文档文本内容
1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题21 勾股定理的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 求梯子滑落高度 题型02 求旗杆高度 题型03 求小鸟飞行距离 题型04 求大树折断前的高度 题型05 解决水杯中筷子问题 题型06 解决航海问题 题型07 求河宽（芦苇长度） 题型08 求台阶上地毯长度 题型09 判断汽车是否超速 题型10 判断是否受台风影响 题型11 选址使到两地距离相等 题型12 求最短路径 ▌题型01 求梯子滑落高度 已知：梯子长𝐿（斜边不变），初始底端距墙𝑎，顶端高ℎ 底端向外滑动一段距离，求顶端下滑距离；或顶端下滑，求底端移动距离。 通用步骤： 1. 初始状态：Rt△，已知斜边、一条直角边，勾股求出另一条直角边 2. 滑动后：底边长度改变，斜边依旧不变，再次勾股求出新高度 3. 前后高度做差 = 下滑距离 【典例1】（2026 春•西青区期末）如图，一架长为2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 于墙面的点A 处，底端位于地面的点B 处，点B 到墙面的距离BO 为0.7m．如果将梯子底端沿OB 向外 移动0.8m，那么梯子顶端沿墙AO 下滑（ ） A．0.8m B．0.7m C．0.5m D．0.4m 【变式1-1】（2026 春•大连期末）如图，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上，∠C＝90°，这 时，梯子的底端B 到墙底C 的距离BC 为0.7m． （1）求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC． （2）如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B 外移0.4m 吗？通过计算说明你的结论． 【变式1-2】（2025 秋•铜川期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE 时，梯 子A 到左墙的距离AE 为0.7m，梯子顶端D 到地面的距离DE 为2.4m，若梯子底端A 保持不动，将梯子 斜靠在右墙BC 上，梯子顶端C 到地面的距离CB 为1.5m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE 的 长度．（单位：m） 3 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•红谷滩区校级期末）教材呈现：如图1，一架长为2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上， 此时梯子一边的顶端位于墙面的点A 处，底端位于地面的点B 处，点B 到墙面的距离BO 为0.7m． （1）如果将梯子底端沿OB 向外移动0.8m，那么梯子顶端会沿墙AO 下滑多少米？求出梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座17m 的货架AB，货架顶部安装一个高5m 的装卸平台AC，现需 对该平台进行设备检修．一辆高2m 的叉车在货架前点M 处，展开25m 的升降臂（最长25m）刚好接触 到装卸平台底部A 点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m 的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C 点？请通过计算说明． ▌题型02 求旗杆高度 旗杆顶端系一根绳子，绳子垂到地面还多出一段；把绳子末端水平拉开一段距离，绳子刚好拉直。 1. 画图：竖直旗杆、水平地面、拉直绳索；标出所有已知长度 2. 设旗杆高为 𝑥，表达出绳子总长 𝑥+ 𝑎 3. 根据勾股定理列出方程 4. 展开化简求解，𝑥2相互抵消，得到一元一次方程 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•新华区校级期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆AB 的高度，信息如 下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端A 处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5 米（CF＝3.5 米）的E 点处，此时 手上的绳子还剩0.5 米； ②甲同学继续往后退1.5 米（FH＝1.5 米）到达G 点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6 米． 则旗杆AB 的高度为（ ） A．12 米 B．12.6 米 C．13 米 D．13.6 米 【变式1-1】（2026 春•肃南县校级期末）小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部 的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段AB 为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落 在宣传栏上的点D 处时（即AB＝AD），点D 到地面的距离CD＝2m，地面上B、C 两点之间的距离BC ＝8m，且A、B、C、D 四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度AB． 5 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2025 秋•高新区期末）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B 的细子重到地面时多出了3 米， 把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A 处（如图所示），测得绳子底端A 与旗杆根部C 之间 的距离为9 米． （1）求旗杆的高度BC； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5 米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端 恰好接触地面的点D 处，求珍珍应从A 处向东走多少米？ 【变式1-3】（2026 春•惠州期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段PQ 表示旗杆，PQ 垂直地面于点Q． 测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然 下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作 QE，用皮尺量出QE 的长度；第二次操作：如图 ②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F 处， 用皮尺量出QF 的长度. 数据信息 图①中QE 的长度为3m；图②中QF 的长度为 9m． 6 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． ▌题型03 求小鸟飞行距离 1. 两棵高低不同的竖直大树，地面水平，树干垂直地面。 2. 小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树顶端。 （1）竖直方向：两棵树高度差（一条直角边） （2）水平方向：两棵树底部之间的距离（另一条直角边） （3）小鸟飞行的直线路径 = 斜边 3. 通用解题步骤 （1）画图：画出两棵竖直线代表大树，连接树梢； （2）过矮树顶端作高树的水平线，构造标准直角三角形； （3）计算两条直角边：水平距离 = 两树间距，竖直距离 = 大树高度 − 小树高度； （4）勾股定理求斜边，就是小鸟最短飞行距离。 【典例1】（2026 春•安远县校级期末）如图1，有两棵树，一棵高18 米（AB＝18 米），另一棵高2 米（CD ＝2 米），两树相距12 米（BD＝12 米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高18 米的树AB 在点M 处折断，大树顶部落在点D 处，则树AB 折断处M 距 离地面多少米？ 7 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•林州市月考）如图，有两棵树，一棵高9m，一棵高4m，两树相距12m，一只小鸟从 一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（ ）m A．13m B．12m C．16m D．21m 【变式1-2】如图，在一棵树CD 上距离地面10m 高的B 处，有一只猴子和一只小鸟，猴子爬下树后沿CA 走到离树20m 处的池塘A 处，小鸟先沿BD 飞到树顶D 处再沿直线飞到A 处，如果猴子和小鸟所经过的 距离相等，这棵树有多高？ 【变式1-3】如图，一只小鸟旋停在空中A 点，A 点到地面的高度AB＝20 米，A 点到地面C 点（B、C 两点 处于同一水平面）的距离AC＝25 米．若小鸟竖直下降12 米到达D 点（D 点在线段AB 上），求此时小 鸟到地面C 点的距离． 8 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型04 求大树折断前的高度 1. 大树竖直折断，上半部分倾倒，树梢接触地面。 - 剩余直立树干：直角边①（设为𝑥） - 树根到树梢落地点水平距离：直角边②（已知） - 折断倾倒的树枝：斜边（长度=总长−𝑥） 总高度 = 直立部分长度 + 斜着的折断树枝长度 2. 解题步骤 （1）设折断处离地面高度为𝑥； （2）大树原总高度未知，斜段长度 = 待求总长−𝑥； （3）地面水平距离为已知线段； （4） 利用勾股定理列方程： 𝑥2+ (水平距离) 2 =(斜段长) 2 （5）解出𝑥，求出斜段长度；两者相加得到大树折断前总高度。 【典例1】（2026 春•呼和浩特校级期末）4 月27 日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12 级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6 米处断裂，树顶端落在离底部8 米的地面上，大树底部与地 面垂直，则树折断之前有 米． 【变式1-1】（2026 春•绥德县期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时，大风把一棵垂直于地面且高度为 12m 的大树拦腰折断，折断处A 与地面的距离AC＝4m，树尖B 恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的 点D 处停着一辆小轿车，CD＝6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车？请作出判断并说明理由． 9 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•土默特左旗期末）如图1，有两棵树，一棵高18 米（AB＝18 米），另一棵高2 米 （CD＝2 米），两树相距12 米（BD＝12 米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高18 米的树AB 在点M 处折断，大树顶部落在点D 处，则树AB 折断处M 距 离地面多少米？ 【变式1-3】如图所示，一棵32 米高的巨大杉树在海棠号台风中被刮断，树顶C 落在离树根B 点16 米处， 科研人员要看查看断痕A 处的情况，在离树根B 有5 米的D 处竖起一个梯子AD，请问这个梯子有多长？ 10 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型05 解决水杯中的筷子问题 1. 圆柱形水杯：底面圆形，杯壁竖直。 2. 筷子放在杯中存在两种临界位置： ①竖直放置：筷子浸入最短； ②斜靠杯壁（一端底面圆心对角，一端杯口边缘）：杯内筷子最长，这条线段是圆柱底面直径、杯子高作 为直角边构成直角三角形的斜边。 已知：水杯高度ℎ，底面直径𝑑 杯内筷子最长长度：𝐿= √ℎ2 + 𝑑2 常见问法：筷子露出杯口多长；已知露出长度求水杯尺寸；求筷子总长范围。 3. 解题步骤 （1）找到直角三角形：竖直高度、底面直径为两条直角边； （2）勾股计算杯子内部筷子最长长度； （3）结合筷子总长，算出最少露出长度； （4）若筷子竖直摆放，得到最多露出长度。 【典例1】（2026 春•东城区校级期中）如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h 的取值范围是（ ） 11 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【变式1-1】（2025 秋•山西期末）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有 一长为16cm 的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为（ ） A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．5≤h≤6 【变式1-2】如图，一个直径为12cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子 倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度． 【变式1-3】（1）如图①，将一根长为20cm 的细木筷斜放在一个高15cm，底边半径为4cm 的无盖圆柱形 杯子内．木筷露在杯子外面的部分至少有多长？ （2）如果将（1）中的筷子斜放在一个高15cm、底面边长为7cm 的正方形的无盖的长方体的容器内（图 ②）．木筷露在容器外面的部分至少有多长（精确到0.1cm）？ 12 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型06 解决航海问题 1. 两艘轮船从港口出发，航向互相垂直（正北、正东；西北、东北等），行驶路线构成直角三角形， - 港口位置 = 直角顶点 - 两艘船行驶路程 = 两条直角边 - 两船当前直线距离 = 斜边 2. 解题步骤 （1）审题：确认航行方向，判断航线是否垂直； （2）分别求出两艘船行驶距离：路程=速度×时间； （3）两条路程作为直角边； （4）勾股定理计算两船直线距离； （5）作答。 【典例1】（2026 春•惠州期中）如图所示，甲货船以16 海里/小时的速度从港口A 出发向东北方向航行， 另一轮船乙以12 海里/小时的速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3 小时后，甲、乙两轮船相 距多少海里？（ ） A．35 海里 B．50 海里 C．60 海里 D．40 海里 【变式1-1】（2026 春•晋安区期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A 13 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 处巡逻，突然发现在南偏东50°方向距离15 海里的点B 处有可疑目标正在以16 海里/小时的速度沿南偏 西40°方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C 处将其追上，则我军巡逻舰队的航行 速度为（ ） A．16 海里/小时 B．20 海里/小时 C．32 海里/小时 D．34 海里/小时 【变式1-2】（2026 春•博罗县期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不 断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由 点A 飞向点B，已知点C 为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC ＝800m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C 的最短距离； （2）若该飞机的速度为20m/s，要想扑灭着火点C 估计需要15 秒，请你通过计算说明着火点C 能否被 飞机扑灭． 【变式1-3】（2026 春•新市区校级期中）一艘轮船从A 港向南偏西50°方向航行10km 到达B 岛，再从B 岛沿BM 方向航行13km 到达C 岛，A 港到航线BM 的最短距离是6km．求C 岛和A 港之间的距离． 14 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型07 求河宽（芦苇长度） 1.画图：标出垂直河宽、沿河偏移距离、斜向航线； 2.确认直角：河宽垂直河岸，天然直角； 3.设河宽为𝑥（未知时）； 4.列出Rt△三边，勾股列式； 5.求解作答。 【典例1】（2026 春•安宁区校级期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”大意是：如图，水池底面的宽AB＝1 丈，芦 苇OC 生长在AB 的中点O 处，高出水面的部分CD＝1 尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与 水面平齐，即OC＝OE，求芦苇的长度（1 丈＝10 尺）． 15 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2025 春•封开县期末）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲 到达B 点200m，结果他在水中实际游的路线AC 为520m，则该河流的宽度AB 为（ ） A．480 m B．380 m C．580 m D．500 m 【变式1-2】为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024 年昭通 市某学校的156 班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一 条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F 与欲到达地点E 相距10 米，结果轮船在水中实际航行的路程 HF 比河的宽度EH 多2 米，则河的宽度EH 是（ ） A．8 米 B．12 米 C．16 米 D．24 米 【变式1-3】（2026 春•牧野区校级期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其 底面的边长AB＝1 丈（1 丈等于10 尺），芦苇OC 生长在AB 的中点O 处，高出水面的部分CD＝1 尺．将 芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE． （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法 用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水 池的深度OD（OD＝b）可以通过公式𝑏= 𝑎2−𝑛2 2𝑛 计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 16 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型08 求台阶上地毯的长度 1. 台阶铺地毯，地毯需要铺满所有水平台阶面 + 竖直台阶立面。 平移思想： 所有水平小段相加 = 台阶总水平宽度 所有竖直小段相加 = 台阶总竖直高度 2. 已知台阶斜边长度（台阶坡面总长）不能直接用；通常给出总高、总水平长。 3. 解题步骤 （1）找到台阶整体总高度、水平总长度； （2）地毯长度 = 水平总长 + 竖直总高度； （3）如果题目只给斜边和其中一边，先用勾股定理求出另一边； （4）相加得到地毯长度；如需面积，再乘地毯宽度。 【典例1】（2026 春•徐闻县期中）如图，在高为5m，坡面长为13m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 要（ ） A．30m B．25m C．18m D．17m 【变式1-1】（2026 春•静海区校级月考）如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m 的楼道铺上地毯， 若地毯每平方米30 元，则铺完这个楼道至少需要 元． 17 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2025 秋•高唐县期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形ABC．已知直角 边BC 长5m，斜边AB 的长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150 元，楼梯宽为 2m．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【变式1-3】（2025 春•上饶期中）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶 完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC 的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25 元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在 铺的过程中没有损耗） 18 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型09 判断汽车是否超速 1. 题型场景：道路旁测速仪（观测点），路面水平，观测点距离地面高度固定。 构成直角三角形： ①竖直直角边：测速仪器距离地面高度（固定不变） ②水平直角边：汽车与测速仪正下方点的水平距离 ③斜边：测速仪到汽车的直线距离 2. 解题流程：两个时刻（第一次观测、第二次观测），两次利用勾股算出水平距离，算出汽车行驶路程， 再求速度，和限速对比判断是否超速。 3. 解题步骤 （1）标出观测高度（竖直直角边，恒定）； （2）根据第一次斜距，勾股求出初始水平距离； （3）根据一段时间后的斜距，再次勾股求出新水平距离； （4）两次水平距离相减，得到汽车行驶路程； （5）根据 速度=路程×时间 算出车速； （6）统一单位，和限速数值比较，得出是否超速。 4. 单位换算：1m/s = 3.6km/h。 【典例1】（2026 春•思明区校级期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海 沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h，小型汽车限速值由90km/h 调整为80km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A 处的正前方 60m 的C 处（即AC＝60m），过了4s 小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100m． （1）求BC 的长； （2）这辆小汽车在BC 段是否超速行驶？请说明理由． （参考数据：1m/s＝3.6km/h） 19 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•马尾区期末）“道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过 70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的 正前方30m 的C 处，过了2s 后到达B 处，这时小汽车与车速检测仪A 处间的距离为50m，那么这辆小 汽车超速了吗？并通过计算说明理由．（其中1m/s＝3.6km/h） 【变式1-2】（2025 秋•张家川县期末）某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m 的A 处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C 处行驶10s 后 到达B 处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 20 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•杭锦后旗月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶 速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速 检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超 速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） ▌题型10 判断是否受台风影响 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.直线代表台风移动路线，定点代表城市。 ①过城市向台风移动路径作垂线，垂线段长度是城市到台风路线最短距离； ②比较：垂线段距离 ≤ 台风影响半径 → 会受影响；反之不受影响。 2.解题流程 （1）根据方位角画图，构造直角三角形； （2）作垂线段，利用勾股定理/直角三角形性质求出垂线段长度； （3）垂线段与台风影响半径对比，初步判断是否受影响； （4）若判定会受影响： 以城市为圆心，影响半径为半径画圆，与台风路线交于两点， 利用勾股算出交点与垂足之间的一段长度； 两段相加得到台风影响路段总长。 【典例1】（2026 春•双城区校级月考）6 号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破 坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上 的两点A、B 的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，经测量，距离台风中心520km 及 以内的地区会受到影响． （1）海港C 受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为50 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式1-1】（2026 春•宁乡市期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形 22 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B 与监测点A 所在 的直线由东向西移动，已知点C 为一海港，且点C 与A，B 两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB ＝90°，过点C 作CE⊥AB 于点E，以台风中心为圆心，半径为260km 的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A 与监测点B 之间的距离； （2）请判断海港C 是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【变式1-2】（2026 春•长寿区校级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围 内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B，已知点C 为 一海港，且点C 与直线AB 上两点A，B 的距离分别为300km 和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆 心周围260km 以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C 受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为80km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式1-3】（2025 秋•北碚区期末）如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海 港，AC＝150km，BC＝200km，AB＝250km，经测量，以台风中心为圆心周围125km 及以内的地区会受到 影响． 23 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）请通过计算说明海港C 会受台风影响； （2）台风中心从A 开始移动时，海港C 处有一艘小型货轮开始卸货，预计3 小时完成．若台风中心每小 时移动15km，请问在海港C 受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． ▌题型11 选址使到两地距离相等 1. 直线上找一点 𝑃，使得点 𝑃 到两个定点 𝐴、𝐵 的距离相等，即 𝑃𝐴= 𝑃𝐵。 常见场景：公路旁建驿站、河边修水泵站、街道选址。 2. 几何本质：线段垂直平分线；计算题常用勾股定理列方程求解。 3. 解题步骤 （1）画图：定点、直线、向直线作垂线，标出所有已知长度； （2）在直线上设未知数 𝑥（设动点到一侧垂足距离）； （3）用已知线段表示出两条直角边； （4）根据 𝑃𝐴= 𝑃𝐵⇒𝑃𝐴2 = 𝑃𝐵2 列方程； （5）解方程，检验，写出答案。 【典例1】（2025 秋•长清区期末）如图，公路上A、B 两点相距25km，C、D 为两村庄，已知DA＝11km， CB＝16km，DA⊥AB 于点A，CB⊥AB 于点B，现要在AB 上建一个服务站E，使得C、D 两村庄到E 站 的距离相等，则E 站离A 站的距离是（ ）km． A．9.8 B．16 C．11 D．15.2 24 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•密云区期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km 的快递投放点B、C， 快递投放点C 的正北方向有一小区A，小区A 到快递投放点B 的距离为13km． （1）求小区A 到快递投放点C 的距离． （2）因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D，新的投放点D 到小区A 与快递投放点 B 的距离相等，求快递投放点B、D 之间的距离． 【变式1-2】（2026 春•西和县校级期末）某市准备在铁路AB 上修建火车站E，以方便铁路AB 两旁的C， D 两城的居民出行．如图，C 城到铁路AB 的距离AC＝20km，D 城到铁路AB 的距离DB＝60km，AB＝ 100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D 两城距离相等的E 处修建火车站，设AE＝xkm，求 AE，BE 的长． 【变式1-3】（2026 春•梅河口市校级期末）如图，某公园内有一条笔直的马路EF，马路EF 同侧有观景台 A、凉亭B，观景台A 到马路的距离（AC 的长）为70m，凉亭B 到马路的距离（BD 的长）为10m，CD 的长为80m．现计划在路段CD 之间放置一个自动售货点G，使得G 到A、B 两处的距离相等，该自动售 货点G 应该修建在离点C 多远处？ 25 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型12 求最短路径 1.立体表面爬行最短路径：立体图形展开为平面图形，两点之间线段最短。 展开后两点连线为最短路线，构造直角三角形，使用勾股定理计算长度。 2. 解题步骤 （1）将立体侧面展开为平面； （2）确定两条直角边的长度； （3）构造直角三角形，勾股定理求出两点线段长； （4）长方体务必对比三种展开结果，选取最小值。 【典例1】（2025 秋•海州区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁 离杯底4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm 且与蜂蜜相对的 点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 26 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•牧野区校级月考）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如 果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先 阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4 个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH 拼成一个大正方形ABCD，其中AB＝c， AF＝a，BF＝b，请你利用以下图形验证勾股定理． （2）求代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值． 分析：√𝑥2 + 32和√(12 −𝑥)2 + 22是勾股定理的形式，√𝑥2 + 32是直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜 边，√(12 −𝑥)2 + 22是直角边分别是12﹣x 和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC 和△DEF，并使直角边BC 和EF 在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC（使点B 和E 重合（图2）， 这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B 在线段CF 的何处时，AB+DB 最短？”根据 两点间线段最短，得到线段AD 就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式√𝑥2 + 4 + √(5 −𝑥)2 + 12的最小值． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•惠城区期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读 以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值． 素材二 建立模型：√𝑥2 + 32可看作直角边分别 是x 和3 的直角三角形的斜边， √(12 −𝑥)2 + 22是直角边分别是12﹣x 和2 的直角三角形的斜边．因此，构造 两个直角三角形，使它们的一个顶点重 合、各有一条直角边在同一直线上（如 图1 所示），这时CF＝x+12﹣x＝12， AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B 在线段CF 的何处时，AB+DB 的值最 小？” 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 素材三 解答过程：如图2 连接AD，交CF 于 点B，此时AB+DB 的值最小，将AC 延长至AH 使得CH＝DF＝2，连接 HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH 中，𝐴𝐷= √52 + 122 = 13， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小 值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式√𝑥2 + 22 + √(5 −𝑥)2 + 1的最小值为 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A 村庄到河岸的垂直距 离为2km，B 村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B 到河岸的垂足之间 的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A 到P，过桥PQ，再从Q 到B 的路程最短，则最短路程为 km． 任务三 思维拓展：已知正数x 满足√36 −𝑥2 + √64 −𝑥2 = 10，求x 的值．
