D 是
CB 延长线上一点，且��= ��．
(1)证明：直线��1∥平面��1�；
(2)直线��1到平面��1�的距离．
17.长方体中����−�1�1�1�1，��= 5，��= 4，��1 = 3，则�1�1到平面���1�1的距离为______．
18.如图，在四棱锥�−����中，底面����是菱形，∠���= 60∘，平面���⊥平面����，��⊥��，��=
��= 2，PD 的中点为F.
(1)求证：��//平面���；
(2)求直线��到面���的距离.
19.如图，平面PCBM 平面ABC ，
90
PCB
，
//
PM BC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60，又
1
AC ，
2
2
BC
PM
，
90
ACB
．
（1）求证：AC
BM
；
（2）求多面体PMABC 的体积．
20.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD
DC
，
E 是PC 的中点，作EF
PB
交PB 于点F .求三棱锥A
BDE
的体积；
21.如图，在四棱锥P
ABCD
中，
/ /
AB
CD ，
2
CD
AB
，过AB 的平面分别交PD，PC 于点E，F，且
2
PE
ED
，
记四棱锥P
ABFE
的体积为
1V ，几何体ABCDEF 的体积为
2
V ，则
1
2
V
V ___________.
22.如图，在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，AB
BC
，AD
BP
，PA
AC
，若三棱锥
P
ABC 外
接球的表面积为8，则三棱锥P
ACD
体积的最大值为（
）
A．
2
3
B．
1
2
C．
3
4
D．
2
4
