文档内容
第4讲 空间向量与距离、探究性问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】空间距离.......................................................................................................................2
【考点二】空间中的探究性问题.....................................................................................................4
【专题精练】.................................................................................................................................7
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.
2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解
答题的形式考查，难度中等偏上．
真题自测
一、解答题
1．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面
， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
考点突破
【考点一】空间距离
核心梳理：
(1)点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设AP＝a，则点P到直线l的距离
d＝.
(2)点到平面的距离
平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝.
一、单选题
1．（2024·江西新余·模拟预测）已知 ，直线 过原点且平行于 ，则 到 的距离为
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学科网（北京）股份有限公司（ ）.
A． B．1 C． D．
2．（2024·北京朝阳·一模）在棱长为 的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ，
的中点，动点 在平面 内，且 .则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得直线 与直线 相交
B．存在点 ，使得直线 平面
C．直线 与平面 所成角的大小为
D．平面 被正方体所截得的截面面积为
二、多选题
3．（2024·福建福州·模拟预测）在长方体 中， 为 的中点，则
（ ）
A． B． 平面
C．点 到直线 的距离为 D．点 到平面 的距离为
4．（2024·江苏·一模）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，点 满足
，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．当 时， 平面
B．任意 ，三棱锥 的体积是定值
C．存在 ，使得 与平面 所成的角为
D．当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题
5．（2023·福建·一模）已知空间中三点 ，则点A到直线 的距离为
．
6．（2024·辽宁·二模）如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这
个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 ．
规律方法：
(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法．
(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距
离．
【考点二】空间中的探究性问题
核心梳理：
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的
夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，
设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（2024·北京怀柔·模拟预测）如图，已知正方体 中，F为线段 的中点，E为线段
上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）
A．存在点E，使 平面
B．三棱锥 的体积随动点E变化而变化
C．直线 与 所成的角不可能等于
D．存在点E，使 平面
2．（2024·山东临沂·二模）已知正方体 中，M，N分别为 ， 的中点，则（ ）
A．直线MN与 所成角的余弦值为 B．平面 与平面 夹角的余弦值为
C．在 上存在点Q，使得 D．在 上存在点P，使得 平面
二、多选题
3．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在正方体 中，P为线段 的中点，Q为线段
上的动点（不包括端点），则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得 平面
C．三棱锥 的体积是定值 D．二面角 的余弦值为
4．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，在直四棱柱 中，四边形 是矩形， ，
， ，点P是棱 的中点，点M是侧面 内的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 所成角的余弦值为
B．存在点 ，使得
C．若点 是棱 上的一点，则点M到直线 的距离的最小值为
D．若点 到平面 的距离与到点 的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分
三、填空题
5．（2024·北京大兴·三模）在棱长为6的正方体 中，E为棱 上一动点，且不与端点重
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学科网（北京）股份有限公司合，F，G分别为 ， 的中点，给出下列四个结论：
①平面 平面 ；
②平面 可能经过 的三等分点；
③在线段 上的任意点H（不与端点重合），存在点E使得 平面 ；
④若E为棱 的中点，则平面 与正方体所形成的截面为五边形，且周长为 .
其中所有正确结论的序号是 .
6．（2024·北京海淀·二模）如图，在正方体 中， 为棱 上的动点， 平面
为垂足.给出下列四个结论：
① ；
②线段 的长随线段 的长增大而增大；
③存在点 ，使得 ；
④存在点 ，使得 平面 .
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学科网（北京）股份有限公司其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
7．（23-24高三下·广西·阶段练习）在 中， ， ，D为边 上一点， ，
E为 上一点， ，将 沿 翻折，使A到 处， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若射线 上存在点M，使 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求λ.
8．（2024·湖北·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点， 平面ABC，
， ，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．
(1)证明： 平面PBC；
(2)直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥 的体积；
(3)点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为 ，直线PQ与平面BEF的夹角为 ，是否存在点Q，使
得 ？如果存在，请求出 ；如果不存在，请说明理由．
规律方法：
解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据
或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．
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学科网（北京）股份有限公司专题精练
一、单选题
A B C D
1 1 1 1
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体 中，设点 为底面 内（含边
界）的动点，则点 到平面 距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·浙江·期中）空间点 ，则点 到直线 的距离 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体 中，点E，F满足⃗D E=2⃗ED，
1
⃗ ⃗
BF=2FB ，则点E到直线 的距离为（ ）
1
A． B．
C． D．
4．（2024·福建福州·模拟预测）四棱锥 的顶点均在球 的球面上，底面 为矩形，平面
平面 ， ， ， ，则 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱 的中点，Q为正方
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学科网（北京）股份有限公司形 内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得 平面
C．当且仅当Q点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大
D．若 ，那么Q点的轨迹长度为
6．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体 中， 是 中点，点 在正方体的内
切球的球面上运动，且 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏徐州·模拟预测）在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点 ，则
点 到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长都
是a，且 ， ，E为 的中点，则点E到直线 的距离为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体 ）
放置在水平面 的上方，点 恰在平面 内，点 到平面 的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与
表面 的交线与 的夹角为0，记水面到平面 的距离为 ，则（ ）
A．平面 平面
B．点 到平面 的距离为8
C．当 时，水面的形状是四边形
D．当 时，所装的水的体积为
10．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，几何体的底面是边长为6的正方形 底面
， ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．当 时，该几何体的体积为45
B．当 时，该几何体为台体
C．当 时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为
D．当点 到直线 距离最大时，则
11．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知直三棱柱 中， 且 ，直线
与底面 所成角的正弦值为 ，则（ ）
A．线段 上存在点 ，使得
B．线段 上存在点 ，使得平面 平面
C．直三棱柱 的体积为
D．点 到平面 的距离为
三、填空题
12．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点 ， ， ，则点O到直线
的距离为 .
13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为3的正方体 中， 为线段 靠近 的三
等分点. 为线段 靠近 的三等分点，则直线 到平面 的距离为 .
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学科网（北京）股份有限公司14．（2024·北京通州·二模）如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转
90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧 的中点，点H是圆弧 上的动点， ，给出下列四个
结论：
①不存在点H，使得平面 平面CEG；
②存在点H，使得 平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于 ；
④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
15．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，
平面 平面ABEF， ， ， ， ， ，且
．
(1)已知点G为AF上一点，且 ，证明： 平面DCE；
(2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为 ，求点F到平面DCE的距离．
16．（2024·天津河西·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 上
的动点，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面BEF夹角的正切值及点 到直线 的距
离．
17．（2024·江苏苏州·三模）如图，已知正方体 的棱长为 ， ， 分别是 和 的中
点.
(1)求证： ；
(2)求直线 和 之间的距离；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在三棱柱 中， ，侧面
是正方形，二面角 的大小是 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 到平面 的距离．
(2)线段 上是否存在一个点D，使直线 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的长；若不存
在说明理由．
19．（2024·北京昌平·二模）如图，在棱长均为2的四棱柱 中，点 是 的中点，
交平面 于点 ．
(1)求证：点 为线段 的中点；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱 存在且唯
一确定．
（i）求二面角 的余弦值；
（ii）求点 到平面 的距离．
条件①： 平面 ；
条件②：四边形 是正方形；
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学科网（北京）股份有限公司条件③：平面 平面 ．
注：如果选择的条件不符合要求，则第2问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
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