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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 15 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第二章 实数·基础通关 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．下列实数中是无理数的是（ ） A．22 7 B． 3 8 − C．10 D．3.14 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，只需根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，化简 各选项后即可判断. 【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有 理数. ∵ 22 7 是分数，属于有理数， 3 8 2 − = −，2 −是整数，属于有理数， 3.14是有限小数，属于有理数， 10 开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 2．当 3 x = 时，下列二次根式没有意义的是（ ） A． 4 x − B． 4 x − C．3 x + D．3 x − 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件逐个分析即可． 【详解】解： 3 x = ， 4 4 3 1 0, 4 3 4 1 0,3 3 3 6 0,3 3 3 0 x x x x − = − = − = − = − + = + = − = − = ， 二次根式没有意义的是 4 x − ． 3．若n 为正整数，并且使得5n 是一个最简二次根式，则n 的值不可能是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当 1 n = 时，5 5 n = ，不含能开得尽方的因数，5 是最简二次根式； B．当 2 n = 时，5 10 n = ，不含能开得尽方的因数，10 是最简二次根式； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 15 C．当 3 n = 时，5 15 n = ，不含能开得尽方的因数，15 是最简二次根式； D．当 4 n = 时， 2 5 20 2 5 n = = ，含有能开得尽方的因数 2 2 ， 20 2 5 = ，不是最简二次根式，即n 的值不 可能是4 ． 4．如图，数轴上点N 表示的数可能是（ ） A．15 B．5 C．7 D．10 【答案】D 【分析】根据数轴可得点N 表示的数大于3 且小于3.5，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取 值范围即可得到答案． 【详解】解：设点N 所代表的数为x ， 由数轴可知：3 3.5 x ，即9 12.25 x ，故B、C 错误， ∵9 10 12.25 15 16 ， ∴数轴上点N 表示的数可能是10 ． 5．下列计算正确的是（ ） A．2 3 3 3 + = B．12 4 3 = C．27 3 3 = D．( ) 2 3 3 − = − 【答案】C 【详解】解：对于选项A：2 3 3 3 3 3 + = ，故A 错误； 对于选项B：12 4 3 2 3 4 3 = = ，故B 错误； 对于选项C： 27 3 27 3 9 3 = = = ，故C 正确； 对于选项D：( ) 2 3 9 3 3 − = = −，故D 错误． 6．若2 2 a − ，则化简( ) ( ) 2 2 5 5 a a + + − 的结果为（ ） A．2a B．2 5 C．2 5 − D．2a − 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 15 【详解】解： 2 2 a − ，且2 5 3 ， 5 0 a + ， 5 0 a − ( ) ( ) 2 2 5 5 + + − a a 5 5 a a = + + − ( ) 5 5 a a = + + − 5 5 a a = + + − 2 5 = ． 7．如图，在数轴上，若点A表示的实数是 5 − ，以原点O为圆心，OA为半径画弧，点B 为弧上一点，过 点B 向数轴作垂线，垂足为点C ，点C 表示的实数是2 ，则点B 到数轴的距离BC 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据点A在数轴上的位置求出OA的长，由圆的半径相等得出OB 的长，再在Rt OBC 中利用勾股 定理求出BC 的长即可 【详解】解：点A表示的实数是 5 − ， | 5 | 5 OA = − = ， 以原点O为圆心，OA为半径画弧，点B 为弧上一点， 5 OB OA = = ， 点C 表示的实数是2 ，且BC OC ⊥ ， 2 OC = ， 90 OCB = ， 在Rt OBC 中，由勾股定理得： 2 2 2 2 ( 5) 2 5 4 1 BC OB OC = − = − = − = ． 8．小南按图的方法把边长为5cm和3cm 的两个正方形切割成5 块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正 方形的边长是( ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 15 A．4cm B．8cm C．34cm D．34cm 【答案】C 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：左图两个正方形的面积之和为 ( ) 2 2 2 5 3 25 9 34 cm + = + = ， 所以右图的正方形的面积为 2 34cm ，边长为34cm． 9．已知a，b 在数轴上的位置如图所示，化简 ( ) 3 2 3 a a b a b − + − − 的结果是（ ） A．a B． 2 a b − C． 2 a b −+ D．3a − 【答案】C 【分析】先根据图示判断出 0 a ， 0 b ， 0 a b + ，然后化简进行计算即可． 【详解】解：∵a 在0 的左边，b 在0 的右边，且a b ， ∴ 0 a ， 0 b ， 0 a b + ， ∴ ( ) 3 2 3 a a b a b − + − − , ( ) ( ) a a b a b = −+ + − − , a a b a b = −+ + −+ , 2 a b = −+ ． 10．如图，在ABC 中， 2 5, 3 2 AB BC = = ，点D 是BC 上一点，且 2 BD DC = ，连接AD．若 2 3 AD = ， 则ABC 的面积为（ ） A．2 6 B．3 6 C．4 5 D．6 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 15 【答案】B 【分析】先根据 2 BD DC = 及BC 的长求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理判断ABD 为直角三角形， 从而得出AD BC ⊥ ，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解： 3 2 BC = ， 2 BD DC = ， 2 2 2 3 BD BC = = ， 在ABD 中， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 8 12 20 BD AD + = + = + = ， ( ) 2 2 2 5 20 AB = = ， 2 2 2 BD AD AB + = ， ABD △ 是直角三角形，且 90 ADB = ， AD BC ⊥ ， 1 1 3 2 2 3 3 6 2 2 ABC S BC AD = = = ． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．若最简二次根式 2 a + 与5 是同类二次根式，则a =________． 【答案】 3 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式，据此列式解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式 2 a + 与5 是同类二次根式， ∴ 2 5 a + = ， 解得 3 a = ． 12．已知 5 a + 是4 的算术平方根，2 6 b −的立方根是2，则3a b − + 的平方根是________． 【答案】4 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于a 和b 的等式，求出a 、b 的值后代入计算3a b − + ，最 后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵ 5 a + 是4 的算术平方根，4 的算术平方根是2 ， ∴ 5 2 a + = ， 解得 3 a = −， ∵2 6 b −的立方根是2 ， ∴ 3 2 6 2 8 b − = = ， 解得 7 b = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 15 将 3 a = −， 7 b = 代入3a b − + 得 ( ) 3 3 3 7 16 a b − + = −− + = ， ∵16的平方根是4 ， ∴3a b − + 的平方根是4 ． 13．已知，当 0 x ， 0 y 时， y xy y x x x = = ，则当 0 x ， 0 y 时，化简 y x = _______（直接写化简结 果）． 【答案】 xy x − 【分析】利用化去根号内的分母的方法，结合二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵ 0 x ， 0 y ， ∴ 2 2 xy xy xy y xy x x x x x = = = = − − ． 14．对于任意的正数a 、b ，定义一种新的运算“★”，a b ab a = − ★ ；如：3 4 3 4 3 3 = − = ★ ，计 算2 9 ★的结果为_____． 【答案】2 2 【详解】解：由题意可知：2 9 2 9 2 = − ★ 3 2 2 = − 2 2 = ． 15．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二 阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则a b − = __________． 【答案】0 【分析】设内圆圆周上未知的数为c，根据外圆竖直方向直径上四个数的和等于内圆圆周上四个数的和列式， 即可求解． 【详解】解：设内圆圆周上未知的数为c， 由题意得： 32 3 2 18 32 a c b c + + + = + + + ， ∴ 18 3 2 3 2 3 2 0 a b − = − = − = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 15 16．实数,p q满足 3 4 0 p q − + − = ，则以,p q为边长的直角三角形的第三边长为_____． 【答案】5 或7 【分析】先利用非负性求出,p q的值，再分q 为直角边和q 为斜边两种情况，结合勾股定理求解第三边长即 可． 【详解】解： 3 4 0 p q − + − = ， 3 0, 4 0 p q − = − = ， 解得 3, 4 p q = = ， 当4 为直角边时，第三边为斜边，第三边长为 2 2 3 4 25 5 + = = ； 当4 为斜边时，第三边为直角边，第三边长为 2 2 4 3 7 − = ； 综上可知，第三边长为5或7 ． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．求下列各式中x 的值： (1) ( ) 2 4 1 49 x + = ； (2)( ) 3 3 1 64 0 x − + = ． 【答案】(1) 5 2 x = 或 9 2 x = − (2) 1 x = − 【详解】（1）解：( ) 2 4 1 49 x + = ， 两边同除以4 得：( ) 2 49 1 4 x + = ， 开平方得： 7 1 2 x + = ， 解得： 5 2 x = 或 9 2 x = − ； （2）解：( ) 3 3 1 64 0 x − + = ， 移项得：( ) 3 3 1 64 x − = − ， 开立方得：3 1 4 x −= −， 解得： 1 x = −． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 15 18．计算： (1)4 15 2 3 5 (2)( ) 2 1 2 3 2 3 2 3 − + ． 【答案】(1)10 (2)5 【详解】（1）解：4 15 2 3 5 2 15 3 5 = 2 25 = 2 5 = 10 = ； （2）解：( ) 2 1 2 3 2 3 2 3 − + 1 2 2 6 3 6 2 3 = − + + 2 5 2 6 6 3 = − + 6 5 2 6 6 3 = − + 5 2 6 2 6 = − + 5 = ． 19．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． · 1.2 − ① ， 3 8 ② ， 0.3 ③ ， π 3 − ④ ， 64 − ⑤ ， 0 ⑥， 2.010010001 ⑦ （每两个1之间多一个0 ）， 22 7 ⑧ ， 3 ⑨ ． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【答案】②⑤⑥；①②③⑤⑥⑧；④⑦⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数是有理数和无理数的统称，有理数 是整数和分数的统称，无限不循环小数叫做无理数．根据整数、有理数、无理数的定义逐个数进行判断即 可． 【详解】解： · 1.2 − ① 是无限循环小数，故不是整数，是有理数； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 15 3 8 2 = ② ，是整数，也是有理数； 0.3 ③ 是有限小数，是有理数， ④是无限不循环小数，所以 3 − 也是无限不循环小数，故是无理数； 64 8 − = − ⑤ ，是整数，也是有理数； 0 ⑥是整数，也是有理数； 2.010010001 ⑦ （每两个1之间多一个0 ）是无限不循环小数，故是无理数； 22 7 ⑧ 是分数，故是有理数； 3 ⑨ 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数． 综上，属于整数的有：②⑤⑥； 属于有理数的有：①②③⑤⑥⑧； 属于无理数的有：④⑦⑨． 故答案为：②⑤⑥；①②③⑤⑥⑧；④⑦⑨． 20．已知5 2 a + 的立方根是3，3 1 a b + −的算术平方根是4 ，c 是17 的整数部分． (1)求a ，b ，c 的值； (2)求2 4 a b c + + 的平方根． 【答案】(1) 5 a = ， 2 b = ， 4 c = (2) 2 7 ± 【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得a，b 的值，然后利用无理数的估算求得c 的值即可； （2）将a，b，c 的值代入2 4 a b c + + 中计算，再根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解： 5 2 a + 的立方根是3，3 1 a b + −的算术平方根是4 ， 3 5 2 3 27 a + = = ， 2 3 1 4 16 a b + −= = 解得： 5 2 a b = = ， ； 16 17 25 ， 4 17 5 ， c 是17 的整数部分， 4 c = ； （2） 5 a = ， 2 b = ， 4 c = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 2 4 2 5 2 4 4 28 a b c + + = + + = ， 2 4 a b c + + 的平方根为 28 2 7 = ． 21．阅读与思考： 形如 2 m n 的化简，只要我们找到两个数a，b，使得a b m + = ，ab n = ， 这样( ) ( ) 2 2 a b m + = ， a b n = ， 那么便有 ( ) 2 2 ( ) m n a b a b a b = = ． 例如：化简 7 4 3 + ． 解：首先把 7 4 3 + 化为7 2 12 + ，这里 7 m = ， 12 n = ． 由于4 3 7 + = ，4 3 12 ? ，( ) ( ) 2 2 4 3 7 + = ， 4 3 12 = ( ) 2 7 4 3 7 2 12 4 3 2 3 + = + = + = + ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1) 11 2 30 − ； (2) 7 40 + ． 【答案】(1) 6 5 − (2) 5 2 + 【分析】（1）令 11, 30 m n = = ，根据5 6 11,5 6 30 + = = ，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为 7 2 10 + ，令 7, 10 m n = = ，根据5 2 7,5 2 10 + = = 结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令 11, 30 m n = = ， ∵5 6 11,5 6 30 + = = ，( ) ( ) 2 2 5 6 5 6 11 + = + = ，5 6 30 = ， ∴ ( ) 2 11 2 30 6 5 6 5 − = − = − ； （2）解： 7 40 7 2 10 + = + ， 令 7, 10 m n = = ， ∵5 2 7,5 2 10 + = = ，( ) ( ) 2 2 5 2 5 2 7 + = + = ，5 2 10 = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / ∴ ( ) 2 7 40 7 2 10 5 2 5 2 + = + = + = + ． 22．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x 的值为9 时，输出y =______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x 的值 可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，5 7 ， 1 3 − ． (3)小明输入了某个x 的值后得到了2 ，请你写出2 个不同的x 值． 【答案】(1) 3 (2)输入x 的值可能是 1 3 − ，理由见解析 (3)2 或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9 的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术 平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为2 时，则输入的数为2 的平方，第二次取算术平方根后输出的 结果为2 ，则输入的数为2 的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：9 3 = 是有理数， 3 是无理数， ∴当输入x 的值为9 时，输出 3 y = ； （2）解：输入x 的值可能是 1 3 − ，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x 的值可能是 1 3 − ； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为2 时，则输入的数为2， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 当第二次取算术平方根后输出的结果为2 时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为 2 2 4 = ， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为2 时，则输入的数为 2 4 16 = ，……， ∴输入的数可以为2 或4． 23．阅读素材： 3 1 1 4 2 − = ， 5 2 1 9 3 − = ， 7 3 1 16 4 − = ， 9 4 1 25 5 − = …按照此规律： (1)初步探究： ①填空： 17 1 81 − ________________； ②计算： 3 5 7 89 1 1 1 1 4 9 16 2025 − − − − ； (2)迁移应用：计算： 5 7 9 91 1 1 1 1 4 9 16 2025 + + + + 【答案】(1)①8 9 ；②1 45 (2)23 【分析】（1）①总结题中规律，即可解答； ②根据①中规律解答即可； （2）总结题中规律，即可解答； 【详解】（1）解：①∵ 3 1 1 1 4 4 2 − = = ， 5 4 2 1 9 9 3 − = = ， 7 9 3 1 16 16 4 − = = ， 9 16 4 1 25 25 5 − = = …， ∴ 2 2 1 1 ( 1) 1 n n n n + − = + + （n 是正整数，且 1 n ）； ∴ 17 64 8 1 81 81 9 − = = ； ②根据①中规律可得：当 44 n = 时， 89 44 1 2025 45 − = ， ∴ 3 5 7 89 1 1 1 1 4 9 16 2025 − − − − 1 2 3 44 = 2 3 4 45 1 = 45 ． （2）解：∵ 5 9 3 1 4 4 2 + = = ， 7 16 4 1 9 9 3 + = = ， 9 25 5 1 16 16 4 + = = ，…， ∴ 2 2 1 1 1 m m m m + + + = （m 是正整数，且 2 m ）； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 最后一项中 2 2025 45 = ，2 45 1 91 + = ，符合规律， ∴ 5 7 9 91 1 1 1 1 4 9 16 2025 + + + + 3 4 5 46 = 2 3 4 45 =23． 24．再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50 年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三 边长求其面积的海伦公式 ( )( )( ) S p p a p b p c − − − = （其中a 、b 、c 为三角形的三边长， 2 a b c p + + = ，S 为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： 2 2 2 2 2 2 1 4 2 a b c S a b + − = − ，其中三角形边长分别为a 、b 、c ，三角形的面积为S． 【解决问题】 (1)已知如图在ABC 中， 10 AB = ， 7 AC = ， 9 BC = ．ABC 的面积______； (2)当ABC 的三边长分别为 3 a = ， 7 b = ， 10 c = 时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设AB 边上的高为 1h ，BC 边上的高为 2h ，AC 边上的高为 3h ，求 1 2 3 h h h + + 的值． 【答案】(1)6 26 (2) 3 6 2 (3) 446 26 105 【分析】（1）利用海伦公式进行计算即可； （2）利用秦九韶公式进行计算即可； （3）用等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：∵ 10 AB = ， 7 AC = ， 9 BC = ， ∴ 10 7 9 13 2 p + + = = ， ∴ABC 的面积 ( ) ( ) ( ) 13 13 10 13 7 13 9 6 26 = − − − = ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / （2）解：∵ 3 a = ， 7 b = ， 10 c = ， ∴这个三角形的面积为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 7 10 1 3 7 4 2 + − − ( ) 2 1 9 7 3 4 = − 3 6 2 = ； （3）解：由题意， 1 2 3 1 1 1 6 26 2 2 2 AB h BC h AC h = = = ， ∵ 10 AB = ， 7 AC = ， 9 BC = ， ∴ 1 3 2 6 26 12 26 4 26 , , 5 7 3 h h h = = = ， ∴ 1 2 3 6 26 4 26 12 26 446 26 5 3 7 105 h h h + + = + + = . 25．定义：因为( )( ) a b a b c + − = ，c 是有理数，所以称a b + 与a b − 是关于c 的“美好数”． 例如：( )( ) ( ) ( ) 2 2 5 3 5 3 5 3 2 + − = − = ，则称5 3 + 与5 3 − 是关于2 的“美好数”．当已知5 3 + 与m 是关于2 的“美好数”，求m 的值时，可用 ( ) ( )( ) ( ) 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 5 3 5 3 m − − = = = = − + + − 来 得到． (1) 2 1 + 关于1 的“美好数”是__________； (2)若y 是5 1 + 关于4 的“美好数”，求 2 2 2026 y y + + 的值； (3)化简： 1 1 1 3 1 5 3 81 79 + + + + + + ． 【答案】(1) 2 1 − (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到 5 1 y = −，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：2 1 + 关于1 的“美好数”是 1 2 1 2 1 = − + ； （2）解：∵y 是5 1 + 关于4 的“美好数”， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / ∴ 4 5 1 5 1 = = − + y . ∴ ( ) ( ) 2 2 2 2 2026 2 1 2025 1 2025 2030 y y y y y + + = + + + = + + = ． （3）解： 1 1 1 3 1 5 3 81 79 + + + + + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 1 5 3 81 79 3 1 3 1 5 3 5 3 81 79 81 79 − − − = + + + + − + − + − 2 2 2 3 1 5 3 81 79 = − − − + + + ( ) 1 3 1 5 3 81 79 2 = − + − ++ − ( ) 1 81 1 2 = − ( ) 1 9 1 2 = − 4 = ．
