1
解答题：空间向量与立体几何
目录
题型一空间异面直线夹角的求解1
题型二空间直线与平面夹角的求解3
题型三空间平面与平面夹角的求解5
题型四空间点、线、面间的距离求解7
题型五空间几何体的体积求解9
题型六空间几何体的翻折问题11
题型七空间动点存在性问题的探究13
必刷大题15
题型一
空间异面直线夹角的求解
大题典例
1. (23 - 24 高三上·河北衡水·月考) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥平面ABCD，底面ABCD 是平
行四边形，且△ABD 是等边三角形，AB = 2.
(1) 求证：BD ⊥平面PAC；
(2) 若△PAB 是等腰三角形，求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值.
2
解法指导
1、求异面直线所成角一般步骤：
(1) 平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
(2) 证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
(3) 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
(4) 取舍：因为异面直线所成角θ 的取值范围是0, π
2
，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线
所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
(1) 直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
(2) 中位线平移法；
(3) 补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
3、异面直线所成角：若n1
,n2
分别为直线l1,l2 的方向向量，θ 为直线l1,l2 的夹角，则cosθ =
cos<n1
,n2
>
=
n1
⋅n2
n1
n2
.
变式训练
2. (24 - 25 高三上·江西南昌·开学考试) 如图，圆锥PO 的轴截面PAB 是边长为4 的等边三角形，C 是
OB 的中点，D 是底面圆周上一点，∠DOC = 2π
3 .
(1) 求DC 的值；
(2) 求异面直线PA 与DC 所成角的余弦值.
3
3. (24 - 25 高三上·上海·期中) 如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB ⊥AC，AB = AC = AA1= 1.
(1) 求证：A1C ⊥平面ABC1；
(2) 求直线A1B 与AC1所成角的余弦值.
题型二
空间直线与平面夹角的求解
大题典例
4. (24 - 25 高三上·江苏南京·期中) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD，PA ⊥PD，
AB ⊥AD，PA = PD，AB = 2，AD = 8，AC = CD = 5，
(1) 求证：平面PCD ⊥平面PAB；
(2) 求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.
4
解法指导
1、垂线法求线面角(也称直接法)：
(1) 先确定斜线与平面，找到线面的交点B 为斜足；找线在面外的一点A，过点A 向平面α 做垂线，确定垂
足O；
(2) 连结斜足与垂足为斜线AB 在面α 上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；
(3) 把投影BO 与斜线AB 归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
3、公式法求线面角(也称等体积法)：
用等体积法，求出斜线PA 在面外的一点P 到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ = h
l ，其中θ 是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，l 是斜线段的长。
方法：已知平面β 内一个多边形的面积为S，它在平面α 内的射影图形的面积为S射影，
平面α 和平面β 所成的二面角的大小为θ，则COSθ = S射影
S
. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
4、直线与平面所成角：设n1
是直线l 的方向向量，n2
是平面α 的法向量，直线与平面的夹角为θ. 则sinθ
= cos<n1
,n2
>
=
n1
⋅n2
n1
n2
.
变式训练
5. (24 - 25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考) 在三棱柱ABC - A1B1C1 中，AB1 = BB1 = B1C = 5，AB = 4，
AC = 6，AB ⊥BC，D 为AC 中点.
(1) 求证：B1D ⊥平面ABC；
(2) 求直线B1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值.
5
6. (24 - 25 高三上·云南大理·月考) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧棱PD
⊥底面ABCD，PD = CD = 2,BD = 2 2 ,∠BDC = 45°. 点E 是棱PC 的中点，点F 为棱PB 上的一
点，且BF
= 2
3 BP
.
(1) 求证：平面PBC ⊥平面PCD；
(2) 求直线DC 与平面DEF 所成角的正弦值.
题型三
空间平面与平面夹角的求解
大题典例
7. (24 - 25 高三上·湖北·期中) 如图，球O 的半径为R，A,B,C 为球面上三点，若三角形ABC 为直角三角
形，其中AC ⊥BC. 延长AO 与球O 的表面交于点D.
(1) 求证：BD ⊥平面ABC；
(2) 若直线DA,DC 与平面ABC 所成的角分别为π
4 , π
3 ，试求二面角C - AD - B 的正弦值.
6
解法指导
1、几何法
(1) 定义法(棱上一点双垂线法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的
射线．
(2) 三垂线法(面上一点双垂线法)：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得
到棱上的点(即斜足)，斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
(3) 垂面法(空间一点垂面法)：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角
就是二面角的平面角。
(4) 射影面积法求二面角cosθ = s射影
S
2、向量法：若n1
,n2
分别为平面α,β 的法向量，θ 为平面α,β 的夹角，则cosθ = cos<n1
,n2
>
=
n1
⋅n2
n1
n2
.
变式训练
8. (24 - 25 高三上·福建南平·期中) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，点B 在平面PAD 上射影是△PAD 的
外心，且BP =
5,PA = PD =
2,∠APD = 90°,E 是棱PA 的中点，且CD ⊥平面PAD.
(1) 证明：BE ∥平面PCD；
(2) 若CD = 1，求二面角A - PB - C 的正弦值.
7
9. (24 - 25 高三上·北京·月考) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面
ABCD，PA = AB，M 为线段PD 的动点.
(1) 若直线PB ⎳平面ACM ，求证：M 为PD 的中点：
(2) 求证：平面ABM ⊥平面PAD
(3) 若平面PAC 与平面MAC 夹角的余弦值为
3
3 ，求PM
MD 的值.
题型四
空间点、线、面间的距离求解
大题典例
10. (24 - 25 高三上·贵州贵阳·月考) 如图，DE 是正三角形ABC 的一条中位线，AB = 2，将△ADE 沿DE
折起，得到四棱锥A1- BCDE.
(1) 证明：AA1⊥平面A1BC；
(2) 若A1E ⊥CD 求点B 到平面EA1D 的距离.
8
解法指导
1、几何法求点面距
(1) 定义法(直接法)：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
(2) 等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
(3) 转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
2、向量法求空间距离：
(1) 点面距：已知平面α 的法向量为n, A 是平面α 内的任一点，P 是平面α 外一点, 过点P 作则平面α
的垂线l，交平面α 于点Q，则点P 到平面α 的距离为PQ = AP
⋅n
n
(2) 直线a 与平面α 之间的距离：d =
AB
⋅n
|n|
，其中A ∈a,B ∈α，n是平面α 的法向量。
(3) 两平行平面α,β 之间的距离：d =
AB
⋅n
|n|
，其中A ∈α,B ∈β，n是平面α 的法向量。
变式训练
11. (24 - 25 高三上·广东广州·月考) 已知四棱柱ABCD - A1B1C1D1 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD，
A1A ⊥平面ABCD，AD ⊥AB，其中AB = AA1 = 2，AD = DC = 1.N ，M 分别是线段B1C1 和线段
DD1上的动点，且C1N
= λC1B1
，DM
= λDD1
(0 < λ < 1).
(1) 求证：D1N ⎳平面CB1M ；
(2) 若N 到平面CB1M 的距离为
11
11 ，求D1N 的长度.
9
12. (24 - 25 高三上·福建福州·月考) 如图，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1 中，底面四边形ABCD 为梯形，
AD ⎳BC，AB = AD = 2，BD = 2 2 ，BC = 4．
(1) 证明：A1B1⊥AD1；
(2) 若直线AB 与平面B1CD1所成角的正弦值为
6
6 ，求直线BD 到平面B1CD1的距离．
题型五
空间几何体的体积求解
大题典例
13. (23 - 24 高三上·海南海口·月考) 如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AA1 = 2AD = 2AB = 4，E，F
分别为AA1，CD 的中点．
(1) 证明：B1D ⊥A1C1；
(2) 求三棱锥E - B1C1F 的体积．
10
解法指导
1、处理空间几何体体积的基本思路
(1) 转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转
换为容易看出并容易求解的高；
(2) 拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；
(3) 拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一
个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。
2、求体积的常用方法
(1) 直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
(2) 割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则
的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
(3) 等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为
三棱锥的底面进行等体积变换
变式训练
14. (24 - 25 高三上·广东深圳·月考) 如图，将长方形OAA1O1(及其内部) 绕OO1 旋转一周形成圆柱，其中
OA = 1，OO1= 2，劣弧AB 的长为α，A1B1为圆O1的直径，平面AOB 与平面A1O1B 的交线为l.
(1) 证明：l ⎳OA；
(2) 若平面AOB 与平面A1O1B 夹角的正切值为4 3
3
，求四棱锥B - OAA1O1的体积．
11
15. (24 - 25 高三上·河南·开学考试) 如图，四棱锥P - ABCD 中，底面四边形ABCD 为凸四边形，且PD
= AD = CD = 4，PA = PC = AC = 4 2 ，AB = BC．
(1) 证明：AC ⊥PB；
(2) 已知平面APC 与平面BPC 夹角的余弦值为7 57
57
，求四棱锥P - ABCD 的体积．
题型六
空间几何体的翻折问题
大题典例
16. (23 - 24 高三下·山东·模拟预测) 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD = 60°，E 是AD 的中点，将△ABE 沿
直线BE 翻折使点A 到达点A1的位置，F 为线段A1C 的中点.
(1) 求证：DF ∥平面A1BE；
(2) 若平面A1BE ⊥平面BCDE，求直线A1E 与平面A1BC 所成角的大小.
12
解法指导
翻折问题的两个解题策略
1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置
和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于
“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于
变化的关系则要在立体图形中解决
2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移
动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的
变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行
有关的证明与计算
变式训练
17. (24 - 25 高三上·云南昆明·期中) 已知在长方形ABCD 中，AD = 2，AB = 4，点M 是边CD 的中点，如
图甲所示. 将△ADM 沿AM 翻折到△PAM ，连接PB，PC，得到四棱锥P - ABCM ，其中PB = 2 3 ，
如图乙所示.
(1) 求证：平面PAM ⊥平面ABCM ；
(2) 求平面PAM 和平面PBC 夹角的余弦值.
13
18. (2024·河北承德·二模) 如图1，在直角△APB 中，∠APB = 90°,C 为PB 中点，PA = PC = 1，取AC 中
点D，连接PD,BD，现把△APC 沿着AC 翻折，形成三棱锥P - ABC 如图2，此时PB =
3 ，取BC 中
点E，连接PE,DE，记平面PAB 和平面PDE 的交线为l,Q 为l 上异于P 的一点.
(1) 求证：PD ⊥平面ABC；
(2) 若直线AQ 与平面PDB 所成角的正弦值为
10
15 ，求PQ 的长度.
题型七
空间动点存在性问题的探究
大题典例
19. (24 - 25 高三上·四川德阳·月考) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面
ABCD,E 为棱PD 上的动点.
(1) 若E 为PD 中点，证明：PB ⎳平面AEC；
(2) 若AP = 1,AD = 3,AB = 2，在线段PD 上是否存在点E 使得面DAE 与面AEC 夹角余弦值为
3 157
157
，若存在，求出点E 位置，若不存在，说明理由.
14
解法指导
借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量) 表示，将几何对象坐标化，这样
根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过
参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的
几何对象不存在．
变式训练
20. (24 - 25 高三上·江西南昌·月考) 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB = 4,BC = 2，沿AC 将△ADC 折起，
使点D 到达点P 的位置，且满足平面ABP ⊥平面BCP.
(1) 求证：平面ABC ⊥平面APB，并求PB 的长度；
(2) 若M 是线段PC 上(不包括端点) 的一个动点，是否存在点M ，使得直线MB 与平面PAC 的夹角
为π
3 ？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由.
21. (24 - 25 高三上·湖南·月考) 如图，侧面BCC1B1 水平放置的正三棱台ABC - A1B1C1,AB = 2A1B1 = 4，
侧棱长为
2,P 为棱A1B1上的动点.
(1) 求证：AA1⊥平面BCC1B1；
(2) 是否存在点P，使得平面APC 与平面A1B1C1的夹角的余弦值为5 33
33
？若存在，求出点P；若不
存在，请说明理由.
15
必刷大题
刷模拟
22. (24 - 25 高三上·江苏扬州·月考) 已知三棱锥A - BCD,AD ⊥底面BCD,BC ⊥CD,AD = 4,BC =
CD = 2，点P 是AD 的中点，点Q 为线段BC 上一动点，点M 在线段DQ 上.
(1) 若PM ⎳平面ABC，求证：M 为DQ 的中点；
(2) 若Q 为BC 的中点，求直线DQ 与平面ABC 所成角的余弦值.
23. (24 - 25 高三上·江苏苏州·月考) 如图，在平行四边形ABCM 中，AB = AC = 3,∠ACM = 90°，以AC
为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA.
(1) 证明：平面ACD ⊥平面ABC.
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP = DQ = 2
3 DA，求点P 到平面ABQ 的距离.
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24. (24 - 25 高三上·浙江宁波·模拟考试) 在三棱锥P - ABC 中，侧面PAC 是边长为2 的等边三角形，
AB =
3 ，PB = 2，∠ABC = π
2 .
(1) 求证：平面PAC ⊥平面ABC；
(2) 求平面PAB 与平面PAC 的夹角的余弦值.
25. (24 - 25 高三上·黑龙江大庆·期中) 在梯形ABCD 中，AB ⎳CD，∠BAD = π
3 ，AB = 2AD = 2CD =
4，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点(如图1). 将△ACD 沿AC 折起到△ACD位置，使得
DO ⊥OP(如图2).
(1) 求证：平面DAC ⊥平面ABC；
(2) 线段PD上是否存在点Q，使得CQ 与平面BCD所成角的正弦值为
6
8 ? 若存在，求出PQ
PD的
值；若不存在，请说明理由.
17
26. (24 - 25 高三上·北京·期中) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，直线AB ⎳平面PCD.∠ABC = 90°，
∠DAB = ∠PCB = 60°，CD = 1，AB = 3，PC = PB，平面PCB ⊥平面ABCD，F 为线段BC 的中点，
E 为线段PF 上一点.
(1) 证明：AB ⎳CD；
(2) 证明：PF ⊥AD；
(3) 是否存在点E，使得点E 到平面PAD 的距离是1
2 ，若存在求出FE
EP
的值，若不存在请说明理由.
27. (24 - 25 高三上·浙江·月考) 在四棱锥P - ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD，PO ⊥底面ABCD，点
O 在AC 上，且PB = PC.
(1) 求证：PA = PD；
(2) 若∠COD = π
6 ，AB = BC，点E 在PB 上，PD ⎳平面EOC，求PE
PB 的值；
(3) 若PO = AB = BC = 1，二面角P - AD - B 的正切值为2 2 ，求二面角D - AP - B 的余弦值.
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刷真题
28. (2024·北京·高考真题) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，BC ⎳AD，AB = BC = 1，AD = 3, 点E 在AD
上，且PE ⊥AD，PE = DE = 2．
(1) 若F 为线段PE 中点，求证：BF ⎳平面PCD．
(2) 若AB ⊥平面PAD，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．
29. (2024·全国·高考真题) 如图，在以A，B，C ，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形
ADEF 均为等腰梯形，EF ⎳AD,BC ⎳AD，AD = 4,AB = BC = EF = 2，ED =
10,FB = 2 3 ，M 为
AD 的中点．
(1) 证明：BM ⎳平面CDE；
(2) 求二面角F - BM - E 的正弦值．
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30. (2024·全国·高考真题) 如图，平面四边形ABCD 中，AB = 8，CD = 3，AD = 5 3 ，∠ADC = 90°，
∠BAD = 30°，点E ，F 满足AE
= 2
5 AD
，AF
= 1
2 AB
，将△AEF 沿EF 翻折至△PEF ，使得PC =
4 3．
(1) 证明：EF ⊥PD；
(2) 求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
31. (2024·广东江苏·高考真题) 如图，四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥底面ABCD，PA = AC = 2，BC = 1,
AB =
3．
(1) 若AD ⊥PB，证明：AD ⎳平面PBC；
(2) 若AD ⊥DC，且二面角A - CP - D 的正弦值为
42
7
，求AD．
20
32. (2024·天津·高考真题) 如图，在四棱柱ABCD - A1B1C1D1 中，A1A ⊥平面ABCD，AB ⊥AD,
AB ⎳DC，AB = AA1= 2,AD = DC = 1．M,N 分别为DD1,B1C1的中点，
(1) 求证：D1N ⎳平面CB1M ；
(2) 求平面CB1M 与平面BB1C1C 夹角余弦值；
(3) 求点B 到平面CB1M 的距离．
