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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题21 勾股定理的应用 ▌题型01 求梯子滑落高度 【典例1】D． 【变式1-1】 【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2.5m，BC＝0.7m， 由勾股定理得：AC= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √2．52 −0．72 =2.4（m）． 答：梯子的顶端A 距地面的高度AC 为2.4m． （2）∵梯子的顶端A 沿墙下滑0.4m， ∴AA'＝0.4m， ∴A'C＝AC﹣AA'＝2.4﹣0.4＝2（m）， 在Rt△A'B'C 中，A'B'＝2.5m，A'C＝2m， 由勾股定理得：B'C= √𝐴′𝐵′2 −𝐴′𝐶2 = √2．52 −22 =1.5（m）， ∴BB'＝B'C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）， 答：梯子底端B 外移0.8m，不是0.4m． 【变式1-2】 【解答】解：∵AE＝0.7 米，DE＝2.4 米， ∴AD2＝0.72+2.42＝6.25． ∵∠ABC＝90°，BC＝1.5 米，AB2+BC2＝AC2， ∴AB2+1.52＝6.25， ∴AB2＝4． ∵AB＞0， ∴AB＝2 米． ∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7（米）． 故答案为：2.7． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由题意可得，AB＝CD＝2.5m，BO＝0.7m， 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在直角三角形AOB 中，由勾股定理得：𝑂𝐴= √𝐴𝐵2 −𝑂𝐵2 = √2．52 −0．72 = 2.4(𝑚) ∵梯子底端沿OB 向外移动0.8m， ∴OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5（m）， 在直角三角形COD 中，由勾股定理得：𝐶𝑂= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐷2 = √2．52 −1．52 = 2(𝑚)， ∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）． 答：梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度为0.4m； （2）叉车向货架方向行驶5m 后，其长25m 的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点．理由如下： 过点D 作DE⊥AB 于点E， 由题意可得，CD′＝AD＝25m，AB＝17m，AC＝5m， ∵叉车高2m， ∴BE＝2m， ∴AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m）， ∴ED= √𝐴𝐷2 −𝐴𝐸2 = √252 −152 =20（m）， ∵CE＝AE+AC＝15+5＝20（m）， ∴ED′= √𝐶𝐷′2 −𝐶𝐸2 = √252 −202 =15（m）， ∴DD′＝ED﹣ED′＝20﹣15＝5（m）， ∴叉车向货架方向行驶5m 后，其长25m 的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点． ▌题型02 求旗杆高度 【典例1】D． 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】 【解答】解：如图，BC＝8m，CD＝2m，作DE⊥AB 于点E，则四边形BCDE 是矩形， ∴DE＝BC＝8m，BE＝CD＝2m， 设AD＝AB＝xm，则AE＝（x﹣2）m， 在Rt△AED 中，由勾股定理，得：x2＝82+（x﹣2）2， 解得：x＝17； 答：旗杆的高度AB 为17m． 【变式1-2】 【解答】解：（1）根据题意知绳子AB 的长为（BC+3）米， 在Rt△ABC 中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2， ∴BC2+92＝（BC+3）2， 解得：BC＝12， ∴旗杆的高度BC＝12 米； （2）由（1）知，AB＝BC+3＝15 米，则BD＝15+5＝20（米）， 在Rt△BCD 中，由勾股定理得：CD= √𝐵𝐷2 −𝐵𝐶2 =16（米）， ∴AD＝CD﹣AC＝7 米， ∴珍珍应从A 处向东走7 米． 【变式1-3】 【解答】解：由图①可知：绳子的长度比旗杆的高度多3m， 设旗杆PQ 的高度为xm，则绳子的长度为（x+3）m， 由图②可得，PF＝（x+3）m， 在Rt△PQF 中，由勾股定理得：PQ2+QF2＝PF2， 即x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12， 答：学校旗杆的高度为12m． ▌题型03 求小鸟飞行距离 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】 【解答】解：（1）两棵树的高度差为18﹣2＝16（米），两树相距12 米（BD＝12 米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离= √162 + 122 =20（米）． 答：至少飞了20 米； （2）由勾股定理得，BM2+AB2＝AM2， ∴BM2+122＝（18﹣BM）2， 解得BM＝5， 答：树AB 折断处M 距离地面5 米 【变式1-1】A． 【变式1-2】 【解答】解：设树高为xm，则BD＝（x﹣10）m， 则题意可知：BC+AC＝10+20＝30（m）， ∴AD＝30﹣BD＝30﹣（x﹣10）＝（40﹣x）m， ∵△ACD 为直角三角形， ∴AD2＝AC2+DC2， 即（40﹣x）2＝202+x2， 解得：x＝15， 答：树高为15m． 【变式1-3】 【解答】解：由题意可知，∠B＝90°， ∵AB＝20，AC＝25， ∴BC= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐵2 = 15（米）， ∵AD＝12， ∴DB＝AB﹣AD＝20﹣12＝8（米）， ∴DC= √𝐷𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √82 + 152 = 17（米）， 即小鸟到地面C 点的距离为17 米． ▌题型04 求大树折断前的高度 【典例1】16． 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】 【解答】树枝落地时会砸着小轿车； 理由：由题意可知，∠C＝90°， ∴△ABC 为直角三角形， 在 Rt△ABC 中，AC＝4m，AB＝12﹣4＝8（m）， 由勾股定理得：𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √82 −42 = 4√3(𝑚) ⋅， ∵CD＝6.5m， CD＜BC， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 【变式1-2】 【解答】解：（1）两棵树的高度差为18﹣2＝16（米），两树相距12 米（BD＝12 米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离= √162 + 122 =20（米）． 答：至少飞了20 米； （2）由勾股定理得，BM2+AB2＝AM2， ∴BM2+122＝（18﹣BM）2， 解得BM＝5， 答：树AB 折断处M 距离地面5 米． 【变式1-3】 【解答】解：设AB 的长为x 米，则AC＝（32﹣x）， 根据题意得：x2+162＝（32﹣x）2， 解得：x＝12， 所以AB 的长为12， 因为BD＝5 米， 所以AD＝13 米， 所以梯子的长为13 米． ▌题型05 解决水杯中的筷子问题 【典例1】D． 【变式1-1】B． 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】 【解答】解：设筷子长度GE＝DE＝xcm，则GD＝xcm，EF＝（x﹣2）cm，DF= 1 2 𝐴𝐷=6cm， 在Rt△DFE 中，由勾股定理得， EF2+DF2＝DE2， 即（x﹣2）2+62＝x2， 解得x＝8， ∴GE＝8cm， ∴筷子长度为8cm． 【变式1-3】 【解答】解：（1）杯子内木筷的最大长度是：√152 + 82 =17cm， 则木筷露在杯子外面的最短长度是：20﹣17＝3（cm）， 故木筷露在杯子外面的部分至少有3cm； （2）长方体容器内木筷的最大长度是：√72 + 72 + 152 = √323 ≈17.97cm， 则木筷露在长方体容器外面的最短长度是：20﹣17.97≈2.0（cm）， 故木筷露在杯子外面的部分至少约为2.0cm． ▌题型06 解决航海问题 【典例1】C． 【变式1-1】D． 【变式1-2】 【解答】解：（1）如图所示，过点C 作CD⊥AB 于点D， ∵BC＝800m，AB＝1000m，AC＝600m， ∴AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002+8002＝360000+640000＝1000000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥AB， 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝑆△𝐴𝐶𝐵= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷， ∴ 1 2 × 600 × 800 = 1 2 × 1000𝐶𝐷， ∴CD＝480m， 答：飞机距离着火点C 的最短距离为480m； （2）如图，在线段AD 和线段BD 上分别取一点E 和点F，连接CE，CF，使得CE＝CF＝500m， 在Rt△CDE 中，由勾股定理得𝐷𝐸= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √5002 −4802 = 140(𝑚)， 同理可得DF＝140m， ∴EF＝DE+DF＝280m， 280÷20＝14（s），且14＜15， ∴着火点C 不能被飞机扑灭， 答：着火点C 不能被飞机扑灭． 【变式1-3】 【解答】解：由题意AD＝6km， Rt△ABD 中，AD2+BD2＝AB2，得62+BD2＝102． ∴BD＝8（km）． ∴CD＝BC﹣BD＝13﹣8＝5（km）． Rt△ACD 中， ∴AC= √𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2 = √52 + 62 = √61（km）． 答：C 岛和A 港之间的距离为√61km． ▌题型07 求河宽（芦苇长度） 【典例1】 【解答】解：设芦苇的长度是x 尺， ∴OE＝x 尺，AE＝（x﹣1）尺， AB＝1 丈＝10 尺， ∵O 是AB 的中点， 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴AO= 1 2AB= 1 2 ×10＝5（尺）， 由勾股定理得到：OE2＝AE2+AO2， ∴x2＝（x﹣1）2+52， ∴x＝13， 答：芦苇的长度是13 尺． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设芦苇的长度x 尺， 则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5， 在Rt△ODE 中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， ∴OD＝13﹣1＝12． 答：芦苇的长度为13 尺，水池的深度为12 尺； （2）图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a， 在Rt△ODE 中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴a2+b2＝（b+n）2， 解得𝑏= 𝑎2−𝑛2 2𝑛 ． ▌题型08 求台阶上地毯的长度 【典例1】D． 【变式1-1】1020． 【变式1-2】 【解答】解：在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝5m，AB＝13m， 由勾股定理得，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 = 12(𝑚)， 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在楼梯上铺地毯需要的长度为AC+BC＝12+5＝17（m）， ∵楼梯宽为2m， ∴需要铺地毯的面积为17×2＝34（m2）， ∵每平方米的地毯售价是150 元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为34×150＝5100（元）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m， 在直角三角形ABC 中，由勾股定理得：𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √52 −32 = 4(𝑚)， 答：BC 的长为4m； （2）地毯长为：3+4＝7（m）， 已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25 元， ∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2）， ∴需要花费25×19.6＝490（元）， 答：需要花费490 元地毯才能铺满所有台阶． ▌题型09 判断汽车是否超速 【典例1】 【解答】解：（1）由题意可得：∠ACB＝90°，AC＝60，AB＝100， ∴BC= √𝐴𝐵2−𝐴𝐶2 = √1002−602 =80（m）， （2）没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为v= 80 4 = 20(𝑚/𝑠) =20×3.6（km/h）＝72（km/h）， ∵72km/h＜80km/h； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 【变式1-1】 【解答】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 在Rt△ABC 中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = 40（m）， ∴小汽车的速度v= 40 2 =20（m/s）＝72km/h， ∵72km/h＞70km/h， ∴这辆小汽车超速行驶． 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】 【解答】解：可疑汽车超速；理由如下： ∵AC⊥BC，AB＝500m，AC＝400m， ∴根据勾股定理可得：𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = 300𝑚， ∴该汽车的速度为 300 10 = 30(𝑚/𝑠)， ∵27m/s＜30m/s， ∴可疑汽车超速了． 【变式1-3】 【解答】解：在Rt△ABC 中，AC＝30m，AB＝50m； 根据勾股定理可得： 𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √502 −302 = 40（m） ∴小汽车的速度为v= 40 2 =20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． ▌题型10 判断是否受台风影响 【典例1】 【解答】解：（1）海港C 受台风影响，理由如下： ∵AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km， ∴根据勾股定理得，AC2+BC2＝6002+8002＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°， 过点C 作CD⊥AB 于D， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷， ∴ 1 2 × 600 × 800 = 1 2 × 1000 ⋅𝐶𝐷，即500CD＝240000， 解得CD＝480， ∵以台风中心为圆心周围520km 以内为受影响区域， ∴海港C 受台风影响； （2）如图，当CE＝520km，CF＝520km 时，正好影响港口C， 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵𝐸𝐷= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √5202 −4802 = 200𝑘𝑚， ∴EF＝2ED＝400km， ∵台风的速度为50 千米/小时， ∴400÷50＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8 小时． 【变式1-1】 【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √3002 + 4002 =500（km）， 答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km； （2）海港C 受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABC= 1 2AC•BC= 1 2CE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km 以内为受影响区域， ∴海港C 会受到此次台风的影响； （3）以C 为圆心，260km 长为半径画弧，交AB 于D，F， 则CD＝CF＝260km 时，正好影响C 港口， 在Rt△CDE 中， ∵ED= √𝐶𝐷2 −𝐶𝐸2 = √2602 −2402 =100（km）， 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25 千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8 小时． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC 是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C 受台风影响． 理由如下：如图，过点C 作CD⊥AB 于D． ∵S△ABC= 1 2AC•BC= 1 2AB•CD， ∴CD= 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 300×400 500 =240（km）， ∵260＞240， ∴海港C 受到台风影响； （3）当EC＝260km，FC＝260km 时，正好影响C 港口． 在Rt△CED 中，由勾股定理得 ED= √𝐸𝐶2 −𝐶𝐷2 = √2602 −2402 =10（km）， ∴EF＝20km， ∵台风的速度为80km/h， ∴20÷80= 1 4（h）． ∴台风影响该海港持续的时间为 1 4h． 【变式1-3】 【解答】解：（1）如图1，AC＝150km，BC＝200km，AB＝250km，过点C 作CD⊥AB，垂足为D， 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵1502+2002＝2502＝62500， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷， ∴𝐶𝐷= 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 150×200 250 = 120(𝑘𝑚)＜125𝑘𝑚， ∴海港C 会受影响； （2）货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设此时台风中心在AB 上的位置为E， ∴CE＝125km， 在Rt△ADC 中，由勾股定理得：𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = √1502 −1202 = 90(𝑘𝑚)， 在Rt△CDE 中，由勾股定理得：𝐷𝐸= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √1252 −1202 = 35(𝑘𝑚)， ∵点D 在AB 上，AD＝90km，DE＝35km， ∴AE＝AD﹣DE＝90﹣35＝55（km）， 由台风中心移动速度是15km/h 可得，从A 到E 的时间为： 55 15 = 11 3 ≈3.67（小时）， ∵ 11 3 ＞3， ∴货轮能在海港C 受台风影响之前完成卸货． ▌题型11 选址使到两地距离相等 【典例1】D． 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵小区A 在快递投放点C 的正北方向， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝13km，BC＝12km， ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −122 = 5(𝑘𝑚)， ∴小区A 到快递投放点C 的距离为5km； （2）设AD＝BD＝x（km）， ∵在东西走向的和平街上有两个相距12km 的快递投放点B、C， ∴CD＝（12﹣x）km， ∵AD2＝AC2+CD2， ∴x2＝52+（12﹣x）2， ∴𝑥= 169 24 ， ∴快递投放点B，D 之间的距离为 169 24 𝑘𝑚． 【变式1-2】 【解答】解：∵AE＝xkm， ∴BE＝（100﹣x）km， 由勾股定理得：CE2＝AC2+AE2，DE2＝BD2+BE2， 根据题意得，CE＝DE， ∴AC2+AE2＝BD2+BE2， ∴202+x2＝（100﹣x）2+602， 解得：x＝66， ∴100﹣x＝34， ∴AE＝66km，BE＝34km． 【变式1-3】 【解答】解：如图，连接AG，BG， 设CG＝xm，则DG＝（80﹣x）m， 根据勾股定理可得BG2＝DG2+BD2＝（80﹣x）2+102， 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵AG＝BG， ∴702+x2＝（80﹣x）2+102， 解得x＝10， 答：该自动售货点G 应该修建在离点C10m 处． ▌题型12 求最短路径 【典例1】8√2． 【变式1-1】 【解答】解：如图， 根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B，BC，CA 剪开，得图1，AB′2＝AB2+BB′2＝（4+2）2+82＝ 100； （2）沿AC，CC′，C′B′，B′D，D′A′，A′A 剪开，得图2，AB′2＝AC2+B′C＝42+（8+2）2＝ 16+100＝116； （3）沿AD，DD′，D′B′，B′C′，C′A′，A′A 剪开，得图3，AB′2＝AD2+B′D2＝22+（4+8） 2＝4+144＝148． 综上所述，最短路径应为图1 所示，所以AB′2＝100，即AB′＝10dm，因此最短路程是10dm． 【变式1-2】 【解答】解：（1）如图，设CF＝12，BC＝x，点A 在CF 的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D 在CF 的 下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于CF 任意一点B，过点D 作DG⊥AC，交AC 延长线于点G，连接AD， 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12， ∴代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22表示AB+DB， ∵AB+DB 的最小值为AD 的长， 即代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值为AD 的长， 在Rt△ADG 中，由勾股定理得AD= √𝐴𝐺2 + 𝐷𝐺2 = √122 + (3 + 2)2 =13， 即√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值为13； 故答案为：13． （2）设CF＝5，BC＝x，点A 在CF 的上方，且AC⊥CF，AC＝2，点D 在CF 的下方，且DF⊥CF，DF ＝1，对于CF 任意一点B，过点D 作DH⊥AC，交AC 延长线于点H，连接AD， 则AH＝2+1＝3，DH＝CF＝5， ∴代数式√𝑥2 + 4 + √(5 −𝑥)2 + 12表示AB+BD， ∵AB+DB 的最小值为AD 的长， ∴代数式√𝑥2 + 4 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值为AD 的长， ∵AD= √𝐴𝐻2 + 𝐷𝐻2 = √32 + 52 = √34， 即代数式√𝑥2 + 4 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值为√34． 【变式1-3】 【解答】解：任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF， 则AB= √𝑥2 + 22，BD= √(5 −𝑥)2 + 12，√𝑥2 + 22 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值即为AB+DB 的值最小， 当A，B，D 共线时AB+DB 的值最小，最小值为AD， 过点D 作DH⊥AC，交AC 的延长线于H，则四边形CFDH 是矩形， ∴DH＝CF＝5，CH＝DF＝1， ∴AH＝3， 在Rt△ADH 中，AD= √𝐴𝐻2 + 𝐷𝐻2 = √34， ∴√𝑥2 + 22 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值为√34， 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：√34； 任务二．过点B 作BD⊥河岸于点D，在射线BD 上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP 是平行四边形， ∴BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ， 当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ 最小，最小值为AB′， 过点A 作AE⊥BB′交其延长线于点E． 则AC＝2km，BD＝3km，AE＝12km， ∴AB′= √𝐴𝐸2 + 𝐵′𝐸2 = √122 + 52 =13（km）， 则从A 到B 的最短路程是： AP+PQ+BN ＝AB′+PQ＝18（km）． 答：从Q 到B 的最短路程为18km， 故答案为：18； 任务三．如图： ∵AD⊥BC，AC＝6，AB＝8，AD＝x，BC＝10，则√36 −𝑥2 + √64 −𝑥2 = 10， 设CD＝y，则x2＝62﹣y2＝82﹣（10﹣y）2，解得y= 18 5 ， ∴x= 24 5 （负值舍去）．
