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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 7 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·能力提升 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数 学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41 2．在直角三角形中，斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为（ ） A．6 B．7 C．10 D．12 3．在Rt ABC △ 中， 90 C = ，若 4 AB = ，则 2 2 2 AB BC AC + + 等于（ ） A．32 B．16 C．20 D．25 4．（25-26 八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面5 m 的点C 处折断，大树顶端的 着地点A与大树底端B 的距离为12 m ，则这棵树折断前的高度为（ ） A．17 米 B．18米 C．25 米 D．30米 5．下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c 为一组勾股数，那么3a 、3b 、3c 仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a b c = ），那么 2 2 2 : : 2:1:1 a b c = ． 其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 6．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以Rt ABC △ 的直角边AB ，BC 为边向外作正方形，其面积 分别为 1S ， 2 S ，以斜边AC 为直径向外画半圆，其面积为 3 S ．若 1 5 S = ， 2 3 S = ，则 3 S 等于（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 7 A． B．2 C．4 D．8 7．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的 长为30 步，宽与对角线的和为50 步，不知田有几亩．设长方形田的宽为x 步，则可列方程为（ ） A．30 50 x x + = − B． ( ) 2 2 2 30 50 x x + − = C． ( ) 2 2 2 30 50 x x + = − D． ( ) 2 2 2 50 30 x x + − = 8．如图，在4 4 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A． 2 20 AB = B． 90 BAC = C．ABC 的面积为10 D．点A 到直线BC 的距离是2 9．如图，Rt ABC △ 中， 8 AB = ， 6 BC = ， 90 B = ，M ，N 分别是边AC ，AB 上的两个动点．将ABC 沿直线MN 折叠，使得点A的对应点D 落在边BC 的三等分点处，则线段BN 的长为（ ） A．3 B．15 4 C．3 或15 4 D．3 或5 3 10． （25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（Rt ADE △ ，Rt DCH △ ， Rt CBG △ ，Rt BAF △ ）与一个小正方形EFGH 组成的一个大正方形ABCD，连接DF 交CH 于点M ，已知 正方形ABCD的面积为25 ， 2 DE AE = ，下列结论正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 7 A．正方形EFGH 的面积为4 B． 2 20 DF = C．M 是DF 的中点 D． 15 BG CG = 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．（25-26 七年级下·山东济南·期末）若6 ，a ，10是勾股数，则a 的值是________． 12．（25-26 八年级下·安徽阜阳·期末）在Rt ABC △ 中， 90 , : 5:12 C a b = = ， 39 c = ，则 a b + =__________ 13．（25-26 八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B， C，通过道路BA，CA 可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道CA ，为方便游客观景，分散人流，决 定新修道路AD（点D 在BC 上）．经测量： 1.5km AB = ， 1.2km AD = ， 0.9km BD = ．则AD是否为从A 到 河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 14．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 6 AC = ， 8 BC = ，P 是AB 上一动点， 则PC 的最小值为________． 15．如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4 的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从N 点向M 点处 爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______． 16．已知点A，B，C 分别在从上往下相互平行的直线1l ，2l ，3l 上，1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距 离是2．若ABC 是等腰直角三角形，则它的面积是________． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．ABC 中， 90 C = ，CD AB ⊥ 于D ， 3, 5 CD AC = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 7 (1)求AD长； (2)求AB 长． 18．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某 校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为16 米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为34 米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7 米． (1)求风筝的垂直高度CE ； (2)如果小明想要风筝沿CD方向下降18 米，则他应该往回收线多少米？ 19．综合与实践． 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究． 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺． 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆 动，OA表示小球静止时的位置； 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从OA摆到OB 位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到OC 位置，使得OB OC ⊥ ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 7 【实验记录】如图2，在笔记本上记录点B 和点C 的位置（图中的A，B ，O，C 在同一平面上），并过点B 作BD OA ⊥ 于点D，过点C 作CE OA ⊥ 于点E ，测得 17cm OB = ， 8cm BD = ． 【实践探索】 (1)求证：OE BD = ； (2)求DE 的长． 20．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数a ，b ，c 若满足 1 3 a b c ab + + = ，则称c 为a ，b 的“调 和数”． (1)若 3 a = ， 4 b = ，则a ，b 的“调和数”c = _______． (2)若 1 2 ab = ， 2 2 8 a b + = ，求a ，b 的“调和数”c ； (3)若a ，b 的“调和数”c 满足 2 2 2 c a b = + 且a ，b ，c 均为正整数，求c 的值． 21．【问题情境】如图①，在ABC 中，AD为BC 边上的高． 【特例研究】 (1)若 1 CD = ， 2 AD = ， 4 BD = ，求证：AB AC ⊥ ； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁BD AC ⊥ ，斜梁 4.2m AC = ， 2.4m BD = ，横梁 4m BC = ．若横梁BC 与竖梁AB 不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计 的房梁是否安全？并说明理由． 22．探究实践：如图，在ABC 中， 15 AB = ， 14 BC = ， 13 AC = ，求ABC 的面积．某学习小组经过合作 交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 7 (1)作AD BC ⊥ 于点D，设BD x = ，用含x 的代数式表示CD = _____； (2)根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x 的值； (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算ABC 的面积． 23．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm， 3dm ，2dm，A和B 是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则 蚂蚁沿着台阶面爬行到B 点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过计算得到AB 长度即为最短路程，则AB = dm． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是7 厘米，一只蚂蚁从点A出发沿 着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B 处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程 是多少厘米？（杯壁厚度不计） 24．如图，在ABC 中， 6cm AB = ， 8cm BC = ， 10cm AC = ，动点P 从点B 出发，沿着ABC 的三条边逆 时针走一圈，回到点B 后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t 秒． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 7 (1)证明：ABC 是直角三角形； (2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求t 的值； (3)另有一动点Q ，从点B 开始，按顺时针方向走一圈回到点B ，且速度为1cm/s ．若P 、Q 两点同时出发， 当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出 ．．．．当t 为何值时，直线PQ 把ABC 的周长分成 相等的两部分． 25．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1 可以得到( ) 2 2 2 2 a b a ab b + = + + ，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； (2)小明同学用图3 中x 张边长为a 的正方形，y 张宽、长分别为a、b 的长方形，9 张边长为b 的正方形纸片， 拼成一个面积最小的正方形，则x y + 的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b 的式子表示) (3)如图4，是4 个边长分别为a、b、c 的直角三角形和1 个边长为c 的正方形拼成的大正方形．请根据图4 中的图形关系可推导出a、b、c 的数量关系式为____； (4)如图5，直角ABC 中， 90 ACB = ， 8 AC = ， 6 BC = ，点D 是AB 边上的一动点．请利用（3）的结论， 求线段CD的最小值．
