文档文本内容
1 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题25 特殊三角形最值问题
（题型突破·举一反三）
题型01 长方体中的最值问题
题型02 正方体中的最值问题
题型03 圆柱体中的最值问题
题型04 台阶中的最值问题
题型05 垂线段最短求最值
题型06 三角形三边之间的关系求最值
题型07 将军饮马模型求最值
▌题型01 长方体中的最值问题
长方体表面爬行最短路径：展开立体表面→转化平面两点之间线段最短，勾股定理计算
设长方体长宽高：𝑎、𝑏、𝑐
将相邻两个面展开，一共3 种展开方式，算出三条路线长度，取最小值。
①如图1，展开后连接𝐴𝐵，则𝐴𝐵就是在表面上从𝐴到𝐵的最短距离，
2 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
则𝐿= √(𝑎+ 𝑏)2 + 𝑐2；
②如图2，展开后连接𝐴𝐵，则𝐴𝐵就是在表面上从𝐴到𝐵的最短距离，
则𝐿= √(𝑏+ 𝑐)2 + 𝑎2；
③如图3，展开后连接𝐴𝐵，则𝐴𝐵就是在表面上从𝐴到𝐵的最短距离，
则𝐿= √(𝑎+ 𝑐)2 + 𝑏2；
解题步骤：
1. 标出长方体长𝑎、宽𝑏、高𝑐；确定起点、终点位置；
2. 分三种情况展开相邻两个面，构造直角三角形；
3. 分别利用勾股定理列式计算长度；
4. 比较三个结果，最小值即为表面最短距离。
3 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【典例1】（2025 秋•昆都仑区校级期中）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm，高为5cm．若一只
蚂蚁从P 点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．√61cm
B．11cm
C．13cm
D．17cm
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段
最短解答．
【解答】解：如图所示：
∵长方体的底面边长分别为2cm 和4cm，高为5cm．
∴PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm，
∴PQ= √𝑃𝐴2 + 𝐴𝑄2 =13cm．
故选：C．
【变式1-1】如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm，3.5cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的
点A 沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 25 cm．
【分析】分两种情况，一是沿长方体正面、右侧面爬行，二是沿长方体底面、后侧面爬行，将长方体展开，
连接AB，用勾股定理求出AB，比较大小即可得到最短路程．
【解答】解：分两种情况：
①如图，展开后连接AB，则AB 就是在表面上从A 到B 的最短距离，
4 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在Rt△ABM 中，由勾股定理得：𝐴𝐵= √𝐴𝑀2 + 𝐵𝑀2 = √(3.5 + 3.5)2 + 242 = 25；
②如图，展开后连接AB，则AB 就是在表面上从A 到B 的最短距离，
在Rt△ABN 中，由勾股定理得：𝐴𝐵= √𝐴𝑁2 + 𝐵𝑁2 = √3．52 + (24 + 3.5)2 = √768.5；
∵√768.5＞25，
∴爬行的最短路程是25cm，
故答案为：25．
【变式1-2】（2026 春•榆阳区校级月考）如图是由若干个棱长为1cm 的小正方体所搭建的几何体，一只电
子蚂蚁从点A 出发，沿几何体的表面爬到点B，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为 4√2 cm．
【分析】首先找出所有可能的爬行线路，然后根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，再
通过勾股定理比较路线的长短即可．
【解答】解：∵16 个棱长为1cm 的小正方体所搭建的几何体，
∴这个几何体的长是4cm，宽是2cm，高是2cm．
电子蚂蚁爬行的路线有三种情况：
①经过前面和右面时，𝐴𝐵= √(4 + 2)2 + 22 = 2√10，
②经过前面和上面时，𝐴𝐵= √(2 + 2)2 + 42 = 4√2，
③经过左面和上面时，𝐴𝐵= √(2 + 4)2 + 22 = 2√10，
∵4√2＜2√10，
∴这只电子蚂蚁爬行的最短路程为4√2．
【变式1-3】（2025 春•南明区校级期中）综合与实践．
长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①是底面ABFE 为正方
5 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
形的长方体盒子，AB＝a，AD＝b，BD＝c（a＞b），该小组把长方体的两侧面ABCD，BFGC 剪下来，沿
着BD 和BG 剪开，得到四个全等的直角三角形，可拼成如图②和如图③所示的“弦图”．
【探究一】
（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为30°，小正方形JKLR 的面积为16，求大正方形MNPQ 的
面积；
【探究二】
（2）如图③，若小正方形的面积为5，（a+b）2＝21，则大正方形的面积为 13 ；
【探究三】
（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A 到点G 粘贴一条彩色条（宽度忽略不
计）．设所用彩色条的长度为l，探究l 的最小值（用含a，b 的代数式表示）．
该小组探究如下：将长方体盒子侧面ABCD，BFGC 展开成图④所示的平面图形，连接AG，在Rt△AFG
中，𝐴𝐺= √𝐴𝐹2 + 𝐹𝐺2 = √(2𝑎)2 + 𝑏2 = √4𝑎2 + 𝑏2，即l 的最小值为√4𝑎2 + 𝑏2．
上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l 的最小值．
【分析】（1）根据小正方形面积求出𝑐= √16 = 4，再根据含30°直角三角形的性质求出𝑏= 1
2 𝑐= 1
2 × 4 =
2，再根据勾股定理求出𝑎= √42 −22 = 2√3，最后根据正方形面积公式求出结果即可；
（2）由题意可知，中间小正方形的边长为a﹣b，得到a2﹣2ab+b2＝5，a2+2ab+b2＝21，得到a2+b2＝c2
＝13，即可得解；
（3）将长方体盒子侧面ABCD，DCGH 展开成平面图形，求出此时AG，然后再比较大小即可．
【解答】解：（1）∵小正方形JKLP 的面积为16，
∴𝑐= √16 = 4．
∵每个直角三角形较小锐角为30°，
∴𝑏= 1
2 𝑐= 1
2 × 4 = 2，
∴𝑎= √42 −22 = 2√3，
∴大正方形MNPQ 的边长为𝑎+ 𝑏= 2 + 2√3．
6 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴大正方形MNPQ 的面积为(2 + 2√3)2 = 4 + 8√3 + 12 = 16 + 8√3．
（2）∵中间小正方形的边长为a﹣b，
∴（a﹣b）2＝5，
∴a2﹣2ab+b2＝5①，
∵（a+b）2＝21＝21，
∴a2+2ab+b2＝21②，
∴①+②得，2a2+2b2＝26，
∴a2+b2＝c2＝13，
∴大正方形的面积为13，
故答案为：13．
（3）不正确．将长方体盒子侧面ABCD，DCGH 展开成平面图形，如图⑤所示，连接AG．
∵AG= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐺2 = √2𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏，
∴4a2﹣b2﹣（2a2+b2+2ab）＝2a2﹣2ab＝2a（a﹣b），
∵a＞b＞0，
∴a﹣b＞0，
∴2a（a﹣b）＞0＞0，
∴√4𝑎2 + 𝑏2＞√2𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏，
即l 的最小值为√2𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏．
7 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型02 正方体中的最值问题
正方体表面动点最短路径：展开相邻两个正方形面，化立体为平面，两点之间线段最短，勾股定理求解。
【典例1】（2026•东台市一模）如图，A，B 分别是棱长为1 的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体
的表面展开成平面图形后，点A，B 之间的最大距离是（ ）
A．√10
B．√13
C．√17
D．2√5
【分析】根据题意和正方体的11 种表面展开图的特征得出要使点A，B 之间的距离最大，则点A，B 最
远，结合题意画出展开图求解即可．
【解答】解：根据点A，B 的位置关系和正方体的表面展开图可得：当点A，B 的位置在如图所示位置时，
点A，B 之间的最大距离，
∴点A，B 之间的最大距离= √42 + 12 = √17．
故选：C．
【变式1-1】（2025 春•中阳县月考）如图，一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3 个小正方形，
每个小正方形的边长都是1cm，则一只蚂蚁从正方体表面A 处爬到B 处至少要爬（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【分析】将正方体的表面展开后，得出点A，点B 的位置，再根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：将正方体的前面、上面展开后如图所示，
8 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
此时AB= √𝑂𝐴2 + 0𝐵2 = √32 + 42 =5（cm），
故选：C．
【变式1-2】（2025 春•建始县期末）如图，一个棱长为4cm 的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1 的中点M
处，它到BB1 的中点N 的最短路线是（ ）
A．8
B．2√5
C．2√10
D．4√2
【分析】分两种情形展开解决问题即可．
【解答】解：①沿CC1 展开，如图所示，
MN= √𝐵1𝑁2 + 𝐵1𝑀2 = √22 + 62 =2√10（cm）．
②沿B1C1 展开，MN= √𝑀𝐻2 + 𝑁𝐻2 = √42 + 42 =4√2（cm），
4√2＜2√10，
∴最短路线长是4√2cm，
故选：D．
9 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-3】（2025 春•德城区校级月考）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问
题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）．
（1）如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 处沿着正方体表面爬到点C1 处；
（2）如图②，长方体的长和宽都为5cm，高为6cm，一只蚂蚁从长方体底面上的点A 处沿着长方体表面
爬到点C1 处；
（3）如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm 和3cm．一只蚂蚁要从顶点A 处沿着长方体的表面
爬到长方体上和A 相对的顶点B 处．
【分析】（1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC1，两点之间线段最短，AC1 是
最短路径，利用勾股定理求AC1 即可；
（2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC1，两点之间线段最
短，AC1 是最短路径，利用勾股定理求AC1，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接
AC1，两点之间线段最短，AC1 是最短路径，利用勾股定理求AC1 比较两种方法之下的AC1，确定最短的
即可．
（3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可．
【解答】解：（1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC1，
如图所示，
𝐴𝐶1 = √𝐴𝐶2 + 𝐶𝐶1
2 = √(5 + 5)2 + 52 = 5√5(𝑐𝑚)；
（2）分两种情况讨论：
①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC1，
两点之间线段最短，AC1 是最短路径，
如图所示，AC1= √136(𝑐𝑚)．
10 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC1，
两点之间线段最短，AC1 是最短路径，
如图所示𝐴𝐶1 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶1
2 = √52 + 112 = √146(𝑐𝑚)．
∵√146＞√136，
∴最短路程为√136𝑐𝑚，即最短路程为2√34𝑐𝑚．
（3）将长方体按下列三种方案展开：
第一种；如图④，
，
∵AD＝5+3＝8（cm），DB＝6（cm），
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐷2 + 𝐷𝐵2 = √82 + 62 = 10(𝑐𝑚)；
第二种：如图⑤，
∵CB＝6+5＝11（cm），AC＝3cm，
∴𝐴𝐵= √112 + 32 = √130(𝑐𝑚)；
第三种：如图⑥，
11 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵CB＝3+6＝9（cm），AC＝5cm，
∴𝐴𝐵= √92 + 52 = √106(𝑐𝑚)，
∵10＜√106＜√130，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
▌题型03 圆柱体中的最值问题
圆柱侧面最短路径：侧面展开成长方形，立体转平面，两点之间线段最短，勾股定理求解
设：圆柱底面半径𝑟，高ℎ，底面周长𝐶= 2𝜋𝑟
起点𝐴在下底面边缘，终点𝐵在上底面边缘
侧面展开图为矩形：
矩形一边 = 圆柱高 ℎ
矩形另一边 = 底面圆弧展开的水平长度
沿侧面走半圈：水平边长=𝜋𝑟
沿侧面走整圈：水平边长=2𝜋𝑟
构造直角三角形，最短路径：𝐿= √(𝜋𝑟)2 + ℎ2；
【典例1】（2025 春•雁塔区校级期末）如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是12m，高5m，要从A
点环绕油罐建梯子，正好到达A 的正上方的B 点，则梯子最短需要（ ）
A．12m
B．13m
C．17m
D．20m
【分析】把圆柱沿AB 侧面展开，连接AB，再根据勾股定理即可得出结论．
12 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【解答】解：如图所示：
∵AC＝12m，BC＝5m，
∴AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √122 + 52 =13m．
答：梯子最短需要13 米，
故选：B．
【变式1-1】（2025 秋•市南区校级期中）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高
2 丈，粗3 尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7 周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3 尺，
指的是：圆柱底面周长为3R，1 丈＝10 尺），则这根藤条长 29 尺 ．
【分析】首先因为树可以近似的看作圆柱，那么就可以将其侧面像圆柱一样展开成一个矩形；藤条缠绕了
七周，那么就可以将七个展开的矩形连在一起；然后利用勾股定理即可求出藤条的长度了．
【解答】解：∵树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕7 周，可得到AC＝3×7（尺），树高是20 尺，
在Rt△ABC 中，由勾股定理得，AB2＝BC2+AC2，
∵BC＝20，AC＝3×7＝21，
∴AB2＝202+212＝841，
∴AB＝29，
∴这根藤条长29 尺．
故答案为：29 尺．
【变式1-2】（2025 秋•青羊区校级期末）有一棵树（将树看作一个圆柱）高14m，底面周长是4m，一条生
长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树7 圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度是 14√5
m．
13 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】把大树看作圆柱，其侧面展开图为矩形，则矩形的长为4m，缠木七周，则长为28m，再根据勾
股定理列式计算即可．
【解答】解：把大树看作圆柱，其侧面展开图为矩形，则矩形的长为4m，
缠木七周，则长为28m，
∵大树高为14m，
∴这条腾条长度为√142 + 282 = 14√5（m）．
故答案为：14√5．
【变式1-3】（2025 秋•苏州期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解
决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为
应用广泛而使人入迷．
（1）应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点A 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B 处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为
3
𝜋𝑐𝑚，
那么最短的路线长是 5 cm；
（2）应用二：解决实际问题
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m 至C 处时，即水
14 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC 的长．
【分析】（1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案；
（2）由题意可得AC＝AB，DE＝CF＝1.5m，CD＝EF＝2m，BE＝0.5m，设AC＝xm，得到AD＝（x﹣1）
m，在Rt△ADC 中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【解答】解：（1）将圆柱展开得到平面图形，如图所示：
由题意可得：𝐴𝐶= 2𝜋× 3
𝜋= 6𝑐𝑚，BC＝4cm，AC＝3
在Rt△ABC 中，AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 =5
即最短的路线长是5cm，
故答案为：5；
（2）由题意可得AC＝AB，DE＝CF＝1.5m，CD＝EF＝2m，BE＝0.5m，
∴BD＝DE﹣BE＝1.5﹣0.5＝1m，
设AC＝xm，
则AD＝AB﹣DB＝（x﹣1）m，
在Rt△ADC 中，∠ADC＝90°，AD＝（x﹣1）m，AC＝xm，CD＝2m，
∴AD2+DC2＝AC2，
即（x﹣1）2+22＝x2，
解得x＝2.5，
故绳索AC 的长为2.5m．
▌题型04 台阶中的最值问题
1. 台阶表面爬行最短路径：平移法，把台阶所有水平面向下平移、竖直面向右平移，拼接成一个大长方形
立体路径 → 平面线段，两点之间线段最短，利用勾股定理求解。
2. 解题步骤
（1）分别累加：所有台阶水平宽度之和、所有台阶竖直高度之和；
（2）两条总和作为直角三角形两条直角边；
（3）连接起点终点，斜边就是最短路线；
（4）勾股定理计算长度。
15 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【典例1】（2025 春•兴宁区校级期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，
3
4m 和
1
4m，
A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路
线长度为（ ）
A．3.5m
B．4.5m
C．5m
D．5.5m
【分析】将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算AB 的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的
最短路线长度．
【解答】解：如图，将台阶展开为矩形，线段AB 恰好是直角三角形的斜边，
则AC＝4m，BC＝（
3
4 +
1
4）×3＝3（m），
在Rt△ABC 中，AB= √𝐴𝐶2+𝐵𝐶2 = √42+32 =5（m），
所以蚂蚁所走的最短路线长度为5m．
故选：C．
【变式1-1】如图所示，有一块长方形场地ABCD，长AB＝20m、宽AD＝10m，中间有一堵墙，高MN＝2m，
一只蚂蚁要从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20m
B．24m
C．25m
D．26m
【分析】如图所示，将图展开，图形长度增加2 个MN 的长度，即原图长度增加4 米，则AB＝24 米，在
Rt△ABC 中，由勾股定理可得AC 的长度为26 米即可．
16 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2 个MN 的长度，
即原图长度增加4 米，
∴AB＝20+4＝24（米），
连接AC，
∵四边形ABCD 是长方形，AB＝24 米，宽AD＝10 米，
在Rt△ABC 中，由勾股定理得：
AC= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √242 + 102 =26（米），
∴蚂蚁从A 点爬到C 点，它至少要走26 米的路程．
故选：D．
【变式1-2】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm 的长方形地毯上爬行，地毯上堆放
着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm 的等边三角形，
求一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程．
数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接AC．
（1）线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是 两点之间线段最短 ；
（2）问题解决：求出这只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程．
【分析】（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，结合两点之间线段最短即可求解；
（2）根据题意可得，展开图中AB 等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中BC 等于长
方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算AC 的长即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
17 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：两点之间线段最短；
（2）根据题意可得：展开图中的AB＝100+20＝120（cm），BC＝50cm．
在Rt△ABC 中，由勾股定理可得：𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √1202 + 502 = 130(𝑐𝑚)，
即这只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程为130cm．
【变式1-3】如图所示的是一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A 和B 是这个台
阶两个相对的端点，在A 点有一蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，请你帮助小蚂蚁计算一下，沿着台阶
面从A 到B 最短爬行路程是多少？
【分析】首先根据题意画出台阶的侧面展开图，分别得到两直角的长；然后根据勾股定理求出AB 的长即
可得到小蚂蚁沿着台阶面从A 到B 最短爬行路程．
【解答】解：如图：展开图中AB 的距离即为蚂蚁爬行的最短路程，且∠AOB＝90°．
∵每级台阶长、宽、高分别为60cm，30cm，10cm，
∴OA＝30+10+30+10＝80（cm），OB＝60cm．
∵∠AOB＝90°，OA＝80cm，OB＝60cm，
∴AB= √602 + 802 =100（cm）．
故最短爬行路程是100cm．
▌题型05 垂线段最短求最值
1. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简单表述：定点到定直线，垂线段长度为最小值。
2. 已知：定点𝑃，定直线𝑙，点𝐴在直线𝑙上运动
结论：当𝑃𝐴⊥𝑙时，𝑃𝐴取得最小值；最小值 = 𝑃到直线𝑙的距离。
18 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3.解题四步法
（1）分清：定点、动点、动点所在定直线；
（2）过定点向动点所在直线作垂线；
（3）找到垂足位置（动点到达垂足时取最值）；
（4）使用勾股定理/面积法计算垂线段长度。
【典例1】（2025 秋•松江区期末）如图，在△ABC 中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P 是AC 上的一个
动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ）
A．14.8
B．15
C．15.2
D．16
【分析】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP 的最小值即可解决问题．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 82 =10，
∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，
根据垂线段最短可知，当BP⊥AC 时，BP 的值最小，最小值BP= 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶
𝐴𝐶
= 24
5 =4.8，
∴AP+BP+CP 的最小值＝10+4.8＝14.8，
故选：A．
【变式1-1】（2025 秋•正定县期末）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，交AC 于点D，
AB＝4，BD＝5，若点P 是BC 边上的动点，则线段DP 的最小值为（ ）
A．2.4
B．3
C．4
D．5
【分析】先根据勾股定理求出AD 的长，再过点D 作DE⊥BC 于点E，由垂线段最短可知当P 与E 重合
时DP 最短，根据角平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，
∴AD= √52 −42 =3，
19 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
过点D 作DE⊥BC 于点E，由垂线段最短可知当P 与E 重合时DP 最短，
∵BD 平分∠ABC 交AC 于D，
∴DE＝AD＝3，即线段DP 的最小值为3．
故选：B．
【变式1-2】（2025 秋•通州区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是边BC 上的高，M，N 两点分别在
AD，AC 上，连接BM，MN．若AB＝10cm，BC＝12cm，则BM+MN 的最小值是（ ）
A．8cm
B．9.6cm
C．10cm
D．12cm
【分析】连接BN，由等腰三角形的性质可知得BD＝CD＝6cm，在Rt△ADC 中，由勾股定理得AD＝8cm，
当B，M，N 三点共线时，BM+MN 的最小值是BN 的长，利用等面积法求出BN 的长即可．
【解答】解：∵在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，AD⊥BC，BC＝12cm，
∴BD＝CD＝6cm，
∴𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = √102 −62 = 8𝑐𝑚，
当B，M，N 三点共线时，BM+MN 的最小值是BN 的长，
如图，连接BN，
当BN⊥AC 时，BN 最短，
所以𝐵𝑁= 𝐴𝐷⋅𝐵𝐶
𝐴𝐶
= 8×12
10
= 9.6𝑐𝑚，即BM+MN 的最小值是9.6cm．
故选：B．
【变式1-3】（2025 秋•金安区校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D 为
AB 上一动点（不与点A 重合），△AED 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G
20 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
为EF 的中点且始终有𝐷𝐺= 1
2 𝐸𝐹，则线段BG 长的最小值是（ ）
A．√108
B．6
C．√27
D．9
【分析】连接AG，过点B 作BH⊥AG，交AG 的延长线于点H，根据等边三角形性质得AE＝AD，∠DAE
＝60°，再根据点G 为EF 的中点且始终有DG= 1
2EF 得EG＝DG，由此依据“SSS”判定△AEG 和△ADG
全等得∠EAG＝∠DAG＝30°，进而得∠HAB＝∠CAB＝30°，进而依据“SAS”判定△HAB 和△CAB 全
等得BH＝BC＝6，由∠EAG＝∠DAG＝30°得AH 是∠EAD 的平分线，由此得当点D 在AB 上运动时，
点G 始终在∠EAD 的平分线上，然后根据“垂线段最短”得BG≥BH＝6，由此得当点G 与点H 重合时，
BG 为最小，最小值为线段BH 的长，据此即可得出答案．
【解答】解：连接AG，过点B 作BH⊥AG，交AG 的延长线于点H，如图所示：
∴∠H＝90°，
∵△AED 是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∵点G 为EF 的中点，
∴EG= 1
2EF，
又∵DG= 1
2EF，
∴EG＝DG，
在△AEG 和△ADG 中，
{
𝐴𝐸= 𝐴𝐷
𝐸𝐺= 𝐷𝐺
𝐴𝐺= 𝐴𝐺
，
∴△AEG≌△ADG（SSS），
∴∠EAG＝∠DAG= 1
2∠DAE＝30°，
21 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴∠CAB＝30°，
∴∠DAG＝∠CAB＝30°，
即∠HAB＝∠CAB＝30°，
在△HAB 和△CAB 中，
{
∠𝐻= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°
∠𝐻𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝐵
𝐴𝐵= 𝐴𝐵
，
∴△HAB≌△CAB（AAS），
∴BH＝BC＝6，
∵∠EAG＝∠DAG＝30°，
∴AH 是∠EAD 的平分线，
∴当点D 在AB 上运动时，点G 始终在∠EAD 的平分线上，
根据“垂线段最短”得：BG≥BH＝6，
∴当点G 与点H 重合时，BG 为最小，最小值为线段BH 的长，
线段BG 长的最小值是6．
故选：B．
▌题型06 三角形三边之间的关系求最值
已知两条定长线段 𝑎、𝑏（设 𝑎≥𝑏），三条线段构成三角形，第三条边长为 𝑥，
则𝑎−𝑏< 𝑥< 𝑎+ 𝑏；
三角形三边关系，三点共线时取到最值，不共线构成三角形，不能取等。
解题步骤：
1. 找出两条固定长度的线段；
2. 把所求线段放在同一个三角形中；
3. 列出三边不等式 |𝑚−𝑛| ≤𝑥≤𝑚+ 𝑛；
4. 判断能否三点共线：能共线→可取等号，得到最大、最小值。
【典例1】（2025 秋•温岭市期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D，E 分别在
边AB，BC 上，连接DE，点F，G 分别是AC，DE 的中点，连接FG，若DE＝6，则FG 的最小值是（ ）
22 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．1.8
B．2
C．√5
D．2.5
【分析】连接BG、BF，根据勾股定理求出AC，根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出BF、BG，
再根据三角形的三边关系计算即可．
【解答】解：如图，连接BG、BF，
在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AC= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √82 + 62 =10，
在Rt△DBE 中，F 是AC 的中点，
则BF= 1
2AC＝5，
在Rt△DBE 中，G 是DE 的中点，
则BG= 1
2DE＝3，
由三角形的三边关系可知：FG≥BF﹣BG＝2，
∴FG 的最小值是2，
故选：B．
【变式1-1】（2026•凉山州模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，D 是△ABC 内
的一个动点，E 为AC 的中点，𝐷𝐸= 1
2 𝐴𝐶，则BD 的长的最小值为 2√13 −4 ．
23 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】连接BE，根据勾股定理求出AC，进而求出DE、CE，再根据勾股定理求出BE，得出结论．
【解答】解：如图，连接BE，
在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
由勾股定理得：AC= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √102 −62 =8，
则DE= 1
2AC= 1
2 ×8＝4，
∵E 为AC 的中点，
∴CE＝4，
∴BE= √𝐶𝐸2 + 𝐵𝐶2 = √42 + 62 =2√13，
由题意可知：BD≤BE﹣DE＝2√13 −4，
∴BD 的长的最小值为2√13 −4，
故答案为：2√13 −4．
【变式1-2】（2025 秋•平山县期末）如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，EF 垂直平分BC，点P
为直线EF 上的动点，则AP+BP 的最小值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．11
【分析】连接CP，由题意得PB＝PC，推出AP+BP＝AP+PC≥AC，即可求解．
【解答】解：在△ABC 中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，EF 垂直平分BC，点P 为直线EF 上的动点，如图，
连接CP，
小学
初中
24 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴PB＝PC，
∴AP+BP＝AP+PC≥AC，
∴AP+BP 的最小值是6，
故选：B．
【变式1-3】（2025 秋•烟台期末）如图，等腰△ABC 的底边BC 长为4，腰长为5，AC 的垂直平分线分别
交AB，AC 于点E，F，点M，N 分别为线段EF，BC 上的动点，连接CM，MN，请探索CM+MN 是否存
在最小值；若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】作AH⊥BC 于点H，连接AM，由勾股定理，求得AH，由EF 垂直平分AC，点M 在EF 上，得
AM＝CM，因为AM+MN≥AH，所以CM+MN≥AH，则CM+MN 的最小值为AH 的长，于是得到问题的
答案．
【解答】解：作AH⊥BC 于点H，连接AM，
∵等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰长为5，
∴AH= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐻2 = √52 −22 = √21，
∵EF 垂直平分AC，点M 在EF 上，
∴AM＝CM，
∵AM+MN≥AH，
∴CM+MN≥√21，
∴CM+MN 的最小值为√21．
25 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型07 将军饮马模型求最值
已知：直线 𝑙（河），定点 A、B 在 𝑙 同侧，P 是 𝑙 上动点，求 PA+PB 最小。
画图四步
1. 作点 A 关于直线 𝑙 的对称点 A'（虚线画垂线、延长等距）；
2. 连接 A'B，交直线 𝑙 于点 P（此点就是取最小值的动点）；
3. 连接 PA；
4. 线段 A'B 的长度 = PA+PB 的最小值。
【典例1】（2025 秋•槐荫区期中）如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm
的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 且与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外
壁A 处到内壁B 处的最短距离为（ ）cm．（杯壁厚度不计）
A．20
B．25
C．30
D．40
【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．
【解答】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A 向上平移6cm 到点C，连接BC，过点B 作BD⊥AD 于
点D，
由已知得：𝐵𝐷= 1
2 × 40 = 20(𝑐𝑚)，AD＝16﹣4﹣3＝9（cm），CD＝9+6＝15（cm），
在Rt△CDB 中，由勾股定理得：𝐵𝐶= √𝐵𝐷2 + 𝐶𝐷2 = √202 + 152 = 25(𝑐𝑚)，
则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为25cm．
26 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故选：B．
【变式1-1】（2025 秋•如皋市期末）如图，在三角形支架ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，E 为AB 的中点，
AB＝2，AC＝1.5，F 为BD 上一点，DF＝DC＝0.9．
（1）求BD 的长；
（2）若点M 为线段AD 上一动点，则EM+FM 的最小值为 √13
2 ．
【分析】（1）利用勾股定理求出AD，BD 即可；
（2）连接CE 交AD 于点M，连接FM，此时EM+FM 的值最小，最小值为CE 的长．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AC＝1.5，CD＝0.9，
∴AD= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = √1．52 −0．92 =1.2，
∴BD= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √22 −1．22 =1.6；
（2）连接CE 交AD 于点M，连接FM，此时EM+FM 的值最小，最小值为CE 的长．
取BD 的中点H，连接EH．
∵AE＝EB，BH＝DH，
∴EH= 1
2AD＝0.6，EH∥AD，
∵AD⊥BC，
∴EH⊥BC，
∴CH＝CD+DH＝0.9+0.8＝1，7，
∴EC= √𝐸𝐻2 + 𝐶𝐻2 = √0．62 + 1．72 =
√13
2 ．
∴ME+MF 的最小值为√13
2 ．
【变式1-2】（2025 秋•阿荣旗期末）综合与实践
【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从
A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海
27 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
【模型解决】如图①，小明将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关
于直线l 的对称点B′，连结AB′与直线l 交于点C，点C 就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短
的，小明对此进行了说明，以下是说明过程：
如图③，在直线l 上另取任意一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
∵点B 与点B′关于直线l 对称，
∴直线l 是BB′的垂直平分线．
∴CB＝ CB′ ，C′B＝ C′B′ ，
∴AC+CB＝AC+CB′ ＝ AB′ ．
∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB 最小．
“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解
决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是
三角形两边之和大于第三边 ．
请你完成上面填空．
【模型应用】如图④，在△ABC 中，直线m 是边BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上的动点．若AB＝
5，AC＝4，BC＝7，则△APC 周长的最小值为 9 ．
【模型拓展】如图⑤，已知∠MON＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A，ON 上有一点B，当
△PAB 的周长取最小值时，∠APB 的大小是为 100 度．
【分析】模型解决：利用点B 与点B′关于直线l 对称，根据垂直平分线性质得CB＝CB′，C′B＝C′
B′，将AC+CB 转化为AC+CB′＝AB′，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形
28 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
性质转化、推导最短路径．
模型应用：根据题意知点C 关于直线m 的对称点为点B，故当点P 与点D 重合时，AP+CP 值的最小，
△APC 周长有最小值，求出AB 长度即可得到结论．
模型拓展：设点P 关于OM、ON 对称点分别为P′、P″，当点A、B 在P′P″上时，△PAB 周长为
PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB 的度数．
【解答】解：模型解决：在直线l 上另取任意一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
∵点B 与点B′关于直线l 对称，
∴直线l 是BB′的垂直平分线．
∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，
∴AC+CB＝AC+CB′＝AB′．
∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB 最小．
用到的数学依据是：三角形两边之和大于第三边，
故答案为：CB′，C′B′，CB′，AB′，三角形两边之和大于第三边；
模型应用：直线m 与AB 交于点D，
∵直线m 垂直平分BC，
∴B、C 关于直线m 对称，
∴当P 和D 重合时，AP+CP 的值最小，最小值等于AB 的长，
∵AB＝5，AC＝4，
∴△APC 周长的最小值是AB+AC＝5+4＝9．
故答案为：9；
模型拓展：分别作点P 关于OM、ON 的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，交OM、ON 于
点A、B，连接PA、PB，此时△PAB 周长的最小值等于P′P″．
29 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝80°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝50°+50°＝100°．
故答案为：100．
【变式1-3】（2026 春•新城区期末）综合与实践
如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同侧有两个
定点A，B，在直线l 上存在点C，使得CA+CB 的值最小．
小明的作法是：如图2，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l 的交点即为点C，
且CA+CB 的最小值为AB′的长．
如图3，为了证明点C 的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C′，连接AC′，BC′，
B′C′，证明AC+BC＜AC′+BC′即可．
（1）请完成图3 中小明的证明；
（2）如图4，在△ABC 中，直线m 是边BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上的动点．若AB＝6，AC＝
5，BC＝8，则△APC 周长的最小值为 11 ；
（3）如图5，已知∠MON＝35°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A，ON 上有一点B，当△PAB 的
周长取最小值时，∠APB 的大小为 110 度．
30 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）利用点B 与点B'关于直线l 对称，根据垂直平分线性质得BC＝B'C，BC'＝B'C'，将AC+CB
转化为AC+CB＝AB'，再依据三角形三边关系即可解答；
（2）根据题意知点C 关于直线m 的对称点为点B，故当点P 与点P'重合时，AP+CP 值的最小，即△APC
周长有最小值，求出AB+AC 即可得到结论；
（3）设点P 关于OM、ON 对称点分别为E、F，当点A、B 在EF 上时，△PAB 周长为PA+AB+BP＝EF，
此时周长最小，根据轴对称的性质，可求出/∠PB 的度数．
【解答】解：（1）∵点B 与点B'关于直线l 对称，
∴BC＝B'C，BC'＝B'C'，
∴AC+CB＝AC+B'C＝AB'，AC'+BC'＝AC'+B'C'，
在△AC'B'中，由三边关系可得，AC'+B'C'＞AB'，
∴AC'+B'C'＞AB'，
∴AC'+B'C'＞AC+B'C，
即AC+BC＜AC′+BC′；
（2）∵直线m 是边BC 的垂直平分线，
∴点B 和点C 关于直线m 对称，
∴当P 与P'重合时，AP+CP 值的最小，即△APC 周长有最小，
31 / 31
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
此时，△APC 周长为AP'+P'C+AC＝AB+AC＝6+5＝11，
故答案为：11；
（3）分别作点P 关于OM、ON 的对称点E、F，连接OP、OE、PF，交OM、ON 于点A、B，连接PA、
PB，此时△PAB 周长的有最小值等于EF，如图，
由轴对称性质可得，OE＝OP＝OF，∠POA＝∠FOA，∠POB＝∠EOB，
∴∠EOF＝2∠MON＝2×35°＝70°，
∴∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣70°）÷2＝55°，
又∵∠BPO＝∠OEF＝55°，∠APO＝∠OFE＝55°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝110°，
故答案为：110．
