文档文本内容
培优专题02 数轴上的动点、规律及其应用问题
（题型突破·举一反三）
题型01 辨别数轴说法的正误（选择填空基础・夯实根基）
题型02 数轴识图与数的比较大小（选择填空必考・夯实根基）
题型03 数轴上两点之间的距离（期中基础高频・核心工具）
题型04 数轴上点的移动（入门动态题型・过渡训练）
题型05 数轴上单点左右运动规律探究（动点入门・月考预热）
题型06 数轴上三角形的运动规律探究（图形动态・期中难点）
题型07 数轴上正方形的运动规律探究（图形动态・期中难点）
题型08 数轴上圆形的运动规律探究（图形动态拓展・拔高训练）
题型09 数轴上的翻折问题（折叠对称・期中难点）
题型10 数轴上的整点覆盖问题（计数类动态・期中难点）
题型11 数轴与绝对值的几何意义最值问题（期中重难点）
题型12 与数轴有关的新定义问题（拓展创新・区分题型）
题型13 单动点运动问题（月考压轴必考・核心难点）
题型14 双动点运动问题（期中压轴必考・核心难点）
题型15 多动点运动问题（期末压轴拔高・难点）
题型16 数轴动态与代数式综合（期中压轴必考・核心难点）
题型17 数轴上的定值不变问题（动态探究压轴・高频考向）
题型18 数轴的应用问题（实际情景题型・综合运用）
题型19 数轴旋转综合问题（期末拓展难题）
▌题型01 辨别数轴说法的正误
【典例1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（ ）
A．数轴由原点、单位长度和正方向组成B．数轴上的一个点只能表示一个数
C．数轴上的点只能表示整数
D．数轴只含有正数部分和负数部分
【变式1】（24-25 七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数0.0001
-
在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
A．④
B．③④
C．②③④
D．①②③④
【变式2】（24-25 七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数
轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不
表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有_____个．
【变式3】（23-24 七年级上·天津北辰·阶段检测）下列结论正确的是（ ）
A．数轴上表示6
+ 的点与表示4
+ 的点相距2
B．数轴上表示6
+ 的点与表示4
- 的点相距10
-
C．数轴上表示4
- 的点与表示4 的点相距8
-
D．数轴上表示6
- 的点与表示4
- 的点相距10
▌题型02 数轴识图与数的比较大小
【典例2】（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确
的是（ ）
A．b
a
a
b
- < - <
<
B．b
a
b
a
- < - <
<
C．a
b
b
a
< - <
< -
D．a
b
b
a
- <
< - <
【变式1】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正
确的是（ ）
A．a
b
a
b
+
= - -
B．
0
a
b
-
>
C．b
a
a
b
-
=
-
D．
1
a <
【变式2】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）有理数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列结
论：①a 与b 互为相反数；②a
b
<
；③
0
b
a
+
>
；④
0
b
a
-
>
；⑤
0
a
b >
，其中正确的是（ ）
A．①②④⑤
B．②③④
C．①③④
D．②③⑤
【变式3】（25-26 七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，且b 与c 互为相反
数，下列结论错误的是（ ）
A．
0
b
c
+
=
B．a
c
- <
C．|
| |
|
b
c
=
D．
0
a
c
-
>
【变式4】（25-26 七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的点A，B，C，D 分别表示有理数2
- ，x，2，
y，则下列结论正确的是（ ）
A．
2
y
x
y
-
<
<
<
B．2
2
y
y
- < -
<
<
C．
2
x
x
y
- <
<
<
D．
2
0
y
x
-
< - < - <
▌题型03 数轴上两点之间的距离
由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑
所有可能出现的结果．
【典例3】（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B 两点，如图，A 为数轴上表示2 的
点，若点B 到点A 的距离是3，则B 点表示的数为__________．
【变式1】（25-26 七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A 表示2
- ，点B，C 表示的数互为相反数，且C
与A 之间的距离为2，则点B 表示的数为____________．
【变式2】（25-26 七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有A ，B ，C 三点，其
中
2
AB =
，
1
BC = ，设点A ，B ，C 所对应的数的和是p ，若以A 为原点，根据点B ，C 所对应的数，计算
p 的值为______；若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且
2025
BO =
，计算p 的值为______．
【变式3】（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）如图，点A
B
、在数轴上所对应的数分别是2
1 1
6
- -
x
和3
1
3
x + ，
且满足AO
BO
=
，则x 的值为___________．
▌题型04 数轴上点的移动
【典例4】（24-25 七年级上·四川德阳·阶段检测）数轴上表示数2x 的点沿数轴移动5 个单位后到达原点，
则x 的值为_______．
【变式1】（23-24 七年级上·山西朔州·期中）在数轴上点A 表示4
- ，如果把原点O 向负方向移动1 个单位，
那么在新数轴上点A 表示的数是______．
【变式2】（25-26 七年级上·吉林四平·期中）数轴上的点A 先向左移动1 个单位长度，再向右移动7 个单位
长度到点B，点B 表示的数为3，则移动前点A 表示的数为______．
【变式3】（24-25 七年级上·四川遂宁·阶段检测）一个点从数轴原点开始，先向右移动3个单位长度，再向
右移动2 个单位长度，如图所示，由图可以看出，到达的终点是表示5 的点．
一个点从数轴上的原点开始按下列方式移动：
①向左移动2 个单位，再向左移动4 个单位长度；
②向左移动2 个单位，再向右移动5 个单位长度；
③向右移动4 个单位，再向左移动5 个单位长度；
将上述①、②和③中移动到达终点表示的数，用“<”连接起来__________．
▌题型05 数轴上单点左右运动规律探究
【典例5】（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）数轴上，点A 的初始位置表示的数为8
- ，现将点A 做如下移
动：第1 次点A 向左移动1 个单位长度至
1A ，第2 次点A 由
1A 位置向右移动2 个单位长度至
2
A ，第3 次点A
由
2
A 位置向左移动3 个单位长度至
3A ，第4 次点A 由
3A 位置向右移动4 个单位长度至
4
A ，……，按照这种
移动方式进行下去，第_________次移动之后点所表示的数绝对值为2026．
【变式1】（25-26 七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动：
第1 次：向右移动1 个单位；
第2 次：向左移动4 个单位；
第3 次：向右移动7 个单位；
第4 次：向左移动10 个单位；
．．．
记移动k 次后，动点的位置记为
kP ．对任意正整数n ，点
2n
P 与
2
1
n
P
- 的距离为___________．（用含n 的式子
表示）
【变式2】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A 的初始位置表示的数为2，将点A 做如下
移动：第1 次点A 向左移动2 个单位长度至点
1A ，第2 次从点
1A 向右移动4 个单位长度至点
2
A ，第3 次从
点
2
A 向左移动6 个单位长度至点
3A ，…按照这种移动方式进行下去，如果点
n
A 与原点的距离等于116，那么
n 的值是__________．
【变式3】（25-26 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A 两点的距离为12，一动点P 从点A
出发，按以下规律跳动：第1 次跳动到AO 的中点
1A 处，第2 次从
1A 点跳动到
1AO 的中点
2
A 处，第3 次从
2
A
点跳动到
2
A O 的中点
3A 处．按照这样的规律继续跳动到点
4
A ，
5A ，
6
A …
n
A （
3
n ³ ，n 是整数）处，经过这
样2025 次跳动后的点
2025
A
与
1A A 的中点的距离是____．
▌题型06 数轴上三角形的运动规律探究
【典例6】（25-26 七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形ABC 在数轴上的位置如图所示，点
,
A C 对
应的数分别是0，1
- ．若三角形ABC 绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1 次后点B 对应的数是
1，则翻转2025 次后，点B 对应的数是（ ）
A．不对应任何数B．2023
C．2024
D．2025
【变式1】（25-26 七年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的周长为3 个单位长度，三个顶点分别标上
A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能
与三角形上的B 重合（ ）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
【变式2】（24-25 七年级上·广东广州·期中）已知等边三角形ABC 在数轴上的位置如图所示，顶点A、C 分
别对应的数为0、1
- ．将三角形ABC 从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段AC 再次落在数轴
上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：3
+ ，2
- ，4
+ ，
5
- ，3
- ．
①第_____次滚动后，点A 离原点最远；
②当三角形ABC 结束滚动时，点C 表示的数是______．
▌题型07 数轴上正方形的运动规律探究
【典例7】（25-26 七年级上·江西萍乡·期末）正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点
,
D A对应的数分别
为0 和1，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点B 所对应的数为2；则
翻转2025 次后，数轴上数2026 所对应的点是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【变式1】（25-26 七年级上·山西大同·阶段检测）正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点A，D 对应的
数分别为1
- 和0，若正方形ABCD 绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点B 所对应的数
为2
- ，则翻转2024 次后，数轴上的数2025
-
所对应的点是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【变式2】（25-26 七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，正方形的周长为8 个单位，在该正方形的4 个顶点
处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6 的点与数轴上表示3
- 的点重合，再将数轴按顺时针方向
环绕在该正方形上，则数轴上表示2025 的点与正方形上的数字对应的是________．
【变式3】（23-24 七年级上·山西太原·期中）如图1，边长为1 个单位长度的正方形纸片的点A 与原点重合，
顶点B 与数轴上表示1 的点重合．第一次将正方形纸片从图1 的位置开始沿数轴向右滚动1 周、顶点A ，B
分别与表示4，5 的点重合．点A 记为
1A ，如图2；
第二次将正方形纸片从图2 的位置开始沿数轴向左滚动2 周，顶点A ，B 分别与表示4
- ，3
- 的点重合，点A
记为
2
A ，如图3；
第三次将正方形纸片从图3 的位置开始沿数轴向右滚动3 周，顶点A 落在数轴上的
3A 处；
第四次将正方形纸片从点A 在
1A 处的位置开始沿数轴向左滚动4 周，顶点A 落在数轴上的
4
A 处：．．．依
此规律，不断重复操作，解答下列问题．
(1)点
1A ，
2
A 之间的距离为______个单位长度，数轴上点
3A 表示的数为______．点
4
A 表示的数为______．点
3A ，
4
A 之间的距离为______个单位长度；
(2)请从下列A，B 两题中任选一题作答．我选择______题．
A 设第n （n 为正整数）次滚动结束时，顶点A 落在数轴上的点
n
A 处，
当n 为奇数时，点
n
A 表示的数为_______；
当n 为偶数时，点
n
A 表示的数为_______．
B．改变图1 中正方形纸片的位置．使顶点A 与数轴上表示2
- 的点重合，按上述规律滚动正方形纸片，设第
n （n 为正整数）次滚动结束时，顶点A 落在数轴上的点
n
A 处．请直接写出点
n
A 表示的数．
▌题型08 数轴上圆形的运动规律探究
【典例8】（24-25 七年级上·全国·单元测试）如图，周长为4 个单位长度的圆上4 等分点为P ，Q ，M ，
N ，点P 落在数轴上的2 的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上2026
-
的点是（ ）
A．M
B．N
C．P
D．Q
【变式1】（25-26 七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1 个单位长度的圆，从A 点（A 点在数轴上表示
的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点B ，则点B 表示的数是（ ）
A．p
B．1 p
+
C．2p
D．1- p
【变式2】（25-26 七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为4 个单位长度，在该圆的四等分点处分别标
上数字1
- ，0 ，1，2 ，先让圆周上表示数字1
- 的点与数轴上表示2
- 的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，
则数轴上表示2026 的点与圆周上表示________的点重合．
【变式3】（25-26 六年级上·山东东营·期末）【背景知识】
数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B 表示的数分别为a、b，则A、B 两点之间
的距离AB
a
b
=
-
．
【综合运用】
如图①，在数轴上，点A、B 表示的数分别为a、b，且满足
2
4
3
0
a
b
a
+
+
+
=
．
（1）则a =______，b = ______，A、B 两点之间的距离为______．
（2）点P 和点Q 分别从点A、点B 同时出发，都沿数轴负方向运动．点P 的运动速度为每秒1 个单位，
点Q 的运动速度为每秒3 个单位，设运动的时间为t（秒）．t 秒后，点P 对应的数是______，点Q 对应的
数是______（用含t 的代数式表示）．
【延伸拓展】
（3）如图②，半径为2 的圆从点A 沿正方向在数轴上滚动．
①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______；
②滚动n 周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？
▌题型09 数轴上的翻折问题
【典例9】（24-25 七年级上·山东济南·阶段检测）如图，一条数轴上有点A 、B ，点C 在线段AB 上，其中
点A 、B 表示的数分别是6,4
-
，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在数轴上且与点B 距离3 个单
位长度，则C 点表示的数是（ ）
A．1
B．2.5
-
或0.5
C．0.5 或3
-
D．1 或3
-
【变式1】（25-26 七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示3
- 的点与表
示1 的点重合，此时，表示数字a 的点与表示数字______的点重合（用含a 的代数式表示）
【变式2】（25-26 七年级上·天津和平·阶段检测）在一条可以折叠的数轴上，A ，B 表示的数分别是9
- ，
4 ，如图，以点C 为折点，将此数轴向右对折，若点A 在点B 的右边，且5
1
AB = ，则C 点表示的数是______．
【变式3】（25-26 七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C 从左到右依次排列，有理数a，
b，c 所对应的点分别为点A，B，C．已知a 是最大的负整数，b 是a 的相反数，
4
c =
，请回答下列问题：
(1)填空：a =________，b = ________；
(2)如图2，P 为数轴上一动点，点P 表示的数为p，现以P 为折点，将数轴向右对折．（点P 在点A 的右侧，
与点B，C 的相对位置不固定）
①若对折后点A 与点C 重合，求此时p 的值；
②若对折后A，B，C 三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p 的值．
▌题型10 数轴上的整点覆盖问题
长度为n(n 为整教)的线段，最多能够覆盖数轴上的(n+1)个整数点，最少能够覆盖数轴
上的n 个整数点.
【典例10】（2025 七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是
1cm ，若在这个数轴上任意画出一条长为4cm 的线段AB ，则线段AB 盖住的整点个数为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．3 个或4 个
D．4 个或5 个
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中
数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（ ）
A．8
-
B．9
-
C．10
-
D．11
-
【变式2】（24-25 七年级上·江苏常州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1 厘米，
若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3 个整点，则这根火柴棒的长度为
_____厘米．
【变式3】（24-25 七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我
们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1 厘米，有一条长2 米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖
住的整数点的个数．
（1）若2 米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个；
（2）若2 米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个．
▌题型11 数轴与绝对值的几何意义最值问题
求出每个绝对值等于0 时x 的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇
数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里
的任意值，整个式子都能取到最小值.
简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x 对应的点取中间点时，式子有最小值；
若绝对值的个数为偶数，则当x 对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值.
解题大招：奇取中间点，偶取中间段.
【典例11】（25-26 七年级上·江苏南京·期末）
1
x
x
a
- +
+
的最小值为3，则a 的值为（ ）
A．1
-
B．2 或4
-
C．3 或1
-
D．2
【变式1】（25-26 七年级上·浙江嘉兴·期末）已知
3
2
x
x
-
+
+
的最小值是a ，
3
2
x
x
-
-
+
的最大值是b ，
则a
b
+
= （ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【变式2】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
的最小值为______
【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】
1
2
3
a
a
a
-
+
-
+
-
的最小值是多少？
【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a 的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点
到原点的距离，那么
1
a - 可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1 的距离；
1
2
a
a
- +
-
就可以看作a 这个
数在数轴上对应的点到1 和2 两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究
1
2
a
a
- +
-
的最小值．我们先看a
表示的点可能的3 种情况，如图所示：
（1）如图①，a 在1 的左边，从图中很明显可以看出a 到1 和2 的距离之和大于1．
（2）如图②，a 在1，2 之间（包括在1，2 上），可以看出a 到1 和2 的距离之和等于1．
（3）如图③，a 在2 的右边，从图中很明显可以看出a 到1 和2 的距离之和大于1．因此，我们可以得出
结论：当a 在1，2 之间（包括在1，2 上）时，
1
2
a
a
- +
-
有最小值1．
【问题解决】
(1)
2
5
a
a
-
+
-
的几何意义是 ，请你结合数轴探究：
2
5
a
a
-
+
-
的最小值是 ．
(2)
1
2
3
a
a
a
-
+
-
+
-
的几何意义是 ，请你结合数轴探究：
1
2
3
a
a
a
-
+
-
+
-
的最小值是 ，并在图④的数
轴上描出得到最小值时a 所在的位置，由此可以得出a 的值为 ．
▌题型12 与数轴有关的新定义问题
【典例12】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“e”，规定：
a
b
a
b
a
b
=
+
+
-
e
．例如，2
5
2
5
2
5
7
3
10
=
+
+
-
=
+
=
e
．当有理数a，b 在数轴上的位置如图所示时，
化简a
b
e 得______．
【变式1】（25-26 七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知x
［］表示不超过x 的最大整数．如：
3.2
3, 0.7
1
=
-
= - ．现定义：x
x
x
=
-
，如
1.5
1.5
1.5
0.5
=
-
= -
，则
7
3.8
3
ì ü
-
-
=
í ý
î þ
______．
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期中）定义：已知点M
N
Q
、、
为数轴上三点，我们规定：点Q 到点M
的距离是点Q 到点N 的距离的K 倍，则称Q 是
,
M N 的“ K 倍点”，记作：
,
Q M N
K
=
．例如：若点Q 表
示的数为0 ，点M 表示的数为2
- ，点N 表示的数为1，则Q 是
,
M N 的“2 倍点”，记作：
,
2
Q M N =
．应
用：如图有一条数轴，A
B
P
、、
为数轴上三点，分别对应1
- ，5 ，3
- ．
,
P B A 的值是______；若点D 是数
轴上一点，且
,
3
D A B =
，则点D 表示的数______．
【变式3】（21-22 七年级上·福建泉州·期中）阅读理解，完成下则各题
定义：已知A
B
C
，，
为数轴上任意三点，若点C 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则称点C 是
,
A B
的3倍点．例如：如图1，点C 是
,
A B 的3倍点，点D 不是
,
A B 的3倍点，但点D 是
,
B A 的3倍点，根据
这个定义解决下面问题：
(1)在图1中，点A ______
,
C D 的3倍点（填写“是”或“不是”）；
,
D C 的3倍点是点______（填写A 或B 或C
或D ）；
(2)如图2 ，M
N
、
为数轴上两点，点M 表示的数是3
- ，点N 表示的数是5 ，若点E 是
,
M N 的3倍点，则
点E 表示的数是______；
(3)若P
Q
、
为数轴上两点，点P 在点Q 的左侧，PQ
a
=
，一动点H 从点P 出发，以每秒3个单位长度的速度
沿数轴向右运动，设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，点H 恰好是P 和Q 两点的3倍点？（用含a 的代数式
表示）．
▌题型13 单动点运动问题
【典例13】（25-26 七年级上·辽宁沈阳·期末）点A ，B 是数轴上的两个点，点A 表示的数为20
-
，点B 表示
的数为40，现有一动点P 从点B 出发，以2 个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t 秒，当
1
3
PA
PB
=
时，则t = ________．
【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知点A ，B 在数轴上对应的数分别为a ，b ，且
2
6
4
0
a
b
+
+
-
=
，
若动点P 在数轴上对应的数为x ，当PA ＋PB ＝16时，x 的值为______．
【变式2】（24-25 七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示，,
A B 为数轴上两点，且两点表示的数互为相反
数，点B 表示的数是1，一个动点从点A 处出发，先向右移动5 个单位长度，再向左移动4 个单位长度到达
点C ，则点C 表示的数为______．
【变式3】（23-24 七年级上·浙江舟山·期末）如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且
14
AB =
．动点P 从点A 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
s
0
t
t >
．
（1）当t = ________s时，
4
PB =
；
（2）若点P 表示的数是x ，当2
4
2
6
x
x
+
+
-
的值最小时，则t 的取值范围是________．
▌题型14 双动点运动问题
【典例14】（25-26 七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A ，C ，B 在数轴上表示的数分别是3
- ，1，
5 ．动点P ，Q 同时出发，动点P 从点A 出发，以每秒4 个单位的速度沿A→B 匀速运动．动点Q 从点C 出发，
以每秒1个单位的速度沿C
B
®
向终点B 匀速运动，设点P 的运动时间为t (s)．当点P ，Q 到点C 的距离相
等时，t 的值是______．
【变式1】（24-25 七年级上·广东深圳·期末）已知A，B 是数轴上的两个点，点A，B 所表示的数分别为5
- ，
11，动点P 以每秒4 个单位长度的速度从点A 向右运动，同时，动点M 以每秒2 个单位长度的速度从点B
向左运动，用圆规在射线AB 上截取AD
PM
=
（点D 在点A 右侧），当点D 恰好落在AB 中点时，点P 运动
时间为________秒．
【变式2】（25-26 七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在射线AB 上，动点P，Q 同时以2cm/s和1cm/s 的速
度从点A，B 向射线AB 方向运动，点M 为BP 的中点，点N 为MQ 的中点，t 秒时MN
AB =________．
【变式3】（25-26 七年级上·江西新余·期末）数轴上两点A，B 对应的数分别是a，b，已知a，b 满足
2
4
8
0
a
b
+
+
-
=
．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向点B 匀速运动，
动点Q 从点B 同时出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴向点A 匀速运动，规定其中一个动点到达终
点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．
(1) a = ，b = ，并在数轴上标出A，B 两点；
(2)【解决问题】问点P 运动多少秒与点Q 相距3 个单位长度？
▌题型15 多动点运动问题
【典例15】（25-26 七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点A ，B 表示的数分别为30
-
，10，动点N
从点A 出发以每秒6 个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点P 从点B 出发以每秒
4 个单位的速度沿负方向运动，动点Q 从原点出发以每秒3个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当
点N 回到点A 时，三点停止运动．存在常数k ，当kPQ
QN
-
在某段时间内为定值时，k 的值是__________．
【变式1】．（25-26 七年级上·河南平顶山·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，
2
AC
AB
=
，
60
AB =
，点A 对应的数是40．动点P，Q 同时从点C，A 出发向右运动，同时动点R 从点A 出发向左运动，
已知点P 的速度是点R 的速度的3 倍，点Q 的速度是点R 的速度的2 倍少4 个单位长度/秒，经过5 秒后，
点P，R 之间的距离与点Q，R 之间的距离相等，则动点Q 的速度为______个单位长度/秒．
【变式2】（25-26 七年级上·广东佛山·期末）数轴上的动点运动蕴含了丰富的数量关系与几何意义．七年级
数学研究小组在学习了数轴、代数式与方程后，开展了如下探究活动．
【探究背景】已知：在数轴上，点、、
A
B
C 分别对应的数为20
-
、10
-
、16，若动点P 从点C 出发向点A 匀
速运动，速度为每秒4 个单位，运动时间为t 秒．
【初步探究】
（1）在运动的过程中，点P 所表示的数为________，AP = ________；
（2）在点P 从C 出发的同时，动点M 从点B 出发向点A 匀速运动，速度为每秒1个单位，则点P 运动________
秒后能追上点M ；
【深入探究】
（3）在点P 从C 出发的同时，动点M 从点B 出发向点A 匀速运动，速度为每秒1个单位，动点N 从点B 出
发向点C 匀速运动，速度为每秒2 个单位．若点P 和点M 分别到达点A 后立即以原速返回，到达点C 停止；
点N 到达点C 后立即以原速返回，到达点A 停止．
①点P 运动________秒后能与点N 相遇；
②当t 为多少时，点M
N
、
之间的距离为3个单位？
【变式3】（25-26 七年级上·河南许昌·期末）已知数轴上点A、B、C 对应的数分别为a
b
c
、、，且满足
2
(
6)
2
1
a
b
c
-
+
-
+
- = 0．
(1)直接写出a
b
c
、、的值；
(2)动点M 从A 出发以1 个单位/秒向右运动，动点N 从B 出发以2 个单位/秒向右运动，动点P 从C 出发以
3 个单位/秒向右运动，三者同时出发，当点N 到点M、P 的距离相等时，求运动时间t；
(3)若点Q 从A 出发以2 个单位/秒向右运动，点R 为线段CQ 的中点，当点R 到原点的距离为4 时，求点Q
的运动时间．
▌题型16 数轴动态与代数式综合
【典例16】（25-26 七年级上·江苏·寒假作业）已知数轴上有A、B、C 三点，分别表示有理数26
-
，10
-
，
10，动点P 从A 出发，沿AC 方向，以每秒1 个单位的速度向终点C 运动，设点P 运动时间为t 秒．
(1)用含t 的代数式表示点P 到点A、C 的距离，PA = ；PC = ．
(2)当点P 运动到点B 时，点Q 从C 点出发，沿CA 方向，以每秒3 个单位的速度向A 点运动，当其中一点
到达目的地时，另一点也停止运动．
①当t = ，点P、Q 相遇，此时点Q 运动了 秒．
②请用含t 的代数式表示出在P、Q 同时运动的过程中PQ 的长．
【变式1】（25-26 七年级上·江苏南京·期中）如图①，若有理数a 和b 在数轴上表示的点分别是点A 和点
B a
b
¹
，且有理数a
b
-
对应的点在线段AB 上(包含线段的端点),则称点
,
A B 为“关联点”．
(1)下列几组有理数中，对应的点
,
A B 是“关联点”的有___________．(填写所有符合条件的序号)
①
0,
1
a
b
=
= ；②
3,
2
a
b
=
= - ；③
5,
1
a
b
=
= ；④
5,
7
a
b
=
=
(2)有理数m
n
，和m
n
-
对应的点分别为点M
N
，
和P ．已知点M
N
，
为“关联点”，点M 在数轴上的位置如
图②所示．
①若点P 到点M 和点N 的距离相等，利用刻度尺在数轴上画出点N 和点P 的位置，并标出点N 和点P 表示
的数(用含m 的代数式表示)．
②直接写出有理数n 的取值范围（用含m 的代数式表示）．
【变式2】（24-25 七年级上·湖南株洲·期末）已知A
B
C
，，
是数轴上三点，点B 表示的数为4 ，
8,
2
AB
BC
=
=
(1)点A 表示的数是 ，点C 表示的数是 .
(2)动点,
P Q 分别从A
C
、
同时出发，点P 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒1个
单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P 的运动时间为t （
0
t >
）秒．
①用含t 的代数式表示：点P 表示的数为 ，点Q 表示是数为 ；
②当
1
t = 时，点P
Q
、
之间的距离为 ；
③当点Q 在线段CB 上运动时，用含t 的代数式表示点P
Q
、
之间的距离.
【变式3】（25-26 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示
数c ，且a ，c 满足
2
2
8
0
a
c
+
+
-
=
，b 为最小正整数；
(1) a =_____，b = _____，c = _____；
(2)若将数轴折叠，使得A 点与B 点重合，则点C 与数_____表示的点重合．
(3)在（1）（2）的条件下，若点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，当代数式x
a
x
b
x
c
-
+
-
+
-
取得最
小值时，此时x =_____，最小值为_____．
(4)在（1）（2）的条件下，若在点B 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1 个单位/秒的速度向左运动；同时
另一小球乙从点C 处以2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原
来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d （用t 的代数式
表示）．
▌题型17 数轴上的定值不变问题
【典例17】（21-22 七年级上·江苏无锡·期末）同一数轴上有点
,
A C 分别表示数,a c ，且,a c 满足等式
2
16
12
0
a
c
+
+
-
=
，点B 表示的数是多项式
2
2
4
3
x
x
-
+ 的二次项系数，点
, ,
A B C 在数轴上同时开始运动，
点A 向左运动，速度为每秒3 个单位长度，点
,
B C 均向右运动，速度分别为每秒3 个单位长度和每秒4 个单
位长度，设运动时间为t 秒．若存在m 使得2AB
m BC
-
×
的值不随时间t 的变化而改变，则该定值为______．
【变式1】（24-25 七年级上·福建厦门·期末）如图，已知点O 为数轴原点，点A 在数轴上对应的数为a，
点B 对应的数为b，且
2
2
(
5)
0
a
b
+
+
-
=
．M、N 两点分别从O、B 出发以
1v 、
2v 的速度同时沿数轴负方向
迅速运动（M 在线段AO 上，N 在线段BO 上），P 是线段AN 的中点，若M、N 运动到任一时刻时，总有PM
为定值，则
1v 、
2v 满足的数量关系是________．
【变式2】（24-25 七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知点A、B、C、D 在数轴上，点A 和点C 表示的数分
别为4
- 、1，点B 在点A 的右侧，点D 在点C 的右侧，且
2
AB =
，
1
CD = ．
(1)直接写出点B 和点D 表示的数分别为： 、 ；
(2)若线段AB 沿着数轴向右以2 个单位长度/秒的速度运动，同时线段CD 沿着数轴向左以1 个单位长度/秒
的速度运动，设运动的时间为t（秒），
0
t >
．
①若点B 和点D 重合，则t 的值为 ，若点A 和点C 重合，则t 的值为 ；
②若线段AB 和线段CD 重叠部分为
1
2 个单位长度，求运动时间t 的值；
③当4
5
3
3
t
<
<
时，下面两个式子：（Ⅰ）BC
AD
+
；（Ⅱ）BC
AD
-
中有一个式子的值是定值，你认为是
定值的式子是 （填写序号），并直接写出这个定值．
【变式3】（24-25 七年级上·辽宁盘锦·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以
将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．
①若数轴上点A，点B 表示的数分别为a，b，其中AB 表示点A 和点B 之间的距离．若A，B 位置不确定
时，则AB
a
b
=
-
，若点A 在B 的右侧，即a
b
>
，则AB
a
b
=
- ；
②点A 向右运动m 个单位长度（
0
m >
）后，点A 表示的数为：a
m
+
，点A 向左运动m 个单位长度
（
0
m >
）后，点A 表示的数为：a
m
-
．
【问题情境】如图：在数轴上点A 表示数3
- ，点B 表示数1，点C 表示数9，点A、点B 和点C 分别以每
秒2 个单位长度、1 个单位长度和4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t 秒（t＞0）．
(1)运动t 秒后，点A 表示的数为 （用含t 的式子表示）；
(2)若t 秒钟过后，点B 到点A 的距离与点B 到点C 的距离相等，求t 值；
(3)当点C 在点B 右侧时，2
2
3 BC
AB
+
的值是否为定值？若是定值，直接写出这个定值；若不是定值，请说
明理由．
▌题型18 数轴的应用问题
【典例18】（25-26 七年级上·山东日照·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数
轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮
决定对数轴进行深入探究．
【应用】距离问题
点A、B 在数轴上分别表示有理数a，b，A、B 两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B 两点之间的距离
AB
a
b
=
-
．例如，数轴上3 与1 两点之间的距离表示为3 1
- ．
(1)数轴上表示3
- 和6 的两点之间的距离表示为______；数轴上表示x 和3
- 的两点之间的距离表示为______．
(2)①若
1
4
- -
=
x
，则x =______；
②若x 表示一个有理数，则
1
4
x
x
- +
+
的最小值为______，满足条件的所有整数x 的和为______．
(3)【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H 四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为
200m．已知E，F，G，H 四个小区各有2 个，2 个，2 个，1 个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起
见，这7 个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M 处汇
合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M 设置在什么位置的时候，所有学生
从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值．
【变式1】（25-26 七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）问题背景：在中学数学中，体现数形结合思想的内容较
多，数轴是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常可使一些复杂问题变得容易解决．
【问题解决】阅读以下材料，并解决问题．
如图，把一根长度为cm
a
的木棒MN 放置在一条数轴上，它的两端M ，N 分别落在点A ，B 处，将木棒在
数轴上水平移动，先向右移动，当点M 移动到点B 处时，点N 对应的数为20；再向左移动，当点N 移动到
点A 处时运动停止，点M 对应的数为5．（注：本题中，数轴上1 个单位长度代表1cm ．）
（1）求出木棒MN 的长度a 的值；
（2）求出图中点A 和点B 表示的数各是多少；
（3）若木棒MN 以每秒2cm 的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟．
【拓展应用】借助上述方法解决下面的问题：
一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40 年才出生呢；你若是我现在这么大，
我已经是116 岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？
（4）请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路．
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B 表示的数分别为a，b，则A，B 两点之间的
距离AB
a
b
=
-
．利用数轴解决以下问题：
(1)若
3
2
x -
=
，则x =________；
(2)
3
8
x
x
+
+
-
的最小值为________；
1
2
3
x
x
x
+
+
-
+
+
的最小值为________；
(3)10 月26 日，2025 年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里
古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O 的笔直跑道，跑道上有A、B、C 三个补给站，分别位
于天府广场左侧3km ，右侧5km 和右侧9km ．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作
人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C 三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A 补给站，无人机
配送B、C 补给站．工作人员配送成本为2 元/公里，无人机配送成本1 元/公里，请问，物资存放处设在何
处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费．
【变式3】（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）【定义】
点M ，N ，Q 是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点P 满足PM
PN
PQ
+
=
，则称点P 是点M ，N ，
Q 的“和谐点”．
【理解】
（1）如图①，在数轴上，点A ，B ，C ，P 表示的数分别为2
- ，0，5，1，点P 是不是点A ，B ，C 的“和
谐点”？请通过计算作出判断．
（2）点A ，B ，C 是一条直线上从左到右的三个点，且
2
AB =
，
3
BC =
，若点P 是点A ，B ，C 的“和谐
点”，求PA 的长．
【拓展】
（3）如图②，在数轴上，点A ，B ，C 表示的数分别为a ，
4
a +
，
8
a + （a 是整数），点P 在点A 的左侧，
且点P 是点A ，B ，C 的“和谐点”，点A ，B ，C ，P 表示的数之和是否能被4 整除？请通过计算作出判断．
▌题型19 数轴旋转综合问题
【典例19】（23-24 七年级上·江苏扬州·期末）规律发现：
（1）在学完《数轴》这节课后，完成以下三空：
①点A 表示的数是2 ，点B 表示的数是6 ，则线段AB 的中点C 表示的数为______；
②点A 表示的数是5 ，点B 表示的数是7 ，则线段AB 的中点C 表示的数为______；
③发现：点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，则线段AB 的中点C 表示的数为______．
直接运用：
（2）将数轴按图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为
3
x-
，点B 表示的
数为2
1
x + ，C 表示的数为
1
x- ，则x 的值为______，若将ABC
V
从图中位置向右滚动，则数字2024 对应的
点将与ABC
V
的顶点______重合．
类比迁移：
（3）如图（2），OB
OX
^
，OA
OC
^
，
30
COX
Ð
=
°，若射线OA绕O 点每秒30°的速度顺时针
．．．旋转，射线
OB 绕O 点每秒20°的速度顺时针
．．．旋转，射线OC 以每秒10°的速度逆时针
．．．旋转，三线同时旋转，当一条射线
与直线OX 重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
【变式1】（24-25 七年级上·河北·阶段检测）如图1 和图2，数轴1l 与2l 交于公共原点O，点M，N 在数轴1l
上且表示的数分别为2 和3
- ，点P 在数轴2l 上，且OP
OM
=
．初始状态下
60
POM
Ð
=
°．
(1)如图1，若线段MN 中点为A，求点A 在数轴1l 上表示的数；
(2)如图1，若点P 在数轴2l 上表示的数是4，将数轴2l 绕点O 旋转过程中，当数轴2l 经过点N 时，直接写出
点N 在数轴2l 上表示的数为多少？
(3)如图2，将OP 绕点O 逆时针旋转°
a 得到OP¢，将OM 绕点O 逆时针旋转2a°得到OM¢ （其中
0
180
a £
＜
）．在整个旋转过程中，当
P OM
Ð ¢
¢ 被数轴1l 或2l 平分时，直接写出所有符合条件的a 值．
【变式2】（24-25 七年级上·山东济南·阶段检测）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变
换．请阅读下列素材，完成探究任务．
【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图1），其中点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，点C
表示的数为c．已知a、b、c 满足
2
2
3
6
7
a
c
b
+
+
+
= -
-
．
【素材2】通达小组分别以“灵动数轴”中的点A 和点B 为中心旋转一定角度，形成了如图2 所示的“数轴阶
梯”，其中点A 和点B 之间的部分（包括点A 和点B）叫做“阶梯坡面”．
【任务1】在“灵动数轴”中，a =_______，b = ________，c = ______；
【任务2】折叠“灵动数轴”，使点B 与点C 重合，求此时与点A 重合的点所表示的数；
【任务3】点D 落在“阶梯坡面”上，
7
BD =
．现在动点P、Q 同时开始运动：点P 从点C 出发，以3 个单位
长度/秒的速度向点A 运动，过点A 后以2 个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5 个单位长度/秒的速度
“下坡”至终点A；点Q 从点D 出发，以1 个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另
一个点也立即停止运动．当点P 在“阶梯坡面”上运动时，满足2
9
AQ
PQ
=
，若此时点P 的运动时间为t 秒，
请直接写出t 的值．
【变式3】（25-26 七年级上·福建龙岩·阶段检测）数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之
间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移．
（1）若点A 表示的数是x ，点B 表示的数是3，
4
AB =
，求x 的值．
（2）如图1，已知数轴上A，B，C 三个点表示的数分别是a，b，c，且
10
0
c -
=
，若点A 沿数轴向右移动
12 个单位长度后到达点B ，且点A，B 表示的数互为相反数．动点P，Q 分别同时从点A，C 出发，点P 以
每秒1 个单位长度的速度向终点C 移动，点Q 以每秒2 个单位长度的速度向终点A 移动，点P 表示的数为
y ．当点P，Q 之间的距离为2 时，求此时y 的值．
【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图2：标记射线OA表示0°，规定顺
时针方向为正方向，选取1°为单位角度．若射线OM 表示m°，射线ON 表示n° ，则
MON
n
m
Ð
=
-
° ：
【应用】（3）如图3 所示，已知
60
AOC
Ð
=
° ，
30
BOD
Ð
=
° ，
15
AOB
Ð
=
°，射线OB ，OD 同时绕点O 以5 / s
°
的速度顺时针旋转，设旋转时间为
0
27
t
t
< <
秒 ．当t 为何值时，
4
AOB
COD
Ð
= Ð
？
