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2026-2027学年七年级上学期数学周周测06
第一章有理数+第二章有理数综合训练
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
1．下列四个数中，是负整数的是（ ）
A．−
1
2
B．0
C．− 3
D．7
【答案】C
【详解】解：A．−
1
2是负分数，不符合题意；
B．0既不是正数也不是负数，不符合题意；
C．− 3是负整数，符合题意；
D．7是正整数，不符合题意．
2．
− ( − 5)；
−|− 5|；
2
( − 5) ；
−
2
5 ；
−
4
( − 5) ；
−
3
( − 5) ，其结果为正数的有几个（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】根据相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算化简各数即可求解．
【详解】解：
−(−5)=5是正数；
−|−5| =−5，是负数；
2
(−5) =25，是正数；
−
2
5 =−25，是负数；
−
4
(−5) =−625，是负数；
−
3
(−5) =125，是正数，
为正数．故选C．
【点睛】本题考查了相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算，正确的化简各数是解题的关键．
3．如图，在生产图纸上通常用∅
+ 0 . 2
− 0 . 5
300
（单位：mm）来表示零件的加工要求，其中∅ 300表示直径是300mm
，+ 0 . 2和− 0 . 5是指直径在(300 − 0 . 5) mm到(300 + 0 . 2) mm之间的零件都属于合格零件．现加工一批
零件，尺寸要求是∅
+ 0 . 5
− 0 . 4
80
（单位：mm），下列零件不合格的是（ ）
A．79 . 7mm
B．79 . 5mm
C．80 . 3mm
D．80 . 5mm
【答案】B
【分析】本题考查正数和负数的知识，有理数的加减运算的实际应用，设该零件的直径为ᵅmm，根据尺寸
要求是∅
+ 0 . 5
− 0 . 4
80
（单位：mm），可知79 . 6 ≤ ᵅ ≤ 80 . 5，只有79 . 5mm不在规定的范围内，所以79 . 5mm
不合格．
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【详解】解：设该零件的直径为ᵅmm，
根据题意可得：80 − 0 . 4 ≤ ᵅ ≤ 80 + 0 . 5，
整理得：79 . 6 ≤ ᵅ ≤ 80 . 5，
∵ 79 . 5<79 . 6，
∴ 79 . 5mm不合格．
故选：B．
4．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）
A．ᵄ − ᵄ>0
B．ᵄᵄ<0
C．ᵄ + ᵄ + ᵅ>0
D．|ᵄ| > |ᵅ|
【答案】D
【分析】根据数轴判断ᵄ , ᵄ , ᵅ的符号及绝对值的大小．
【详解】解：由数轴可知ᵄ<ᵄ<0<ᵅ，
∵ ᵄ<ᵄ，
∴ ᵄ − ᵄ<0，故选项A错误，不符合题意；
∵ ᵄ<0 , ᵄ<0，
∴ ᵄᵄ>0，故选项B错误，不符合题意；
由数轴观察可知，b到原点的距离大于c到原点的距离，即|ᵄ| > |ᵅ|，
故选项D正确，符合题意；
∵ ᵄ<0 , ᵄ<0 , ᵅ>0，且|ᵄ| > |ᵅ|，
ᵄ + ᵅ<0，
ᵄ + ᵄ + ᵅ<0，故选项C错误，不符合题意．
5．下列说法：
相反数等于本身的数是0；
绝对值等于本身的是正数；
倒数等于本身的数是± 1；
平方等于本身的数是0和1；
平方为9的数是3；
有绝对值最小的有理数．正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据相反数、绝对值、倒数、有理数乘方的定义逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到结果.
【详解】解：
只有0的相反数等于本身，
正确；
绝对值等于本身的数是正数和0，不只是正数，
错误；
倒数等于本身的数是1和− 1即± 1，
正确；
2
0 = 0，
2
1 = 1，其余数的平方都不等于本身，
平方等于本身的数是0和1，
正确；
2
3 = 9，( − 3
2) = 9，
平方为9的数是± 3，不只是3，
错误；
绝对值最小的有理数是0，存在绝对值最小的有理数，
正确；
综上，正确的说法共4个.
6．下列各式运用运算律不正确的是（ ）
A．(− 4) × 8 = 8 × (− 4)
B．[(− 3) × 2] × (− 5) = (− 3) × [2 × (− 5)]
C．12 ÷ (
1
3 +
1
4 −
1
2 ) = 12 ÷
1
3 + 12 ÷
1
4 − 12 ÷
1
2
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D．(− 6) × [
1
2 + (−
1
3)] = (− 6) ×
1
2 + (− 6) × (−
1
3)
【答案】C
【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义．
结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正
确即可．
【详解】解：选项A运用乘法交换律ᵄ × ᵄ = ᵄ × ᵄ，运算律运用正确；
选项B运用乘法结合律(ᵄ × ᵄ) × ᵅ = ᵄ × (ᵄ × ᵅ)，运算律运用正确；
选项C中，除法无分配律，运算律运用错误；
选项D运用乘法分配律ᵄ × (ᵄ + ᵅ) = ᵄ × ᵄ + ᵄ × ᵅ，运算律运用正确；
故选：C．
7．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（ ）
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
【答案】C
【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即
可得到答案．
【详解】解：被盖住的整数有− 6 ,− 5 ,− 4 ,− 3 ,− 2 , 1 , 2 , 3 , 4，共9个．
故选：C．
8．福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为0 ∶ 1，丙队与丁
队的比赛结果为2 ∶ 0．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作− 1，则丙队的净胜球数应记作（ ）
A．− 2
B．− 1
C．+ 1
D．+ 2
【答案】D
【分析】先明确净胜球数的计算方法为：净胜球数=进球数−失球数，结合题目给出的甲队净胜球验证计
算规则，再计算丙队的净胜球数即可得到答案．
【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数=进球数−失球数，
甲队与乙队的比赛结果为0 ∶ 1，即甲队进球数为0，失球数为1，
甲队的净胜球数为0 − 1 =− 1，记作− 1，
丙队与丁队的比赛结果为2 ∶ 0，即丙队进球数为2， 失球数为0，
丙队净胜球数为2 − 0 =+ 2，即丙队的净胜球数应记作+ 2．
9．居民生活用水通常按户计费，下表是我县居民生活用水的收费标准（户口不超过5人），称这样的收费
方式为阶梯计价．冬冬家有4个人，2025年12月的用水量为48立方米，则冬冬家12月应交水费为（ ）
天峨县城区供水价格表
一、居民生活用水
价格（元）
第一阶梯：月用水量≤ 35立方米/户
3.99
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第二阶梯：35立方米/户<月用水量≤ 50立方米/户
5.44
第三阶梯：月用水量>50立方米/户
6.88
A．191.52元
B．210.37元
C．261.12元
D．330.24元
【答案】B
【分析】根据收费规则，列出算式进行计算即可.
【详解】解：3 . 99 × 35 + 5 . 44 × (48 − 35) = 210 . 37（元）.
10．当ᵆ ≠− 1时，我们把−
1
ᵆ + 1 称为x的“和1负倒数”．如：2的“和1负倒数”为−
1
2 + 1 =−
1
3，若
1
ᵆ= 1，
2
ᵆ是
1
ᵆ
的“和1负倒数”，
3
ᵆ是
2
ᵆ的“和1负倒数”…依次类推，则
1
ᵆ⋅
2
ᵆ⋅⋯⋅
10
ᵆ的值为（ ）
A．1
B．− 1
C．
1
2
D．−
1
2
【答案】A
【分析】通过计算发现每3次运算结果循环出现，且
1
ᵆ·
2
ᵆ·
3
ᵆ= 1，又由10 ÷ 3 = 3 ··· 1，从而可得答案．
【详解】解：
1
ᵆ= 1，
2
ᵆ=−
1
1
ᵆ
+ 1 =−
1
2，
3
ᵆ=−
1
2
ᵆ
+ 1 =−
1
−
1
2 + 1 =− 2，
4
ᵆ=−
1
3
ᵆ
+ 1 =−
1
− 2 + 1
= 1， …
每3次运算结果循环出现，且
1
ᵆ·
2
ᵆ·
3
ᵆ= 1，
10 ÷ 3 = 3 ··· 1，
10
ᵆ
= 1，
1
ᵆ⋅
2
ᵆ⋅⋯⋅
10
ᵆ
= 1 × 1 × 1 × 1 = 1，
故选A．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，找到结果的循环规律是解题的关键．
填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作+ 300元，则从银行取出150元记作_____元
．
【答案】− 150
【详解】解：∵存入银行300元记作+ 300元，
∴从银行取出150元记作− 150元．
12．2025年长沙市GDP总量约为1 . 57万亿元，全国城市GDP排名第15位．将数据1570000000000用科学
记数法表示为 ．
【答案】1 . 57 ×
12
10
【详解】解：1570000000000 = 1 . 57 ×
12
10 ．
13．已知数轴上A、B两点之间距离为7（A在B的左侧），将数轴折叠，使
3表示的点与1表示的点重合，
此时A、B两点间的距离为1，那么点A表示的数为 ________．
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【答案】﹣4或﹣5/﹣5或﹣4
【分析】根据数
3表示的点与数1表示的点重合，找到折痕的点为
1，由此即可解决问题．
【详解】解：
数
3表示的点与数1表示的点重合，
折痕的点为
1，
数轴上A、B两点之间距离为7（A在B的左侧），
设点A表示的数是x，则A关于-1的对称点表示的数为-2-x，点B表示的数是x+7，
折叠后，A、B两点间的距离为1，
|(− 2 − ᵆ) −(ᵆ + 7)| = 1，
解得x＝
4或
5，
A点表示的数分别是
4或
5．
故答案为：
4或
5．
【点睛】本题考查数轴的知识，运用数轴上两点的距离公式解题的关键．
14．按下列所示的程序计算：
若开始输入的ᵆ的值为− 1，则最后输出的结果是___________．
【答案】4
【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据程序运算图进
行代值求解即可．
【详解】解：由题意得：
2
(− 1) × 2 − 4 = 2 − 4 =− 2<0，
2
(− 2) × 2 − 4 = 8 − 4 = 4>0，
最后输出的结果是4；
故答案为：4．
15．规定图形
表示运算ᵄ − ᵄ + ᵅ，图形
表示运算ᵆ + ᵆ − ᵆ − ᵱ，则
+
=___________．
【答案】0
【分析】
由题意知：
表示运算为1 − 2 + 3，
表示运算为4 + 6 − 7 − 5，然后把这两个代数
式相加计算出结果．
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【详解】由题意，得
= 1 − 2 + 3 = 2，
= 4 + 6 − 7 − 5 =− 2，
＋
= 2 + ( − 2) = 0．
故答案为：0．
【点睛】本题是新定义运算，主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是弄清基本图象如何转化成常见
运算的形式．
16．如图，等边三角形ᵃᵃᵃ的边长为1，先让等边三角形的顶点ᵃ，ᵃ分别与数轴上的数− 2和− 3重合，再
让等边三角形ᵃᵃᵃ沿着数轴按顺时针方向滚动，则数轴上的数2025与等边三角形上重合的字母为____．
【答案】C
【分析】本题考查数轴上两点间距离，整数计算规律问题等．根据题意先计算出点− 2到数2025间距离为
，再根据等边三角形ᵃᵃᵃ可知每转动一周经过数轴上3个单位长度，继而得到本题答案．
【详解】解：∵等边三角形ᵃᵃᵃ的边长为|− 2 −(− 3)| = 1，
ᵃᵃᵃ每滚动一周经过数轴上3个单位长度，
数轴上数− 2与数2025表示的点的距离为：2025 −(− 2) = 2027，
2027 ÷ 3 = 675…2，
∵开始时顶点ᵃ与数轴上的数− 2重合，等边三角形ᵃᵃᵃ沿着数轴按顺时针方向滚动，
数轴上的数2025与等边三角形上重合的字母为C．
故答案为：C．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（每小题4分，共8分）计算：
(1)
2014
(− 1)
+ (−
3
4) + 2
1
6 −(− 1
3
4) −(−
5
6)；
(2)−
2
3 + [
2
(−
1
3) ×
3
(− 3) + (1 − 1
3
5 ÷
2
2
5 )]；
【答案】(1)5
(2)− 5
(3)− 13
(4)− 8
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【详解】（1）解：
2014
(− 1)
+ (−
3
4) + 2
1
6 −(− 1
3
4) −(−
5
6)
= 1 +(−3
4) + 2 1
6 + 1 3
4 + 5
6
= 1 +(−3
4 + 1 3
4) +(
13
6 + 5
6)
= 1 + 1 + 3
= 5；
（2）解：−
2
3 +[
2
(−
1
3) ×
3
(− 3) +(1 − 1
3
5 ÷
2
2
5 )]
=− 9 +[
1
9 × (− 27) +(1 −8
5 × 5
4)]
=− 9 + [− 3 + (1 − 2)]
=− 9 + (− 3 − 1)
=− 9 + (− 4)
=− 13；
18．（8分）把下面的有理数填入它们属于的集合内：
− 90%，0，−(+ 5
4
7)，0.3，3
1
2，|−(− 5)|，− 2025．
(1)正有理数集合{ …}；
(2)负有理数集合{ …}；
(3)正整数集合{ …}；
(4)负分数集合{ …}．
【答案】(1)0.3，3
1
2，|−(− 5)|
(2)− 90%，−(+ 5
4
7)，− 2025
(3)|−(− 5)|
(4)− 90%，−(+ 5
4
7)
【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键：
（1）根据正有理数是大于0的整数和分数进行求解即可；
（2）根据负有理数是小于0的整数和分数进行求解即可；
（3）根据正整数的定义求解即可；
（4）根据负分数是小于0的分数进行求解即可．
【详解】（1）解：−(+ 5
4
7) =− 5
4
7，|−(− 5)| = 5，
正有理数集合{0.3，3
1
2，|−(− 5)|…}
（2）解：负有理数集合{− 90%，−(+ 5
4
7)，− 2025…}
（3）解：正整数集合{|−(− 5)|…}
（4）解：负分数集合{− 90%，−(+ 5
4
7)…}．
19．（8分）如图，数轴上有四个点ᵃ，ᵃ，ᵃ，ᵃ，相邻两点之间的距离均为ᵅ（ᵅ为正整数），点ᵃ表示的
数为− 6，设这四个点表示的数的和为ᵅ．
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(1)若ᵅ = 3，则表示原点的是点______，点ᵃ表示的数是______；
(2)若点ᵃ表示的数是32．
求ᵅ的值；
直接写出ᵅ的值．
【答案】(1)ᵃ，− 9
(2)
ᵅ = 19；
14
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解即可；
（2）
根据题意得到ᵃᵃ = 32 −(− 6) = 38，进而即可求出m的值；
分别求出四个点表示的数，然后相加求解即可．
【详解】（1）
点ᵃ表示的数为− 6，ᵅ = 3
点C表示的数为− 6 + 3 =− 3，点A表示的数为− 6 − 3 =− 9，
点D表示的数为− 3 + 3 = 0，
表示原点的是点D，
故答案为：ᵃ，− 9；
（2）
由题得：ᵃᵃ = 32 −(− 6) = 38，
ᵅ = 38 ÷ 2 = 19；
点ᵃ表示的数为− 6，ᵅ = 19，
点A表示的数为− 6 − 19 =− 25，点C表示的数为− 6 + 19 = 13，点D表示的数为− 6 + 19 × 2 = 32．
− 25 + (− 6) + 13 + 32 = 14．
【点睛】本题考查了有理数的运算，数轴，数形结合是解题的关键．
20．（8分）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务
．
试题：计算：− 5
5
6 + (− 9
2
3) + 17
3
4 + (− 3
1
2)．
小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后……
小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例：
原式= [(− 5) + (−
5
6)] + [(− 9) + (−
2
3)] + (17 +
3
4) + [(− 3) + (−
1
2)]
= [(− 5) + (− 9) + 17 + (− 3)] + [(−
5
6) + (−
2
3) +
3
4 + (−
1
2)]
= _____ + (−
5
4)
=……
小明：这种方法很有趣，值得推荐．
……
任务：
(1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ；
(2)题干中横线上空缺的计算结果是 ；
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(3)按小亮的方法计算：(− 2025
5
6) + 4048
2
3 + (− 2026
2
3) + 1
1
2．
【答案】(1)− 5
5
6 − 9
2
3 + 17
3
4 − 3
1
2
(2)0
(3)−
7
3
【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键：
（1）根据加法法则，省略掉括号即可；
（2）根据有理数的加法法则进行计算即可；
（3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=− 5
5
6 − 9
2
3 + 17
3
4 − 3
1
2；
（2）原式= [(− 5) + (−
5
6)] + [(− 9) + (−
2
3)] + (17 +
3
4) + [(− 3) + (−
1
2)]
= [(− 5) + (− 9) + 17 + (− 3)] +[(−5
6) +(−2
3) + 3
4 +(−1
2)]
= 0 + (−
5
4)；
故答案为：0；
（3）原式= (− 2025) + (−
5
6) + 4048 +
2
3 + (− 2026) + (−
2
3) + 1 +
1
2
= [(− 2025) + 4048 + (− 2026) + 1] +[(−5
6) + 2
3 +(−2
3) + 1
2]
=− 2 +(−1
3)
=−
7
3．
21．（9分）观察下面三行数：
− 1，2，− 4，8，− 16，32，− 64，…；
0，3，− 3，9，− 15，33，− 63，…；
1，− 5，7，− 17，31，− 65，127，…；
(1)第
行的第8个数是_____；
设第
行的第ᵅ个数是ᵆ，请用含ᵆ的代数式分别表示：第
行的第ᵅ个数是_____，第
行的第ᵅ个数是___
__
(2)取第
行的第100个数，分别记为ᵄ，ᵄ，ᵅ，求3ᵄ − ᵄ + ᵅ的值．
(3)取第
行每行的第ᵅ个数，这三个数中任意两数之差的最大值为6146，请直接写出ᵅ的值_____．
【答案】(1)128，ᵆ + 1，− 2ᵆ − 1
(2)− 2
(3)12
【分析】本题考查新定义下的实数运算及数字类规律探索，通过观察归纳出所给数据的规律是解题关键．
（1）根据第
行数的排列规律及三行数之间的关系求解；
（2）通过观察可以发现：第
行数的排列规律是：−
0
2 ,
1
2 ,−
2
2 ,...,
ᵅ
(− 1)
ᵅ − 1
2
，推出ᵄ =
99
2 ；即可求解
；
（3）由题意得|− 2ᵆ − 1 − ᵆ| = 6146或|− 2ᵆ − 1 −(ᵆ + 1)| = 6146，其中ᵆ为整数；解得ᵆ = 2048或ᵆ =− 2049
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；由（２）可知：ᵆ =
ᵅ
(− 1)
ᵅ − 1
2
为偶数，推出ᵆ = 2048 =
11
2 ，即可求解；
【详解】（1）解：通过观察可以发现：第
行数的排列规律是：从第2个数开始，每个数等于它前面的数
乘以− 2的积，
根据第
行的第7个数是− 64，可以得到第
行的第8个数是− 64 × (− 2) = 128；
再通过观察可以发现：第
行的每个数是第
行相同次序的数加上1得到，第
行的每个数是第
行相
同次序数的和的相反数，
设第
行第ᵅ个数为ᵆ，则第
行第ᵅ个数为ᵆ + 1，第
行第ᵅ个数为− 2ᵆ − 1；
（2）解：通过观察可以发现：第
行数的排列规律是：−
0
2 ,
1
2 ,−
2
2 ,...,
ᵅ
(− 1)
ᵅ − 1
2
，
ᵄ =
99
2 ；
由（1）得：ᵄ =
99
2
+ 1 , ᵅ =− 2 ×
99
2
− 1 =−
100
2
− 1，
3ᵄ − ᵄ + ᵅ = 3 ×
99
2
−(
99
2
+ 1) −
100
2
− 1 =− 2；
（3）解：
第
行第ᵅ个数为ᵆ，则第
行第ᵅ个数为ᵆ + 1，第
行第ᵅ个数为− 2ᵆ − 1；
|− 2ᵆ − 1 − ᵆ| = 6146或|− 2ᵆ − 1 −(ᵆ + 1)| = 6146，其中ᵆ为整数；
解得：ᵆ = 2048或ᵆ =− 2049；
由（2）可知：ᵆ =
ᵅ
(− 1)
ᵅ − 1
2
为偶数，
ᵆ = 2048 =
11
2 ，
即
11
2
=
ᵅ
(− 1)
ᵅ − 1
2
，
ᵅ = 12．
22．（9分）老王在上星期五以每股10元的价格买进某种股票1000股，该股票的涨跌情况如下表（单位：
元）（注：每天的涨跌价是以上一天的收盘价为基础）
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
0.19
+0.16
0.18
+0.25
+0.06
（1）星期五收盘时，每股是 元；
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
（3）已知股票卖出时需付成交额3‰的手续费和2‰的交易税，如果老王在星期五以收盘价将股票全部卖
出，他的收益情况如何？
【答案】（1）10.1；
（2）星期五股价最高，每股10.1元；星期三股价最低，每股为9.79元；
（3）49.5元．
【分析】（1）把表格中一星期五天所对的数字相加，得出每股的涨跌情况，把所得的结果与10相加可得
星期五收盘时每股的价钱；
（2）分析表格发现星期五股价最高，由（1）即可得出每股的最高价；星期三股价最低，先求出（
0.19）+（+0.16）+（
0.18），与10相加可得最低的股价；
（3）用星期五的股价×股数
买入时的股价×股数
星期五的股价×股数×（3‰+2‰）计算出结果，即可
得到老王在星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况．
【详解】解：（1）根据表格可知：星期五收盘时，每股的涨跌情况为：
（
0.19）+（+0.16）+（
0.18）+（+0.25）+（+0.06）
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＝[（
0.19）+（
0.18）]+[（+0.16）+（+0.25）+（+0.06）]
＝（
0.37）+0.47＝0.1，
则星期五收盘时，每股为10+0.1＝10.1（元）；
故答案为：10.1；
（2）本周星期五股价最高，每股为10+（
0.19）+（+0.16）+（
0.18）+（+0.25）+（+0.06）
＝10.1元；
星期三股价最低，每股为10+（
0.19）+（+0.16）+（
0.18）＝9.79元；
（3）10.1×1000
10×1000
10.1×1000×（2‰+3‰）
＝10100
10000
10.1×5
＝100
50.5
＝49.5（元）．
则老王在星期五以收盘价将股票全部卖出，有49.5元的收益．
【点睛】此题考查了有理数混合运算的应用，提供的是生活中常见的一个表格，包含了多种信息，关键是
从中找出解题所需的有效信息，排除其他信息的干扰，构建相应的数学模型解决问题．
23．（10分）观察下列等式
1
1 × 2 = 1 −1
2 ,
1
2 × 3 = 1
2 −1
3 ,
1
3 × 4 = 1
3 −1
4
将以上三个等式两边分别相加得：
1
1 × 2 +
1
2 × 3 +
1
3 × 4 = 1 −1
2 + 1
2 −1
3 + 1
3 −1
4 = 1 −1
4 = 3
4
(1)猜想并写出：
1
ᵅ(ᵅ + 1 ) =______．
(2)直接写出下列各式的计算结果：
1
1 × 2 +
1
2 × 3 +
1
3 × 4 +⋯⋯+
1
2025 × 2026
=______；
(3)探究并计算：
1
1 × 3 +
1
3 × 5 +
1
5 × 7 +⋯+
1
2023 × 2025
．
1
1 × 3 −
1
2 × 4 +
1
3 × 5 −
1
4 × 6 +
1
5 × 7 +⋯+
1
17 × 19
−
1
18 × 20 ．
【答案】(1)
1
ᵅ−
1
ᵅ + 1
(2)
2025
2026
(3)
1012
2025 ；
189
760
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
（1）根据已知等式归纳类推出一般规律即可得；
（2）将每一项都拆成两项，再计算有理数的加减法即可得；
（3）
先将原式变形为
1
2 × (1 −
1
3 +
1
3 −
1
5 +⋯+
1
2023 −
1
2025 )，再计算加减法，然后计算乘法即可得；
先将原式变形为(
1
1 × 3 +
1
3 × 5 +
1
5 × 7 +⋯+
1
17 × 19 ) −(
1
2 × 4 +
1
4 × 6 +⋯+
1
18 × 20 )，再参考
的方法计算即可得
．
【详解】（1）解：
1
1 × 2 = 1 −
1
2 ,
1
2 × 3 =
1
2 −
1
3 ,
1
3 × 4 =
1
3 −
1
4，
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归纳类推得：
1
ᵅ(ᵅ + 1 ) =
1
ᵅ−
1
ᵅ + 1 ，
故答案为：
1
ᵅ−
1
ᵅ + 1 ．
（2）解：
1
1 × 2 +
1
2 × 3 +
1
3 × 4 +⋯⋯+
1
2025 × 2026
= 1 −1
2 + 1
2 −1
3 + 1
3 −1
4 +⋯⋯+
1
2025 −
1
2026
= 1 −
1
2026
=
2025
2026 ．
（3）解：
1
1 × 3 +
1
3 × 5 +
1
5 × 7 +⋯+
1
2023 × 2025
= 1
2 ×(1 −1
3 + 1
3 −1
5 +⋯+
1
2023 −
1
2025)
= 1
2 ×(1 −
1
2025)
= 1
2 × 2024
2025
=
1012
2025 ．
1
1 × 3 −
1
2 × 4 +
1
3 × 5 −
1
4 × 6 +
1
5 × 7 +⋯+
1
17 × 19
−
1
18 × 20
=(
1
1 × 3 +
1
3 × 5 +
1
5 × 7 +⋯+
1
17 × 19) −(
1
2 × 4 +
1
4 × 6 +⋯+
1
18 × 20)
= 1
2 ×(1 −1
3 + 1
3 −1
5 +⋯+ 1
17 −1
19) −1
2 ×(
1
2 −1
4 + 1
4 −1
6 +⋯+ 1
18 −1
20)
= 1
2 ×(1 −1
19) −1
2 ×(
1
2 −1
20)
= 1
2 × 18
19 −1
2 × 9
20
= 9
19 −9
40
=
189
760 ．
24．（12分）如图，点
在数轴上表示的数分别为
，且满足
2
(ᵄ + 2) + |ᵄ − 4| = 0．
(1)ᵄ =___________，ᵄ =___________；
(2)ᵄ为数轴上ᵃ点左侧一点，且点ᵄ到点
的距离之和为10，求点ᵄ在数轴上对应的数；
(3)在（2）的条件下，若点
分别以4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度沿数
轴同时向右运动，设运动的时间为ᵆ秒，在运动的过程中，是否存在某一时刻ᵆ，使得点ᵄ到点ᵃ ᵃ的距离
相等？若存在，求出ᵆ的值；若不存在，请说明理由． ᵃ , ᵃ两点间的距离可表示为|ᵄ − ᵄ|）
【答案】(1)− 2；4；
(2)− 4
(3)存在，ᵆ的值为6或
10
3 ；
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【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解
决问题是关键．
（1）根据平方和绝对值的非负性求解即可；
（2）设点ᵄ在数轴上对应的数为ᵅ，根据数轴上两点间的距离列方程求解即可；
（3）由题意可知，点
表示的数分别为− 4 + 4ᵆ、− 2 + 3ᵆ、4 + 2ᵆ，再根据数轴上两点间的距离列
方程求解即可；
【详解】（1）解：∵
2
(ᵄ + 2) + |ᵄ − 4| = 0，
2
(ᵄ + 2) ≥ 0，|ᵄ − 4| ≥ 0，
∴ ᵄ + 2 = 0，ᵄ − 4 = 0，
∴ ᵄ =− 2，ᵄ = 4；
（2）解：设点ᵄ在数轴上对应的数为ᵅ，
∵ ᵄ为数轴上ᵃ点左侧一点，
∴ ᵄᵃ =− 2 − ᵅ，ᵄᵃ = 4 − ᵅ，
∵点ᵄ到点
的距离之和为10，
∴ ᵄᵃ + ᵄᵃ = 10，
∴(− 2 − ᵅ) + (4 − ᵅ) = 10，
解得：ᵅ =− 4，
即点ᵄ在数轴上对应的数为− 4；
（3）解：存在，
设运动的时间为ᵆ秒，
由题意可知，点
表示的数分别为− 4 + 4ᵆ、− 2 + 3ᵆ、4 + 2ᵆ，
若点ᵄ到点ᵃ , ᵃ的距离相等，
则|(− 4 + 4ᵆ) −(− 2 + 3ᵆ)| = |(− 4 + 4ᵆ) −(4 + 2ᵆ)|，
整理得：|ᵆ − 2| = |2ᵆ − 8|，
解得：ᵆ = 6或
10
3 ，
综上可知，存在某一时刻ᵆ，使得点ᵄ到点ᵃ , ᵃ的距离相等，ᵆ的值为6或
10
3 ；
