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学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 1 / 7 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·培优冲刺 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．（25-26 八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的△𝐴𝐵𝐶，不是直角三角形的是（ ） A．∠𝐴∶∠𝐵∶∠𝐶= 3 ∶4 ∶5 B．𝑎∶𝑏∶𝑐= 6 ∶8 ∶10 C．∠𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵 D．𝑏2 = 𝑐2 −𝑎2 2．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）能说明命题“若|𝑎| > |𝑏|，则𝑎> 𝑏”是假命题的反例为（ ） A．𝑎= √3，𝑏= √2 B．𝑎= −π，𝑏= 2π C．𝑎= 2，𝑏= 1 D．𝑎= −2，𝑏= 1 3．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．对顶角相等 B．若𝑎2 = 𝑏2，则𝑎= 𝑏 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 4．如图，三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1 + ∠2 + ∠3的度数是（ ） A．360° B．270° C．180° D．540° 5．如图，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷的是（ ） A．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷 B．∠𝐶= ∠𝐷= 90° C．∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵 D．𝐴𝐶= 𝐴𝐷 6．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点𝐸，𝐹分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上，𝐴𝐸= 𝐸𝐹，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，过 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 2 / 7 点𝐹作𝐹𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，且𝐸𝐹= 𝐹𝐷．若∠𝐴= 75°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数为（ ） A．50° B．60° C．45° D．55° 7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷是高，𝐵𝐸是中线，𝐶𝐹是角平分线，𝐶𝐹交𝐴𝐷于点𝐺，交𝐵𝐸于点𝐻， 给出以下结论：①𝐵𝐹= 𝐴𝐹；②∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐴𝐺𝐹；③∠𝐹𝐴𝐺= 2∠𝐴𝐶𝐹；④𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐶𝐸；⑤𝐵𝐻= 𝐶𝐻；⑥𝐴𝐷⋅ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，其中结论正确的有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 8．（25-26 八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边△𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐺= 𝐶𝐹，𝐴𝐺与𝐵𝐹交于点D，𝐴𝐸⊥𝐵𝐹于点 E，若𝐴𝐷= 9，则𝐷𝐸的长为（ ） A． 9 4 B． 9 2 C．3 D． 7 2 9．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸，𝐹分别为𝐵𝐶，𝐴𝐷，𝐵𝐸上的中点， 已知△𝐴𝐵𝐶的面积为16，则阴影部分的面积为（ ） A． 16 5 cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 10．（25-26 八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷、𝐵𝐸分别是高线和角平分线，点𝐹在 𝐶𝐴的延长线上，𝐹𝐻⊥𝐵𝐸交𝐵𝐷于𝐺，交𝐵𝐶于𝐻，下列结论：①∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐹；②2∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐹+ ∠𝐶；③ 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 3 / 7 ∠𝐹= 1 2 (∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶)；④∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐶，正确的是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．（2026·四川攀枝花·中考真题）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 6，∠𝐵= 30°， 则△𝐴𝐵𝐷的面积为_______． 12．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，D，E 分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶 的中点，点F 在𝐷𝐸 的延 长线上．若△𝐴𝐷𝐸 的面积是3，则△𝐵𝐶𝐹 的面积是_______． 13．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形𝐴𝐵𝐶（∠𝐴≠∠𝐵）中，∠𝐴= 80°，则∠𝐵的度数为________． 14．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，以点𝐵为圆心，适当长为 半径作弧，交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐵𝐶于点𝑁，分别以𝑀，𝑁为圆心，大于 1 2 𝑀𝑁的长为半径作弧，两弧在∠𝐴𝐵𝐶内部 交于点𝑃，作射线𝐵𝑃交𝐴𝐶于点𝐷．若𝐶𝐷= 2，𝐴𝐵= 7，则△𝐴𝐵𝐷的面积为___________． 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 4 / 7 15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6cm，𝐵𝐶= 10cm．动点P 从点A 出发沿𝐴→𝐶的路径向终点 C 运动；动点Q 从点B 出发沿𝐵→𝐶→𝐴的路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm和3cm的运动速 度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P 和点Q 分别作𝑃𝐸⊥𝑀𝑁于点 E，𝑄𝐹⊥𝑀𝑁于点F，则点P 的运动时间为______s 时，△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶全等． 16．（25-26 八年级上·浙江·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是三角形外一点，连接𝐴𝐷、𝐶𝐷、𝐵𝐷，若𝐴𝐷平 分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐷= 140∘，∠𝐴𝐶𝐵+ 2∠𝐵𝐶𝐷= 180∘，则∠𝐴𝐷𝐵的度数为______． 三、解答题（共8 小题，共72 分） 17．（8 分）（25-26 八年级上·浙江金华·期中）如图，直线𝐴𝑀⊥𝐴𝑁，𝐴𝐵平分∠𝑀𝐴𝑁，过点𝐵作𝐵𝐶⊥𝐵𝐴交 𝐴𝑁于点𝐶；动点𝐸、𝐷同时从𝐴点出发，其中动点𝐸以2cm/s的速度沿射线𝐴𝑁方向运动，动点𝐷以1cm/s的速 度沿射线𝐴𝑀上运动；已知𝐴𝐶= 6cm，设动点𝐷，𝐸的运动时间为𝑡． (1)试求∠𝐴𝐶𝐵的度数； (2)若𝑆△𝐴𝐵𝐷: 𝑆△𝐵𝐸𝐶 = 2: 3，试求动点𝐷，𝐸的运动时间𝑡的值； (3)试问当动点𝐷，𝐸在运动过程中，是否存在某个时间𝑡，使得△ 𝐴𝐷𝐵与△ 𝐵𝐸𝐶全等？若存在，请求出时间 𝑡的值；若不存在，请说出理由． 18．（8 分）（25-26 八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐸为𝐶𝐷的中点，连 接𝐴𝐸、𝐵𝐸，延长𝐴𝐸交𝐵𝐶的延长线于点𝐹． 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 5 / 7 (1)求证：△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸； (2)若𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷，求证：𝐵𝐸⊥𝐴𝐹； (3)在（2）的条件下，若∠𝐷= 90°，𝐴𝐷= √11，𝐴𝐹= 14，求点𝐸到𝐴𝐵的距离． 19．（8 分）（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，等边△𝐴𝐵𝐶，在𝐴𝐶, 𝐵𝐶边上各取一点，分别为𝑃, 𝑄，使 𝐴𝑃= 𝐶𝑄，连接𝐴𝑄, 𝐵𝑃相交于点𝑂． (1)求∠𝐵𝑂𝑄的度数； (2)连接𝑂𝐶，若𝑂𝐶⊥𝐵𝑃, 𝑂𝐵= 2，求𝑂𝐴的值． 20．（8 分）如图1，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°， (1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷； (2)若𝑆△𝐴𝐵𝐶: 𝑆△𝐶𝐴𝐷= 3: 2，设𝐴𝐸: 𝐶𝐸= 𝑘，求𝑘的值； (3)如图2，若𝐴𝐷= 𝐷𝐶，延长𝐷𝐸交𝐵𝐶于𝐹，设𝐸𝐹= 𝑚，𝐴𝐷= 𝑛，猜想𝑚，𝑛满足的关系式并证明． 21． （8分）问题背景： “半角模型”问题．如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 120°，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°， 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 6 / 7 点E，F 分别是𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 60°，连接𝐸𝐹，探究线段𝐵𝐸，𝐸𝐹，𝐷𝐹之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长𝐹𝐷到点G．使𝐷𝐺= 𝐵𝐸．连结𝐴𝐺，先证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，再证明△ 𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，E、F 分别是边𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且 ∠𝐸𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，E、F 分别是边𝐵𝐶，𝐶𝐷延长线 上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷，请探究线段𝐵𝐸，𝐸𝐹，𝐷𝐹具有怎样的数量关系，并证明． 22．（10 分）（25-26 八年级上·浙江舟山·期中）如图1，已知线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷， 则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷； (2)如图2，若∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐵𝐷𝐶的平分线𝐴𝑃和𝐷𝑃相交于点𝑃，与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别相交于点𝑀、𝑁． ①以线段𝐴𝐶为边的“8字型”有______个，以点𝑂为交点的“8字型”有______个； ②若∠𝐵= 100°，∠𝐶= 120°，求∠𝑃的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠𝐶𝐴𝐵= 3∠𝐶𝐴𝑃，∠𝐶𝐷𝐵= 3∠𝐶𝐷𝑃”，试探究∠𝑃与∠𝐵、∠𝐶之间存在的数 量关系，并证明理由． 23．（10 分）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手 全等模型”．例如，如图①，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸都是等腰三角形，其中∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，则△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)． 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 7 / 7 (1)如图②，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸都是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，且∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，求证：𝐵𝐷= 𝐶𝐸． (2)如图③若△𝐴𝐶𝐵和△𝐷𝐶𝐸均为等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，点A，D，E 在同一条直线上，𝐶𝑀 为△𝐷𝐶𝐸中𝐷𝐸上的高，连接𝐵𝐸，求∠𝐴𝐸𝐵的度数以及线段𝐶𝑀，𝐴𝐸，𝐵𝐸之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 3，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 45°，求𝐵𝐷的长． 24．（12 分）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点D 在𝐵𝐶的延长线上，在𝐵𝐷的同侧以𝐶𝐷为边构造等边三角形𝐶𝐷𝐸， 连接𝐵𝐸，𝐴𝐷交于点F． 求证：𝐵𝐸= 𝐴𝐷，并直接写出∠𝐴𝐹𝐵的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐴𝐷= 𝐴𝐶，点E 在𝐴𝐷的延长线上，且𝐴𝐵= 𝐴𝐸，连接𝐵𝐸， 𝐶𝐸，求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐸． ②如图（3），△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等腰三角形，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，点C 恰好在𝐸𝐷延长线上，连接𝐵𝐷， 若𝐴𝐵= 4，𝐴𝐸= 2，求△𝐵𝐷𝐶的面积．
