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专题20 勾股定理的逆定理
（题型突破·举一反三）
题型01 直角三角形的判别
题型02 勾股数
题型03 网格中的直角三角形
题型04 勾股定理的逆定理求角度
题型05 勾股定理的逆定理求线段
题型06 勾股定理的逆定理求面积
题型07 勾股数（规律题）
▌题型01 直角三角形的判别
方法1：定义判定（角判定）
有一个角等于 90°的三角形是直角三角形。
衍生：两锐角互余⇒ Rt△
方法2：勾股定理逆定理（最常考）
已知△三边 𝑎，𝑏，𝑐（𝑐为最长边）
若𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，则这个三角形是直角三角形，最长边𝑐所对的角为直角。
⚠重点：必须先用长短找出最长边！
【典例1】（2026 春•裕安区校级期末）由下列各组线段a，b，c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．a＝0.9，b＝4，c＝4.1
B．a＝2.5，b＝0.7，c＝2.4
C．a＝4，b＝5，c＝6
D．𝑎= √41，b＝4，c＝5
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形．
【解答】解：0.92+42＝4.12，故选项A 中的三条线段可以构成直角三角形，不符合题意；
0.72+2.42＝2.52，故选项B 中的三条线段可以构成直角三角形，不符合题意；
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42+52≠62，故选项C 中的三条线段不可以构成直角三角形，符合题意；
42+52＝（√41）2，故选项D 中的三条线段可以构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•玉溪期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5
B．1，2，√6
C．6，7，8
D．7，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解答】解：A、∵32+42＝9+16＝25＝52，
∴能作为直角三角形的三边长，符合题意；
B、∵12+22＝1+4＝5，(√6)2 = 6，5≠6，
∴不能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C、∵62+72＝36+49＝85，82＝64，85≠64，
∴不能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D、∵72+122＝49+144＝193，132＝169，193≠169，
∴不能作为直角三角形的三边长，不符合题意．
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•青山区校级期中）满足下列条件的△ABC 不是直角三角形的是（ ）
A．AC＝1，𝐵𝐶= √3，AB＝2
B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】A．求出AC 和BC 的平方和与AB 的平方，然后根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
B．设a＝3x，b＝4x，c＝5x，再求出a2+b2，c2，然后根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
C．根据三角形内角和是180°，列出关于∠C 的方程，求出∠C，然后判断即可；
D．设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，然后根据三角形内角和是180°，列出关于x 的方程，求出x，从而
求出∠A，∠B 和∠C，然后判断即可；
【解答】解：A．∵𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 12 + (√3)2 = 1 + 3 = 4，𝐴𝐵2 = 22 = 4，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC 是直角三角形，
故此选项不符合题意；
B．设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵a2+b2＝（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2，c2＝（5x）2＝25x2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC 是直角三角形，
故此选项不符合题意；
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C．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，即∠C＝90°，
∴△ABC 是直角三角形，
故此选项不符合题意；
D．设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，
解得：x＝15°，
∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°，
∴△ABC 不是直角三角形，
故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•和平区校级期末）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两
个直角三角形，下列示意图中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平
方，每一个图判断两次即可．
【解答】解：∵72＝49，242＝576，202＝400，152＝225，252＝625，
∴72+242＝252，152+202≠242，152+202＝252，
∴A 错误，B 错误，C 正确，D 错误．
故选：C．
▌题型02 勾股数
1. 能够构成直角三角形三边长的三个正整数，称为一组勾股数。
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满足：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2（ 𝑎，𝑏，𝑐均为正整数，𝑐 最大）
⚠关键条件：必须都是整数！
2. 基础本原勾股数
3，4，5
5，12，13
7，24，25
8，15，17
9，40，41
11，60，61
3. 判断一组数是不是勾股数
步骤：
① 排序找出最大数；
② 验算短边平方和是否等于最大边平方；
③ 检查三个数是否全部为正整数。
【典例1】（2026•盐城三模）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．0.5，1.2，1.3
B．6，8，10
C．8，24，25
D．√2，√3，√5
【分析】根据勾股数的定义解答即可．
【解答】解：A、0.5，1.2，1.3 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、∵62+82＝36+64＝100，102＝100，
∴62+82＝102，三个数都是正整数，是勾股数，符合题意；
C、∵82+242＝64+576＝640，252＝625，640≠625，
∴不是勾股数，不符合题意；
D、√2，√3，√5不是正整数，故不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•赤坎区期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数
学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4
B．4，5，6
C．1，√3，2
D．9，12，15
【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，
依次验证各选项即可得到答案．
【解答】解：根据勾股数的定义逐项分析判断如下：
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选项A，22＝4，32＝9，42＝16，4+9＝13≠16，选项A 不是勾股数，故不符合题意；
选项B，42＝16，52＝25，62＝36，16+25＝41≠36，选项B 不是勾股数，故不符合题意；
选项C，√3不是正整数，不符合勾股数定义，选项C 不是勾股数，故不符合题意；
选项D，92＝81，122＝144，152＝225，81+144＝225，选项D 是勾股数，故符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•历下区期末）若6，a，10 是勾股数，则a 的值是 8 ．
【分析】根据勾股数的定义解答即可．
【解答】解：当a 为最长边时，
∵6，a，10 是勾股数，
∴a2＝62+102＝36+100＝136，
∵136 不是完全平方数，
∴a 不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去；
当10 为最长边时，由勾股定理得，a2＝102﹣62＝100﹣36＝64，
∵a＞0，
∴𝑎= √64 = 8，8 是正整数，符合勾股数定义．
故答案为：8．
【变式1-3】（2026•江阳区校级模拟）若m，n 是正整数且m＞n，由m，n 的值可确定勾股数a，b，c，其
中a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，则下列勾股数不能由m，n 确定的是（ ）
A．5，12，13
B．9，12，15
C．8，15，17
D．7，24，25
【分析】根据勾股数的定义分别判断即可．
【解答】解：A、∵a＝13，b＝12，c＝5，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，
∴{
𝑚2 + 𝑛2 = 13
2𝑚𝑛= 12
𝑚2 −𝑛2 = 5
，
解得：{𝑚= 3
𝑛= 2 ，故选项A 不符合题意；
B、∵a＝15，b＝12，c＝9，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，
∴{
𝑚2 + 𝑛2 = 15
2𝑚𝑛= 12
𝑚2 −𝑛2 = 9
，
解得：m2＝3 或m2＝12，
∵m、n 都是正整数，
∴m2＝3 或m2＝12 不符合勾股数的条件，故选项B 符合题意；
C、∵a＝17，b＝8，c＝15，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，
∴{
𝑚2 + 𝑛2 = 17
2𝑚𝑛= 8
𝑚2 −𝑛2 = 15
，
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解得：{𝑚= 4
𝑛= 1 ，
故选项C 不符合题意；
D、∵a＝25，b＝24，c＝7，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，
∴{
𝑚2 + 𝑛2 = 25
2𝑚𝑛= 24
𝑚2 −𝑛2 = 7
，
解得：{𝑚= 4
𝑛= 3 ，故选项D 不符合题意；
故选：B．
▌题型03 网格中的直角三角形
网格中线段作为直角三角形斜边，横向格子差、纵向格子差作为两条直角边，利用勾股定理计算长度。
设：横向水平距离 m，纵向竖直距离 n，则𝑙= √𝑚2 + 𝑛2。
利用勾股定理，求出三条边的长度平方，较小两个平方之和是否等于最大平方，相等则为直角三角形，然
后再利用等面积法求斜边上的高。
【典例1】（2026 春•昭阳区期末）如图，正方形网格每个小方格的边长均为1，△ABC 的顶点在格点上．
（1）直接写出AC＝ 2√5 ；
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）求BC 边上的高．
【分析】（1）根据网格特点以及勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理及其逆定理可得△ABC 是直角三角形；
（3）根据等面积法，即可求解．
【解答】解：（1）由勾股定理得：𝐴𝐶= √22 + 42 = 2√5，
故答案为：2√5；
（2）△ABC 是直角三角形，理由如下：
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∵AB2＝12+22＝5，AC2＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝5+20＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
即△ABC 是直角三角形；
（3）设BC 边上的高为h，
∵AB= √5，AC= 2√5，BC＝5，
∴
1
2 × 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=
1
2 × 𝐵𝐶⋅ℎ，
即
1
2 × √5 × 2√5 =
1
2 × 5ℎ，
解得：h＝2，
∴BC 边上的高为2．
【变式1-1】（2026 春•启东市期末）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在
格点上．
（1）证明△ABC 是直角三角形；
（2）求BC 边上的高．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可；
（2）根据三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：根据题意得，AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC 是直角三角形；
（2）解：如图，过点A 作AD⊥BC 于点D，
由（1）知，AB= √5，AC＝2√5，BC＝5，∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
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∴S△ABC= 1
2BC•AD= 1
2AB•AC，
∴AD= 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
√5×2√5
5
=2，
即BC 边上的高为2．
【变式1-2】（2025 秋•原阳县期末）如图，四边形ABCD 的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形
的边长都为1．
（1）求四边形ABCD 的周长；
（2）求∠BAD 的度数．
【分析】（1）利用勾股定理计算出AB、BC、CD、AD 长，即可求解；
（2）连接BD，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：（1）根据勾股定理得：
AB= √72 + 12 =5√2，
BC= √42 + 22 =2√5，
CD= √22 + 12 = √5，
AD= √32 + 42 =5，
∴AB+BC+CD+AD＝5√2 +2√5 + √5 +5＝5√2 +3√5 +5；
（2）连接BD，
根据勾股定理得：BD= √32 + 42 =5，
∵AB＝5√2，AD＝5，
∴BD2+AD2＝52+52＝50＝AB2，AD＝BD，
∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴∠BAD＝45°．
【变式1-3】（2026 春•康县期中）（1）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，以AB 为一条边向三角形
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外部作正方形，已知正方形的面积是16，求AC 的长．
（2）如图，在边长为1 的正方形网格中，点A，B，E 分别在格点上，连接AB，AE，BE．求证：AB⊥
AE．
【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理进行求解即可．
【解答】（1）解：由条件可知AB＝4，
在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √42 −22 = 2√3；
（2）证明：∵AE2＝10，
AB2＝12+32＝10，
BE2＝22+42＝20，
∴AE2+AB2＝20＝BE2．
∴△ABE 是直角三角形，且∠BAE＝90°，
∴AB⊥AE．
▌题型04 勾股定理的逆定理求角度
1. 整理三边长度，排序，找出最长边；
2. 分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方；
3. 比较大小，利用逆定理判定最大角度数；
4. 结合三角形内角和、平行线、等腰、外角性质继续推导其余角度。
【典例1】（2026•阳谷县校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠ACB＝ 45° ．（点A，
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B，C 是网格线交点）．
【分析】延长BA 交格点于D，连接CD，根据勾股定理得到AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，求
得AD2+CD2＝AC2，于是得到∠ADC＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长BA 交格点于D，连接CD，
则AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°．
故答案为：45°．
【变式1-1】（2026•朝阳二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点A，
B，C，D 均是格点，则∠AOC 的度数为 45° ．
【分析】将线段CD 向右平移1 个单位长度，向上平移1 个单位长度，至BE，可得∠AOC＝∠ABE，证
明△AEB 为等腰直角三角形即可解答．
【解答】解：如图，将线段CD 向右平移1 个单位长度，向上平移1 个单位长度，至BE，
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则点D 的对应点为点B，点C 的对应点为E，CD∥BE，
∴∠AOC＝∠ABE，
∵BE2＝22+42＝20，AE2＝22+42＝20，AB2＝22+62＝40，
∴BE2+AE2＝AB2，BE＝AE，
∴△AEB 为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝∠ABE＝45°（等腰三角形的性质），
则∠AOC 的度数为45°，
故答案为：45°．
【变式1-2】（2026 春•龙岩期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，𝐴𝐷= √7，CD＝
5，则∠BAD 的度数为 135 °．
【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得∠BAC＝∠BCA＝45°，再根据勾股定理可得AC2＝18，
然后根据勾股定理逆定理可知∠CAD＝90°，最后根据角的和差即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝3，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴= 1
2 × (180° −90°) = 45°，AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，
∵𝐴𝐷= √7，𝐶𝐷= 5，
∴AD2＝7，CD2＝25，
∴AD2+AC2＝CD2，
即∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+90°＝135°．
故答案为：135．
【变式1-3】（2026 春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°．
（1）求∠ADC 的度数．
（2）求四边形ABCD 的面积．
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【分析】（1）连接BD，根据勾股定理逆定理得出△BCD 为直角三角形，∠BDC＝90°，再由等腰直角
三角形的性质确定∠ADB＝∠ABD＝45°，即可求解；
（2）结合（1）中结论，利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）连接BD，如图，
，
∵AB＝AD＝2，∠A＝90°，BC＝3，
∴𝐵𝐷= √𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = 2√2，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∵CD2＝1，BD2＝8，BC2＝9，1+8＝9，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD 为直角三角形，∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC+∠ADB＝135°；
（2）∵△ABD 与△BCD 均是直角三角形，
∴四边形ABCD 的面积为：𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 1
2 × 𝐴𝐷⋅𝐴𝐵+ 1
2 × 𝐶𝐷⋅𝐵𝐷= 1
2 × 2 × 2 + 1
2 × 1 × 2√2 = 2 +
√2．
▌题型05 勾股定理的逆定理求线段
1. 标出已知全部线段长度；
2. 锁定目标三角形，把三边长度/代数式整理出来；
3. 排序找到最长边，计算短边平方和、最长边平方；
4. 若相等，证明存在直角；
5. 在直角三角形中，利用勾股定理求出未知线段。
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【典例1】如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的中点，AB＝10cm，AD＝8cm，BC＝12cm，则AC 边上的
高BE 的长为
48
5 cm．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD 的形状，再根据点D 为BC 边上的中点即可得出△ABC
是等腰三角形，故可得出AC 的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵点D 为BC 边上的中点，BC＝12cm，
∴BD= 1
2BC＝6cm，
∵△ABD 中，AB＝10cm，AD＝8cm，62+82＝102，
∴△ABD 是直角三角形，即AD⊥BC，
∴AC＝AB＝10cm，
∵BE⊥AC，
∴
1
2AD•BC= 1
2AC•BE，
∴BE= 𝐴𝐷⋅𝐵𝐶
𝐴𝐶
= 48
5 （cm），
故答案为：
48
5 ．
【变式1-1】（2026 春•桐城市期末）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线DE 分别交AB，BC 于点D，E，
且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：△ABC 是直角三角形；
（2）若𝐵𝐶= 2√14，AD：BD＝3：4，求AC 的长．
【分析】（1）连接CD，利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）设AD＝3x，BD＝4x，则CD＝BD＝4x，AB＝AD+DB＝7x，首先确定AC 的长，在Rt△ABC 中，
AC2+AB2＝BC2，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】（1）证明：连接CD，
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∵DE 是BC 的垂直平分线，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD 是直角三角形，且∠A＝90°；
∴△ABC 是直角三角形；
（2）解：设AD＝3x，BD＝4x，则CD＝BD＝4x，AB＝AD+DB＝7x，
在Rt△ACD 中，𝐴𝐶= √𝐶𝐷2 −𝐴𝐷2 = √16𝑥2 −9𝑥2 = √7𝑥，
在Rt△ABC 中，AC2+AB2＝BC2，
∴(√7𝑥)2 + (7𝑥)2 = (2√14)2，
解得：x＝±1（负值舍去），
∴x＝1，
∴𝐴𝐶= √7 × 1 = √7．
【变式1-2】（2026 春•安远县校级期末）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD．若AB＝10，
AC＝17，BD＝6．AD＝8，求BC 的长．
【分析】由勾股定理的逆定理可证△ABD 为直角三角形，得出∠ADB＝90°，从而得出△ADC 为直角三
角形，再用勾股定理可求出DC，最后根据BC＝BD+DC 即可求出BC．
【解答】解：∵AB＝10，AD＝8，BD＝6，102＝82+62，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD 为直角三角形，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴△ACD 是直角三角形，
∵AC＝17，
∴𝐷𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √172 −82 = 15，
∴BC＝BD+DC＝6+15＝21．
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【变式1-3】（2025 秋•高邮市期末）数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片ABC，已知底边BC
＝20cm，点D 是腰AB 上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）请你判断△BCD 的形状，并说明理由：
（2）求三角形腰AB 的长度．
【分析】（1）依据勾股定理的逆定理，即可得到∠BDC＝90°，即可得到CD⊥AB；
（2）设腰长为x cm，则AD＝（x﹣12）cm，由（1）可知AD2+CD2＝AC2，解方程（x﹣12）2+162＝x2，
即可得到腰长．
【解答】解：（1）△BCD 为直角三角形，理由如下：
∵已知底边BC＝20cm，点D 是腰AB 上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
∴BD2+CD2＝162+122＝400，BC2＝202＝400，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD 为直角三角形；
（2）设腰长为AB＝AC＝xcm，则AD＝（x﹣12）cm，
由（1）可知∠ADC＝∠BDC＝90°，
由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，
即：（x﹣12）2+162＝x2，
解得𝑥= 50
3 ，
∴腰AB 长为
50
3 𝑐𝑚．
▌题型06 勾股定理的逆定理求面积
1. 写出三角形三边长度，找出最长边；
2. 计算较短两边平方和、最长边的平方；
3. 若两者相等，判定为直角三角形，最长边对角是直角；
4. 取两条直角边，代入面积公式求值；
5. 组合图形（四边形）：拆成两个三角形分别计算再求和/求差。
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【典例1】（2026 春•济阳区期末）如图，某公园把一块△ABC 土地划出一个△ACD 种草，其余部分种花，
测得CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，∠ACB＝90°．
（1）判断△ACD 的形状，并说明理由；
（2）求图中种花（阴影）部分的面积．
【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝10m，再利用勾股定理逆定理判定△ACD 为直角三角形；
（2）分别求出△ABC 和△ACD 的面积，即可得解．
【解答】解：（1）△ACD 为直角三角形，理由如下：
在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：
AC2＝AB2﹣BC2＝262﹣242＝100，
∴AC＝10m，
在△ACD 中，CD2+AD2＝62+82＝100＝AC2，
∴△ACD 是直角三角形，且∠ADC＝90°；
（2）∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1
2 × 10 × 24 = 120(𝑚2)，
𝑆△𝐴𝐶𝐷= 1
2 𝐴𝐷⋅𝐶𝐷= 1
2 × 6 × 8 = 24(𝑚2)，
∴图中种花（阴影）部分的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐴𝐶𝐷= 120 −24 = 96(𝑚2)．
【变式1-1】（2026•淅川县二模）定义：若一个三角形中，两边平方和等于第三边平方的4 倍，那么我们把
这样的三角形叫作“奋进三角形”．例如：某三角形三边长分别是√2，√3和√5，因为(√3)2 + (√5)2 =
4 × (√2)2 =8，所以这个三角形是“奋进三角形”．
如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D 为AB 的中点，连接CD，若△BCD 是“奋进三角形”，
则△ABC 的面积为 18√7或6√3 ．
【分析】根据直角三角形的性质得AD＝BD＝DC，然后分两种情况：当CD2+BD2＝4×62 时；当CD2+BC2
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＝4×BD2 时；分别求出BD 的长，进而求出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，点D 为AB 的中点，
∴AD＝BD＝DC，
∵△BCD 是“奋进三角形”，
∴分以下两种情况：
当CD2+BD2＝4×62 时，
解得：𝐵𝐷= 𝐷𝐶= 6√2，
则𝐴𝐵= 12√2，
故𝐴𝐶= √(12√2)2 −62 = 6√7，
∴S△ABC= 1
2 × 6 × 6√7 = 18√7；
当CD2+BC2＝4×BD2 时，
解得：𝐵𝐷= 𝐷𝐶= 2√3，
则𝐴𝐵= 4√3，
故𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 2√3，
∴S△ABC= 1
2 × 6 × 2√3 = 6√3．
综上所述，△ABC 的面积为18√7或6√3．
【变式1-2】（2026 春•红桥区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，BC＝13，
CD＝12．
（Ⅰ）求证：BD⊥DC；
（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积．
【分析】（1）利用勾股定理求出BD 的长，进而可证明BC2＝BD2+CD2，据此可证明结论；
（2）根据S 四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC 列式求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3．
由勾股定理，得𝐵𝐷= √𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = √32 + 42 = 5，
∵BC＝13，CD＝12，
∴BC2＝132＝169，BD2+CD2＝52+122＝25+144＝169
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BCD 为直角三角形，
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∴BD⊥DC；
（2）𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐷𝐶= 1
2 × 3 × 4 + 1
2 × 5 × 12 = 6 + 30 = 36．
【变式1-3】（2026 春•梅州期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为AB 上一点，连接CD，若BC＝20，
CD＝16，BD＝12．
（1）判断△BCD 的形状，并说明理由；
（2）求△ADC 的面积．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）由（1）可证得△ADC 是直角三角形，根据勾股定理，求出AD 的长度，再根据三角形的面积公式
进行计算即可．
【解答】解：（1）△BCD 是直角三角形，理由如下：
∵BC＝20，CD＝16，BD＝12，
∴122+162＝202，
即BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD 是直角三角形；
（2）∵BC＝20，CD＝16，BD＝12，
∴122+162＝202，
即BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD 是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△ADC 中，CD＝16，AC＝AB＝AD+BD，
根据勾股定理得，CD2+AD2＝AC2，
即162+AD2＝（AD+12）2，
解得𝐴𝐷= 14
3 ，
因此𝑆△𝐴𝐷𝐶= 1
2 𝐴𝐷⋅𝐶𝐷= 1
2 × 14
3 × 16 = 112
3 ，
答：△ADC 的面积为
112
3 ．
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▌题型07 勾股数（规律题）
1. 奇数型勾股数
观察：
第1 组：3，4，5
第2 组：5，12，13
第3 组：7，24，25
第4 组：9，40，41
……
规律总结
（1）最小边（奇数）：2𝑛+ 1
（2）较长直角边：
(2𝑛+1)2−1
2
（3）斜边：
(2𝑛+1)2+1
2
隐藏特点：斜边 = 长直角边 + 1；
2. 偶数型勾股数
观察：
第1 组：8，15，17
第2 组：10，24，26
第3 组：12，35，37
……
规律总结
（1）最小边（偶数）：2𝑚
（2）较长直角边：𝑚2 −1
（3）斜边：𝑚2 + 1
隐藏特点：斜边 = 长直角边 + 2。
【典例1】（2026 春•西岗区期末）如果把a2+b2＝c2 看作关于a，b，c 的方程，那么满足这个方程的正整数
解a，b，c，通常叫作勾股数组，可以记作（a，b，c）．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公
式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…
分析这些勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…
（1）分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组 9，40，41（答案不唯一） ；
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（2）小红将a2+b2＝c2 移项并因式分解a2＝c2﹣b2＝（c+b）•（c﹣b），请写出满足上述规律的第n 个勾
股数组（用含n 的式子表示），并尝试用小红的方法证明；
（3）若（x，x+7，x+m）是满足上述规律的一组勾股数组，求x 的值．
【分析】（1）观察已知数组首项3，5，7 为连续奇数，中间项、最大项满足相邻差1，按规律写出下一
组；
（2）归纳第n 组三个数的代数式，利用平方差a2+b2＝c2 完成等式证明；
（3）根据规律中后两数差值恒为1，建立等式求出m，再列方程解x．
【解答】解：（1）根据题意可得规律：
第k 组勾股数的
第一个数为2k+1，
第二个数为k×（2k+1+1），
第三个数为2k（k+1）+1，
当k＝4 时，勾股数为：9，40，41，
故答案为：9，40，41（答案不唯一）；
（2）第n 个勾股数组为（2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1）（n 为正整数），
证明如下：
c2﹣b2
＝（c+b）（c﹣b）
＝[2n（n+1）+1+2n（n+1）][2n（n+1）+1﹣2n（n+1）]
＝（4n2+4n+1）×1
＝（2n+1）2
＝a2，
故a2+b2＝c2，
∴该数组为勾股数组；
（3）根据题意可得，（x+m）﹣（x+7）＝1，
∴m＝8，
由勾股定理得：x2+（x+7）2＝（x+8）2，
化简得：（x﹣5）（x+3）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣3（不符合勾股数为正整数的要求，舍去），
∴x 的值为5，
故答案为：5．
【变式1-1】（2025 秋•黄浦区校级月考）阅读与探究：
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勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果
一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾
股数”．
【探究1】
（1）①如果a、b、c 是一组勾股数，即满足a2+b2＝c2，则ka、kb、kc（k 为正整数）也是一组勾股数．如：
3、4、5 是一组勾股数，则 6，8，10（答案不唯一） 也是一组勾股数．
②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：a＝2n+1，b＝
2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n 为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a、b、c 是一组勾股数．
【探究2】
（2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3 起就没有间
断过，并且勾为3 时，股4 = 1
2 × (9 −1)，弦5 = 1
2 × (9 + 1)；勾为5 时，股12 = 1
2 × (25 −1)，弦13 =
1
2 × (25 + 1)．
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
①如果勾为7 时，则股24＝
1
2 × (49 −1) ；弦25＝
1
2 × (49 + 1) ．
②现在将勾用a 表示，股用b 表示，弦用c 表示，当a＝n 时，（n≥3，且n 为奇数），则b＝
1
2 (𝑛2 −
1) ；c＝
1
2 (𝑛2 + 1) ；（用含有n 的式子表示）并证明这个规律的合理性．
【分析】（1）①根据k 为正整数举例即可；
②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可；
（2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1 除以2 得股，加1 除以2 得弦即可；
②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可．
【解答】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公
式．本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．解：
探究1：（1）①∵3，4，5 是一组勾股数，
又k 为正整数，
∴当k＝2 时，ka＝6，kb＝8，kc＝10，且62+82＝36+64＝100＝102，
∴6，8，10 也是一组勾股数（答案不唯一）；
故答案为：6，8，10（答案不唯一）；
②证明：∵a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1，
∴a2+b2＝（2n+1）2+（2n2+2n）2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，c2＝（2n2+2n+1）2＝
4n4+8n3+8n2+4n+1，
∴a2+b2＝c2，
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∴a，b，c 是一组勾股数；
（2）①如果勾为7，则股24 = 1
2 × (49 −1)，弦25 = 1
2 × (49 + 1)，
故答案为：
1
2 × (49 −1)；
1
2 × (49 −1)
1
2 × (49 + 1)；
②当a＝n（n≥3，且n 为奇数）时，𝑏= 1
2 (𝑛2 −1)，𝑐= 1
2 (𝑛2 + 1)；
证明：∵𝑎2 + 𝑏2 = 𝑛2 + [1
2 (𝑛2 −1)]2 = 𝑛2 + 1
4 (𝑛4 −2𝑛2 + 1) = 𝑛2 + 1
4 𝑛4 −1
2 𝑛2 + 1
4 = 1
4 𝑛4 + 1
2 𝑛2 + 1
4，
𝑐2 = [1
2 (𝑛2 + 1)]2 = 1
4 (𝑛4 + 2𝑛2 + 1) = 1
4 𝑛4 + 1
2 𝑛2 + 1
4，
∴a2+b2＝c2，
∴该规律合理．
故答案为：
1
2 (𝑛2 −1)；
1
2 (𝑛2 + 1)．
【变式1-2】（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对
研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c 都是正整数，则a，b，c 为一组“勾股
数”．如表中的每一组数都是勾股数．
3，4，5
7，24，25
11，60，61
15，112，113
19，180，181
4，3，5
8，15，17
12，35，37
16，63，65
20，21，29
5，12，13
9，12，15
13，84，85
17，144，145
21，28，35
6，8，10
10， 24 ，
26
14，48，50
18，80，82
22，120，122
（1）请补全如表中的勾股数．
（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示
上表中所有的勾股数，并证明．
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种
花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如
果每个三角形最短边都种21 株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
【分析】（1）先由表中勾股数规律，令a＝10，b，c＝26，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；
（2）由表中数据，分别用代数式表示出a，b，c，再由整式混合运算求证即可得到答案；
（3）确定直角三角形最短边长度：已知每个三角形最短边都种21 株花，因为各边上相邻两株花之间的
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距离均为1m，且顶点处都种一株花，所以每个直角三角形最短边长为21﹣1＝20 米，找出直角三角形三
边长度：查题干中的表可知，当最短边为20 米时，直角三角形的三边长分别为20 米，21 米，29 米，由
于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图
所示，结合（2）中得到的规律，分析出一个直角三角形种植花数量即可得到答案．
【解答】解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26，
则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262，
∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16，
解得b＝24 或b＝﹣24（舍去）；
故答案为：24；
（2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n 互质且一奇一偶）；
非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k 为正整数），
证明：对于本原勾股数，计算a2+b2：
（m2﹣n2）2+（2mn）2
＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2
＝m4+2m2n2+n4
＝（m2+n2）2
＝c2，
非本原勾股数为k 倍的本原勾股数，
故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2]
＝k2（m2+n2）2
＝c2．
同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立；
（3）根据题意，当最短边种21 株花时，最短边的长为（21﹣1）1＝20（m），
由表格知可能的一种三边长为20，21，29．
下面说明这是符合种最少要求的三角形三边长，设符合要求的三边长为20，p，q，则20≤p，且20≤q，
当p 或q＝20 时，不符合勾股数的要求，：p，q 至少是21，不妨设p＜q，则有q2＝p2+202，即q= √𝑝2+202.
由q 的解析式可知p 越大，q 越大，反之则有p 越小，q 越小，
又∵当p＝21 时，恰有q＝29，
∴20，21，29 是符合种最少要求的三角形三边长，此时一个三角形边上种20+21+29＝70（株），
故4 个三角形最少需种4×70＝280（株）．
【变式1-3】【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3 个正整数（a，b，c），称为勾股数，《周髀算
经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如
（6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）
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（8，15，17）等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数（a，b，c）才能满足关系式a2+b2
＝c2．设（a，b，c）为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1
a
b
c
3
4
5
5
12
13
7
24
25
9
40
41
表2
a
b
c
6
8
10
8
15
17
10
24
26
12
35
37
（1）根据表1 的规律写出勾股数（11， 60 ， 61 ）；
观察可得：表1 中b、c 与a2 之间的关系是 a2＝b+c ；（填勾股定理不得分）
（2）根据表2 的规律写出勾股数（16， 63 ， 65 ）；
观察可得：表2 中b、c 与a2 之间的关系是
1
2a2＝b+c ；（填勾股定理不得分）
（3）老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少
吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32+42＝52）
【分析】（1）根据3，4，5 中，32＝4+5；5，12，13 中，52＝12+13；…；由此即可得勾股数：11，60，
61；观察表1 中的数据，不难发现b、c 与a2 之间的关系是a2＝b+c；
（2）根据表2 的数据可知：
1
2 × 62 =8+10，
1
2 ×82＝15+17，…，此时即可解答；
（3）分别就表1 和表2 的规律即可解答．
【解答】解：（1）∵32＝4+5，52＝12+13，…，
∴112＝121，（121﹣1）÷2＝60，
∴勾股数为：11，60，61；
观察表1 中的数据，不难发现b、c 与a2 之间的关系是b、c 与a2 之间的关系是a2＝b+c；
故答案为：60，61；a2＝b+c；
（2）∵
1
2 × 62 =8+10，
1
2 ×82＝15+17，…，
又∵
1
2 ×162＝128，128÷2＝64，
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∴根据表2 的规律写出的勾股数为：16，63，65；
观察可得：表2 中b、c 与a2 之间的关系是：
1
2a2＝b+c；
故答案为：63，65，
1
2a2＝b+c；
（3）分两种情况：
①当145 符合表1 时，则中间的数为144，
∵145+144＝289，且172＝289，
∴这组勾股数为：17，144，145；
②当145 符合表2 时，则中间的数为143，
∵145+143＝288，且289×2＝576，而576 是平方数，
∴勾股数是24，143，145，
综上，这组勾股数为：17，144，145；即172+1442＝1452；24，143，145 即242+1432＝1452；
