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1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题21 勾股定理的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 求梯子滑落高度 题型02 求旗杆高度 题型03 求小鸟飞行距离 题型04 求大树折断前的高度 题型05 解决水杯中筷子问题 题型06 解决航海问题 题型07 求河宽（芦苇长度） 题型08 求台阶上地毯长度 题型09 判断汽车是否超速 题型10 判断是否受台风影响 题型11 选址使到两地距离相等 题型12 求最短路径 ▌题型01 求梯子滑落高度 已知：梯子长𝐿（斜边不变），初始底端距墙𝑎，顶端高ℎ 底端向外滑动一段距离，求顶端下滑距离；或顶端下滑，求底端移动距离。 通用步骤： 1. 初始状态：Rt△，已知斜边、一条直角边，勾股求出另一条直角边 2. 滑动后：底边长度改变，斜边依旧不变，再次勾股求出新高度 3. 前后高度做差 = 下滑距离 【典例1】（2026 春•西青区期末）如图，一架长为2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位 2 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 于墙面的点A 处，底端位于地面的点B 处，点B 到墙面的距离BO 为0.7m．如果将梯子底端沿OB 向外 移动0.8m，那么梯子顶端沿墙AO 下滑（ ） A．0.8m B．0.7m C．0.5m D．0.4m 【分析】梯子顶端沿墙AO 下滑的距离为AC＝OA﹣OC．利用勾股定理求出OA＝2.4，OC＝2．即可得到 答案． 【解答】解：在Rt△AOB 中，根据勾股定理得𝑂𝐴= √𝐴𝐵2 −𝑂𝐵2 = √2．52 −0．72 = 2.4(𝑚)， 在Rt△COD 中，根据勾股定理得𝑂𝐶= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐷2 = √2．52 −(0.7 + 0.8)2 = 2(𝑚)， 所以，AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）． 因此，当梯子底端向外移动0.8m 时，梯子顶端下滑0.4m， 故选：D． 【变式1-1】（2026 春•大连期末）如图，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上，∠C＝90°，这 时，梯子的底端B 到墙底C 的距离BC 为0.7m． （1）求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC． （2）如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B 外移0.4m 吗？通过计算说明你的结论． 【分析】（1）在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC＝2.4m，据此可得出答案； （2）依题意得AA'＝0.4m，则A'C＝2m，在Rt△A'B'C 中，由勾股定理得B'C＝1.5m，进而得BB'＝0.8m， 据此可得出梯子底端B 外移0.8m，不是0.4m． 【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2.5m，BC＝0.7m， 由勾股定理得：AC= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √2．52 −0．72 =2.4（m）． 3 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答：梯子的顶端A 距地面的高度AC 为2.4m． （2）∵梯子的顶端A 沿墙下滑0.4m， ∴AA'＝0.4m， ∴A'C＝AC﹣AA'＝2.4﹣0.4＝2（m）， 在Rt△A'B'C 中，A'B'＝2.5m，A'C＝2m， 由勾股定理得：B'C= √𝐴′𝐵′2 −𝐴′𝐶2 = √2．52 −22 =1.5（m）， ∴BB'＝B'C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）， 答：梯子底端B 外移0.8m，不是0.4m． 【变式1-2】（2025 秋•铜川期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE 时，梯 子A 到左墙的距离AE 为0.7m，梯子顶端D 到地面的距离DE 为2.4m，若梯子底端A 保持不动，将梯子 斜靠在右墙BC 上，梯子顶端C 到地面的距离CB 为1.5m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE 的 长度．（单位：m） 【分析】先根据勾股定理求出AD 的长，同理可得出AB 的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵AE＝0.7 米，DE＝2.4 米， ∴AD2＝0.72+2.42＝6.25． ∵∠ABC＝90°，BC＝1.5 米，AB2+BC2＝AC2， ∴AB2+1.52＝6.25， ∴AB2＝4． ∵AB＞0， ∴AB＝2 米． ∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7（米）． 故答案为：2.7． 【变式1-3】（2026 春•红谷滩区校级期末）教材呈现：如图1，一架长为2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上， 此时梯子一边的顶端位于墙面的点A 处，底端位于地面的点B 处，点B 到墙面的距离BO 为0.7m． （1）如果将梯子底端沿OB 向外移动0.8m，那么梯子顶端会沿墙AO 下滑多少米？求出梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座17m 的货架AB，货架顶部安装一个高5m 的装卸平台AC，现需 4 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 对该平台进行设备检修．一辆高2m 的叉车在货架前点M 处，展开25m 的升降臂（最长25m）刚好接触 到装卸平台底部A 点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m 的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点？请通过计算说明． 【分析】（1）根据题意，可得，AB＝2.5m，BO＝0.7m，根据勾股定理求出AO，根据梯子底端沿OB 向 外移动0.8m，则OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5，根据勾股定理求出CO，即可求出AC； （2）过点D 作DE⊥AB 于点E，由题意可得，CD′＝AD＝25m，AB＝17m，AC＝5m，根据勾股定理求 出ED；ED′，根据DD′＝ED﹣ED′，即可解答． 【解答】解：（1）由题意可得，AB＝CD＝2.5m，BO＝0.7m， 在直角三角形AOB 中，由勾股定理得：𝑂𝐴= √𝐴𝐵2 −𝑂𝐵2 = √2．52 −0．72 = 2.4(𝑚) ∵梯子底端沿OB 向外移动0.8m， ∴OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5（m）， 在直角三角形COD 中，由勾股定理得：𝐶𝑂= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐷2 = √2．52 −1．52 = 2(𝑚)， ∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）． 答：梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度为0.4m； （2）叉车向货架方向行驶5m 后，其长25m 的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点．理由如下： 过点D 作DE⊥AB 于点E， 5 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意可得，CD′＝AD＝25m，AB＝17m，AC＝5m， ∵叉车高2m， ∴BE＝2m， ∴AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m）， ∴ED= √𝐴𝐷2 −𝐴𝐸2 = √252 −152 =20（m）， ∵CE＝AE+AC＝15+5＝20（m）， ∴ED′= √𝐶𝐷′2 −𝐶𝐸2 = √252 −202 =15（m）， ∴DD′＝ED﹣ED′＝20﹣15＝5（m）， ∴叉车向货架方向行驶5m 后，其长25m 的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点． ▌题型02 求旗杆高度 旗杆顶端系一根绳子，绳子垂到地面还多出一段；把绳子末端水平拉开一段距离，绳子刚好拉直。 1. 画图：竖直旗杆、水平地面、拉直绳索；标出所有已知长度 2. 设旗杆高为 𝑥，表达出绳子总长 𝑥+ 𝑎 3. 根据勾股定理列出方程 4. 展开化简求解，𝑥2相互抵消，得到一元一次方程 【典例1】（2026 春•新华区校级期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆AB 的高度，信息如 下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端A 处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5 米（CF＝3.5 米）的E 点处，此时 手上的绳子还剩0.5 米； ②甲同学继续往后退1.5 米（FH＝1.5 米）到达G 点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6 米． 则旗杆AB 的高度为（ ） 6 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．12 米 B．12.6 米 C．13 米 D．13.6 米 【分析】由题意可得BC＝EF＝HG＝1.6 米，CF＝3.5 米，FH＝1.5 米，则CH＝5 米，设绳子的长度为x 米，则AF＝（x﹣0.5）米，AH＝x 米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【解答】解：由题意可得：BC＝EF＝HG＝1.6 米，CF＝3.5 米，FH＝1.5 米， ∴CH＝CF+FH＝5 米， 设绳子的长度为x 米，则AF＝（x﹣0.5）米，AH＝x 米， 由勾股定理得AC2＝AF2﹣CF2，AC2＝AH2﹣CH2， ∴AF2﹣CF2＝AH2﹣CH2， ∴（x﹣0.5）2﹣3.52＝x2﹣52， 解得x＝13， ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐻2 −𝐶𝐻2 = √132 −52 = 12米， ∴旗杆AB 的高度为AC+CB＝12+1.6＝13.6 米， 故选：D． 【变式1-1】（2026 春•肃南县校级期末）小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部 的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段AB 为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落 在宣传栏上的点D 处时（即AB＝AD），点D 到地面的距离CD＝2m，地面上B、C 两点之间的距离BC ＝8m，且A、B、C、D 四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度AB． 【分析】作DE⊥AB，勾股定理求出AD 的长即可． 【解答】解：如图，BC＝8m，CD＝2m，作DE⊥AB 于点E，则四边形BCDE 是矩形， 7 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴DE＝BC＝8m，BE＝CD＝2m， 设AD＝AB＝xm，则AE＝（x﹣2）m， 在Rt△AED 中，由勾股定理，得：x2＝82+（x﹣2）2， 解得：x＝17； 答：旗杆的高度AB 为17m． 【变式1-2】（2025 秋•高新区期末）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B 的细子重到地面时多出了3 米， 把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A 处（如图所示），测得绳子底端A 与旗杆根部C 之间 的距离为9 米． （1）求旗杆的高度BC； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5 米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端 恰好接触地面的点D 处，求珍珍应从A 处向东走多少米？ 【分析】（1）根据题意知绳子AB 的长为（BC+3）米，根据勾股定理BC2+AC2＝AB2 列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出CD，即可得解． 【解答】解：（1）根据题意知绳子AB 的长为（BC+3）米， 在Rt△ABC 中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2， ∴BC2+92＝（BC+3）2， 解得：BC＝12， ∴旗杆的高度BC＝12 米； （2）由（1）知，AB＝BC+3＝15 米，则BD＝15+5＝20（米）， 在Rt△BCD 中，由勾股定理得：CD= √𝐵𝐷2 −𝐵𝐶2 =16（米）， ∴AD＝CD﹣AC＝7 米， ∴珍珍应从A 处向东走7 米． 【变式1-3】（2026 春•惠州期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 8 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段PQ 表示旗杆，PQ 垂直地面于点Q． 测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然 下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作 QE，用皮尺量出QE 的长度；第二次操作：如图 ②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F 处， 用皮尺量出QF 的长度. 数据信息 图①中QE 的长度为3m；图②中QF 的长度为 9m． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【分析】设旗杆PQ 的高度为xm，则绳子的长度为（x+3）m，由勾股定理进行计算即可得出答案． 【解答】解：由图①可知：绳子的长度比旗杆的高度多3m， 设旗杆PQ 的高度为xm，则绳子的长度为（x+3）m， 由图②可得，PF＝（x+3）m， 在Rt△PQF 中，由勾股定理得：PQ2+QF2＝PF2， 即x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12， 答：学校旗杆的高度为12m． ▌题型03 求小鸟飞行距离 1. 两棵高低不同的竖直大树，地面水平，树干垂直地面。 2. 小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树顶端。 （1）竖直方向：两棵树高度差（一条直角边） （2）水平方向：两棵树底部之间的距离（另一条直角边） （3）小鸟飞行的直线路径 = 斜边 9 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3. 通用解题步骤 （1）画图：画出两棵竖直线代表大树，连接树梢； （2）过矮树顶端作高树的水平线，构造标准直角三角形； （3）计算两条直角边：水平距离 = 两树间距，竖直距离 = 大树高度 − 小树高度； （4）勾股定理求斜边，就是小鸟最短飞行距离。 【典例1】（2026 春•安远县校级期末）如图1，有两棵树，一棵高18 米（AB＝18 米），另一棵高2 米（CD ＝2 米），两树相距12 米（BD＝12 米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高18 米的树AB 在点M 处折断，大树顶部落在点D 处，则树AB 折断处M 距 离地面多少米？ 【分析】（1）根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短， 运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出AM 的长，即可求解． 【解答】解：（1）两棵树的高度差为18﹣2＝16（米），两树相距12 米（BD＝12 米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离= √162 + 122 =20（米）． 答：至少飞了20 米； （2）由勾股定理得，BM2+AB2＝AM2， ∴BM2+122＝（18﹣BM）2， 解得BM＝5， 答：树AB 折断处M 距离地面5 米 【变式1-1】（2026 春•林州市月考）如图，有两棵树，一棵高9m，一棵高4m，两树相距12m，一只小鸟从 一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（ ）m 10 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．13m B．12m C．16m D．21m 【分析】将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 【解答】解：如图，设较高的树为AB＝9m，较矮的树为CD＝4m，两树相距BD＝12m，过点C 作CE⊥ AB 于点E，则四边形CDBE 为矩形， ∴CE＝BD＝12m，BE＝CD＝4m， ∴AE＝AB﹣BE＝9﹣4＝5（m）， 在直角三角形ACE 中，由勾股定理得：AC= √𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 = √52 + 122 =13（m）， ∴小鸟至少要飞行13m． 故选：A． 【变式1-2】如图，在一棵树CD 上距离地面10m 高的B 处，有一只猴子和一只小鸟，猴子爬下树后沿CA 走到离树20m 处的池塘A 处，小鸟先沿BD 飞到树顶D 处再沿直线飞到A 处，如果猴子和小鸟所经过的 距离相等，这棵树有多高？ 【分析】设树高为xm，则可用x 分别表示出AD，利用勾股定理可得到关于x 的方程，可求得x 的值． 【解答】解：设树高为xm，则BD＝（x﹣10）m， 则题意可知：BC+AC＝10+20＝30（m）， ∴AD＝30﹣BD＝30﹣（x﹣10）＝（40﹣x）m， ∵△ACD 为直角三角形， ∴AD2＝AC2+DC2， 11 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即（40﹣x）2＝202+x2， 解得：x＝15， 答：树高为15m． 【变式1-3】如图，一只小鸟旋停在空中A 点，A 点到地面的高度AB＝20 米，A 点到地面C 点（B、C 两点 处于同一水平面）的距离AC＝25 米．若小鸟竖直下降12 米到达D 点（D 点在线段AB 上），求此时小 鸟到地面C 点的距离． 【分析】根据勾股定理得出BC，进而利用勾股定理得出DC 即可． 【解答】解：由题意可知，∠B＝90°， ∵AB＝20，AC＝25， ∴BC= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐵2 = 15（米）， ∵AD＝12， ∴DB＝AB﹣AD＝20﹣12＝8（米）， ∴DC= √𝐷𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √82 + 152 = 17（米）， 即小鸟到地面C 点的距离为17 米． ▌题型04 求大树折断前的高度 1. 大树竖直折断，上半部分倾倒，树梢接触地面。 - 剩余直立树干：直角边①（设为𝑥） - 树根到树梢落地点水平距离：直角边②（已知） - 折断倾倒的树枝：斜边（长度=总长−𝑥） 总高度 = 直立部分长度 + 斜着的折断树枝长度 2. 解题步骤 （1）设折断处离地面高度为𝑥； （2）大树原总高度未知，斜段长度 = 待求总长−𝑥； （3）地面水平距离为已知线段； （4） 利用勾股定理列方程： 12 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 𝑥2+ (水平距离) 2 =(斜段长) 2 （5）解出𝑥，求出斜段长度；两者相加得到大树折断前总高度。 【典例1】（2026 春•呼和浩特校级期末）4 月27 日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12 级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6 米处断裂，树顶端落在离底部8 米的地面上，大树底部与地 面垂直，则树折断之前有 16 米． 【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即 可得出结果． 【解答】解：由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形， 其中一条直角边长为6 米，另一条直角边长为8 米，设树折断部分的长度为x 米， 由勾股定理，得：x= √62 + 82 = √36 + 64 =10， ∴树折断之前的高度为6+10＝16（米）， 故答案为：16． 【变式1-1】（2026 春•绥德县期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时，大风把一棵垂直于地面且高度为 12m 的大树拦腰折断，折断处A 与地面的距离AC＝4m，树尖B 恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的 点D 处停着一辆小轿车，CD＝6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车？请作出判断并说明理由． 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角 三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为比较BC 和CD 的大小，可知大树会砸到小车． 【解答】树枝落地时会砸着小轿车； 理由：由题意可知，∠C＝90°， ∴△ABC 为直角三角形， 在 Rt△ABC 中，AC＝4m，AB＝12﹣4＝8（m）， 由勾股定理得：𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √82 −42 = 4√3(𝑚) ⋅， 13 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵CD＝6.5m， CD＜BC， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 【变式1-2】（2026 春•土默特左旗期末）如图1，有两棵树，一棵高18 米（AB＝18 米），另一棵高2 米 （CD＝2 米），两树相距12 米（BD＝12 米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高18 米的树AB 在点M 处折断，大树顶部落在点D 处，则树AB 折断处M 距 离地面多少米？ 【分析】（1）根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短， 运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出AM 的长，即可求解． 【解答】解：（1）两棵树的高度差为18﹣2＝16（米），两树相距12 米（BD＝12 米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离= √162 + 122 =20（米）． 答：至少飞了20 米； （2）由勾股定理得，BM2+AB2＝AM2， ∴BM2+122＝（18﹣BM）2， 解得BM＝5， 答：树AB 折断处M 距离地面5 米． 【变式1-3】如图所示，一棵32 米高的巨大杉树在海棠号台风中被刮断，树顶C 落在离树根B 点16 米处， 科研人员要看查看断痕A 处的情况，在离树根B 有5 米的D 处竖起一个梯子AD，请问这个梯子有多长？ 【分析】首先利用勾股定理求得AB 的长，然后利用勾股定理求得斜边AD 的长即可． 14 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：设AB 的长为x 米，则AC＝（32﹣x）， 根据题意得：x2+162＝（32﹣x）2， 解得：x＝12， 所以AB 的长为12， 因为BD＝5 米， 所以AD＝13 米， 所以梯子的长为13 米． ▌题型05 解决水杯中的筷子问题 1. 圆柱形水杯：底面圆形，杯壁竖直。 2. 筷子放在杯中存在两种临界位置： ①竖直放置：筷子浸入最短； ②斜靠杯壁（一端底面圆心对角，一端杯口边缘）：杯内筷子最长，这条线段是圆柱底面直径、杯子高作 为直角边构成直角三角形的斜边。 已知：水杯高度ℎ，底面直径𝑑 杯内筷子最长长度：𝐿= √ℎ2 + 𝑑2 常见问法：筷子露出杯口多长；已知露出长度求水杯尺寸；求筷子总长范围。 3. 解题步骤 （1）找到直角三角形：竖直高度、底面直径为两条直角边； （2）勾股计算杯子内部筷子最长长度； （3）结合筷子总长，算出最少露出长度； （4）若筷子竖直摆放，得到最多露出长度。 【典例1】（2026 春•东城区校级期中）如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h 的取值范围是（ ） A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 15 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯 子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出h 的取值范围． 【解答】解：将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的圆柱形水杯中，如图1 所示， 当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h 最大＝24﹣8＝16（cm）， 如图2 所示，当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD 中，AD＝15cm，BD＝8cm， 由勾股定理得：AB= √𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = √152 + 82 =17（cm）， ∴此时h 最小＝24﹣17＝7（cm）， ∴h 的取值范围是7cm≤h≤16cm． 故选：D． 【变式1-1】（2025 秋•山西期末）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有 一长为16cm 的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为（ ） A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．5≤h≤6 16 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据图形得到筷子露在盒外的部分h（cm）最长的取值，再结合勾股定理得到筷子露在盒外的部 分h（cm）最短的取值，即可解题． 【解答】解：如图， 当筷子垂直于底面时，筷子露在盒外的部分h（cm）最长，最长为：16﹣12＝4（cm）， ∵√32 + 42 = 5（cm）， 当筷子斜插于盒内时，筷子露在盒外的部分h（cm）最短，最短为： 16 −√52 + 122 = 16 −13 = 3（cm）， ∴筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为3≤h≤4， 故选：B． 【变式1-2】如图，一个直径为12cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子 倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度． 【分析】设筷子长度GE＝DE＝xcm，则GD＝xcm，EF＝（x﹣2）cm，DF= 1 2 𝐴𝐷=6cm，在Rt△DFE 中， 由勾股定理得出方程求解即可． 【解答】解：设筷子长度GE＝DE＝xcm，则GD＝xcm，EF＝（x﹣2）cm，DF= 1 2 𝐴𝐷=6cm， 在Rt△DFE 中，由勾股定理得， EF2+DF2＝DE2， 即（x﹣2）2+62＝x2， 解得x＝8， ∴GE＝8cm， ∴筷子长度为8cm． 17 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（1）如图①，将一根长为20cm 的细木筷斜放在一个高15cm，底边半径为4cm 的无盖圆柱形 杯子内．木筷露在杯子外面的部分至少有多长？ （2）如果将（1）中的筷子斜放在一个高15cm、底面边长为7cm 的正方形的无盖的长方体的容器内（图 ②）．木筷露在容器外面的部分至少有多长（精确到0.1cm）？ 【分析】（1）首先利用勾股定理计算出杯子内木筷的最大长度，然后用木筷的总长度减去杯子内木筷的 最大长度就是木筷露在杯子外面的最短长度； （2）根据勾股定理求得长方体容器内木筷的最大长度，然后用木筷的总长度减去长方体容器内木筷的最 大长度就是木筷露在长方体容器外面的最短长度． 【解答】解：（1）杯子内木筷的最大长度是：√152 + 82 =17cm， 则木筷露在杯子外面的最短长度是：20﹣17＝3（cm）， 故木筷露在杯子外面的部分至少有3cm； （2）长方体容器内木筷的最大长度是：√72 + 72 + 152 = √323 ≈17.97cm， 则木筷露在长方体容器外面的最短长度是：20﹣17.97≈2.0（cm）， 故木筷露在杯子外面的部分至少约为2.0cm． ▌题型06 解决航海问题 1. 两艘轮船从港口出发，航向互相垂直（正北、正东；西北、东北等），行驶路线构成直角三角形， - 港口位置 = 直角顶点 - 两艘船行驶路程 = 两条直角边 - 两船当前直线距离 = 斜边 2. 解题步骤 （1）审题：确认航行方向，判断航线是否垂直； （2）分别求出两艘船行驶距离：路程=速度×时间； （3）两条路程作为直角边； （4）勾股定理计算两船直线距离； 18 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （5）作答。 【典例1】（2026 春•惠州期中）如图所示，甲货船以16 海里/小时的速度从港口A 出发向东北方向航行， 另一轮船乙以12 海里/小时的速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3 小时后，甲、乙两轮船相 距多少海里？（ ） A．35 海里 B．50 海里 C．60 海里 D．40 海里 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走 了48，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC＝90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×3＝48，12×3＝36 海里， 根据勾股定理得：√482 + 362 =60（海里）． 故选：C． 【变式1-1】（2026 春•晋安区期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A 处巡逻，突然发现在南偏东50°方向距离15 海里的点B 处有可疑目标正在以16 海里/小时的速度沿南偏 西40°方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C 处将其追上，则我军巡逻舰队的航行 速度为（ ） 19 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．16 海里/小时 B．20 海里/小时 C．32 海里/小时 D．34 海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得∠ABG＝50°，并推得∠ABC＝90°，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，由题意知，∠DAB＝50°，∠CBE＝40°，AB＝15（海里），BC＝16×0.5＝8（海 里）， ∵DF∥GE， ∴∠ABG＝∠DAB＝50°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠CBE＝180°﹣50°﹣40°＝90°， 在直角三角形ABC 中，由勾股定理得：𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √152 + 82 = 17（海里）， ∴我军巡逻舰队的航行速度为：17÷0.5＝34（海里/小时）． 故选：D． 【变式1-2】（2026 春•博罗县期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不 断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由 点A 飞向点B，已知点C 为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC ＝800m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C 的最短距离； （2）若该飞机的速度为20m/s，要想扑灭着火点C 估计需要15 秒，请你通过计算说明着火点C 能否被 飞机扑灭． 20 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）过点C 作CD⊥AB 于点D，可证明AC2+BC2＝AB2 得到∠ACB＝90°，再利用等面积法求 出CD 的长即可得到答案； （2）在线段AD 和线段BD 上分别取一点E 和点F，连接CE，CF，使得CE＝CF＝500m，利用勾股定 理求出DE，DF 的长，进而求出EF 的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，过点C 作CD⊥AB 于点D， ∵BC＝800m，AB＝1000m，AC＝600m， ∴AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002+8002＝360000+640000＝1000000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴𝑆△𝐴𝐶𝐵= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷， ∴ 1 2 × 600 × 800 = 1 2 × 1000𝐶𝐷， ∴CD＝480m， 答：飞机距离着火点C 的最短距离为480m； （2）如图，在线段AD 和线段BD 上分别取一点E 和点F，连接CE，CF，使得CE＝CF＝500m， 在Rt△CDE 中，由勾股定理得𝐷𝐸= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √5002 −4802 = 140(𝑚)， 同理可得DF＝140m， ∴EF＝DE+DF＝280m， 280÷20＝14（s），且14＜15， ∴着火点C 不能被飞机扑灭， 答：着火点C 不能被飞机扑灭． 21 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•新市区校级期中）一艘轮船从A 港向南偏西50°方向航行10km 到达B 岛，再从B 岛沿BM 方向航行13km 到达C 岛，A 港到航线BM 的最短距离是6km．求C 岛和A 港之间的距离． 【分析】Rt△ABD 中，利用勾股定理求得BD 的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD 中，利用勾股 定理来求AC 的长度． 【解答】解：由题意AD＝6km， Rt△ABD 中，AD2+BD2＝AB2，得62+BD2＝102． ∴BD＝8（km）． ∴CD＝BC﹣BD＝13﹣8＝5（km）． Rt△ACD 中， ∴AC= √𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2 = √52 + 62 = √61（km）． 答：C 岛和A 港之间的距离为√61km． ▌题型07 求河宽（芦苇长度） 1.画图：标出垂直河宽、沿河偏移距离、斜向航线； 2.确认直角：河宽垂直河岸，天然直角； 3.设河宽为𝑥（未知时）； 4.列出Rt△三边，勾股列式； 5.求解作答。 【典例1】（2026 春•安宁区校级期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”大意是：如图，水池底面的宽AB＝1 丈，芦 苇OC 生长在AB 的中点O 处，高出水面的部分CD＝1 尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与 水面平齐，即OC＝OE，求芦苇的长度（1 丈＝10 尺）． 22 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】设芦苇的长度是x 尺，由勾股定理得到x2＝（x﹣1）2+52，求出x＝13，即可得到芦苇的长度． 【解答】解：设芦苇的长度是x 尺， ∴OE＝x 尺，AE＝（x﹣1）尺， AB＝1 丈＝10 尺， ∵O 是AB 的中点， ∴AO= 1 2AB= 1 2 ×10＝5（尺）， 由勾股定理得到：OE2＝AE2+AO2， ∴x2＝（x﹣1）2+52， ∴x＝13， 答：芦苇的长度是13 尺． 【变式1-1】（2025 春•封开县期末）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲 到达B 点200m，结果他在水中实际游的路线AC 为520m，则该河流的宽度AB 为（ ） A．480 m B．380 m C．580 m D．500 m 【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【解答】解：根据勾股定理可得AB= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √5202 −2002 =480m， 答：该河流的宽度为480m， 故选：A． 【变式1-2】为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024 年昭通 市某学校的156 班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一 条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F 与欲到达地点E 相距10 米，结果轮船在水中实际航行的路程 HF 比河的宽度EH 多2 米，则河的宽度EH 是（ ） 23 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．8 米 B．12 米 C．16 米 D．24 米 【分析】根据题意可知△EFH 为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边EH 的长度． 【解答】解：根据题意可知EF＝10 米， 设EH＝x 米，则HF＝（x+2）米， Rt△EFH 中，由勾股定理得FH2＝EF2+EH2， 即（x+2）2＝102+x2， 解得x＝24． ∴该河的宽度EH 为24 米． 故选：D． 【变式1-3】（2026 春•牧野区校级期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其 底面的边长AB＝1 丈（1 丈等于10 尺），芦苇OC 生长在AB 的中点O 处，高出水面的部分CD＝1 尺．将 芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE． （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法 用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水 池的深度OD（OD＝b）可以通过公式𝑏= 𝑎2−𝑛2 2𝑛 计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【分析】（1）设芦苇的长度x 尺，则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，利用勾股定理得出x 的 长进而得出答案． （2）利用勾股定理得出AG 的长进而得出答案． 【解答】解：（1）设芦苇的长度x 尺， 24 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5， 在Rt△ODE 中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， ∴OD＝13﹣1＝12． 答：芦苇的长度为13 尺，水池的深度为12 尺； （2）图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a， 在Rt△ODE 中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴a2+b2＝（b+n）2， 解得𝑏= 𝑎2−𝑛2 2𝑛 ． ▌题型08 求台阶上地毯的长度 1. 台阶铺地毯，地毯需要铺满所有水平台阶面 + 竖直台阶立面。 平移思想： 所有水平小段相加 = 台阶总水平宽度 所有竖直小段相加 = 台阶总竖直高度 2. 已知台阶斜边长度（台阶坡面总长）不能直接用；通常给出总高、总水平长。 3. 解题步骤 （1）找到台阶整体总高度、水平总长度； （2）地毯长度 = 水平总长 + 竖直总高度； （3）如果题目只给斜边和其中一边，先用勾股定理求出另一边； （4）相加得到地毯长度；如需面积，再乘地毯宽度。 【典例1】（2026 春•徐闻县期中）如图，在高为5m，坡面长为13m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 要（ ） 25 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．30m B．25m C．18m D．17m 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【解答】解：如图， 由题意得，AB＝13m，BC＝5m，BC⊥AC， ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 = 12𝑚， ∴地毯的长度至少需要AC+BC＝12+5＝17（m）． 故选：D． 【变式1-1】（2026 春•静海区校级月考）如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m 的楼道铺上地毯， 若地毯每平方米30 元，则铺完这个楼道至少需要 1020 元． 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB 与BC 的和，在直角△ABC 中，根据勾股定 理即可求得AB 的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【解答】解：由勾股定理得AB= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 =12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×30＝1020（元）． 故答案为：1020． 【变式1-2】（2025 秋•高唐县期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形ABC．已知直角 边BC 长5m，斜边AB 的长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150 元，楼梯宽为 2m．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 26 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】理解题意，运用勾股定理得𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 12𝑚，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然 后结合楼梯宽为2m，以及每平方米的地毯售价是150 元，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝5m，AB＝13m， 由勾股定理得，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 = 12(𝑚)， 在楼梯上铺地毯需要的长度为AC+BC＝12+5＝17（m）， ∵楼梯宽为2m， ∴需要铺地毯的面积为17×2＝34（m2）， ∵每平方米的地毯售价是150 元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为34×150＝5100（元）． 【变式1-3】（2025 春•上饶期中）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶 完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC 的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25 元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在 铺的过程中没有损耗） 【分析】（1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m， 在直角三角形ABC 中，由勾股定理得：𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √52 −32 = 4(𝑚)， 答：BC 的长为4m； （2）地毯长为：3+4＝7（m）， 已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25 元， ∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2）， ∴需要花费25×19.6＝490（元）， 27 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答：需要花费490 元地毯才能铺满所有台阶． ▌题型09 判断汽车是否超速 1. 题型场景：道路旁测速仪（观测点），路面水平，观测点距离地面高度固定。 构成直角三角形： ①竖直直角边：测速仪器距离地面高度（固定不变） ②水平直角边：汽车与测速仪正下方点的水平距离 ③斜边：测速仪到汽车的直线距离 2. 解题流程：两个时刻（第一次观测、第二次观测），两次利用勾股算出水平距离，算出汽车行驶路程， 再求速度，和限速对比判断是否超速。 3. 解题步骤 （1）标出观测高度（竖直直角边，恒定）； （2）根据第一次斜距，勾股求出初始水平距离； （3）根据一段时间后的斜距，再次勾股求出新水平距离； （4）两次水平距离相减，得到汽车行驶路程； （5）根据 速度=路程×时间 算出车速； （6）统一单位，和限速数值比较，得出是否超速。 4. 单位换算：1m/s = 3.6km/h。 【典例1】（2026 春•思明区校级期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海 沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h，小型汽车限速值由90km/h 调整为80km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A 处的正前方 60m 的C 处（即AC＝60m），过了4s 小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100m． （1）求BC 的长； （2）这辆小汽车在BC 段是否超速行驶？请说明理由． （参考数据：1m/s＝3.6km/h） 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； 28 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据小汽车用4s 行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【解答】解：（1）由题意可得：∠ACB＝90°，AC＝60，AB＝100， ∴BC= √𝐴𝐵2−𝐴𝐶2 = √1002−602 =80（m）， （2）没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为v= 80 4 = 20(𝑚/𝑠) =20×3.6（km/h）＝72（km/h）， ∵72km/h＜80km/h； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 【变式1-1】（2026 春•马尾区期末）“道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过 70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的 正前方30m 的C 处，过了2s 后到达B 处，这时小汽车与车速检测仪A 处间的距离为50m，那么这辆小 汽车超速了吗？并通过计算说明理由．（其中1m/s＝3.6km/h） 【分析】求小汽车是否超速，其实就是求BC 的距离，直角三角形ABC 中，有斜边AB 的长，有直角边 AC 的长，那么BC 的长就很容易求得，根据小汽车用2s 行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度， 然后再判断是否超速了． 【解答】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 在Rt△ABC 中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = 40（m）， ∴小汽车的速度v= 40 2 =20（m/s）＝72km/h， ∵72km/h＞70km/h， ∴这辆小汽车超速行驶． 【变式1-2】（2025 秋•张家川县期末）某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m 的A 处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C 处行驶10s 后 到达B 处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【分析】先根据勾股定理求出𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = 300𝑚，再根据速度公式求出速度，即可解答． 29 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：可疑汽车超速；理由如下： ∵AC⊥BC，AB＝500m，AC＝400m， ∴根据勾股定理可得：𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = 300𝑚， ∴该汽车的速度为 300 10 = 30(𝑚/𝑠)， ∵27m/s＜30m/s， ∴可疑汽车超速了． 【变式1-3】（2026 春•杭锦后旗月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶 速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速 检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超 速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） 【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC 的距离，直角三角形ABC 中，有斜边AB 的长，有直角 边AC 的长，那么BC 的长就很容易求得，根据小汽车用2s 行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度， 然后再判断是否超速了． 【解答】解：在Rt△ABC 中，AC＝30m，AB＝50m； 根据勾股定理可得： 𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √502 −302 = 40（m） ∴小汽车的速度为v= 40 2 =20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． ▌题型10 判断是否受台风影响 1.直线代表台风移动路线，定点代表城市。 ①过城市向台风移动路径作垂线，垂线段长度是城市到台风路线最短距离； ②比较：垂线段距离 ≤ 台风影响半径 → 会受影响；反之不受影响。 2.解题流程 30 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）根据方位角画图，构造直角三角形； （2）作垂线段，利用勾股定理/直角三角形性质求出垂线段长度； （3）垂线段与台风影响半径对比，初步判断是否受影响； （4）若判定会受影响： 以城市为圆心，影响半径为半径画圆，与台风路线交于两点， 利用勾股算出交点与垂足之间的一段长度； 两段相加得到台风影响路段总长。 【典例1】（2026 春•双城区校级月考）6 号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破 坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上 的两点A、B 的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，经测量，距离台风中心520km 及 以内的地区会受到影响． （1）海港C 受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为50 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是△ABC 直角三角形，进而得出∠ACB＝90°；利用三角形面 积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出DE 以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C 受台风影响，理由如下： ∵AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km， ∴根据勾股定理得，AC2+BC2＝6002+8002＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°， 过点C 作CD⊥AB 于D， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷， ∴ 1 2 × 600 × 800 = 1 2 × 1000 ⋅𝐶𝐷，即500CD＝240000， 解得CD＝480， ∵以台风中心为圆心周围520km 以内为受影响区域， ∴海港C 受台风影响； 31 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）如图，当CE＝520km，CF＝520km 时，正好影响港口C， ∵𝐸𝐷= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √5202 −4802 = 200𝑘𝑚， ∴EF＝2ED＝400km， ∵台风的速度为50 千米/小时， ∴400÷50＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8 小时． 【变式1-1】（2026 春•宁乡市期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形 区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B 与监测点A 所在 的直线由东向西移动，已知点C 为一海港，且点C 与A，B 两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB ＝90°，过点C 作CE⊥AB 于点E，以台风中心为圆心，半径为260km 的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A 与监测点B 之间的距离； （2）请判断海港C 是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【分析】（1）利用勾股定理求出AB 即可； （2）利用三角形面积得出CE 的长，进而得出海港C 是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出CD 以及CF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，AC＝300km，BC＝400km， 32 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴AB= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √3002 + 4002 =500（km）， 答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km； （2）海港C 受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABC= 1 2AC•BC= 1 2CE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km 以内为受影响区域， ∴海港C 会受到此次台风的影响； （3）以C 为圆心，260km 长为半径画弧，交AB 于D，F， 则CD＝CF＝260km 时，正好影响C 港口， 在Rt△CDE 中， ∵ED= √𝐶𝐷2 −𝐶𝐸2 = √2602 −2402 =100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25 千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8 小时． 【变式1-2】（2026 春•长寿区校级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围 内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B，已知点C 为 一海港，且点C 与直线AB 上两点A，B 的距离分别为300km 和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆 心周围260km 以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C 受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为80km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形； 33 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC 是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C 受台风影响． 理由如下：如图，过点C 作CD⊥AB 于D． ∵S△ABC= 1 2AC•BC= 1 2AB•CD， ∴CD= 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 300×400 500 =240（km）， ∵260＞240， ∴海港C 受到台风影响； （3）当EC＝260km，FC＝260km 时，正好影响C 港口． 在Rt△CED 中，由勾股定理得 ED= √𝐸𝐶2 −𝐶𝐷2 = √2602 −2402 =10（km）， ∴EF＝20km， ∵台风的速度为80km/h， ∴20÷80= 1 4（h）． ∴台风影响该海港持续的时间为 1 4h． 【变式1-3】（2025 秋•北碚区期末）如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海 港，AC＝150km，BC＝200km，AB＝250km，经测量，以台风中心为圆心周围125km 及以内的地区会受到 影响． （1）请通过计算说明海港C 会受台风影响； （2）台风中心从A 开始移动时，海港C 处有一艘小型货轮开始卸货，预计3 小时完成．若台风中心每小 时移动15km，请问在海港C 受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 34 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）过点C 作CD⊥AB，垂足为D，根据已知条件利用勾股定理的逆定理证得∠ACB＝90°， 再利用三角形面积公式求得CD 的值，即可判断海港C 的影响情况； （2）设此时台风中心在AB 上的位置为E，得出CE＝125km，利用勾股定理求得AD 和DE 的值，进而 求得AE 的值，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【解答】解：（1）如图1，AC＝150km，BC＝200km，AB＝250km，过点C 作CD⊥AB，垂足为D， ∵1502+2002＝2502＝62500， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷， ∴𝐶𝐷= 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 150×200 250 = 120(𝑘𝑚)＜125𝑘𝑚， ∴海港C 会受影响； （2）货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设此时台风中心在AB 上的位置为E， ∴CE＝125km， 在Rt△ADC 中，由勾股定理得：𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = √1502 −1202 = 90(𝑘𝑚)， 在Rt△CDE 中，由勾股定理得：𝐷𝐸= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √1252 −1202 = 35(𝑘𝑚)， ∵点D 在AB 上，AD＝90km，DE＝35km， ∴AE＝AD﹣DE＝90﹣35＝55（km）， 35 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由台风中心移动速度是15km/h 可得，从A 到E 的时间为： 55 15 = 11 3 ≈3.67（小时）， ∵ 11 3 ＞3， ∴货轮能在海港C 受台风影响之前完成卸货． ▌题型11 选址使到两地距离相等 1. 直线上找一点 𝑃，使得点 𝑃 到两个定点 𝐴、𝐵 的距离相等，即 𝑃𝐴= 𝑃𝐵。 常见场景：公路旁建驿站、河边修水泵站、街道选址。 2. 几何本质：线段垂直平分线；计算题常用勾股定理列方程求解。 3. 解题步骤 （1）画图：定点、直线、向直线作垂线，标出所有已知长度； （2）在直线上设未知数 𝑥（设动点到一侧垂足距离）； （3）用已知线段表示出两条直角边； （4）根据 𝑃𝐴= 𝑃𝐵⇒𝑃𝐴2 = 𝑃𝐵2 列方程； （5）解方程，检验，写出答案。 【典例1】（2025 秋•长清区期末）如图，公路上A、B 两点相距25km，C、D 为两村庄，已知DA＝11km， CB＝16km，DA⊥AB 于点A，CB⊥AB 于点B，现要在AB 上建一个服务站E，使得C、D 两村庄到E 站 的距离相等，则E 站离A 站的距离是（ ）km． A．9.8 B．16 C．11 D．15.2 【分析】根据题意设出AE 的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE 中， DE2＝AD2+AE2＝112+x2， 在Rt△BCE 中， 36 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 CE2＝BC2+BE2＝162+（25﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：112+x2＝162+（25﹣x）2， 解得：x＝15.2km． 所以AE 的长为15.2km． 故选：D． 【变式1-1】（2026 春•密云区期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km 的快递投放点B、C， 快递投放点C 的正北方向有一小区A，小区A 到快递投放点B 的距离为13km． （1）求小区A 到快递投放点C 的距离． （2）因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D，新的投放点D 到小区A 与快递投放点 B 的距离相等，求快递投放点B、D 之间的距离． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设AD＝BD＝x（km），则CD＝（12﹣x）km，根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵小区A 在快递投放点C 的正北方向， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝13km，BC＝12km， ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −122 = 5(𝑘𝑚)， ∴小区A 到快递投放点C 的距离为5km； （2）设AD＝BD＝x（km）， ∵在东西走向的和平街上有两个相距12km 的快递投放点B、C， ∴CD＝（12﹣x）km， ∵AD2＝AC2+CD2， ∴x2＝52+（12﹣x）2， ∴𝑥= 169 24 ， ∴快递投放点B，D 之间的距离为 169 24 𝑘𝑚． 【变式1-2】（2026 春•西和县校级期末）某市准备在铁路AB 上修建火车站E，以方便铁路AB 两旁的C， D 两城的居民出行．如图，C 城到铁路AB 的距离AC＝20km，D 城到铁路AB 的距离DB＝60km，AB＝ 37 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D 两城距离相等的E 处修建火车站，设AE＝xkm，求 AE，BE 的长． 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵AE＝xkm， ∴BE＝（100﹣x）km， 由勾股定理得：CE2＝AC2+AE2，DE2＝BD2+BE2， 根据题意得，CE＝DE， ∴AC2+AE2＝BD2+BE2， ∴202+x2＝（100﹣x）2+602， 解得：x＝66， ∴100﹣x＝34， ∴AE＝66km，BE＝34km． 【变式1-3】（2026 春•梅河口市校级期末）如图，某公园内有一条笔直的马路EF，马路EF 同侧有观景台 A、凉亭B，观景台A 到马路的距离（AC 的长）为70m，凉亭B 到马路的距离（BD 的长）为10m，CD 的长为80m．现计划在路段CD 之间放置一个自动售货点G，使得G 到A、B 两处的距离相等，该自动售 货点G 应该修建在离点C 多远处？ 【分析】连接AG，BG，设CG＝xm，则DG＝（80﹣x）m，利用勾股定理列方程即可解答． 【解答】解：如图，连接AG，BG， 设CG＝xm，则DG＝（80﹣x）m， 根据勾股定理可得BG2＝DG2+BD2＝（80﹣x）2+102， 小学 初中 38 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵AG＝BG， ∴702+x2＝（80﹣x）2+102， 解得x＝10， 答：该自动售货点G 应该修建在离点C10m 处． ▌题型12 求最短路径 1.立体表面爬行最短路径：立体图形展开为平面图形，两点之间线段最短。 展开后两点连线为最短路线，构造直角三角形，使用勾股定理计算长度。 2. 解题步骤 （1）将立体侧面展开为平面； （2）确定两条直角边的长度； （3）构造直角三角形，勾股定理求出两点线段长； （4）长方体务必对比三种展开结果，选取最小值。 【典例1】（2025 秋•海州区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁 离杯底4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm 且与蜂蜜相对的 点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处所走的最短路程为 8√2 cm．（杯壁厚度不计） 【分析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知BA′的长度即为 所求． 【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′， 连接BA′，则BA′即为最短距离， 39 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意得：DE= 1 2AA′＝2cm，BE＝10﹣4＝6（cm）， ∴BD＝BE+DE＝6+2＝8（cm）， ∵底面周长为16cm， ∴A′D= 1 2 ×16＝8（cm）， BA′= √𝐴′𝐷2 + 𝐵𝐷2 = √82 + 82 =8√2（cm）． 答：蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处所走的最短路程为8√2cm， 故答案为：8√2． 【变式1-1】（2026 春•牧野区校级月考）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如 果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段 最短解答． 【解答】解：如图， 40 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B，BC，CA 剪开，得图1，AB′2＝AB2+BB′2＝（4+2）2+82＝ 100； （2）沿AC，CC′，C′B′，B′D，D′A′，A′A 剪开，得图2，AB′2＝AC2+B′C＝42+（8+2）2＝ 16+100＝116； （3）沿AD，DD′，D′B′，B′C′，C′A′，A′A 剪开，得图3，AB′2＝AD2+B′D2＝22+（4+8） 2＝4+144＝148． 综上所述，最短路径应为图1 所示，所以AB′2＝100，即AB′＝10dm，因此最短路程是10dm． 【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先 阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4 个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH 拼成一个大正方形ABCD，其中AB＝c， AF＝a，BF＝b，请你利用以下图形验证勾股定理． （2）求代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值． 分析：√𝑥2 + 32和√(12 −𝑥)2 + 22是勾股定理的形式，√𝑥2 + 32是直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜 边，√(12 −𝑥)2 + 22是直角边分别是12﹣x 和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC 和△DEF，并使直角边BC 和EF 在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC（使点B 和E 重合（图2）， 这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B 在线段CF 的何处时，AB+DB 最短？”根据 两点间线段最短，得到线段AD 就是它们的最小值． 【模型应用】 41 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值为 13 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式√𝑥2 + 4 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值． 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【解答】解：（1）如图，设CF＝12，BC＝x，点A 在CF 的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D 在CF 的 下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于CF 任意一点B，过点D 作DG⊥AC，交AC 延长线于点G，连接AD， 则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12， ∴代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22表示AB+DB， ∵AB+DB 的最小值为AD 的长， 即代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值为AD 的长， 在Rt△ADG 中，由勾股定理得AD= √𝐴𝐺2 + 𝐷𝐺2 = √122 + (3 + 2)2 =13， 即√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值为13； 故答案为：13． （2）设CF＝5，BC＝x，点A 在CF 的上方，且AC⊥CF，AC＝2，点D 在CF 的下方，且DF⊥CF，DF ＝1，对于CF 任意一点B，过点D 作DH⊥AC，交AC 延长线于点H，连接AD， 则AH＝2+1＝3，DH＝CF＝5， ∴代数式√𝑥2 + 4 + √(5 −𝑥)2 + 12表示AB+BD， ∵AB+DB 的最小值为AD 的长， 42 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴代数式√𝑥2 + 4 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值为AD 的长， ∵AD= √𝐴𝐻2 + 𝐷𝐻2 = √32 + 52 = √34， 即代数式√𝑥2 + 4 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值为√34． 【变式1-3】（2026 春•惠城区期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读 以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式 √𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22 的最小值． 素材二 建立模型：√𝑥2 + 32可看作 直角边分别是x 和3 的直角 三角形的斜边， √(12 −𝑥)2 + 22是直角边分 别是12﹣x 和2 的直角三角 形的斜边．因此，构造两个 直角三角形，使它们的一个 顶点重合、各有一条直角边 在同一直线上（如图1 所 示），这时CF＝x+12﹣x＝ 12，AC＝3，DF＝2．原问 题就变成“点B 在线段CF 的何处时，AB+DB 的值最 小？” 素材三 解答过程：如图2 连接 AD，交CF 于点B，此时 AB+DB 的值最小，将AC 延 长至AH 使得CH＝DF＝2， 连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH 中，𝐴𝐷= √52 + 122 = 13， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， 43 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值是 13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式√𝑥2 + 22 + √(5 −𝑥)2 + 1的最小 值为 √34 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A 村庄 到河岸的垂直距离为2km，B 村庄到河岸的垂直距离为 3km，且A、B 到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现 计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A 到P， 过桥PQ，再从Q 到B 的路程最短，则最短路程为 18 km． 任务三 思维拓展：已知正数x 满足√36 −𝑥2 + √64 −𝑥2 = 10， 求x 的值． 【分析】任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF，则AB= √𝑥2 + 22，BD= √(5 −𝑥)2 + 12，√𝑥2 + 22 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值即为AB+DB 的值最小，当A，B， D 共线时AB+DB 的值最小，最小值为AD，过点D 作DH⊥AC，交AC 的延长线于H，则四边形CFDH 是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 任务二．过点B 作BD⊥河岸于点D，在射线BD 上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP 是平行四边形， 求得BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ，当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ 最小，最小值为AB′， 过点A 作AE⊥BB′交其延长线于点E．根据勾股定理即可得到结论； 任务三．根据题意弧长图形，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF， 则AB= √𝑥2 + 22，BD= √(5 −𝑥)2 + 12，√𝑥2 + 22 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值即为AB+DB 的值最小， 当A，B，D 共线时AB+DB 的值最小，最小值为AD， 过点D 作DH⊥AC，交AC 的延长线于H，则四边形CFDH 是矩形， ∴DH＝CF＝5，CH＝DF＝1， 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴AH＝3， 在Rt△ADH 中，AD= √𝐴𝐻2 + 𝐷𝐻2 = √34， ∴√𝑥2 + 22 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值为√34， 故答案为：√34； 任务二．过点B 作BD⊥河岸于点D，在射线BD 上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP 是平行四边形， ∴BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ， 当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ 最小，最小值为AB′， 过点A 作AE⊥BB′交其延长线于点E． 则AC＝2km，BD＝3km，AE＝12km， ∴AB′= √𝐴𝐸2 + 𝐵′𝐸2 = √122 + 52 =13（km）， 则从A 到B 的最短路程是： AP+PQ+BN ＝AB′+PQ＝18（km）． 答：从Q 到B 的最短路程为18km， 故答案为：18； 任务三．如图： ∵AD⊥BC，AC＝6，AB＝8，AD＝x，BC＝10，则√36 −𝑥2 + √64 −𝑥2 = 10， 设CD＝y，则x2＝62﹣y2＝82﹣（10﹣y）2，解得y= 18 5 ， ∴x= 24 5 （负值舍去）．
