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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第一章 三角形·能力提升
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．C
2．C
3．B
4．C
5．D
6．B
7．B
8．D
9．B
10．A
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．4.8
12．3
13．15
14．53°/53 度
15．10
16．70°/70度
三、解答题（共8 小题，共72 分）
17．（8 分）
【详解】（1）解：由三角形外角的性质可得，∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 60° −40° = 20°，
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∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐸= 40°，
∵𝐴𝐹为高，
∴∠𝐴𝐹𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐹= 180° −∠𝐴𝐹𝐵−∠𝐴𝐵𝐹= 50°；
4 分
（2）解：∵𝐴𝐷是中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 5，即𝐵𝐶= 10，
则𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐹= 40，解得𝐴𝐹=
2×40
10 = 8．
4 分
18．（8 分）
【详解】（1）解：∵∠𝑂= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂= 120°，
𝐴𝐶，𝐵𝐶分别是∠𝐵𝐴𝑂和∠𝐴𝐵𝑂的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝑂𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝑂，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝑂𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝑂，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂) = 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 60°．
4 分
（2）∵∠𝑂= 72°，
∴∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂= 108°，
𝐴𝐶，𝐵𝐶分别是∠𝐵𝐴𝑂和∠𝐴𝐵𝑂的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝑂𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝑂，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝑂𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝑂，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂) = 54°，
∴∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 54°，
∵𝐶𝐹∥𝑂𝐴，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐶𝐴𝐺，
∴∠𝐵𝐺𝑂−∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐺𝑂−∠𝐶𝐴𝐺= ∠𝐴𝐶𝐺= 54°，
故∠𝐵𝐺𝑂与∠𝐴𝐶𝐹的数量关系为∠𝐵𝐺𝑂−∠𝐴𝐶𝐹= 54°．
8 分
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19．（8 分）
【详解】（1）解：∵ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴ △𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹的对应边为：𝐴𝐵和𝐷𝐸，𝐵𝐶和𝐸𝐹，𝐴𝐶和𝐷𝐹，
对应角为：∠𝐴和∠𝐷，∠𝐵和∠𝐷𝐸𝐹，∠𝐴𝐶𝐵和∠𝐹．
3 分
（2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −78° −35° = 67°．
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，𝐵𝐶= 18，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 67°，𝐸𝐹= 𝐵𝐶= 18．
答：∠𝐹的度数为67°，边𝐸𝐹的长为18．
8 分
20．（8 分）
【答案】(1)
证明：在△𝐴𝐵𝐷与△𝐷𝐶𝐸中，
{
∠𝐵= ∠𝐶
∠1 = ∠2
𝐴𝐷= 𝐷𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(AAS)；
4 分
（2）∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸, 𝐴𝐶= 𝐴𝐵，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐶= 5, 𝐶𝐸= 𝐵𝐷= 3，
∴𝐴𝐶= 5,𝐴𝐸= 5 −3 = 2．
8 分
21．（8 分）
【详解】解：如图所示：P 点即为所求．
8 分
22．（10 分）
【详解】（1）解：由题意得，当𝑡= 1时，𝐴𝑃= 2，𝐵𝑄= 𝑎，
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∴𝐵𝑃= 𝐴𝐵−𝐴𝑃= 6 −2 = 4，
故答案为：2，4，𝑎；
2 分
（2）证明：①当𝑎= 2，𝑡= 1时，𝐴𝑃= 2，𝐵𝑄= 2，𝐵𝑃= 4，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝑃，𝐴𝑃= 𝐵𝑄，
∵𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝑃𝐵𝑄= 90°，
∴△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑄𝑃(SAS)；
②∵△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑄𝑃，
∴∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝑃𝑄，
∵∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴𝑃𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝑃𝑄+ ∠𝐴𝑃𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝑃𝑄= 180° −(∠𝐴𝑃𝐶+ ∠𝐵𝑃𝑄) = 90°，
∴𝐶𝑃⊥𝑃𝑄；
6 分
（3）解：当△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑄𝑃时，则𝐵𝑄= 𝐴𝑃，𝐵𝑃= 𝐴𝐶= 4，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝐵−𝐵𝑃= 2，
∴𝑡=
2
2 = 1，
∴𝑎=
2
1 = 2；
当△𝐴𝑃𝐶≌△𝐵𝑃𝑄时，则𝐵𝑄= 𝐴𝐶= 4，𝐵𝑃= 𝐴𝑃=
1
2 𝐴𝐵= 3，
∴𝑡=
3
2，
∴𝑎=
4
3
2
=
8
3；
综上所述，𝑎= 2，𝑡= 1或𝑎=
8
3，𝑡=
3
2．
10 分
23．（10 分）
【答案】(1)【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐹𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹= 60°，
又∵𝐴𝐸⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐸𝐴𝐹= 90°，
∠𝐵𝐴𝐶= 360° −(∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐹+ 𝐶𝐴𝐹) = 150°．
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(2)
证明：过点A 作𝐴𝑀⊥𝐵𝐸于点M，𝐴𝑁⊥𝐶𝐸于点N，如图所示：
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐸𝐴𝐹= 150°，
即∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐶= 150°，
在△𝐵𝐴𝐹和△𝐸𝐴𝐶中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐶，𝐴𝐹= 𝐴𝐶，
∴△𝐵𝐴𝐹≌△𝐸𝐴𝐶(SAS)，
∴𝐵𝐹= 𝐸𝐶，𝑆△𝐵𝐴𝐹= 𝑆△𝐸𝐴𝐶，
∴𝐴𝑀= 𝐴𝑁，
∴点A 在∠𝐵𝐷𝐶的平分线上，
∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐷𝐶．
(3)
证明：在𝐵𝐷上截取𝐵𝑃= 𝐸𝐷，连接𝐴𝑃，𝐴𝐷，设𝐴𝐸与𝐵𝐹交于点H，如图所示：
∵△𝐵𝐴𝐹≌△𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶，
在△𝐴𝐵𝑃和△𝐴𝐸𝐷中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶
𝐵𝑃= 𝐸𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐴𝐸𝐷(SAS)，
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∴𝐴𝑃= 𝐴𝐷，∠𝐵𝑃𝐴= ∠𝐸𝐷𝐴，
在△𝐸𝐷𝐻中，∠𝐸𝐷𝐻+ ∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐸𝐻𝐷= 180°，
∵∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶，∠𝐸𝐻𝐷= ∠𝐵𝐻𝐴，
∴∠𝐸𝐷𝐻+ ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐻𝐴= 180°，
在△𝐴𝐵𝐻中，∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐻𝐴= 180°，
∴∠𝐸𝐷𝐻= ∠𝐵𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 120°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐶𝐷𝐴= 60°，
∴△𝐴𝑃𝐷是等边三角形，
∴𝑃𝐷= 𝐴𝐷，
∴𝐵𝐷= 𝑃𝐷+ 𝐵𝑃= 𝐴𝐷+ 𝐸𝐷．
24．（12 分）
【详解】（1）解：延长𝐴𝐷到点𝐸使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，在△𝐴𝐷𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，
{
𝐴𝐷= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵
𝐶𝐷= 𝐷𝐵
，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵（SAS），
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 8，
𝐴𝐵−𝐵𝐸< 𝐴𝐸< 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸，即12 −8 < 2𝐴𝐷< 12 + 8，
∴2 < 𝐴𝐷< 10，
故答案为：2 < 𝐴𝐷< 10；
5 分
(2)
证明：延长𝐶𝐵到𝐺，使𝐵𝐺= 𝐷𝐹如下图所示，
∵∠𝐴𝐵𝐶＋∠𝐴𝐷𝐶= 180∘，∠𝐴𝐵𝐶＋∠𝐴𝐵𝐺= 180∘，
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∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐺，
在△𝐴𝐵𝐺和△𝐴𝐷𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐴𝐷𝐹
𝐵𝐺= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐷𝐹（SAS），
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐹，∠𝐺𝐴𝐵= ∠𝐹𝐴𝐷，
∵∠𝐸𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐺𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸，
在△𝐴𝐸𝐺和△𝐴𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐺= 𝐴𝐹
∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐸𝐹（SAS），
∴𝐸𝐹= 𝐺𝐸，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸＋𝐵𝐺= 𝐵𝐸＋𝐷𝐹.
12 分
