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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题20 勾股定理的逆定理 ▌题型01 直角三角形的判别 【典例1】C． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】C． ▌题型02 勾股数 【典例1】B． 【变式1-1】D． 【变式1-2】8． 【变式1-3】B． ▌题型03 网格中的直角三角形 【典例1】 【解答】解：（1）由勾股定理得：𝐴𝐶= √22 + 42 = 2√5， 故答案为：2√5； （2）△ABC 是直角三角形，理由如下： ∵AB2＝12+22＝5，AC2＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AB2+AC2＝5+20＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即△ABC 是直角三角形； （3）设BC 边上的高为h， ∵AB= √5，AC= 2√5，BC＝5， ∴ 1 2 × 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 1 2 × 𝐵𝐶⋅ℎ， 即 1 2 × √5 × 2√5 = 1 2 × 5ℎ， 解得：h＝2， ∴BC 边上的高为2． 【变式1-1】 【解答】（1）证明：根据题意得，AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC 是直角三角形； （2）解：如图，过点A 作AD⊥BC 于点D， 由（1）知，AB= √5，AC＝2√5，BC＝5，∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴S△ABC= 1 2BC•AD= 1 2AB•AC， ∴AD= 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶 𝐵𝐶 = √5×2√5 5 =2， 即BC 边上的高为2． 【变式1-2】 【解答】解：（1）根据勾股定理得： AB= √72 + 12 =5√2， BC= √42 + 22 =2√5， CD= √22 + 12 = √5， AD= √32 + 42 =5， ∴AB+BC+CD+AD＝5√2 +2√5 + √5 +5＝5√2 +3√5 +5； （2）连接BD， 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据勾股定理得：BD= √32 + 42 =5， ∵AB＝5√2，AD＝5， ∴BD2+AD2＝52+52＝50＝AB2，AD＝BD， ∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°． 【变式1-3】 【解答】（1）解：由条件可知AB＝4， 在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2， ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √42 −22 = 2√3； （2）证明：∵AE2＝10， AB2＝12+32＝10， BE2＝22+42＝20， ∴AE2+AB2＝20＝BE2． ∴△ABE 是直角三角形，且∠BAE＝90°， ∴AB⊥AE． ▌题型04 勾股定理的逆定理求角度 【典例1】45°． 【变式1-1】45°． 【变式1-2】135． 【变式1-3】 【解答】解：（1）连接BD，如图， 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ∵AB＝AD＝2，∠A＝90°，BC＝3， ∴𝐵𝐷= √𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = 2√2，∠ADB＝∠ABD＝45°， ∵CD2＝1，BD2＝8，BC2＝9，1+8＝9， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴△BCD 为直角三角形，∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠BDC+∠ADB＝135°； （2）∵△ABD 与△BCD 均是直角三角形， ∴四边形ABCD 的面积为：𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 1 2 × 𝐴𝐷⋅𝐴𝐵+ 1 2 × 𝐶𝐷⋅𝐵𝐷= 1 2 × 2 × 2 + 1 2 × 1 × 2√2 = 2 + √2． ▌题型05 勾股定理的逆定理求线段 【典例1】 48 5 ． 【变式1-1】 【解答】（1）证明：连接CD， ∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴CD＝DB， ∵BD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD 是直角三角形，且∠A＝90°； 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴△ABC 是直角三角形； （2）解：设AD＝3x，BD＝4x，则CD＝BD＝4x，AB＝AD+DB＝7x， 在Rt△ACD 中，𝐴𝐶= √𝐶𝐷2 −𝐴𝐷2 = √16𝑥2 −9𝑥2 = √7𝑥， 在Rt△ABC 中，AC2+AB2＝BC2， ∴(√7𝑥)2 + (7𝑥)2 = (2√14)2， 解得：x＝±1（负值舍去）， ∴x＝1， ∴𝐴𝐶= √7 × 1 = √7． 【变式1-2】 【解答】解：∵AB＝10，AD＝8，BD＝6，102＝82+62， ∴AB2＝AD2+BD2， ∴△ABD 为直角三角形，∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴△ACD 是直角三角形， ∵AC＝17， ∴𝐷𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √172 −82 = 15， ∴BC＝BD+DC＝6+15＝21． 【变式1-3】 【解答】解：（1）△BCD 为直角三角形，理由如下： ∵已知底边BC＝20cm，点D 是腰AB 上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． ∴BD2+CD2＝162+122＝400，BC2＝202＝400， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD 为直角三角形； （2）设腰长为AB＝AC＝xcm，则AD＝（x﹣12）cm， 由（1）可知∠ADC＝∠BDC＝90°， 由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2， 即：（x﹣12）2+162＝x2， 解得𝑥= 50 3 ， ∴腰AB 长为 50 3 𝑐𝑚． ▌题型06 勾股定理的逆定理求面积 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】 【解答】解：（1）△ACD 为直角三角形，理由如下： 在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，由勾股定理得： AC2＝AB2﹣BC2＝262﹣242＝100， ∴AC＝10m， 在△ACD 中，CD2+AD2＝62+82＝100＝AC2， ∴△ACD 是直角三角形，且∠ADC＝90°； （2）∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 × 10 × 24 = 120(𝑚2)， 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 1 2 𝐴𝐷⋅𝐶𝐷= 1 2 × 6 × 8 = 24(𝑚2)， ∴图中种花（阴影）部分的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐴𝐶𝐷= 120 −24 = 96(𝑚2)． 【变式1-1】18√7或6√3． 【变式1-2】 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3． 由勾股定理，得𝐵𝐷= √𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = √32 + 42 = 5， ∵BC＝13，CD＝12， ∴BC2＝132＝169，BD2+CD2＝52+122＝25+144＝169 ∴BC2＝BD2+CD2， ∴△BCD 为直角三角形， ∴BD⊥DC； （2）𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐷𝐶= 1 2 × 3 × 4 + 1 2 × 5 × 12 = 6 + 30 = 36． 【变式1-3】 【解答】解：（1）△BCD 是直角三角形，理由如下： ∵BC＝20，CD＝16，BD＝12， ∴122+162＝202， 即BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD 是直角三角形； （2）∵BC＝20，CD＝16，BD＝12， ∴122+162＝202， 即BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD 是直角三角形， 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣90°＝90°， 在Rt△ADC 中，CD＝16，AC＝AB＝AD+BD， 根据勾股定理得，CD2+AD2＝AC2， 即162+AD2＝（AD+12）2， 解得𝐴𝐷= 14 3 ， 因此𝑆△𝐴𝐷𝐶= 1 2 𝐴𝐷⋅𝐶𝐷= 1 2 × 14 3 × 16 = 112 3 ， 答：△ADC 的面积为 112 3 ． ▌题型07 勾股数（规律题） 【典例1】 【解答】解：（1）根据题意可得规律： 第k 组勾股数的 第一个数为2k+1， 第二个数为k×（2k+1+1）， 第三个数为2k（k+1）+1， 当k＝4 时，勾股数为：9，40，41， 故答案为：9，40，41（答案不唯一）； （2）第n 个勾股数组为（2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1）（n 为正整数）， 证明如下： c2﹣b2 ＝（c+b）（c﹣b） ＝[2n（n+1）+1+2n（n+1）][2n（n+1）+1﹣2n（n+1）] ＝（4n2+4n+1）×1 ＝（2n+1）2 ＝a2， 故a2+b2＝c2， ∴该数组为勾股数组； （3）根据题意可得，（x+m）﹣（x+7）＝1， 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴m＝8， 由勾股定理得：x2+（x+7）2＝（x+8）2， 化简得：（x﹣5）（x+3）＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣3（不符合勾股数为正整数的要求，舍去）， ∴x 的值为5， 故答案为：5． 【变式1-1】 【解答】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公 式．本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．解： 探究1：（1）①∵3，4，5 是一组勾股数， 又k 为正整数， ∴当k＝2 时，ka＝6，kb＝8，kc＝10，且62+82＝36+64＝100＝102， ∴6，8，10 也是一组勾股数（答案不唯一）； 故答案为：6，8，10（答案不唯一）； ②证明：∵a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1， ∴a2+b2＝（2n+1）2+（2n2+2n）2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，c2＝（2n2+2n+1）2＝ 4n4+8n3+8n2+4n+1， ∴a2+b2＝c2， ∴a，b，c 是一组勾股数； （2）①如果勾为7，则股24 = 1 2 × (49 −1)，弦25 = 1 2 × (49 + 1)， 故答案为： 1 2 × (49 −1)； 1 2 × (49 −1) 1 2 × (49 + 1)； ②当a＝n（n≥3，且n 为奇数）时，𝑏= 1 2 (𝑛2 −1)，𝑐= 1 2 (𝑛2 + 1)； 证明：∵𝑎2 + 𝑏2 = 𝑛2 + [1 2 (𝑛2 −1)]2 = 𝑛2 + 1 4 (𝑛4 −2𝑛2 + 1) = 𝑛2 + 1 4 𝑛4 −1 2 𝑛2 + 1 4 = 1 4 𝑛4 + 1 2 𝑛2 + 1 4， 𝑐2 = [1 2 (𝑛2 + 1)]2 = 1 4 (𝑛4 + 2𝑛2 + 1) = 1 4 𝑛4 + 1 2 𝑛2 + 1 4， ∴a2+b2＝c2， ∴该规律合理． 故答案为： 1 2 (𝑛2 −1)； 1 2 (𝑛2 + 1)． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26， 则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262， 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16， 解得b＝24 或b＝﹣24（舍去）； 故答案为：24； （2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n 互质且一奇一偶）； 非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k 为正整数）， 证明：对于本原勾股数，计算a2+b2： （m2﹣n2）2+（2mn）2 ＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2 ＝m4+2m2n2+n4 ＝（m2+n2）2 ＝c2， 非本原勾股数为k 倍的本原勾股数， 故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2] ＝k2（m2+n2）2 ＝c2． 同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立； （3）根据题意，当最短边种21 株花时，最短边的长为（21﹣1）1＝20（m）， 由表格知可能的一种三边长为20，21，29． 下面说明这是符合种最少要求的三角形三边长，设符合要求的三边长为20，p，q，则20≤p，且20≤q， 当p 或q＝20 时，不符合勾股数的要求，：p，q 至少是21，不妨设p＜q，则有q2＝p2+202，即q= √𝑝2+202. 由q 的解析式可知p 越大，q 越大，反之则有p 越小，q 越小， 又∵当p＝21 时，恰有q＝29， ∴20，21，29 是符合种最少要求的三角形三边长，此时一个三角形边上种20+21+29＝70（株）， 故4 个三角形最少需种4×70＝280（株）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵32＝4+5，52＝12+13，…， ∴112＝121，（121﹣1）÷2＝60， ∴勾股数为：11，60，61； 观察表1 中的数据，不难发现b、c 与a2 之间的关系是b、c 与a2 之间的关系是a2＝b+c； 故答案为：60，61；a2＝b+c； （2）∵ 1 2 × 62 =8+10， 1 2 ×82＝15+17，…， 又∵ 1 2 ×162＝128，128÷2＝64， 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴根据表2 的规律写出的勾股数为：16，63，65； 观察可得：表2 中b、c 与a2 之间的关系是： 1 2a2＝b+c； 故答案为：63，65， 1 2a2＝b+c； （3）分两种情况： ①当145 符合表1 时，则中间的数为144， ∵145+144＝289，且172＝289， ∴这组勾股数为：17，144，145； ②当145 符合表2 时，则中间的数为143， ∵145+143＝288，且289×2＝576，而576 是平方数， ∴勾股数是24，143，145， 综上，这组勾股数为：17，144，145；即172+1442＝1452；24，143，145 即242+1432＝1452；
